Tích phân xác định 1 Bài soạn Tích phân xác định A. Mục đích, yêu cầu Mục đích: Trang bị cho sinh viên các kiến thức về tích phân xác định: định nghĩa, công thức tính, các tính chất và ứng dụng của tích phân. Yêu cầu: Sinh viên cần nắm được bài toán dẫn đến khái niệm tích phân xác định, định nghĩa , cách tính và biết cách vận dụng linh hoạt để tính tích phân. Hiểu đượ c ứng dụng của nó. B. Nội dung bài giảng 1 Các bài toán dẫn đến khái niệm tích phân xác định 1.1 Diện tích hình thang cong Bài toán 1. Giả sử cho hình thang cong aABb giới hạn bởi trục Ox, đường x = a, x = b và đường cong y = f(x) trong đó f (x) dương, liên tục, đơn trị trên [a, b]. Tính diện tích hình thang cong đó. Ta chia [a, b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chiaa = x 0 < x 1 < ··· < x n = b y x O f(c i ) A B y = f(x) x 0 = ax 1 x i−1 c i x i x n = b Từ các điểm chia, dựng các đường thẳng song song với trục Oy. Khi đó hình thang cong aABb được chia thành n hình thang cong nhỏ. Trong mỗi đoạn [x i−1 , x i ], i = 1, n ta lấy điểm c i tùy ý, khi đó tung độ y i ứng với hoành độ c i là y i = f(c i ) Nếu ứng với mỗi đoạn nhỏ [x i−1 , x i ] ta dựng một hình chữ nhật có kích thước là (x i − x i−1 ), f(c i ) thì diện tích của nó là f(c i )(x i − x i−1 ) = f (c i )△x i Do đó diện tích của tổng n hình chữ nhật đó là S n = n  i=1 f(c i )△x i Tích phân xác định 2 S n chính là diện tích của hình bậc thang. Diện tích hình bậc thang đó khác với diện tích hình thang cong càng ít nếu n càng lớn, và △x i càng nhỏ. Khi đó nếu tổng S dần tới môt giới hạn xác định S thì S được gọi là diện tích hình thang cong. Vậy S = lim n→∞ n  i=1 f(c i )△x i sao cho max i=1,n △x i −→ 0 2 Định nghĩa Cho hàm y = f(x) xác định trên [a, b]. Chia tùy ý đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia a = x 0 < x 1 < ··· < x n = b. Đặt △x i = x i − x i−1 c i ∈ [x i−1 , x i ] chọn bất kỳ Tổng tích phân I n = n  i=1 f(c i )△x i Định nghĩa 1. Nếu tồn tại giới hạn của I n khi max i=1,n △x i −→ 0 và giới hạn này không phụ thuộc vào cách chia [a, b] và cách chọn điểm c i thì nó được gọi là tích phân xác định của hàm f trên [a, b ] và ký hiệu là I = b  a f(x)dx = lim n→∞ n  i=1 f(c i )△x i Khi đó hàm y = f(x ) được gọi là hàm khả tích trên [a, b] 2.1 Các tính chất a) b  a f(x)dx = b  a f(t)dt b) b  a f(x)dx = − a  b f(x)dx c) a  a f(x)dx = 0 d) b  a f(x)dx = c  a f(x)dx + b  c f(x)dx e) b  a αf(x) = α b  a f(x)dx f) b  a (f(x) ±g(x))dx = b  a f(x)dx ± b  a g(x)dx g) Nếu f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a, b] thì b  a f(x)dx ≥ b  a g(x)dx Tích phân xác định 3 h) Nếu m, M tương ứng là các giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của f(x) trên [a, b] thì m(b −a) ≤ b  a f(x)dx ≤ M (b −a) 2.2 Điều kiện tồn tại của tích phân xác định Định lý 2. Nếu