Phương pháp hàm s tốn đ i s I – ƯNG D NG CÁC TÍNH CH T HÀM S VÀO GI I PHƯƠNG TRÌNH N u hàm s y = f ( x ) ñơn ñi u t p D phương trình f ( x ) = k n u có nghi m x = x nghi m nh t c a phương trình N u hàm s y = f ( x ) ñơn ñi u t p D u ( x ) , v ( x ) hàm s nh n giá tr thu c D f ( u ( x ) ) = f ( v ( x ) ) ⇔ u ( x ) = v ( x ) • M t s lưu ý s d ng phương pháp hàm s V n ñ quan tr ng nh t s dung phương pháp hàm s ph i nh n ñư c hàm s ñơn ñi u nh m ñư c nghi m c a phương trình 1) ð phát hi n đư c tính đơn u c a hàm s c n n m v ng tính ch t: i) N u y = f ( x ) ñ ng bi n (ngh ch bi n) thì: + y= + y= f ( x ) ñ ng bi n (ngh ch bi n) n v i f ( x ) > ngh ch bi n (ñ ng bi n) f ( x) + y = − f ( x ) ngh ch bi n (ñ ng bi n) ii) T ng c a hàm s ñ ng bi n (ngh ch bi n) D m t hàm s ñ ng bi n (ngh ch bi n) D iii) Tích c a hàm s dương đ ng bi n (ngh ch bi n) D m hàm s ñ ng bi n (ngh ch bi n) D Ví d : T tính đơn u c a hàm s y = x + , y = − x, y = − x n u n m đư c tính ch t ta có th phát hi n đư c hàm s y = x + + x + + x (ñb), (ñb), y = + − x (nb) T cách nhìn nh n có th giúp + 3− x 2−x x+3 ñ nh hư ng ñư c phương pháp gi i s d ng tính đơn u c a hàm s 2) Vi c nh m nghi m m t v n ñ r t quan trong phương pháp này, nh m nghi m ta thư ng ưu tiên ch n x mà bi u th c d u lũy th a mũ n (n u b c α n), ho c n u phương trình logarit ta ch n x mà bi u th c d u loga a n u pt có logarit s a… y= Ví d Gi i phương trình: a) x − + x − + x = (1) b) x + x + x + 16 − − x = (2) Gi i: a) Quan sát v trái c a pt (1) th y x tăng (gi m) giá tr c a bi u th c d u tăng (gi m), t dó th y v trái hs đ ng bi n mà v ph i b ng khơng đ i nên ta s d ng tính đơn ñi u c a hs l a ch n h p lí đ gi i quy t tốn 3 ðK: x − ≥ ⇔ x ≥ ð t f ( x ) = x − + x − + x , ta có phương trình f ( x) = B n th o xu t b n sách năm 2009 – Nguy n T t Thu – Tr n Văn Thương Phương pháp hàm s tốn đ i s Ta có f ' ( x ) = 15 x 2 5x − + 3 ( x − 1)   + > v i m i x ∈  ; +∞  nên hàm s ñ ng     bi n  ; +∞  Mà f (1) = , t c x = m t nghi m c a phương trình Ta ch ng   minh nghi m nh t + N u x > f ( x ) > f (1) = ⇒ PTVN + N u ≤ x < Thì f ( x ) < f (1) = ⇒ PTVN V y PT có nghi m nh t x =  2 x + x + x + 16 ≥ ( x + ) x − x + ≥ ⇔ ⇔ −2 ≤ x ≤ b) ð K:  4 − x ≥ x ≤  ( ) PT (2) có d ng f ( x ) = f ( x ) = x + 3x + x + 16 − − x ( ) x + x +1 f '( x ) = + > v i m i x ∈ ( −2;4 ) nên hàm s ñ ng bi n 4− x x + 3x + x + 16 [-2;4] Mà f (1) = , t ñó ta có x = nghi m nh t c a phương trình Ví d Gi i phương trình : 2 a) b) 3x + x + + ( x + ) + + x + x = + =6 3− x 2− x Gi i: a) ðK: x < ð t f ( x) = ta có PT f ( x ) = + 3− x 2−x ' '         3− x   2− x  f '( x ) =  + = + > v i m i x ∈ ( −∞;2 ) 2 8 2 (3 − x ) (2 − x) 3− x 2−x 3− x 2−x 3 Nên hàm s ñ ng bi n ( −∞;2 ) Mà f   = 2 V y PT có nghi m nh t x = b) ( ( ) ( 3x + x + + ( x + ) + + x + x ( ⇔ 3x + ( 3x ) ( ) ) )=0 + = − ( x + 1)  +  − ( x + 1)  +        ) Xét f ( t ) = t + t + pt có d ng f ( x ) = f ( − ( x + 1) ) (1) B n th o xu t b n sách năm 2009 – Nguy n T t Thu – Tr n Văn Thương ( ) Phương pháp hàm s tốn đ i s t Vì f ' ( t ) = + t + + 2 t +3 (1) ⇔ 3x = − ( x + 1) ⇔ x = − > , nên hs ñ ng bi n, V y PT có nghi m nh t x = − Ví d Gi i phương trình: a) x + − x + = x − x + Gi i: a) Ta có b) x + = 8x − x − x + − 2x + = 2x − x + ⇔ x + + x + = 2x + 2x + 2 2 ( ) Xét f ( t ) = t + t + , ta có pt f ( x + 1) = f x Vì f ( t ) = t + t + ñ ng bi n nên ( ) ⇔ 2x − x − = ⇔ x = 1, x = − V y PT có hai nghi m là: x = ∨ x = − 3 3 b) x + = x − x − ⇔ x + + x + = ( x ) + x ⇔ f f ( x + 1) = f x 2 ( ) 6x + = f ( 2x ) Trong f ( t ) = t + t D th y f ( t ) m t hàm ñ ng bi n nên f ( ) x + = f ( x ) ⇔ x + = x ⇔ 8x − x − = ⇔ x − 3x = ( ) (1) nên PTVN N u x ≤ đ t x = cos ϕ , ϕ ∈ [0;π ] , (1) tr thành 