HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 27 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN THỨ NHẤT HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Để khảo sát một chuyển động, ta phải biết cách giải phương trình Schrödinger Nhưng việc giải chính xác phương trình như vậy chỉ có thể thực hiện được trong vài trường hợp rất đặc biệt Trong những trường hợp khác, ta chỉ có thể tìm nghiệm gần đúng Trong chương này, ta sẽ là quen với một trong những phương pháp giải gần đúng quan trọng nhất: Coi hamiltonian H ˆ của hạt (hoặc hệ hạt) như là nhận được từ một hamiltonian 0 ˆ H (ứng với một phương trình có thể giải chính xác) bằng tác dụng một “nhiễu loạn” { } 0 ˆˆ HH − lên hệ, sau dó “điều chỉnh” nghiệm chính xác ứng với 0 ˆ H theo nhiẽu loạn Trong bài này ta chỉ xét “nhiễu loạn dừng” tức là { } 0 ˆˆ HH − không phụ thuộc thời gian. HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1. Nội dung của phương pháp nhiễu loạn thứ nhất Như đã nói trên, giả sử là hamiltonian ứng với phương trình Schrödinger giả được chính xác. Khi đó, ta có thể tìm được các trạng thái dừng với 0 ˆ H 0 n ψ ứng với các trị riêng 0 n E (n=1, 2, 3, …) tức là: (27.1) 000 0 ˆ nnn EH ψψ = Tiếp theo, giả sử H ˆ là hamiltonian của hạt đang dược khảo sát Giả sử H ˆ khá gần với 0 ˆ H tức là: (27.2) WHH ˆˆˆ 0 ε += W ˆ là một toán tử cho trước, ε là một hằng số rất nhỏ (từ “rất nhỏ” có ý nghĩa cụ thể trong những bài toán cụ thể) gọi là tham số nhiễu loạn. Nhiệm vụ của chúng ta là tìm hiểu E và ψ sao cho: HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam (27.3) ψψ EH = ˆ hay: ( ) (27.4) ψψε EWH =+ ˆˆ 0 Nghiệm của (27.3) sẽ được tìm dưới dạng: (27.5) ∑ = n nn a 0 ψψ Thế (27.5) vào (27.4), ta thu được: ( ) ∑∑ =+ n nn n nnn EaWHa 000 0 ˆˆ ψψεψ hay: ( ) ∑∑ =+ n nn n nnnn EaWEa 0000 ˆ ψψεψ suy ra: ( ) [ ] (27.6) 0 =−+ ∑ 00 ˆ nn n n EEWa ψε Nhân hai vế (27.6) với *0 n ψ rồi lấy tích phân trong toàn không gian, với giả thiết là hệ { } 0 n ψ đã được trực giao và chuẩn hóa (trực chuẩn), ta được: HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ( ) [ ] 27.7) ( 0 0 =+− ∑ nmnnmn n aWEE εδ trong đó: (27.8) dvWW nmmn ∫ = 0*0 ˆ ψψ là phần tử của ma trận W ˆ Các đẳng thức (27.7) cho ta một hệ phương trình bậc nhất với vô số phương trình (m=1, 2, 3, …) và vô số ẩn số (a 1 , a 2 , a 3 ,…) Nhớ rằng các hệ số a 1 , a 2 , a 3 ,…và E là phụ thuộc ε, tức là chúng là các hàm của biến ε, ta viết chúng dưới dạng chuõi lũy thừa theo ε : (27.9) ∑ +∞ = = 0 )( k kk mm aa ε (27.10) ∑ +∞ = = 0 )( k kk EE ε HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Thế (27.9) và (27.10) vào (27.7), hay tiện hơn, thế chúng vào đẳng thức sau (cố nhiên là tương đương với (27.7)): ( ) )(27.7' 0 0 =++− ∑ ≠mn nmnmmmm aWWEEa εε ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (27.11) 0 )0()2()1()2()0(0)1()1(2 )0()1()0(0)0()1()0()0(0 =+ +       −+−+−+ +       +−+−+− ∑ ∑ ≠ ≠ m nm nmnmmmmn nm nmnmmmmnmm aEaWaEEaEW aWaEEaEWaEE ε ε (Ở chỗ dấu chấm (…) là tất cả các số hạng từ bậc 3 trở lên). Nếu bỏ qua các số hạng từ bậc k+1 trở lên trong khi giải, ta