Thông tin tài liệu
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 1
Email: caotua5lg3@gmail.com
Website: www.caotu28.blogspot.com
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2
(Lưu ý: Tài liệu này chưa được thẩm định nên vẫn còn có những phần chưa chính xác hoàn toàn)
Chương 1: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN
1.1 Tìm miền xác định của các hàm số:
a.
2 2 2
1
z
a x y
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định
2 2 2 2 2 2
0a x y x y a
KL: Vậy miền xác định của hàm số là:
2 2 2
( , ):D M x y x y a
b.
2
arcsin
x
z
y
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định
2
2
22
2
2
22
2
2
10
11
1
0
x x y
yx
yy
x
yx
x
y
x y y x
y
y
Với
0 ( ; ] ;x x x
còn Với
2
0x y x
(luôn đúng)
KL: Vậy miền xác định của hàm số là:
( , ): 0: ; ;D M x y x x x
c.
ln
x
z
y
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định
00
x
x y x y
y
KL: Vậy miền xác định của hàm số là:
( , ): 0D M x y x y
d.
u x y z
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định
0x y z
KL: Vậy miền xác định của hàm số là:
( , , ): 0D M x y z x y z
1.2 Đạo hàm riêng, vi phân toàn phần.
1.
( , ) .
x
f x y xy
y
Tính
''
(2,1) (2,1)
xy
ff
Hướng dẫn:
Ta có:
'
2
''
1
11
( , ) (2,1)
2
222
xx
x
xy
y
y
y
y
f x y f
x x x
xy xy y xy
y y y
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 2
Email: caotua5lg3@gmail.com
Website: www.caotu28.blogspot.com
'
2
2
''
2
( , ) (2,1) 0
222
yy
x
x
xy
x
y
xy x
y
f x y f
x x x
xy xy y xy
y y y
2.
22
.
xy
ze
Tính:
''
,
xy
zy
Hướng dẫn:
Ta có:
2 2 2 2 2 2
'
'
' 2 2
. 2 .
x y x y x y
x
z e x y e xe
Chú ý CT: (e
u
)’ = u’.e
u
2 2 2 2 2 2
'
'
' 2 2
. 2 .
x y x y x y
y
z e x y e ye
3.
( , ) ( 1)arcsin .
x
f x y x x
y
Tính:
'
(1,1)
x
f
Hướng dẫn:
Ta có:
''
'
1
( 1)arcsin 1 arcsin arcsin . 1 1 arcsin
x
x x x x x
f x x x
y y y y
yx
( Như chúng ta đã biết
22
dx
ax
là
arcsin
x
C
a
. Khi đó ta coi x ở CT trên chính là
x
,a
ở CT trên chính là
y
. Do đó
'
1
arcsin
x
y
yx
)
Vậy
'
2
(1,1) 1
22
x
f
4.
33
3
( , ) .f x y x y
Tính:
''
(0,0), (0,0)
xy
ff
Hướng dẫn:
Ta có:
'
1 2 2
'
'
' 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 '
3
3 3 3
1
( , ) . . . 0,0 0
3
xx
f x y x y x y x y x y x x y f
'
1 2 2
'
'
' 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 '
3
3 3 3
1
( , ) . . . 0,0 0
3
yy
f x y x y x y x y x y y x y f
5. Cho
lnz y x
.Tìm
'' '' ''
,,
xx xy yy
z z z
.
Hướng dẫn:
Ta có:
''
''
( ln ) '.ln (ln )'.
( ln ) '.ln (ln )'. ln
x
y
y
z y x y x x y
x
z y x y x x y x
Vậy:
'
'' '
2
'
'' '
'
'' '
1
0
xx x
x
xy x
y
yy y
y
y
zz
x
zz
x
zz
6. Cho
lntan .
y
z
x
Tìm:
''
xy
z
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 3
Email: caotua5lg3@gmail.com
Website: www.caotu28.blogspot.com
Hướng dẫn:
Ta có:
''
'
2
'
22
2
tan
2
ln tan
22
tan cos .tan sin .sin
x
yy
y
yy
xx
x
z
y y y y y
x
x
x x x x x
Vậy:
''
'
'
2 2 2 2
'
'' '
2 4 2 4 2
2
2 2 2 2
2 .sin .sin .2 2 .sin sin . .2
2
2 2 2
.sin .sin .sin
2 4 2
2.sin .cos .