1 π 2π 4cos ϕ − 3cos ϕ = ⇔ cos3ϕ = ⇔ ϕ = ± + k Ch n nghi m ño n 2 π 5π 7π ,ϕ = [0;π ] ta ñư c nghi m ϕ = ,ϕ = 9 π 5π 7π T ta đư c 3nghi m c a pt : x = cos , x = cos , x = cos 9 Ví du 4: Gi i phương trình x x x x −1 a) 2008 + 2009 = 2.2007 b) = + 2log ( x − ) N u x > VT (1) = x x − > > Gi i : x x  2008   2009  a) 2008 + 2009 = 2.2007 ⇔   +  =2  2007   2007  x x x B n th o xu t b n sách năm 2009 – Nguy n T t Thu – Tr n Văn Thương Phương pháp hàm s tốn đ i s x x  2008   2009  Hàm s f ( x ) =   +  có  2007   2007  x x 2008  2009  2009  2008  f '( x ) =  + > nên ñ ng bi n  ln  ln 2007  2007  2007  2007  0  2008   2009  f ( 0) =   +  = pt f ( x ) = có nghi m nh t x =  2007   2007  b) ðK: x − > y −1 ð t y − = log ( x − 5) ⇒ = x − (1) Lúc pt cho tr thành = + 2log ( x − ) = + 6log ( x − 5) = y − (2) Tr theo t ng v (1) (2) ta ñư c : x −1 y −1 x −1 y −1 − = y − x ⇔ + ( x − 1) = + ( y − 1) ⇔ f ( x − 1) = f ( y − 1) x −1 Trong f ( t ) = + 6t , f ' ( t ) = ln + > nên hàm s ñ ng bi n R, suy t t f ( x − 1) = f ( y − 1) ⇔ x = y Thay vào (1) bi n ñ i ta ñư c pt: x −1 − ( x − 1) − = (3) Hàm s g ( t ) = − 6t − có g ' ( t ) = ln − ta có t t g ' ( t ) = ln − = ⇔ t = log − log ln t Hàm s g ( t ) ngh ch bi n kho ng ( −∞; t ) ñ ng bi n (t ; +∞) nên m i kho ng g ( t ) có nhi u nh t m t nghi m nên pt g ( t ) = có nhi u nh t nghi m D th y t1 = 0, t = 1là hai nghi m c a g ( t ) suy pt (3) có hai nghi m x1 = 1, x = Hai nghi m th a mãn ñi u ki n Nh n xét: ax + b + D ng t ng quát c a toán s = p log s ( qx + r ) + cx + d ( a ≠ 0, q ≠ 0,0 < s ≠ 1) + Trong PT có hai phép toán trái ngư c phép lũy th a phép l y logarit, phương trình có ch a phép toán khác thư ng ñư c gi i b ng cách s d ng tính đơn u c a hàm s Chúng ta có th th y u qua ví d sau Ví d : Gi i phương trình sau: 2 x x − x +1 a) log 2 = x − 3x + b) x + x + = 2x − 4x + Gi i: a) Ta có 2 x − x +1 log 2 = x − 3x + 2 x −24 x + 2 ⇔ log x − x + − log 2 x − x + = x − x + − x − x + (1) ( ) ( ) ( ) ( ð t u = x − x + 1, v = x − x + (1) tr thành log u − log v = v − u ⇔ u + log u = v + log v (2) 2 B n th o xu t b n sách năm 2009 – Nguy n T t Thu – Tr n Văn Thương ) Phương pháp hàm s tốn đ i s > 0, ∀t ∈ ( 0; +∞ ) nên hàm s ñ ng bi n (2) có t ln 2 d ng f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v ⇔ x − 3x + = ⇔ x = ∨ x = ð t f ( t ) = t + log t ⇒ f ' ( t ) = + b) Ta có x + x + = ⇔ x ( ) x ( ) ( x + − x)   x  − 1 = ( x + − x )  ln −  > (Vì    x +1  x +1   x + − x = ð t f ( x ) = x 2 x x x +1 − x +  2   x + > x ln > ≥ ) nên hàm s ñ ng bi n , mà f ( ) = 1do dó x = x +1 nghi m nh t c a phương trình Nh n xét : Khi g p phương trình f ( x ) = g ( x ) f , g có m t hàm đ ng bi n m t hàm ngh ch bi n cách gi i thư ng dùng nh m nghi m ch ng minh nghi m f ' ( x ) = ln x nh t, nhiên toán c a ta f ( x ) = x + x + 1, g ( x ) = l i ñ u ñ ng bi n x nên cách khơng gi i quy t đư c, v y ta chia hai v c a pt cho x + x + ñ ñưa v m t v h ng s v l i m t hàm s mà ta có th xét đư c tính đơn u c a nó, cách mà ta dùng VD4 Ví d Gi i phương trình sau: ( ) ( ) a) log + + = log + x Gi i: ( ) x ( b) (1 + x ) + (1) x ) = 3.4 (2) x a) ð t: t = log + ⇒ + = ⇔ = − , thay vao (1) ta ñư c phương trình: ( x ) x t x t t t t t 1  2 1 2 log + = t ⇔ + = ⇔   +   = ð t f ( t ) =   +   5  3 5 5 t t 1 2 1  2 Ta có f ' ( t ) =   ln +   ln < nên hàm s ngh ch bi n f (1) =   +   = 5  3 5  3 V y PT có nghi m nh t x = x x x x x +1 x +1 b) Ta có : (1 + x ) + = 3.4 ⇔ ⇔ =0 x = x − 3 2+4 2+4 t t ( t ) ( ( ) ) ln + − ln 2ln 4.4 x x +1 ⇔ f '( x ) = − = ð t f ( x) = x − − x 3 + 4x 2+4 2+4 f '( x ) = ⇔ x x 2ln 4.4 x (2 + ) x ( x − =0⇔ 2+4 ) x 2x ( ) − 6ln 4.4 = , ñây pt b c hai theo n x nên có nhi u nh t nghi m suy PT f ( x ) = có nhi