sẽ có xấp xỉ bậc k. 2. Xấp xỉ bậc 0 và bậc 1 Bỏ qua tất cả các số hạng chứa ε, từ (27.9), (27.10), (27.11) ta được HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam )(27.9' )0( mm aa = )(27.10' )0( EE = ( ) )(27.11' - 0 )0()0()0( = mm aEE Vì hàm trạng thái ∑ = n nn a 0 ψψ không thể đồng nhất bằng 0 nên ít nhất phải có một hệ số a k nào đó khác không. Nhưng khi đó, từ (27.11’) ta có 0)0( m EE = với mọi m ≠ k; do đó 0 )0( =≡ mm aa với mọi m ≠ k. Như vậy, ψ trùng với một trong các trạng thái 0 n ψ Bây giờ ta giữ lại thêm số hạng chứa ε (và bỏ qua các số hạng chứa các lũy thừa bậc 2 trở lên). Khi đó. )'(27.9' εaaa )( mmm 1)0( += )'(27.10' )1()0( EEE ε += ( ) ( ) ( ) )'(27.11' 0 )0()1()0()0()0()1()0()0()0( =       ++−+ ∑ ≠mn nmnmmmmnmm aWaEEaEWaEE ε Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Chọn )0( m a và )0( E như trong xấp xỉ bậc 0, tức là mkm a δ = )0( và 0)0( k EE = (với k cố định), khi đó (29.11’’) trở thành: ( ) ( ) ( ) 0 )1(00)1(00 =       ++−+ ∑ ≠mn mkmnmkmmkmnmkkm WaEEEWEE δδεδ Rõ ràng số hạng đầu ở vế trái của đẳng thức này luôn bằng 0, do đó ta có: ( ) ( ) (27.12) - 0 )1(00)1( =++− ∑ ≠mn mkmnmkmmkmn WaEEEW δδ với m = k, từ (27.12) ta được: 0 )1( =− EW kk hay (27.13) kk WE = )1( Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam với m ≠ k, cũng từ (27.12) ta có: ( ) - 0 )1(00 =+ mkmkm WaEE suy ra (với m ≠ k): ( ) (27.14) - 00 )1( km mk m EE W a = Ta còn phải xác định )1( k a . Muốn thế, ta viết lại hàm trạng thái ψ như sau (với a n lấy gần đúng bằng )1()0( nn aa ε + ): ( ) (27.15) ∑∑∑∑ +=+== n nn n nn n nnn n nn aaaaa 0)1(0)0(0)1()0(0 ψεψψεψψ Do nkn a δ = )0( nên (27.15) có thể viết lại thành: (27.16) ∑ += n nnk a 0)1(0 ψεψψ [...]... E ) (27. 27) ( E − E ) = εδ Khi đó (27. 27) có dạng: 0 k Đặt (W k1 , k1 −δ Wk2 ,k1 ) Wk1 ,k2 =0 Wk 2 , k 2 − δ ( ) (27. 28) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Phương trình (27. 28) có hai nghiệm: δ1, 2 = Wk1 ,k1 + Wk2 ,k 2 2 ± (W k1 , k1 + Wk2 ,k2 4 ) 2 + Wk1 ,k 2 2 (27. 29) 0 Từ (27. 29) tính được hai mức năng lượng mới tách ra từ mức E k là: E k 2 = E k0 + εδ 2 (27. 30b)...  2  ( ) ) (27. 32b) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 27 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN THỨ NHẤT HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 27 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN THỨ NHẤT HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 27 PHƯƠNG PHÁP... ta xét trường hợp trong đó các mức năng lượng chưa bị 0 nhiễu loạn có thể suy biến, nghĩa là mỗi mức năng lượng E n ứng với một số hàm riêng độc lập tuyến tính ψ n1 ,ψ n 2 , ,ψ np 0 0 0 n (suy biến cấp pn) Khi đó, thay cho (27. 7’) ta có: 0 a mp ( E m + εWmp ,mp − E ) + ε ∑a nq ≠ mp nq Wmp ,nq = 0 (27. 23) trong đó, đương nhiên: 0* ˆ 0 Wmp,nq = ∫ ψ mpWψ nq dv (27. 24) Lý giải tương tự trường hợp không... ý: 1 Ta có εWkk (số hạng hiệu chỉnh năng lượng bậc 1) chính là ∫ψ 0* k εψ dv 0 k tức là giá trị trung bình của nhiễu loạn, nếu trạng thái tương ứng là trạng thái cơ bản thứ k (cố định) đối với hạt “không bị nhiễu loạn” 2 Do Wkn = W * n nên WknWnk = Wkn 2 Vì vậy “hiệu chỉnh bậc 2” của năng lượng luôn âm khi k là trạng thái nền, tức là trạng thái với mức năng lượng thấp nhất Hong Duc University 307... (27. 