2
.sin
xy x
y
y y y y
y x x y x x y
y
x x x x
zz
y y y
x x x
x x x
yy
y
x x x
y
x
x
7. Cho
1
ln
2
u
z
v
với
22
tan , cot .u x v x
.Tìm
'
x
z
.
Hướng dẫn:
Với
22
tan , cot .u x v x
thì
2
24
2
4
2
24
2
sin
1 tan 1 1 sin 1
cos
ln ln ln lntan
cos
2 cot 2 2 cos 2
sin
x
xx
x
zx
x
xx
x
.
Khi đó:
3
'
' 4 3 3
25
1 4sin
tan 4. tan '.tan 4. .tan .
cos cos
x
x
z x x x x
xx
8.
a)
22
lnz x x y
Hướng dẫn:
Ta có:
22
'
22
2 2 2 2
22
'
22
22
2 2 2 2
1
1
ln ,
ln
x
y
x
xy
z z x x y
x x y x y
x
xy
x
z z x x y
x x y
x x y x y
Vậy
22
2 2 2 2
dx xdy
dz
xy
x x y x y
.
b)
cos sin
x
z e y x y
Hướng dẫn:
Ta có:
'
'
cos sin cos sin sin
xx
x
z e y x y e y x y y
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 4
Email: caotua5lg3@gmail.com
Website: www.caotu28.blogspot.com
'
'
cos sin cos sin
xx
y
z e y x y e x y y
Vậy:
cos sin sin cos sin
x
dz e y x y y dx x y y dy
.
c)
2
.
yz
ux
Hướng dẫn:
Ta có:
2 2 2 2
22
''
' 2 1 '
'
'2
, .2 .ln
. .ln
y z y z y z y z
xy
y z y z
z
u x y zx u x x yz x
u x x y x
Vậy
2 2 2
' ' ' 2 1 2
. 2 .ln . .ln
y z y z y z
x y z
du u dx u dy u dz y zx d x x yz xdy x y xdz
.
9.
10. Cho
2
2
xy
z
xy
với y = 3x + 1. Tìm
dz
dx
.
Hướng dẫn:
Từ đề bài ta có:
2
2
31
31
xx
z
xx
Ta có:
''
( ; ) ( ; )
xy
dz z x y dx z x y dy
Khi đó:
'
( ; )
x
dz
z x y
dx
. Vậy:
'
'
22
'
2
22
2
3 1 6 2 6 20 9
( ; ) 1
3 1 3 1
31
x
x x x x x dz
z x y
x x x x dx
xx
11. Cho
22
ln .z y x y
Tính:
2
(0,1)dz
.
Hướng dẫn:
Ta có:
2 '' 2 '' '' 2
(0,1) (0,1) (0,1) (0,1)
xx xy yy
dz z dx z dxdy z dy
'
22
22
'
' 2 2
22
2 2 2 2
2
ln
x
xy
xy
x
z y x y
y x y
x y y x y
'
22
2 2 2 2
'
' 2 2
2 2 2 2 2 2
11
2
1
ln
y
xy
y
x y x y
z y x y
y x y y x y x y
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 5
Email: caotua5lg3@gmail.com
Website: www.caotu28.blogspot.com
'
'
2 2 2 2 2 2 2 2
'
'' '
2
2 2 2 2
2 2 2 2
22
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
22
22
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
.
.
.
. . .
xx x
x
x y y x y x x y y x y
x
zz
x y y x y
x y y x y
x y x y
x y y x y x
x y y x y x y x y x x y
xy
x y y x y x y x y y x y
'
'
2 2 2 2
'
'' '
2
2 2 2 2
2 2 2 2
22
22
22
2 2 2 2 2 2
22
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
.
.
.