u nh t nghi m, mà ta th y 1 x = 0, x = , x = nghi m c a c a nó, pt có nghi m x = 0, x = , x = 2 Ví d 7: Gi i phương trình: x B n th o xu t b n sách năm 2009 – Nguy n T t Thu – Tr n Văn Thương Phương pháp hàm s tốn đ i s 2−n n n x π a) − = cos x b) sin x + cos x = ( n ∈ ℕ, n ≥ ) x ∈  0;     2 Gi i: 2 x x x = cos x ⇔ + cos x = ð t f ( x ) = + cos x a) − 2 D th y f ( − x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ℝ f ( x ) hàm s ch n, v y ch c n gi i [0; +∞) Ta có f ' ( x ) = x − sin x, f '' ( x ) = − cos x ≥ 0, ∀x ∈ [0; +∞) suy f ' ( x ) ñ ng bi n [0; +∞) nên f ' ( x ) ≥ f ' ( ) = 0, ∀x ≥ ñó f ( x ) ñ ng bi n [0; +∞) Mà f ( ) = V y x = nghi m nh t c a pt [0; +∞) nghi m nh t c a PT ℝ 2  π b) N u n = pt tr thành sin x + cos x = 1nên m i x ∈  0;  nghi m c a PT  2 ( N u n > , ð t: f ( x ) = sin x + cos x ⇒ f ' ( x ) = n sin x.cos x sin n n n−2 x − cos π  π Vì x ∈  0;  nên f ' ( x ) = ⇔ x = L p b ng bi n thên ta có f ( x ) =  π  2  0;   2 2−n  π Do  0;  PT f ( x ) =  2 có nghi m nh t x =  1 Ví d Tìm nghi m dương c a phương trình: x ln 1 +  x  Gi i: Ta có  1 x ln 1 +  x  1+ x   − x ln  +  x   1+ π 1+ x n−2 x ) π  f  =2 4 2−n   − x ln 1 +  x   ( 1+ x =1− x )    1 = − x ⇔ ( x + 1) ln 1 +  − x x + ln 1 +  = − x x x    x ( )     1  ⇔ ( x + 1) ln 1 +  − = x  x + ln 1 +  − 1 x x           1   ⇔ x ( x + 1) ln 1 +  − 1 = x  x + ln 1 +  − 1 x    x     ( ) (vì x>0) (1) ( )   1  ð t f ( t ) = t ( t + 1) ln 1 +  − 1 v i t > (1) có d ng f ( x ) = f x  t     1   1 Ta có f ' ( t ) = ( 2t + 1) ln 1 +  − = ( 2t + 1) ln 1 +  −   t   t  2t +  −1  1 ⇒ g '(t ) = + ð t g ( t ) = ln 1 +  − = − < 0, ∀t > t ( t + 1) ( 2t + 1) t ( t + 1)( 2t + 1)  t  2t + Do g ( t ) ngh ch bi n ( 0; +∞ ) mà lim g ( t ) = t →+∞ suy g ( t ) > 0; ∀t > ⇒ f ' ( t ) = ( 2t + 1) g ( t ) > 0, ∀t > nên f ( t ) ñ ng bi n ( 0; +∞ ) B n th o xu t b n sách năm 2009 – Nguy n T t Thu – Tr n Văn Thương Phương pháp hàm s tốn đ i s ( )⇔ x=x v y f ( x ) = f x 2 ⇔ x = Tóm l i PT có nghi m nh t x = II- NG D NG CÁC TÍNH CH T C A HÀM S ð TÌM ðI U KI N C A THAM S SAO CHO PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHI M N u hàm s y = f ( x ) liên t c ño n [a; b] f ( a ) f ( b ) < phương trình có nh t m t nghi m thu c kho ng ( a; b ) Phương trình f ( x ) = m có nghi m ch m thu c t p giá tr c a hàm s y = f ( x) Và s nghi m c a PT s giao ñi m c a ñ th hàm s y = f ( x ) ñư ng th ng y = m Ví d Tìm m đ phương trình sau có nghi m th c nghi m: a) x − + m x + = x − (TSðHKA-2007) b) x − 13x + m = x − Gi i: a) ðK: x ≥ x − + m x + = x − ⇔ m = −3 x −1 x −1 + 24 (1) x +1 x +1 x −1 , x ≥ nên ≤ t < , PT (1) tr thành m = −3t + 2t = f ( t ) (2) = 1− x +1 x +1 PT(1) có nghi m ch PT(2) có nghi m ≤ t < ñi u tương ñương v i m thu c t p giá tr c a hàm s f ( t ) = −3t + 2t v i ≤ t < L p b ng bi n thiên c a hàm s f ( t ) [0;1) ta ñư c t p giá tr ( −1; ] V y PT có nghi m ch −1 < m ≤ b) x ≥ x ≥ 4 ⇔  x − 13x + m = x − ⇔  4  x − 13x + m = x − x + x − x +  x − 13x + m = ( x − 1) x ≥ ⇔ m = −4 x + x + x + (1) ð t t= PT cho có nghi m ch PT(1) có nghi m x ≥ ð t f ( x ) = −4 x + x + x + , x ∈ [1; +∞) B n th o xu t b n sách năm 2009 – Nguy n T t Thu – Tr n Văn Thương Phương pháp hàm s tốn đ i s  x = − (l )  f ' ( x ) = −12 x + 12 x + = −3 x − x − , f ' ( x ) = ⇔ x − x − = ⇔  x = (n)  B ng bi n thiên: 3/2 +∞ x ( ) 2 f’(x f(x 29/2 −∞ 12 T b ng bi n thiên suy PT (1) có nghi m x ≥ m ≤ m ≤ 29 , hay PT cho có nghi m 29 Ví d Tìm m đ phương trình sau có nghi m th c: a) 2x + 2x + − x + − x = m (TSðH - KA-2008) b) x + x +1 + x − x +1 = m 2 Gi i: a) ð K: ≤ x ≤ ð t v trái c a phương trình f ( x ) , x ∈ [ 0;6] 1 1 + − − Ta có f ' ( x ) = 2x (6 − x)3 6− x (2x)  1 = 2  (2x) − (6 − x)   +  −  , x ∈ ( 0;6 )    2x 6−x       , v( x) =  −  ð t u ( x) = −    (2x)3 (6 − x)3  6− x   2x   Ta th y u ( ) = v ( ) = ⇒ f ' ( ) = Mà u ( x ) , v ( x ) dương (0;2) âm (2;6) nên ta có b ng bi n thiên : Suy giá tr c n tìm c a m : + ≤ m < + b) ð t v trái c a phương trình f ( x ) , x ∈ ℝ Ta có B n th o xu t b n sách năm 2009 – Nguy n T t Thu – Tr n Văn Thương Phương pháp hàm s tốn đ i s f '( x ) = 2x + x+ 2 x − x +1 = − 1  x+  + 2  1 t  1  = h  x +  − h  − x  (1) h ( t ) = ,t ∈ ℝ 2  2  t + x + x +1 + 2x − 1 −x 2 1   − x + 2  hàm ñ ng bi n nên t ta có 1 1  1  f '( x ) > ⇔ h  x +  − h  − x  > ⇔ x + > − x ⇔ x > 2 2  2  Ngư c l i f ' ( x ) < ⇔ x < f ' ( x ) = ⇔ x = M t khác f ( ) = lim f ( x ) = +∞ x →±∞ nên ta có b ng bi n thiên: T b ng bi n thiên suy PT có hai nghiêm m > Ví d 3: Tìm t t c giá tr c a tham s m đ phương trình sau có nghi m th c m ( 1+ x ) − − x + = − x + + x − − x (TSðH-KB-2004) 2 Gi i: ðK: −1 ≤ x ≤ ð t t = + x − − x , d th y t ≥ t = − − x ≤ ⇒ t ≤ , v y ñi u kiên t ∈ 0;    2 −t + t + PT ñã cho tr thành : m ( t + ) = −t + t + ⇔ m = = f ( t ) (1) t+2 −t + t + Ta có f ( t ) = liên t c 0;  nên PT cho có nghi m x ⇔ (1) có   t+2 nghi m t ∈ 0;  ⇔ f ( t ) ≤ m ≤ max f ( t )   2 [0; ] Ta có f ' ( t ) = f ( t ) = f [0; ] [0; ] −t − 4t   , suy hàm s ngh ch bi n 0;  , < 0, ∀t ∈  0;    (t + 2) ( 2) = − 1,max f ( t ) = f ( ) = V y giá tr c n tìm c a m [0; ] − ≤ m ≤ Ví d III- NG D NG ð O HÀM ð CH NG MINH B T ð NG TH C B n th o xu t b n sách năm 2009 – Nguy n T t Thu – Tr n Văn Thương Phương pháp hàm s tốn đ i s Như ñã bi t n u hàm s y = f ( x ) có t p giá tr kho ng ( m; M ) v i x ∈ D m < f ( x ) < M , ∀x ∈ D (1), ho c n u hàm s y = f ( x ) ñ ng bi n D x < y suy f ( x ) < f ( y ) v i x, y ∈ D T th y kh o sát hàm s đ tìm t p giá tr c a ho c s d ng tính đơn u c a hàm s có th giúp ta ch ng minh đư c BðT, ý tư ng mà s đư c s d ng ph n M t s lưu ý chung i) ð ch ng minh b t đ ng th c có ch a nhi u bi n b ng phương pháp ñ o hàm u quan tr ng nh t ph i ñưa ñư c v m t bi n kh o sát hàm s theo bi n đó, n u u khơng th ta coi b t ñ ng th c m t bi n bi n cịn l i đư c xem tham s ii) L a ch n hàm s ñ xét khâu quy t ñ nh phương pháp hàm s , ch ng h n gi i toán : 2 a b c 3 Cho a, b, c > 0, a + b + c = Ch ng minh r ng: (B ñ + + ≥ 1− a 1− b 1− c TS) L i gi i b ng hàm s xét: f ( x ) = x − x , x ∈ (0;1) Các b n th suy nghĩ xem, c vào x u mà ta ch n đư c hàm s mà không ph i hàm f ( x ) = , x ∈ (0;1) ? 1− x Ví d Ch ng minh : x + x + + x − x + ≥ 2, ∀x ∈ ℝ 2 Gi i: ð t v trái c a phương trình f ( x ) , x ∈ ℝ Ta có x+ 2x + 2x − f '( x ) = + = − 2 1 x + x +1 x − x +1  x+  + 2  1 t  1  = h  x +  − h  − x  (1) h ( t ) = ,t ∈ ℝ 2  2  t + −x 2 1   − x + 2  hàm ñ ng bi n nên t ta có 1 1  1  f '( x ) > ⇔ h  x +  − h  − x  > ⇔ x + > − x ⇔ x > 2 2  2  Ngư c l i f ' ( x ) < ⇔ x < f ' ( x ) = ⇔ x = M t khác f ( ) = lim f ( x ) = +∞ x →±∞ B ng bi n thiên: T b ng bi n thiên ta có đpcm Chú ý: Bài tốn có th gi i cách khác B n th o xu t b n sách năm 2009 – Nguy n T t Thu – Tr n Văn Thương Phương pháp hàm s tốn đ i s Ta c n ch ng minh −3 ≤ f ( t ) ≤ 2 −4t + 6t + 18 Ta có : f ' ( t ) = , lim f ( t ) = , f ' ( t ) = ⇔ t = 3, t = − t →±∞ t + 2t + ( )  3 L p b ng bi n thiên ta ñư c: f  −  ≤ f ( t ) ≤ f ( 3) , ∀t ⇒ −3 ≤ f ( t ) ≤  2 Chú ý: 1) Ta có th tìm mi n giá tr c a P sau: 2 t + 6t Ta có: P = ⇔ ( P − 1) t + ( P − 3) t + 3P = (1) t + 2t + 3   x = y x = y N u P = t = ⇒  ⇔ 4 x + y =  y = ±   N u P ≠ (1) có nghi m 2 ∆ ' = ( P − 3) − 3P ( P − 1) = −2 P − 3P + ≥ ⇔ −3 ≤ P ≤ 2 2 2) Gi thi t xu t hi n x + y = 1làm ta liên tư ng h th c tương t là: sin ϕ + cos ϕ = Vì v y đ t : x = sin ϕ , y = cos ϕ , ϕ ∈ [0;2π ) + cos 2ϕ + 6sin 2ϕ 2P = ⇔ ( P − ) sin 2ϕ − ( P + 1) cos 