30b) E k1 = E k0 + εδ 1 (27. 30a) Các hàm trạng thái tương ứng có thể lấy bằng: ϕ k1 = cos α e iβψ k01 + sin α e − iβψ k02 ϕ k2 = − sin α e iβψ k01 + cos α e −iβψ k02 (27. 31a) (27. 31b) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Đặc biệt, khi Wk1k1 = Wk 2 k 2 , ta có: (  E k1 = E k0 + ε Wk1k1 + Wk1k 2   1 ϕ k1 = ψ k01 + ψ k02  2  ( ) (27. 32a) ) (  E k 2 = E k0 +... trong trường hợp không có nhiễu loạn, mức năng lượng thưa k có cấp suy biến là pk (pk trạng thái cùng ứng với năng lượng E k0 ) thì khi có nhiễu loạn, chính mức năng lượng này cũng bị tách thành nhiều mức ( pk mức) rất gần nhau! Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bây giờ ta xét một trường hợp riêng: suy biến cấp 2 Khi đó, (27. 26) trở thành: (E 0 k + εWk1 ,k1 − E εWk2... Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 27 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN THỨ NHẤT HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 27 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN THỨ NHẤT HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 27 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN THỨ NHẤT ... lại hệ thức (27. 11) cho m = k (hãy luôn nhớ: k cố định!) và bỏ qua các số hạng bậc cao hơn 2 Ta có: (27. 11) Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam (E 0 k −E (0) )a (0) k  (1) (0) 0 (0) (1) (0)  + ε  Wkk − E ak + Ek − E ak + ∑ Wkn an  + n≠k   ( ) ( )  ( ( ( (  + ε 2  Wkk − E (1) ak1) + Ek0 − E ( 0) ak 2) + ∑ Wkn an1) − E ( 2) ak0)  + n≠k   + = 0 (27. 11' ' '... =∑ 0 0 Ek − En n≠ k (27. 20) Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ( a k 2 ) vẫn được tìm từ điều kiện chuẩn hóa đối với hàm trạng thái còn ( a k2) Tuy nhiên, việc tính không thật quan trọng, nếu ta không tiến hành các bước xấp xỉ bậc cao hơn nữa Ở xấp xỉ bậc 2, năng lượng được tính theo công thức: WnkWnk E = E + εWkk − ε ∑ 0 En − Ek0 n≠k 0 k 2 (27. 22) Hong Duc University... và chú ý rằng và αϕ ψ = α * ϕ ψ , ta có: ϕ αψ = α ϕ ψ (27. 17) 1= ψ ψ =  ( 0 = ψ ψ + ε  ∑ an1)ψ n ψ k0 + ψ k0  n ( ( ( ( = 1 + ε ak1)* + ak1) + ε 2 ∑ an1)*an1) 0 k 0 k ( ) n ∑a ψ (1) n n 0 n  2  +ε  ( 0 am1)ψ m ∑ m ( 0 an1)ψ n = ∑ n (27. 18) Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bỏ qua số hạng bậc hai trong (27. 18), ta được (a (1)* k ( + a k1) ) = 0 ( (1 a k1) bằng . ε, từ (27. 9), (27. 10), (27. 11) ta được HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ) (27. 9' )0( mm aa = ) (27. 10' )0( EE = ( ) ) (27. 11' - 0 )0()0()0( = mm aEE Vì. biến cấp 2. Khi đó, (27. 26) trở thành: ( ) ( ) (27. 27) 0 2212 2111 , 0 , ,, 0 = −+ −+ EWEW WEWE kkkkk kkkkk εε εε Đặt ( ) εδ =− 0 k EE . Khi đó (27. 27) có dạng: ( ) ( ) (27. 28) 0 2212 2111 ,, ,, = − − δ δ kkkk kkkk WW WW . theo ε : (27. 9) ∑ +∞ = = 0 )( k kk mm aa ε (27. 10) ∑ +∞ = = 0 )( k kk EE ε HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Thế (27. 9) và (27. 10) vào (27. 7), hay