. . .
xy x
y
x x y y x y
x
zz
x y y x y
x y y x y
y y x y
x y x y
xy
xy y x y xy x y x x y
x y y x y x y x y y x y
'
22
'
'' '
2 2 2 2
22
'
12
yy y
y
xy
y
zz
x y x y
xy
''
''
''
(0,1) 1
(0,1) 0
(0,1) 1
xx
xy
yy
z
z
z
Vậy:
2 2 2
(0,1)dz dx dy
12. Cho
(2 ).ln
x
z x y
y
. Tính
2
(1,1)dz
.
Hướng dẫn:
Ta có:
2 '' 2 '' '' 2
(1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
xx xy yy
dz z dx z dxdy z dy
''
'
2
(2 )ln 2.ln ln (2 ) 2.ln
x
x x x x x y
z x y x y
y y y y x
''
'
2
(2 )ln ln ln (2 ) ln
y
x x x x x y
z x y x y
y y y y y
'
'
'' '
2
22
2.ln
xx x
x
x x y y
zz
y x x x
'
'
'' '
2 2 1
2.ln
xy x
y
x x y
zz
y x y x
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 6
Email: caotua5lg3@gmail.com
Website: www.caotu28.blogspot.com
'
'
'' '
2
2 1 2
ln
yy y
y
x x y x
zz
y y y y
''
''
''
(1,1) 1
(1,1) 1
(1,1) 1
xx
xy
yy
z
z
z
Vậy:
2 2 2
(1,1)dz dx dxdy dy
13.
14. Cho
22
lnz y x y
.Tính
2
2
2,1 ; 2,1 .
x
dz
x
Hướng dẫn:
Ta có:
''
' 2 2 2 2
22
2
''
' 2 2 2 2 2 2 2 2
22
2
ln ln .
2
ln ln ln . ln
x
y
xy
z y x y x y y
xy
y
z y x y x y x y y x y
xy
'
23
''
2 2 2
22
2
2
xx
xy x y y
z
xy
xy
Vậy:
''
2,1 2,1 2,1 2 2 2
xy
dz z dx z dy dx dy
.
Tính:
2
2
2,1 .
x
x
2
' 2 2
2
22
2 ''
2 3 2 3
2
22
2
2.
x
xx
xy
z x y
x
xy
xz
x y y xy x y y
xy
Vậy:
2
2
2,1 6
x
x
.
15. Chứng tỏ rằng hàm số
22
lnz y x y
thỏa mãn phương trình:
2
11z z z
x x y y y
Hướng dẫn:
Ta có:
''
' 2 2 2 2
22
2
''
' 2 2 2 2 2 2 2 2
22
2
ln ln .
2
ln ln ln . ln
x
y
z xy
z y x y x y y
x x y
zy
z y x y x y x y y x y
y x y
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 7
Email: caotua5lg3@gmail.com
Website: www.caotu28.blogspot.com
Như vậy ta có:
2
22
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 1 2
. ln
ln ln ln .
22
z z xy y
VT x y
x x y y x x y y x y
x y x y x y y
y y z
VP
x y y x y y y y
đpcm.
16.
17.
18.
19. Có thể tham khảo tại “Bài tập Toán cao cấp – Tập ba” của Nguyễn Đình Trí.
20.
21.
22.
23. Xem lại cách giải của phần trên (Phần 1.2, ý 11)
24. Cho
( , ) cos sin .f x y x y
Tìm
2
0,0 ; 0,0 .df df
Hướng dẫn:
Ta có:
'
'
'
'
cos sin sin .sin
cos sin cos cos .
x
y
f x y x y
f x y x y
Nên:
'
'
0,0 0
0,0 1
x
y
f
f
Vậy
0,0df dy
.
Lại có:
2 '' 2 '' '' 2
0,0 0,0 2 0,0 (0,0)
xx xy yy
df f dx f dxdy f dy
''
''
'' ' '' '
'
'
'' '
sin .sin cos sin ; sin .sin sin cos
cos cos cos sin .
xx x xy x
xy
yy y
y
f f x y x y f f x y x y
f f x y x y
Suy ra :
'' '' ''
0,0 0; 0,0 0; 0,0 0
xx xy yy
f f f
.