2ϕ = − P (2) + sin 2ϕ − cos 2ϕ 2 Vì (2) có nghi m nên ( P − ) + ( P + 1) ≥ (1 − P ) ⇔ −3 ≤ P ≤ Ví d 21 Cho x, y > Ch ng minh r ng : (x + xy x + 4y 2 ) ≤ Gi i : Vì bi u th c v trái c a b t đ ng th c có t m u b c nên ta ñ t x = ty ñ ñưa b t ñ ng th c v m t bi n t 4t B t ñ ng th c sau thay x = ty vào rút g n y f ( t ) = ≤ t+ t +4 ( ( t + − 3t ) t + (t + t + ) ) Xét f ( t ) = ( 4t t+ t +4 ) , t > ⇒ f '( t ) = 2 B n th o xu t b n sách năm 2009 – Nguy n T t Thu – Tr n Văn Thương Phương pháp hàm s toán ñ i s L p b ng bi n thiên ta ñư c max f ( t ) = (0; +∞ ) f ' ( t ) = ⇔ t + = 3t ⇔ t =   f =  2 Suy f ( t ) ≤ , ∀t > Chú ý : ( Cách 2: Ta có :   2 t t+4 +4⇒ t +4 ≥ t +   +2  ≥      2 ) Suy : 4t + 4  1  t = t + +  ≥ = 32t 3 2 4t 4t ⇒ f (t ) = (ñpcm) ≤ = 32t t+ t +4 t+ t +4≥ ( ) ( ) Ví d 22 Cho s th c x, y thay ñ i th a mãn x − xy + y ≤ 2 Ch ng minh r ng: −1 − ≤ x + xy − y ≤ −1 + 2 Gi i: {   N u x − xy + y = ⇔  x − y  + y = ⇔ x = th a mãn y=0   2 2 2 N u x − xy + y > đ t a = x − xy + y , b = x + xy − y suy < a ≤ 2 b x + xy − y Ta có: = có t m u đ ng c p a x − xy + y b N u y = ⇒ = ⇒ < b = a ≤ < −1 + a 2 ( ( ) ) t +t −2 y b t +t −2 N u y ≠ , ñ t x = ty ⇒ = = = f (t ) a t − t +1 t − t +1 y Xét hàm s : f ( t ) = Ta có : f ' ( t ) = 2 t +t −2 , t ∈ℝ t − t +1 1 t + -2 t + -2 -1 1 -1 (t ) − t +1 −2t + 6t − = (t ) − t +1 3− 3+ ,t2 = , lim f ( t ) = t →±∞ 2 L p b ng bi n thiên suy : f ( t ) ≤ f ( t ) ≤ f ( t ) , ∀t f ' ( t ) = ⇔ −2t + 6t − = ⇔ t1 = B n th o xu t b n sách năm 2009 – Nguy n T t Thu – Tr n Văn Thương Phương pháp hàm s tốn đ i s mà f ( t ) = 2t + −1 − 2t + −1 + , f (t ) = suy : = = 2t − 2t − ( ) ( ) a −1 − −1 + a −1 − b −1 + l i có ≤ ≤ ⇔ ≤b≤ a 3 a < a ≤ ⇔ < ≤ nên −1 − ≤ ( a −1 − ) ≤ b ≤ ( −1 + ) a ≤ −1 + 3 T trư ng h p trên, ta suy ra: −1 − ≤ b ≤ −1 + Ví d 23 Cho s dương a, b, c v i a + b + c ≤ 1 1 Ch ng minh r ng : 3( a + b + c ) +  + +  ≥ 21 a b c  1 1  1 + +  ≥ 3 abc  3 =9⇒ + + ≥ a b c a+b+c a b c  abc  18 1 1  6 Do 3( a + b + c ) +  + +  ≥ ( a + b + c ) + =  t +  = f ( t ) (1) a+b+c t a b c  6 t −6 Trong < t = a + b + c ≤ f ( t ) = t + Ta có f ' ( t ) = − = < 0, ∀t ∈ (0;1] , t t t nên hàm s ngh ch bi n (0;1] ⇒ f ( t ) ≥ f (1) = 7, ∀t ∈ (0;1] Theo (1) suy b t ñ ng th c ñư c ch ng minh Chú ý: T (1) có th ch ng minh f ( t ) = t + ≥ b ng cách khác sau: t 5 Cách 1: f ( t ) = t + = t + + ≥ t + = + ≥ t ≤ t t t t t t t − 7t + ( t − 1)( t − ) = ≥ t ≤ nên t − ≤ 0, t − < Cách 2: f ( t ) − = t + − = t t t Gi i: Ta có:  (a + b + c) Ví d 24: Cho a, b, c > a + b + c = Ch ng minh r ng: 1 + + − (a + b + c) ≥ a b c ( Gi i: ð t t = a + b + c ≤ a + b + c 2 2 ) ⇒0 16 a + b + 16c ≤ ≤ 16 81 ( a + b + c ) Ch ng minh r ng: 3 a + b + 16c Gi i : ð t f ( a; b; c ) = Vì f ( ka; kb; kc ) = f ( a; b; c ) , ∀k > nên không gi m (a + b + c) 3 tính t ng quát ta gi thi t a + b + c = f ( a; b; c ) = a + b + 16c 3 3 Do tính đ i x ng c a a, b có th cho ta c lư ng a + b ≥ ( a + b ) = (1 − c ) t ta 4 3 1 3 có f ( a; b; c ) ≥ (1 − c ) + 16c = (1 − c ) + 64c  = g ( c ) ,0 ≤ c ≤  4 4 2 Ta có : g ' ( c ) = 64c − (1 − c )  , g ' ( c ) = ⇔ c = ∈ [0;1]   64 16 L p b ng bi n thiên c a hàm g ( c ) ta ñư c g ( c ) ≥ ⇒ f ( a; b; c ) ≥ g ( c ) ≥ 81 81 3 * Vì h s c a a , b b ng h s c a c b ng 16 nên f ( a; b; c ) tăng nhanh nh t c tăng , v y ta d đốn f ( a; b; c ) = 16 a = b = 0; c = 3 T ñó ta có f ( a; b; c ) = a + b + c + 15c ≤ ( a + b + c ) + 15c ≤ 16 3 3 3 B n th o xu t b n sách năm 2009 – Nguy n T t Thu – Tr n Văn Thương Phương pháp hàm s tốn đ i s Ví d 28 Cho s th c dương a, b, c th a mãn ( a + b + c ) = 32abc 383 − 165 a + b + c Ch ng minh r ng : (HSGQG-2004)(1) ≤ ≤ ( a + b + c ) 128 4 Gi i : Tương t ví d 19 ta gi thi t a + b + c = ⇒ abc = 4 