S GD&T THANH HểA TRNG THPT BA èNH THI TH I HC LN 1 NM 2013 Mụn: TON; Khi A, B Thi gian lm bi: 180 phỳt Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 im) Câu I (2,0 im) Cho hm s 2 1 1 x y x + = cú th l (C) 1. Kh o sỏt s bi n thiờn v v th (C) c a hm s . 2. Tỡm cỏc giỏ tr m ng th ng 3y x m= + ct (C) ti A v B sao cho trng tõm ca tam giỏc OAB thuc ng thng 2 2 0x y = (O l gc ta ). Cõu II (2,0 điểm) 1. Gii bt phửụng trỡnh 3 2 (3 4 4) 1 0x x x x+ + 2. Gi i phửụng trỡnh cos cos3 1 2 sin 2 4 x x x + = + + Câu III (1,0 điểm) Tớnh tớch phõn 2 2 0 1 3sin 2 2cos x xdx + Câu IV (1,0 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht, , 2 2 AB a AD a= = . Hỡnh chiu vuụng gúc ca im S trờn mt phng (ABCD) trựng vi trng tõm tam giỏc BCD. ng thng SA to vi mt phng (ABCD) mt gúc 45 0 . Tớnh th tớch ca khi chúp S.ABCD v khong cỏch gia hai ng thng AC v SD theo a. Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z l cỏc s thc dng. Chng minh bt ng thc 222 2 2 2 2 2 2 1 ( )( )( ) x xy y yz z zx y zx z z xy x x yz y + + + + + ++ ++ ++ PHN RIấNG (3,0 im) Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn A hoc phn B) A. Theo chng trỡnh chun Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mt phng Oxy, cho hai ng thng d 1 : 3 5 0x y+ + = , d 2 : 3 1 0x y+ + = v im (1; 2)I . Vit phng trỡnh ng thng i qua I v ct d 1 , d 2 ln lt ti A v B sao cho 2 2AB = . 2. Trong khụng gian Oxyz, cho hai im A(-1; -1 ;2), B(-2; -2; 1) v mt phng (P) cú phng trỡnh 3 2 0x y z+ + = . Vit phng trỡnh mt phng (Q) l mt phng trung trc ca on AB. Gi l giao tuyn ca (P) v (Q). Tỡm im M thuc sao cho on thng OM nh nht. Cõu VII.a (1,0 im) Tỡm s phc z tha món (1 3 ) i z l s thc v 2 5 1 z i + = . B. Theo chơng trình nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mt phng Oxy, cho hai ng thng d 1 : 3 5 0 x y+ + = , d 2 : 3 5 0 x y + = v im (1; 2) I . Gi A l giao im ca d 1 v d 2 . Vit phng trỡnh ng thng i qua I v ct d 1 , d 2 ln lt ti B v C sao cho 2 2 1 1 AB AC + t giỏ tr nh nht. 2. Trong khụng gian Oxyz, cho A(1;1;0), B(0;1;1) vaứ C(2;2;1) v mt phng (P): x + 3y z + 2 = 0 . Tỡm ta im M thuc mt phng (P) sao cho MA 2 + MB 2 + MC 2 t giỏ tr nh nht. Cõu VII.b (1,0 im) Gii h phng trỡnh ( )() ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2log 2 2 log 1 6 log 5 log 4 1 x y x y xy y x x y x + + + + + = + + = Hết www.Vuihoc24h.vn - Kờnh hc tp Online Vuihoc24h.vn ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Câu Ý Nội dung Điểm Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 1 1 x y x + = − 1,00 TX Đ : { } \ 1ℝ . 