Vậy:
2
0,0 0df
25. Cho
3 2 3
( , ) .f x y x xy y
Tính
2
( , ); ( , ).df x y df x y
Hướng dẫn:
Ta có:
''
( , ) .
xy
df x y f dx f dy
Tính:
''
' 3 2 3 2 2 ' 3 2 3 2
' ' 2 2 2
3 ; 2 3
( , ) 3 2 3
xy
xy
f x xy y x y f x xy y xy y
df x y f dx f dy x y dx xy y dy
2 '' 2 '' '' 2
, , 2 , ( , )
xx xy yy
df x y f x y dx f x y dxdy f x y dy
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 8
Email: caotua5lg3@gmail.com
Website: www.caotu28.blogspot.com
' ' ' '
'' ' 2 2 '' ' 2 2
''
'' ' 2
3 6 ; 3 2
2 3 2 6
xx x xy x
xy
yy y
y
f f x y x f f x y y
f f xy y x y
Vậy:
2 2 2
, 6 2 6 2df x y x dx y dxdy y x dy
.
1.3 Đạo hàm, vi phân của hàm hợp.
1. Cho z là hàm số của x và y xác định bởi
2 2 3 3
,,x u v y u v z u v
. Tính:
''
,
xy
zz
Hướng dẫn:
Ta có:
3
33
3.z u v u v uv u v
Vậy:
2
2
3 2 3 3 3
2
2
3 3 3 1 3
2 2 2 2 2
x u v
x u v
y x uv
y u v uv
z x x y x x x xy x xy
Nên ta có:
'
'3
'
'3
1 3 3 3
2 2 2 2
1 3 3
2 2 2
x
y
z x xy x y
z x xy x
2. Cho hàm hợp
1z xy y
(1) với
22
,.x u v y u v
Tính
2
dz
.
Hướng dẫn:
Ta có:
2 '' 2 '' '' 2
xx xy yy
dz z dx z dxdy z dy
.
2
(1) y xy
Nên:
''
' 2 2 ' 2
; 1 2
xy
z y xy y z y xy xy
' ' ' '
'' ' 2 '' ' 2
'
'
'' ' 2 2
0; 2 2 ;
1 2 2 2 .
xx x xy x
xy
yy y
y
z z y z z y y u v
z z xy x u v
Vậy
2 2 2 2
22dz u v dxdy u v dy
.
3.
4.
1.4. Đạo hàm, vi phân của hàm ẩn (Không có trong chương trình học)
1.5 Tìm cực trị của các hàm số:
1.
33
3z x y xy
.
Hướng dẫn:
MXĐ:
2
D
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 9
Email: caotua5lg3@gmail.com
Website: www.caotu28.blogspot.com
Ta có:
'
23
x
z x y
,
'2
33
y
z y x
'
'' '
'
'' '
''
'' ' 2
2 3 ' 2
2 3 ' 3
3 3 6
xx x
x
xy x
y
yy y
y
z z x y
z z x y
z z y x y
Ta xét hệ phương trình:
'
2
22
'
2
0
2 3 0 2 3 0
2 3 0
3 3 0
0
x
y
z
x y x y
yy
y x y x
z
yx
2
0
0
9
3
4
2
3
2
xy
y
x
y
y
yx
Vậy hàm số đã cho có 2 điểm dừng:
12
93
0;0 , ; .
42
MM
Xét điểm
1
0;0M
.
'' '' ''
1 1 1
2, 3, 0.
xx xy yy
A z M B z M C z M
Ta thấy: AC – B
2
= – 9 < 0.
Vậy hàm số đã cho không đạt cực trị tại
1
0;0M
.
Xét điểm
2
93
;.
42
M
'' '' ''
2 2 2
2, 3, 9.
xx xy yy
A z M B z M C z M
Ta thấy: AC – B
2
= 9 > 0 và A = 2 > 0.
Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
2
93
;.
42
M
2.
22
( , ) 1f x y x y
.