f liên tục trên [a, b] thì nó khả tích trên đoạn đó Định lý 3. Nếu f đơn điệu và bị chặn trên [a, b] thì f khả tích trên đoạn này. Định lý 4. Nếu f liên tục trừ ra một số hữu hạn điểm gián đoạn trên [a, b] thì hàm f khả tích trên đoạn đó. 3 Các ví dụ Ví dụ 1. Tính 1  0 xdx Vì f(x) = x, liên tục trên [0, 1] nên nó khả tích trên đoạn đó. Ta chia [0, 1] thành n đoạn nhỏ bằng nhau bởi các điểm x i = i n Chọn c i = x i =⇒ I n = n  i=1 i n . 1 n I n = 1 n 2 (1 + 2 + ··· + n) = n(n + 1) 2n 2 −→ 1 2 khi (n −→ ∞) Do đó 1  0 xdx = 1 2 Ví dụ 2. f(x) = sgnx =      1, x > 0 0, x = 0 −1, x < 0 Tính 1  −1 f(x)dx Xét trên [−1, 1] f bị chặn và chỉ có 1 điểm gián đoạn x = 0 nên f khả tích 1  −1 sgnxdx = 0  −1 sgnxdx + 1  0 sgnxdx Xét 1  0 sgnxdx. Chia [0, 1] thành n đoạn nhỏ bằng nhau bởi các điểm chia x i = i n , i = 1, n Chọn c i = x i =⇒ n  i=1 f(c i ). 1 n = n  i=1 1 n = 1 Xét 0  −1 sgnxdx. Chia [−1, 0] thành n đoạn nhỏ bằng nhau bởi các điểm chia x i = −1 + i n , i = 1, n Chọn c i = x i =⇒ n  i=1 f(c i ). 1 n = n  i=1 (−1). 1 n = −1 Do đó 1  −1 sgnxdx = 0 Tích phân xác định 4 4 Định lý về giá trị trung bình Định lý 5. Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì trên đoạn đó có ít nhất một điểm c sao cho b  a f(x)dx = f (c)(b −a) Chứng minh. Ta có m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b] m(b − a) ≤ b  a f(x)dx ≤ M (b −a) m ≤ 1 b − a b  a f(x)dx ≤ M Vì f liên tục trên [a, b] nên ∃c ∈ [a, b] sao cho f(c) = 1 b − a b  a f(x)dx b  a f(x)dx = f (c)(b −a) 5 Công thức NewTơn - Lepnit 5.1 Đạo hàm của cận trên Giả sử f(x) là hàm khả tích trên [a, b], ∀x ∈ [a, b] Đặt F(x) = x  a f(t)dt ⇒ F là một hàm trên [a, b] Định lý 6. Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì F (x) chính là một nguyên hàm của f (x) trên đoạn đó Chứng minh. Ta phải chứng mịnh F ′ (x) = f (x), ∀x ∈ [a, b] Ta có F (x + h) − F(x) h = 1 h  x+h  a f(t)dt − x  a f(t)dt  = 1 h x+h  x f(t)dt = 1 h f(c)h, ∀c ∈ [x, x + h] =⇒ lim h→0 F (x + h) − F(x) h = f(x) Chú ý. Ta có các công thức sau đây Tích phân xác định 5 a) d db b  a f(x)dx = f (b) b) d da b  a f(x)dx = − d da b  a f(x)dx = −f (a) c) Nếu các cận của tích phân là hàm của x thì d dx  β  α(x) (x)f(t)dt  = d dx a  α(x) f(t)dt + d dx β(x)  a f(t)dt = − dα(x) dx d dα(x) α  α (x)f(t)dt + dβ(x) dx d dβ(x) β  α (x)f(t)dt = f[β(x)].β ′ (x) − f[α(x)].α ′ (x) 5.2 Công thức Niutơn - Lepnit Định lý 7. Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] và F (x) là một nguyên hàm của nó trong đoạn đó thì b  a f(x)dx = F (x)| b a = F (b) −F (a) (Công thức Niutơn - Lepnit) Chứng minh. F (x) là một nguyên hàm của f (x) Nếu Φ(x) = x  a f(t)dt cũng là một nguyên hàm của f(x) thì Φ(x) = F (x) + C Ta có Φ(a) = F (a) + C = 0 =⇒ C = −F (a) x  a f(t)dt = F (x) −F (a) Cho x = b ta có b  a f(x)dx = F (b) −F (a) Tích phân xác định 6 Ví dụ 3. Tính I = π  0 √ 1 + cos 2xdx = π  0 2 cos 2 (x)dx = √ 2 π  0 |cos(x)|dx = √ 2      π 2  0 cos(x)dx − π  π 2 cos(x)dx      = √ 2 sin x| π 2 0 − √ 2 sin x| π π 2 =2 √ 2 6 Các phương pháp tính tích phân xác định 6.1 Phương pháp đổi biến Xét tích phân I = b  a f(x)dx với f (x) là hàm liên tục trên [a, b]. Giả sử phép đổi biến x = ϕ(t), ϕ : [α, β] −→ [a, b] thỏa mãn các điều kiện: + ϕ(t) có đạo hàm liên tục trên [a, b] + Khi t biến thiên trong [α, β] thì x biến thiên trong [a, b] Khi đó b  a f(x)dx = β  α f[ϕ(t)]ϕ ′ (t)dt Chứng minh. Giả sử F (x) là một nguyên hàm của f(x) =⇒ I = b  a f(x)dx = F (b) −F (a) Mặt khác F [ϕ(t)] là nguyên hàm của f[ϕ(t)]ϕ ′ (t) =⇒ β  α f[ϕ(t)]ϕ ′ (t)dt = F [ϕ(β)] − F [ϕ(α)] = F (b) − F (a) Ta được đpcm. Ví dụ 4. Tính tích phân sau π 2  0 cos x 1 + sin 2 x dx Ta có I = π 2  0 cos x 1 + sin 2 x dx Đặt sin x = t ⇒ cos xdx = dt x = 0 ⇒ t = 0, x = π 2 ⇒ t = 1 Do đó I = I = 1  0 dt 1 + t 2 = arctan t| 1 0 = π 4 Tích phân xác định 7 6.2 Phương pháp tích phân theo từng phần b  a u(x)v ′ (x)dx = [u(x)v(x)] | b a − b  a v(x)u ′ (x)dx Chứng minh. Ta có b  a u(x)v ′ (x)dx =  u(x)v ′ (x)dx| b a =  u(x)v(x) −  v(x)u ′ (x)dx  | b a = (u(x)v(x))| b a −   v(x)u ′ (x)dx  | b a = (u(x)v(x))| b a − b  a v(x)u ′ (x)dx Ví dụ 5. Tính tích phân I = 1  0 (x 2 − 3x)e −x dx I =− 1  0 (x 2 − 3x)d(e −x =−e −x (x 2 − 3x)| 1 0 + 1  0 e −x d(x 2 − 3x) =− 1 e (−2) + 1  0 e −x (2x − 3)dx =− 1 e (−2) − 1  0 (2x − 3)de −x = 2 e − (2x − 3)e −x | 1 0 + 2 1  0 e −x dx = 1 e − 1 C. Bài tập luyện tập Bài 1. Tính các tích phân sau a) I = a  0 x 2 √ a 2 − x 2 dx b) I = 1 2  √ 3 2 dx x √ 1 − x 2 c) I = π 2  0 dx 2 + cos x d) I = π b  0 e ax sin bxdx e) I = 2π  0 sin(2012x + sin x)dx Tích phân xác định 8 Bài 2. Chứng minh rằng b  a f(x)dx = b  a f(a + b − x)dx Bài 3. Chứng minh rằng π  0 xf(sin x)dx = π 2 π  0 f(sin x)dx Củng cố Trong phần này sinh viên cần phải nắm vững định nghĩa tích phân xác định. Bản chất của nó là phép tính giới hạn của một dãy số được tạo ra theo một nguyên tắc nhất định từ hàm số f(x) xác định trên [a, b]. Nắm được điều kiện cần của hàm khả tích để sau này phân biệt với tích phân suy rộng. Bên cạnh đó phải biết vận dụng các tính chất của tích phân xác định bởi vì nhờ có tính chất này và các tích phân cơ bản mà ta có thể tính được các tích phân phức tạp hơn. Ngoài ra cần nắm vững hai phương pháp cơ bản để tính tích phân xác định: Phương pháp tích phân từng phần và phương pháp đổi biến số. . xác định 2 S n chính là diện tích của hình bậc thang. Diện tích hình bậc thang đó khác với diện tích hình thang cong càng ít nếu n càng lớn, và △x i càng. dựng các đường thẳng song song với trục Oy. Khi đó hình thang cong aABb được chia thành n hình thang cong nhỏ. Trong mỗi đoạn [x i−1 , x i ], i = 1, n ta lấy