2 3 ' 0, 1 ( 1) y x x − = < ∀ ≠ − 0,25 Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ;1)và(1; )−∞ +∞ 1 1 21 21 lim ; lim 1 1 x x x x x x + − → → + + =+∞ =−∞ ⇒ − − TCĐ : 1 x = 2 1 lim 2 1 x x x →±∞ + = ⇒ − TCN : 2y = 0,25 Lập BBT x −∞ 1 +∞ y’ - - y 2 −∞ +∞ 2 0,25 1 Đồ thị 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -4 -2 2 4 6 1 0,25 trọng tâm của tam giác OAB thuộc đường thẳng 2 2 0x y− − = (d) 1,00 Pt hoành độ giao điểm: 2 1 3 1 x x m x + = − + − . Với đk 1 x ≠ 2 PT 2 1( 1)(3 ) 3 (1 ) 10(1)x x xm x mxm⇔ += − − + ⇔ − + + += 0,25 D cắt (C) tại A và B ⇔ Pt (1) có 2 nghiệm khác 1 2 11 (1 ) 12( 1) 0 ( 1)( 11) 0 1 3 (1 ) 1 0 m m m m m m m m >  ∆ = + − + >  ⇔ ⇔ + − > ⇔   < − − + + + ≠   0,25 I 2 G ọ i x 1 , x 2 là 2 nghi ệ m c ủ a (1). Khi đ ó 1 1 2 2 ( ; 3 ), ( ; 3 )A x x m B x x m− + − + G ọ i I là trung đ i ể m c ủ a AB 1 2 1 1 , 3 2 6 2 I I I x x m m x y x m + + − ⇒ = = = − + = 0,25 www.Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online Vuihoc24h.vn Gọi G là trọng tâm tam giác OAB 2 1 1 ; 3 9 3 m m OG OI G + −   ⇒ = ⇒       1 1 11 2. 2 0 9 3 5 m m G d m + −   ∈ ⇔ − − = ⇔ = −     (TM). V ậ y 11 5 m = − 0,25 Giả i b ấ t phöông trình 3 2 (3 4 4) 1 0x x x x+ − − + ≤ 1,00 Đ i ề u ki ệ n : 1x ≥ − . Đặ t 2 0 1 1 y y x y x ≥  = + ⇔  = +  Bpt tr ở thành 3 2 2 (3 4 ) 0 x x y y+ − ≤ 0,25 TH 1. 0 1y x = ⇔ = − . Th ỏ a mãn BPT TH 2. 0 1y x > ⇔ > − . Chia hai vế cho 3 y ta được 3 2 3 4 0 x x y y     + − ≤         . Đặ t x t y = và gi ả i BPT ta đượ c 1t ≤ 0,25 2 1 0 0 1 1 1 1 0 x x x t x x y x x − ≤ <   ≥ ≤ ⇒ ≤ ⇔ ≤ + ⇔     − − ≤   0,25 1 1 0 0 1 5 1 2 15 15 2 2 x x x x − ≤ <   ≥ +   ⇔ − ≤ ≤    − +  ≤ ≤    . Kết hợp 1x > − ta được 1 5 1 2 x + − < ≤ . Vậy tập nghiệm của BPT là S = 1 5 1; 2   + −     0,25 Giải phöông trình cos cos3 1 2 sin 2 4 x x x π   + = + +     1,00 ⇔ = + +2cos2xcosx 1 sin2x cos2x 0,25 ⇔ − = +cos2x(2cosx 1) 1 2sinx cosx ⇔ − − = + 2 2 2 (cos x sin x)(2cosx 1) (cosx sin x)  + = ⇔  − − = +  cosx sinx 0 (1) (cosx sinx)(2cosx 1) cosx sinx (2) 0,25   π π π ⇔ + = ⇔ + = π ⇔ = − + π     (1) 2 sin x 0 x k x k 4 4 4 0,25 II 2  π  = = + π   ⇔ − − = ⇔ ⇔    π  + = π π    + = ± + π      cosx 0 x k 2 (2) 2cosx(cosx sinx 1) 0 2 cos x 1 x k2 4 4 4 Vậy pt có nghiệm là π = − + π x k 4 , π = + π x k 2 , = π x k2 0,25 III Tính tích phân I = 2 2 0 1 3sin 2 2cos x xdx π − + ∫ 1,00 www.Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online Vuihoc24h.vn 2 2 2 2 2 0 0 0 1 3sin 2 2cos (sin 3 cos ) sin 3cos I x xdx x x dx x x dx π π π = − + = − = − ∫ ∫ ∫ 0,25 sin 3cos 0 tan 3 3 x x x x k π π − = ⇔ = ⇔ = + Do 0; 2 x π   ∈     nên 3 x π = 0,25 3 2 0 3 sin 3cos sin 3cos Ixxdxxxdx π π π = − + − ∫ ∫ 3 2 0 3 (sin 3cos ) (sin 3 cos ) x x dx x x dx π π π = − + − ∫ ∫ ( ) ( ) 3 2 0 3 cos 3sin cos 3sin xx xx π π π =−− +−− 0,25 1 3 1 3 1 3 3 3 2 2 2 2 = − − + + − + + = − 0,25 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a. 1,00 Gọi H là trọng tâm tam giác BCD. Theo GT ( )SH ABCD⊥ Gọi 2 1 2 3 3 O AC BD CH CO AC a AH AC HC a= ∩ ⇒ = = = ⇒ = − = SA tạo với đáy góc 45 0 suy ra 0 45 2SAH SH AH a= ⇒ = = 0,25 Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD thì 3 1 1 4 2 . .2 2 .2 3 3 3 ABCD V S SH a a a a= = = 0,25 Gọi M là trung điểm của SB. Mặt phẳng (ACM) chứa AC và // SD Do đó (; ) (;( )) (;( ))d SD AC d SD ACM d D ACM= = Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó 2 4 2 (0;0;0), ( ;0;0), (0;2 2 ;0), ; ;2 , ( ;2 2 ;0) 3 3 a a A B a D a S a C a a         0,25 IV 5 2 2 ; ; 6 3 a a M a         . ( ;2 2 ;0)AC a a=  5 2 2 ; ; 6 3 a a AM a   = ⇒        2 2 2 (2 2 ; ; 2 )AC AM a a a∧ = − −   M ặ t ph ẳ ng (ACM) đ i qua đ i ể m A và có vtpt (2 2; 1; 2)n = − −  nên có ph ươ ng trình là 0,25 M H O B D C A S www.Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online Vuihoc24h.vn 2 2 2 2 2 2 2 0 ( ;( )) 8 1 2 11 a a x y z d D ACM − − − = ⇒ = = + + Chứng minh 222 2 2 2 2 2 2 1 ( )( )( ) x xy y yz z zx y zx z z xy x x yz y + + + + + ≥ ++ ++ ++ (1) 1,00 Ta có 2 2 ( ) ( . . . ) ( )( )y zx z y y x z z z y x z y z z+ + = + + ≤ + + + + 2 2 2 2 1122 ()(2) ()(2) () () x xy x xy xyzy z xyzy z yzxz yzxz + + ⇒ ≥ ⇔ ≥ ++ + ++ + ++ ++ 0,25 2 2 12 1222 ()2 () 2 x xy x xy xz x x x xyz yz xyz yz     + + + = + − = −     ++ + ++ +     2 2 x x y z x y z = − + + + . Tương tự, cộng lại ta được VT (1) 2 2 2 1 2 2 2 xyz y z z x x y ≥ + + − + + + 0,25 2 2 2 2 2( ) 2 1 1 2 2 2 3( ) x y z x y z xy xz yz yx zx zy xy yz zx   + + = + + − ≥ −   + + + + +   0,25 V Ch ứ ng minh đượ c 2 ( ) 3( ) x y z xy yz zx + + ≥ + + . Suy ra VT (1) 2 1 1≥ − = Đẳ ng th ứ c x ả y ra x y z = = 0,25 Vi ế t pt đ t đ i qua I và c ắ t d 1 , d 2 l ầ n l ượ t t ạ i A và B sao cho 2 2AB = 1,00 1 2 (;3 5); (;3 1)A d A a a B d B b b∈ ⇒ − − ∈ ⇒ − − ( 1; 3 3) 0; ( 1; 3 1)IA a a IB b b = −− − ≠ = −− +    I, A, B th ẳ ng hàng 1 ( 1) 3 1 ( 3 3) b k a IB kIA b k a − = −  ⇒ = ⇔  −+=−−    0,25 N ế u 1 1 4a b AB= ⇒ = ⇒ = (không TM) N ế u 1 3 1 ( 3 3) 3 2 1 b b a a b a − ⇒ − + = − − ⇔ = − − 0,25 [ ] 2 2 2 2 ()3()422 (34)8,AB ba ab t t tba= − + − + = ⇔ + + = = − 2 2 5 12 4 0 2 5 t t t t = −   ⇔ + + = ⇔  = −  0,25 1 2 2 2, 4 :5 3 0t b a b a x y= − ⇒ − = − ⇒ = = ⇒ ∆ + − = 2 2 6 8 , :13 11 0 5 5 5 5 t b a b a x y − − = ⇒ − = ⇒ = = ⇒ ∆ + − = 0,25 Tìm đ i ể m M thu ộ c ∆ sao cho đ o ạ n th ẳ ng OM nh ỏ nh ấ t 1,00 VI.a 2 G ọ i I là trung đ i ể m c ủ a AB 3 3 3 ; ; . ( 1; 1; 1) 2 2 2 I AB − −   ⇒ =−−−      Pt (Q) là 3 0 2 x y z+ + + = 0,25 www.Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online Vuihoc24h.vn Đường thẳng ∆ đi qua điểm 7 1 ;0; 4 4 I   −     và có vtcp (2;1;1)u = − −  Pt tham s ố c ủ a ∆ là 7 2 4 1 4 x t y t z t  = − +   = −    = −  0,25 2 7 1 25 2 ; ; . 12 15 4 4 4 M M t t t OM t t   ∈∆ ⇒ −+−− = −+     0,25 OM nh ỏ nh ấ t 5 19 5 3 ; ; 8 6 8 8 t M   = ⇒ − −     0,25 Tìm s ố ph ứ c z th ỏ a mãn (1 3 )i z− là s ố thực và 2 5 1 z i − + = . 1,00 Giả sử z x yi = + , khi đó (1 3) (1 3)( ) 3 ( 3 ) i z i a bi a b b a i− = − + = + + − 0,25 (1 3 )i z− là số thực 3 0 3b a b a⇔ − = ⇔ = 0,25 2 2 2 5 1 2 (5 3) 1 ( 2) (5 3) 1z i a a i a a −+ =⇔ −+ − =⇔ − + − = 0,25 VII.a 2 2 2 6 10 34 29 1 5 17 14 0 7 21 5 5 a b a a a a a b = ⇒ =   ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔  = ⇒ =  Vậy 7 21 2 6 , 5 5 z i z i = + = + 0,25 Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt d 1 , d 2 lần lượt tại B và C sao cho 2 2 1 1 AB AC + đạt giá trị nhỏ nhất 1,00 1 2 1 2 , ( 2;1)d d d d A A⊥ ∩ = ⇒ − 0,25 Gọi H là hình chiếu của A trên BC. ∆ ABC vuông tại A nên 2 2 2 1 1 1 AB AC AH + = 0,25 2 2 1 1 AB AC + nh ỏ nh ấ t 2 1 AH ⇔ nh ỏ nh ấ t AH⇔ l ớ n nh ấ t H I ⇔ ≡ 0,25 1 Khi đ ó ∆ qua I và có vtpt ( 1; 1)n AI= = − −   . Pt ∆ là 1 0 x y+ + = 0,25 Tìm M thu ộ c (P) sao cho MA 2 + MB 2 + MC 2 đạ t giá tr ị nh ỏ nh ấ t 1,00 G ọ i G là tr ọ ng tâm tam giác ABC. Ch ứ ng minh đượ c MA 2 + MB 2 + MC 2 = 3MG 2 + GA 2 + GB 2 + GC 2 0,25 MA 2 + MB 2 + MC 2 nh ỏ nh ấ t MG nh ỏ nh ấ t M ⇔ là hình chi ế u c ủ a G trên (P). 0,25 VI.b 2 Tìm đượ c t ọ a độ 4 2 1; ; 3 3 G       0,25 www.Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online Vuihoc24h.vn Tìm được 22 61 17 ; ; 3 3 3 M   −     0,25 Gi ả i h ệ ph ươ ng trình ( )() ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2log 2 2 log 1 6(1) log 5 log 4 1 (2) x y x y xy y x x y x − + − +  − + − + + − =   + − + =   1,00 Đ k Gi ả i h ệ ph ươ ng trình 1 1 0 0 1 1 2 0 2 1 x x y y ≠ − > ≠ <   ⇔   ≠ + > − < ≠ −   0,25 ( ) ( ) 1 2 (1) 2log (1 ) 2 2log 1 6 x y x y x − + ⇔ − + + − = ( ) ( ) 1 2 2 2log 2 2log 1 6 x y y x − + ⇔ + + + − = . 0,25 Đặt 1 log ( 2) x t y − = + ta được 2 2 2 2 6 2 4 2 0 1t t t t t ⇔ + + = ⇔ − + = ⇔ = 0,25 VII.b 2 1y x+ = − Thế vào (2) ta được ( ) ( ) 1 1 1 2 2 log 2 log 4 1 log 1 1 4 4 x x x x x x x x x x − − − + + + − + =⇔ =⇔ =− + + 2 2 6 (TM) 4 2 0 2 6 (KTM) x x x x  = − − − = ⇔  = +   Vậy 2 6, 1 6x y= − = − − 0,25 www.Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online Vuihoc24h.vn . ;0) 3 3 a a A B a D a S a C a a         0,25 IV 5 2 2 ; ; 6 3 a a M a         . ( ;2 2 ;0)AC a a=  5 2 2 ; ; 6 3 a a AM a   = ⇒ . hình chiếu c a A trên BC. ∆ ABC vuông tại A nên 2 2 2 1 1 1 AB AC AH + = 0,25 2 2 1 1 AB AC + nh ỏ nh ấ t 2 1 AH ⇔ nh ỏ nh ấ t AH⇔ l ớ n nh ấ t