Hướng dẫn:
MXĐ:
22
, : 0D M x y x y
Ta có:
''
' 2 2 2 2
22
1
x
x
z x y x y
xy
''
' 2 2 2 2
22
1
y
y
z x y x y
xy
'
2
'
'' '
2 2 2 2 2 2
xx x
x
xy
zz
x y x y x y
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2
Page 10
Email: caotua5lg3@gmail.com
Website: www.caotu28.blogspot.com
'
22
'
'' '
2 2 2 2 2 2
'
2
'
'' '
2 2 2 2 2 2
xy x
y
yy y
y
xy x y
x
zz
x y x y x y
yx
zz
x y x y x y
Ta xét hệ phương trình:
'
2 2 2 2
2 2 2
'
22
22
0
0
0
0
0
0
x
y
x
z
x y x x y
xy
x
yy
y x y
z
y x y
xy
.
Vậy hàm số đã cho có điểm dừng
1
0;0M
.
'' '' ''
1 1 1
( ) 0, ( ) 0, ( ) 0
xx xy yy
A z M B z M C z M
Ta thấy AC – B
2
= =.
Vậy không có KL gì cho hàm số.
3.
10 20
( , ) , 0, 0f x y xy x y
xy
Hướng dẫn:
MXĐ:
, : 0, 0D M x y x y
Ta có:
''
22
50 20
,
xy
z y z x
xy
.
''
''
'' ' '' '
2 3 2
'
'
'' '
23
50 100 50
;1
20 40
xx x xy x
xy
yy x
y
z z y z z y
x x x
z z x
yy
Ta xét hệ phương trình:
4
3
'
22
'
2
22
2
50 50
50
0
8
0
5
400
20
20 20
20
2
0
0
x
y
y
yy
y
y
z
x
xx
x
y
z
xx
x
y
yy
y
.
Hàm số đã cho có điểm dừng M(5,2).
'' '' ''
4 25
( ) ; ( ) 1; ( )
52
xx xy yy
A z M B z M C z M
.
Ta thấy AC – B
2
= 9 > 0 và
4
0
5
A
.
Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại M(5,2).
4.
( , ) .
y
f x y x y x e
.
[...]... 0 2e e y 0 y 2 0 e zy 0 ey y 2 ey 2 e Vậy hàm số đã cho có điểm dừng M(0, –2) '' '' '' A zxx (M ) 0; B zxy (M ) 2; C z yy (M ) 1 2e 1 e Ta thấy AC B 2 0& A 2 0 nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại M(0, –2) 16. 17. 18. 19. 20. - Có thể tham khảo tại Bài tập Toán cao cấp – Tập ba” của Nguyễn Đình Trí Email: caotua5lg3@gmail.com Page 19 Website:... 1 ' x 2 2 Vậy hàm số đã cho có 2 điểm dừng: M1 1,0 ; M 2 0,1 Xét tại M1 1,0 '' '' '' A f xx (M1 ) 0; B f xy (M1 ) 3; C f yy (M1 ) 0 Ta thấy AC B2 9 0 nên hàm số đã cho không đạt cực trị tại M1 1,0 Xét tại M 2 0,1 '' '' '' A f xx (M 2 ) 6; B f xy (M 2 ) 3; C f yy (M 2 ) 6 Ta thấy AC B2 27 0& A 6 0 nên hàm số đã cho đạt cực... www.caotu28.blogspot.com Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Vậy hàm số đã cho có một điểm dừng M(4,4) 1 1 '' '' A zxx (M ) 2; B zxy (M ) ; C z ''yy (M ) 4 8 3 Ta thấy AC B2 0& A 2 0 nên hàm số đã cho đạt cực đại tại M(4,4) 16 15 z x2 y e y Hướng dẫn: MXĐ: D M x, y : e y 0 Ta có: e x y ' ' zx x2 y e y x2... trình: Vậy hàm số đã cho có một điểm dừng M 6, 4 '' '' '' A f xx (M ) 2; B f xy (M ) 2; C f yy (M ) 2 Ta thấy: AC B2 0 nên chưa thể kết luận gì cho bài toán 3 8 f x, y 2 y x2 y 5 y 2 x2 Email: caotua5lg3@gmail.com Page 13 Website: www.caotu28.blogspot.com Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Hướng dẫn: MXĐ: D 2 Ta có: f x' ... trình: ' y 4 zy 0 x 8 0 3 x 8 0 Vậy hàm số đã cho có một điểm dừng: M 2, 4 '' '' A zxx (M ) 24; B zxy (M ) 12; C z ''yy (M ) 0 Email: caotua5lg3@gmail.com Page 14 Website: www.caotu28.blogspot.com Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Ta thấy: AC B 12 0 nên hàm số không đạt cực trị tại M 2, 4 2 10 z x3 y3 3x2... 1 0 nên hàm số đạt cực trị tại M1 (0, 0) Xét tại điểm M 2 , 2 2 1 1 3 1 3 '' '' A zxx (M 2 ) ; B zxy (M 2 ) ; C z ''yy (M 2 ) 2 2 2 3 1 1 Ta thấy AC B 2 2 0& A 0 nên hàm số đạt cực đại tại M 2 , 2 2 2 Xét tại điểm M3 1,0 '' '' A zxx (M3 ) 0; B zxy (M3 ) 2; C z ''yy (M3 ) 0 Ta thấy AC B2 4 0 nên hàm số đạt cực... www.caotu28.blogspot.com Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 x y x y 1 y 0 y 1 x y 1 Vậy hàm số đã cho có 2 điểm dừng: M1 1,1 ; M 2 1, 1 Xét tại M1 1,1 '' '' A zxx (M1 ) 10; B zxy (M1 ) 2; C z ''yy (M1 ) 10 Ta thấy AC B2 98 0& A 10 0 nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại M1 1,1 Xét tại M 2 1, 1 '' ''... 0 Ta xét hệ phương trình: Vậy hàm số đã cho có điểm dừng tại M (1,0) '' '' '' A f xx (M ) 0; B f xy (M ) 1; C f yy (M ) 1 Ta thấy: AC – B2 = – 1 < 0 Vậy hàm số đã cho đạt cực trị tại M (1,0) 5 f x, y xy 1 x2 y2 x 0, y 0, x 2 y 2 1 Hướng dẫn: MXĐ: D M x, y : x 0, y 0, x2 y2 1 ' Ta có: zx y 3x2 y y3 ; z 'y x x3 3xy... 5 Vậy hàm số đã cho có 4 điểm dừng M1 0,0 ; M 2 0, ; M3 2, 1 ; M 4 2, 1 3 Xét tại điểm M1 0,0 '' '' '' A f xx (M1 ) 2; B f xy (M1 ) 0; C f yy (M1 ) 10 Ta thấy AC B2 20 0& A 2 0 nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại M1 0,0 Còn 3 điểm còn lại, ta làm tương tự và đi đến kết luận 9 z x y 12x2 8 y 3 Hướng dẫn: MXĐ: D 2 ' Ta có: zx... 1 2 y 0 Vậy hàm số đã cho có 9 điểm dừng: 1 1 1 1 1 1 M1 0,0 ; M 2 0, ; M 3 0, ; M 4 1,0 ; M 5 1, ; M 6 1, ; M 7 1, ; M8 1,0 ; M 9 1, 2 2 2 2 2 2 Xét tại điểm M1 0,0 '' '' '' A f xx (M1 ) 4; B f xy (M1 ) 0; C f yy (M1 ) 2 Ta thấy: AC B2 8 0& A 4 0 nên hàm số đã cho đạt cực đại tại .
22
tan , cot .u x v x
.Tìm
'
x
z
.
Hướng dẫn:
Với
22
tan , cot .u x v x
thì
2
24
2
4
2
24
2
sin
1 tan 1 1 sin 1
cos
ln ln ln lntan
cos
2 cot. caotua5lg3@gmail.com
Website: www.caotu28.blogspot.com
Hướng dẫn:
Ta có:
''
'
2
'
22
2
tan
2
ln tan
22
tan cos .tan sin .sin
x
yy
y
yy
xx
x
z
y
Ngày đăng: 23/03/2014, 19:44
Xem thêm: Bài tập có đáp án chi tiết chương hàm số nhiều biến, Bài tập có đáp án chi tiết chương hàm số nhiều biến