383 − 165 ≤ a +b +c ≤ Khi (1) ⇔ 256 128 4 ð t : P = a + b + c ,vì P ln bi u di n ñư c qua ña th c ñ i x ng sơ c p a + b + c, ab + bc + ca abc nên ñ t t = ab + bc + ca ñ ñưa P v m t bi n t Ta có : ( ( P = a +b +c 2 ) ( ) −2 a b +b c +c a 2 2 2 ) = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca )  − ( ab + bc + ca ) − 2abc ( a + b + c )      2 ( = − 2t ) ( ) ( ) − t − 16 = t − 32t + 144 2 Ta c n tìm u ki n c a t, Vì t = ab + bc + ca = a ( b + c ) + bc = a ( − a ) + Mà ( b + c ) ≥ 4bc ⇔ ( − a ) ≥ 2 (vì < a < 4) 2 = −a + 4a + a a ( ) ⇔ ( a − ) a − 6a + ≥ ⇔ − ≤ a ≤ a 2 5 −1 Xét t = −a + 4a + , a ∈ [3 − 5;2] ⇒ ≤ t ≤ a 2 5 −1 ] ta ñư c ñi u c n ch ng minh Xét f ( t ) = t − 32t + 144 , t ∈ [5; ( ) Ví d 29 Cho s a, b, c th a mãn a + b + c = 2 Ch ng minh r ng : 3( a + b + c ) − 22abc ≤ 15 11 Gi i : Ta có a + b + c = ⇒ a ∈ [ − 1;1] Do vai trò a, b, c nên khơng m t tính t ng qt gi s a ≤ b ≤ c ð t : P = ( a + b + c ) − 22abc +) N u a = −1 ⇒ b = c = ⇒ P = −3 +) N u −1 < a < , ta có 2 B n th o xu t b n sách năm 2009 – Nguy n T t Thu – Tr n Văn Thương Phương pháp hàm s toán ñ i s ( ) ( ) ) 2 2 P = ( a + b + c ) − 22abc ≤ 3 a + b + c  − 11a b + c     2 P =  a + − a  − 11a − a = 11a − 8a + − a = f ( a )     2.a hàm ngh ch bi n ( −1;0 ) Ta có: f ' ( a ) = 33a − − 1− a   2 Gi i phương trình f ' ( a ) = ⇔ a = − Do f ( a ) ≤ f  −  = 15 11 11  11  ( ) ( ) ( ( ) =3 11  3  V y : 3( a + b + c ) − 22abc ≤ 15 ñ ng th c x y ( a; b; c ) =  − ; ;  11 22 22  11  hoán v +) N u a ≥ b ≥ 0, c ≥ suy : P = ( a + b + c ) ≤ 3 a + b + c 2 < 15 Ví d 30 Cho hai s dương a, b có a + b = ≤ k ≤ ( Ch ng minh r ng: a b a + b k ( k k k )≤2 3(1− k ) ) = a (1 − a )  a k + (1 − a ) k  = f ( a )   k k k k Xét hàm s : f ( a ) = a (1 − a )  a + (1 − a )  , a ∈ ( 0;1)   k −1 k k k k k k −1 k f ' ( a ) = ka (1 − a )  a + (1 − a )  − ka (1 − a )  a + (1 − a )      k k −1 k k −1 + a (1 − a )  ka − k (1 − a )  = ⇔ a =   L p b ng bi n thiên ta đư c đpcm Gi i: Ta có: a b a + b k k k k k k Ví d 31 Cho s th c khơng âm a, b, c th a mãn a + b + c = Ch ng minh r ng : ≤ ab + bc + ca − 2abc ≤ (1) 27 (IMO-1984) 1 Gi i: Không gi m t ng quát, gi s a = {a, b, c} ⇒ ≤ a ≤ < ⇒ − 2a > Ta có: ab + bc + ca − 2abc = a ( b + c ) + (1 − 2a ) bc = a (1 − a ) + (1 − 2a ) bc −2a + a + 1 b+c 1− a  ≤ a (1 − a ) + (1 − 2a )  = f ( a )  = a (1 − a ) + (1 − 2a )   = 4     2 B n th o xu t b n sách năm 2009 – Nguy n T t Thu – Tr n Văn Thương Phương pháp hàm s tốn đ i s a = f ( a ) = −2a + a + ⇒ f ' ( a ) = −6a + 2a, f ' ( a ) = ⇔  a=   L p b ng bi n thiên c a hàm s : f ( a ) , a ∈ [0; ] ta ñư c   28 (2) ⇒ f (a) ≤ f (a) ≤ f   = 27   27 Và ta có: ab + bc + ca − 2abc = a ( b + c ) + (1 − 2a ) bc ≥ (3) T (2) (3) suy toán ñư c gi i quy t 2 Ví d 32 Cho ba s th c dương a, b, c th a mãn 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 15 Ch ng minh r ng: + + ≥ a b c 2 Gi i: ð t: x = , y = , z = a b c suy ra: 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 ⇔ x, y , z > Ta c n ch ng minh: x + y + z ≥ 2 3 + + ≤ ⇔ x + y + z ≤ xyz a b c a b c 15 T : x + y + z ≤ xyz ⇒ z ( xy − ) ≥ x + y ⇒ z ≥ 2x + y xy − 14 x + ( xy − ) + 2x + y xy − 7 x x x+ y+z≥x+ y+ = x+ + + xy − 2x 2x xy − 14 14 x + ( xy − ) + 2x + xy − 7 x x = x + 11 + xy − + x =x+ + + 2x 2x xy − 2x 2x xy − Áp d ng b t đ ng th c cauchy ta có: 14 14 2x + 2x + xy − x ≥ 2 xy − x = 1+ + 2x xy − 2x xy − x 11 + + = f ( x) 2x x 11 14 Ta có: f ' ( x ) = − − Ta th y f ' ( x ) tăng x > f ' ( 3) = 2x x 1+ x B ng bi n thiên: Do : x + y + z ≥ x + B n th o xu t b n sách năm 2009 – Nguy n T t Thu – Tr n Văn Thương Phương pháp hàm s tốn đ i s T b ng bi n thiên suy ra: x + y + z ≥ f ( 3) = 15 ð ng th c x y x =  a=   14 x = 3  xy − x +   x ⇔  y = ⇔ b = =    xy −  2x z =  2x + y  z = c =    xy −  Cách Áp d ng b t ñ ng thưc cauchy suy r ng ta có:   x   y   z  x + y + z x y z V i x, y, z > ch n sau ta có: + + ≥ ( x + y + z )        ax by cz  ax   by   bz     x+ y+z = x+ y− z − x+ y + z x− y+ z x+ y+ z  abxy bcyz      cazx                   x + y + z) ( ≥ (1) xy ( x + y − z ) yz ( y + z − x ) zx ( z + x − y ) ab + bc + ca 12 xy ( x + y − z ) yz ( y + z − x ) zx ( z + x − y ) Ch n x, y, z > cho = = Ta ñư c 4.21 12.2 6.8 x = 6, y = 5, z = thay vào (1) ta đư c đpcm Ví d 32 Cho s th c không âm a, b, c th a mãn a + b + c = Ch ng minh r ng: − 3 ≤ ( a − b )( b − c )( c − a ) ≤ 18 18 Gi i: Kí hi u: F ( a; b; c ) = ( a − b )( b − c )( c − a ) Vì F ( a; c; b ) = ( a − c )( c − b )( b − a ) = − F ( a; b; c ) suy mi n giá tr c a F t p đ i x ng v y ta ch c n ch ng minh : F ( a; b; c ) ≤ 18 18 + N u a, b, c đơi m t khác khơng m t tính t ng qt gi s a = max {a; b; c} n u b > c F ( a; b; c ) < < v y ta ch c n xét a > c > b ð t x = a + b ⇒ c = − x 18 Ta có: F ( a; b; c ) = ( a − b )( c − b )( a − c ) ≤ ( a + b ) c ( a + b − c ) = x (1 − x )( x − 1) = h ( x ) Xét h ( x ) = x (1 − x )( x − 1) , < x ≤ + N u ba s a, b, c có hai s b ng F ( a; b; c ) = < B n th o xu t b n sách năm 2009 – Nguy n T t Thu – Tr n Văn Thương Phương pháp hàm s tốn đ i s h ' ( x ) = −6 x + x − = ⇔ x = 3+ L p b ng bi n thiên ta ñư c  3+  h( x) ≤ h =   18 3+ 3− , b = 0, c = V i m i x ∈ ( ;1] ð ng th c x y a = 6 Nh n xét: 1) Ta có đư c phép bi n đ i : F ( a; b; c ) = ( a − b )( c − b )( a − c ) ≤ ( a + b ) c ( a + b − c ) = x (1 − x )( x − 1) = h ( x ) Là nh vào d đốn sau: Vì BðT khơng x y d u b ng t i a = b = c = nên trư c tiên ta d đốn d u b ng x y có m t bi n t i biên ( ta ñang xét ba bi n phân bi t nên ch có m t) Mà ta xét a > c > b nên giá tr biên b = a = b = c = ⇒ F = < 18 V y b = ta thay −b b i +b v a có đánh giá '' ≤ '' v a có th thay a + b = x, c = − x ñ ñưa v m t bi n mà v n ñ m b o d u b ng x y 2) T F ( a; b; c ) = ( a − b )( c − b )( a − c ) ≤ ( a + b ) c ( a + b − c ) = xc ( x − c ) ta có th dùng phương pháp cân b ng h s cho ñ m b o dâu ñ ng th c x y ra, sau: Áp dung BðT cauchy ta có : 1  ux + vc + x − c  F ( a; b; c ) = xc ( x − c ) = ( ux )( vc )( x − c ) ≤   uv uv    ( u + 1) x + ( v − 1) c  =   (1) uv   u − v = u = − u +1 = v −1 ⇔ 1 Ch n u , v cho: thay vào  − = x − c =1⇔  ux = vc = x − c v = + u v x − c x − c   ( x + c)  (1) ta ñư c F ( a; b; c ) ≤   =  2 18   { ( Ví d 33 Cho hai s th c x, y ∈ [0;1] Ch ng minh r ng: x + y Gi i: N u y = b t đ ng th c ln N u y khác ( ð t : f ( x) = x + y 3 )−x y− y 2 − x = x − yx − x + y − y 3 B n th o xu t b n sách năm 2009 – Nguy n T t Thu – Tr n Văn Thương )−x y− y 2 − x ≤1 Phương pháp hàm s tốn đ i s ( ( ) )  x1 = y − y + < (l )  Ta có: f ' ( x ) = x − yx − 1, f ' ( x ) = ⇔   x2 = y + y + 6  Qua x ñ o hàm ñ i d u t âm sang dương nên x ñi m c c ti u N u x ∈ [0;1] f ( x ) ≤ f ( ) f ( x ) ≤ f (1) N u x ∉ [0;1] hàm s tăng [0 ;1] ⇒ f ( x ) ≤ f (1) Trong hai trư ng h p ta đ u có f ( x ) ≤ f ( ) f ( x ) ≤ f (1) Ta có: 3 f ( ) = y -y , f (1) = y − y − y + ,vì f (1) − f ( ) = − y ≥ ⇒ f (1) ≥ f ( ) ð t : g ( y ) = y − y − y + 1, y ∈ (0;1] Kh o sát hàm s g ( y ) (0;1] ta thu ñư c g ( y ) ≤ g (1) = 1, ∀y ∈ (0;1] V y : f ( x ) ≤ f (1) = g ( y ) ≤ g (1) = 1, ∀x, y ∈ [0;1] Ví d 34 Cho hai s th c x, y, z ∈ [0;1] Ch ng minh r ng: ( x +y +z 3 )−x y− y z− z x≤3 2 Gi i: N u z = b t đ ng th c N u z khác ( ð t f ( x) = x + y + z 3 ) − x y − y z − z x = 2x 2 ( − yx − z x + y + z 2 ( ( ) ) )− y z 2  x1 = y − y + z < 2  Ta có: f ' ( x ) = x − yx − z , f ' ( x ) = ⇔  2  x2 = y + y + 6z  Qua x ñ o hàm ñ i d u t âm sang dương nên x ñi m c c ti u y, z ∈ [0;1] ⇒ x ∈ ( 0;1) ⇒ f ( x ) ≤ f (1) , ∀x ∈ [0;1] (vì f (1) > f ( ) ) mà ( f (1) = y + z 3 )− y z−z 2 − y + ( ) (1 − y ) + (1 − y ) (1 − z ) + (1 − z ) (1 − x ) ≥ ⇔ − ( x + y + z ) − ( x + y + z ) + ( x y + y z + z x) ≥ ( x + y + z ) + ( x + y + z ) − ( x y + y z + z x) ≥ 2( x + y + z ) − ( x y + y z + z x) Vì: ( x + y + z ) + ( x + y + z ) ≥ ( x + y + z ) , ∀x, y, z ∈ [0;1] Cách : Vì : x, y, z ∈ [0;1] ⇒ − x 2 2 2 2 2 2 T ng quát: ( p p 2 V i x, y, z ∈ [0;1] ta có x + y + z p )−x 3 2 m y − y z − z x ≤ p ≥ max {m, n} n m n m n B n th o xu t b n sách năm 2009 – Nguy n T t Thu – Tr n Văn Thương Phương pháp hàm s tốn đ i s Ví du 35 Cho s th c m, n, p, a, b > cho : b m + n + p = mnp = , mn + np + pm = a a 5a − 3ab + Ch ng minh r ng: ≥ 12 a (b − a )  3b  ≥ ( m + n + p ) ≥ ( mn + np + pm )  a a b ≤ 3a  ⇒ ⇔ Gi i: Ta có :  1 m + n + p ≥ mnp  ≥ 33 a ≤ 3 a  a  2 5a − 3ab + −2a − ⇒ f '(b ) = < suy f ( b ) gi m (0; ] f (b) = 2 3a a (b − a ) a (b − a ) ( ( ) )   5a + = g (a) f (b) ≥ f   =  3a  a − 3a Xét hàm g ( a ) , v i a ∈ (0; 3 ] , g '( a ) = 15a + 14a − ( ) a 3a − 2 < 0, ∀a ∈ (0; 3 ]   g (a) ≥ g   = 12 3 3 Ví d 37 Chưng minh r ng n u s ≥ t ≥ s s s t t t a b c a b c s s + s s + s s ≥ t t + t t + t t b +c c +a a +b b +c c +a a +b f ( x) = Gi i: Ta ch c n ch ng minh hàm s [0; +∞) Ta có: f '( x) = a b x x +c a x (c x x −a (a x x −b x ) (ln a − ln b) b ( ) ( ln c − ln a ) c ( x x 2c + a + b x x +c x x )( 2b + c + a x +b x ) (a x x a x b +c x + x x a +c x ) x +b c x b x c +a x (b x −c x x + c x a +b x x ñ ng bi n ) (ln b − ln c ) b ( x +b x ) ≥ 0, ∀x ≥ V y hàm s ñ ng bi n nên f ( s ) ≥ f ( t ) , ∀s ≥ t ≥ Bài T p: Ch ng minh: π a) sin x ≤ x ≤ tan x, ∀x ∈ [0; ) b) π sinx + tan x ≥ 3x, ∀x ∈ [0; ) B n th o xu t b n sách năm 2009 – Nguy n T t Thu – Tr n Văn Thương x x 2a + b + c x +a x )( x x c +a x ) Phương pháp hàm s tốn đ i s x  π c) tan x > x + , ∀x ∈  0;   2 3 x x d) sin x < x − + 120 7  π Ch ng mminh: tan x + cot x ≥ tan x + cot x, ∀x ∈  0;   2 Ch ng minh v i tam giác ABC nh n ta có: a) tan A + tan B + tan C + sin A + sin B + sin C > 2π b) ( tan A + tan B + tan C ) + ( sin A + sin B + sin C ) > π 3 Ch ng minh m i tam giác ABC ta ln có: A B C + cos + cos + cos + + >3 a) A B C A B C cos cos cos + + b) e < 1 +  < e, ∀x > a) x 1+ x  n  1 c) 1 +  < 3, ∀n ∈ ℕ *  n Ch ng minh r ng: x −1 , ∀x > a) ln x > x +1 Tìm a > đ ( b) ln + + x ) < 1x + ln x x a) a ≥ + x, ∀x b) a ≥ + x + , ∀x > 2010 2010 Cho x + y = Ch ng minh r ng: x + y ≥ x x Cho x + y ≠ Ch ng minh: − a + b ≤ 2 2 ( 2axy + b x − y p q  π 10 Cho x ∈  0;  Ch ng minh: sin x cos x ≤  2 x +y p 2 q a +b p q p + q ; p, q ∈ ℕ * ( p + q) 11 Cho a + b + c = Tìm GTLN c a: P = ( a + b + c ) − abc 12 Ch ng minh r ng v i m i tam giác ABC ta có: )≤ B n th o xu t b n sách năm 2009 – Nguy n T t Thu – Tr n Văn Thương Phương pháp hàm s tốn đ i s 13 ≤ cos A + cos B + cos C 65 A B C b) sin sin sin + ≥ 2 sin A sin B sin C 2 13 Cho x, y, z s th c dương th a mãn xy + yz + zx = a) cos A + cos B + cos C + Ch ng minh : + x+ y 1 + ≥ 2+ y+z z+x B n th o xu t b n sách năm 2009 – Nguy n T t Thu – Tr n Văn Thương ... th a phép l y logarit, phương trình có ch a phép tốn khác thư ng ñư c gi i b ng cách s d ng tính đơn u c a hàm s Chúng ta có th th y u qua ví d sau Ví d : Gi i phương trình sau: 2 x x − x +1... > x ln > ≥ ) nên hàm s ñ ng bi n , mà f ( ) = 1do dó x = x +1 nghi m nh t c a phương trình Nh n xét : Khi g p phương trình f ( x ) = g ( x ) ñó f , g có m t hàm ñ ng bi n m t hàm ngh ch bi n cách... a lo i hàm s khác ta thư ng cô l p m i lo i hàm s ñ d xét d u c a ñ o hàm, ho c ta có th đ o hàm liên ti p ñ kh b t m t lo i hàm s Ch ng h n VD n u ñ o hàm ñ n f '''''' ( x ) ch cịn l i hàm lư ng