Đặng Đức Trọng – Nguyễn Đức Tấn – Hà Nghĩa Anh Hoàng Văn Minh – Hoàng Khởi Lai – Nguyễn Phước Nguyễn Đức Hoàng – Nguyễn Sơn Hà – Nguyễn Vũ Thanh (Nhóm tác giả vụ đầu tư & phát triển BGDĐT) Nhà xuất ĐHSP Hà Nội Gía tiền: 22000 đ Số trang: 387 trang Ngày xuất : 12/6/2010 In xong nộp lưu chiểu ngày tháng năm 2010-05-2010 Tại xí nghiệp in Sài Gịn Quận thành phố HCM A CÁC ĐỀ THI NĂM 2000 – 2001 Đề số Đề số Đề số Đề số Đề số Đề số Đề số Đề số 10 Đề số Đề số 11 Đề số Đề số 12 B CÁC ĐỀ THI TỪ NĂM 2001  2009 Đề số Đề số 16 Đề số 31 Đề số 46 Đề số Đề số 17 Đề số 32 Đề số 47 Đề số Đề số 18 Đề số 33 Đề số 48 Đề số Đề số 19 Đề số 34 Đề số 49 Đề số Đề số 20 Đề số 35 Đề số 50 Đề số Đề số 21 Đề số 36 Đề số 51 Đề số Đề số 22 Đề số 37 Đề số 52 Đề số Đề số 23 Đề số 38 Đề số 53 Đề số Đề số 24 Đề số 39 Đề số 54 Đề số 10 Đề số 25 Đề số 40 Đề số 55 Đề số 11 Đề số 26 Đề số 41 Đề số 56 Đề số 12 Đề số 27 Đề số 42 Đề số 57 Đề số 13 Đề số 28 Đề số 43 Đề số 58 Đề số 14 Đề số 29 Đề số 44 Đề số 59 Đề số 15 Đề số 30 Đề số 45 Đề số 60 C MỘT SỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS Đề số Đề số 11 Đề số Đề số 12 Đề số Đề số 13 Đề số Đề số 14 Đề sô Đề số 15 Đề số Đề số 16 Đề số Đề số 17 Đề số Đề số 18 Đề số Đề số 19 Đề số 10 Đề số 20 D MỘT SỐ ĐỀ LUYỆN TẬP DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI (20 Đề) Bản Quyền Thuộc Nhà Xuất Bản Đại Học Sư Phạm Hà Nội A MỘT SỐ ĐỀ THI NĂM 2000 – 2001 Đề số 1: Đề số 2: Đề số 3: Đề số 4: §Ị sè (§Ị thi cđa tỉnh Hải Dơng năm học 1999 2000) Câu I Cho hµm sè f(x) = x2 – x + x = -3 2) Tìm giá trị x f(x) = f(x) = 23 Câu II Cho hệ phơng trình : mx y =  x + my = 1) Tính giá trị hàm số x = 1) Giải hệ phơng trình theo tham số m 2) Gọi nghiệm hệ phơng trình (x, y) Tìm giá trị m để x + y = -1 3) Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m Câu III Cho tam giác ABC vuông B (BC > AB) Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, tiếp điểm đờng tròn nội tiếp với cạnh AB, BC, CA lần lợt P, Q, R 1) Chứng minh tứ giác BPIQ hình vuông 2) Đờng thẳng BI cắt QR D Chứng minh điểm P, A, R, D, I nằm đ ờng tròn 3) Đờng thẳng AI CI kéo dài cắt BC, AB lần lợt E F Chứng minh AE CF = 2AI CI §Ị sè (§Ị thi cđa tỉnh Hải Dơng năm học 1999 2000) Câu I 1) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) (-1 ; -4) 2) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng với trục tung trục hoành Câu II Cho phơng trình: x2 2mx + 2m – = 1) Chøng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt với m 2) Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu 3) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2, tìm giá trị m để: x12(1 x22) + x22(1 x12) = -8 Câu III Cho tam giác ABC, cạnh BC lấy điểm E, qua E kẻ đờng thẳng song song với AB AC chúng cắt AC P cắt AB Q 1) Chứng minh BP = CQ 2) Chøng minh tø gi¸c ACEQ tứ giác nội tiếp Xác định vị trí E cạnh BC để đoạn PQ ngắn 3) Gọi H điểm nằm tam giác ABC cho HB = HA2 + HC2 TÝnh gãc AHC Đề số (Đề thi tỉnh Hải Dơng năm học 2000 2001) Câu I Cho hàm sè y = (m – 2)x + m + 1) Tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ 3) Tìm m để đồ thị hàm số đồ thị hàm số y = -x + ; y = 2x – đồng quy Câu II Giải phơng trình : 1) x2 + x – 20 = 1 + = 2) x − x −1 x 3) 31 − x = x − C©u III Cho tam giác ABC vuông A nội tiếp đờng tròn tâm O, kẻ đờng kính AD, AH đờng cao cđa tam gi¸c (H ∈ BC) 1) Chøng minh tứ giác ABDC hình chữ nhật 2) Gọi M, N thứ tự hình chiếu vuông góc B, C AD Chứng minh HM vuông góc với AC 3) Gọi bán kính đờng tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác vuông ABC r R Chứng minh : r + R ≥ AB.AC §Ị sè (Đề thi tỉnh Hải Dơng năm học 2000 2001) Câu I Cho phơng trình: x2 2(m + 1)x + 2m – 15 = 1) Gi¶i phơng trình với m = 2) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2 Tìm giá trị m thoả mÃn 5x + x2 = Câu II Cho hàm số y = (m 1)x + m + 1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với m 4) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số tạo với trục tung trục hoành tam giác có diện tích (đvdt) Câu III Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, đờng phân giác góc A cắt cạnh BC D cắt đờng tròn ngoại tiếp I 1) Chứng minh OI vuông góc víi BC 2) Chøng minh BI2 = AI.DI 3) Gäi H hình chiếu vuông góc A cạnh BC Chøng minh r»ng : · · BAH = CAO · µ µ 4) Chøng minh : HAO = B − C §Ị sè (§Ị thi cđa tỉnh Hải Dơng năm học 2001 2002) Câu I (3,5đ) Giải phơng trình sau: 1) x2 = 2) x2 + x – 20 = 3) x2 – x – = Câu II (2,5đ) Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1) 1) Viết phơng trình đờng thẳng AB 2) Tìm giá trị m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2) Câu III (3đ) Cho tam giác ABC nhọn, đờng cao kẻ từ đỉnh B đỉnh C cắt H cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lợt E F 1) Chøng minh AE = AF 2) Chøng minh A tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EFH 3) Kẻ đờng kính BD, chứng minh tứ giác ADCH hình bình hành Câu IV (1đ) Tìm cặp số nguyên (x, y) thoả mÃn phơng trình: x + y = 3200 §Ị sè 10 (§Ị thi tỉnh Hải Dơng năm học 2001 2002) Câu I (3,5đ) Giải phơng trình sau : 1) 2(x – 1) – = 5x + 2) 3x – x2 = x −1 x +1 − = 3) x x Câu II (2,5đ) Cho hàm số y = -2x2 có đồ thị (P) 1) Các điểm A(2 ; -8), B(-3 ; 18), C( ; -4) có thuộc (P) không ? 2) Xác định giá trị m để điểm D có toạ độ (m; m 3) thuộc đồ thị (P) Câu III (3đ) Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Đờng tròn đờng kính AH cắt cạnh AB M cắt cạnh AC N 1) Chứng minh MN đờng kính đờng tròn đờng kÝnh AH 2) Chøng minh tø gi¸c BMNC néi tiÕp 3) Từ A kẻ đờng thẳng vuông góc với MN cắt cạnh BC I Chứng minh: BI = IC Câu IV (1đ) Chứng minh nghiệm phơng trình: x2 + 6x + = , từ phân tích x đa thức x + 6x + 7x thành nhân tö Đề 11 THPT Chuyên Ngoại ngữ – ĐH Ngoại ngữ (ĐHQGHN) Năm học 1999 – 2000 (150 phút) Bài (2đ): Cho biểu thức: P= 1+ x x x +x+ x : x − x2 1, Tìm điều kiện x để P có ý nghĩa rút gọn P 2, Tìm số nguyên x để giá trị biểu thức Q = nguyên P + 2x số x +1 Bài (2đ): Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + = (m tham số) 1, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 Khi tìm hệ thức liên hệ x1, x2 khơng phụ thuộc m 2, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thoả mãn hệ thức: x1 x + +6=0 x x1 Bài (2đ): Cho hàm số: y = mx2 + 3(m – 1)x + 2m + ( l ) 1, Khi m = 1, hàm số có đồ thị (C) Gọi (d) đường thẳng qua điểm A(0; 2) có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thi (C) 2, Chứng minh đồ thị ( l ) qua hai điểm cố định với giá trị m Bài (3đ): Cho đường trịn (O; R), đường kính AB cố định Đường thẳng xy tiếp tuyến với đường tròn B Đường kính MN quay quanh O (MN khác AB khơng vng góc với AB) Gọi C, D giao điểm đường thẳng AM, AN với xy 1, Chứng minh rằng: Tứ giác MNDC nội tiếp đường tròn 2, Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNDC K trung điểm CD Chứng minh: Tứ giác AOIK hình bình hành 3, Gọi H trực tâm tam giác MCD Chúng minh H thuộc đường tròn cố định Bài (1đ): Tìm giá trị lớn biểu thức: A = x4 +1 (x ) +1 Đề 12 THPT Chuyên toán – ĐHSPHN Năm học 1999 – 2000 Trong viết này, đề cập đến dạng tốn tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức nhiều ẩn, ẩn nghiệm phương trình bất phương trình cho trước Đối với dạng tốn này, ta cần xác định giải bất phương trình ẩn mà ẩn biểu thức cần tìm GTLN, GTNN Bài tốn : Tìm GTLN GTNN xy biết x y nghiệm phương trình x4 + y4 - = xy(1 - 2xy) Lời giải : Ta có x4 + y4 - = xy(1 - 2xy) xy + = x4 + y4 + 2x2y2 xy + = (x2 + y2)2 (1) Do (x2 - y2)2 ≥ với x, y, dễ dàng suy (x2 + y2)2 ≥ 4(xy)2 với x, y (2) Từ (1) (2) ta có : xy + ≥ 4(xy)2 4t2 - t - ≤ (với t = xy) (t - 1)(4t + 3) ≤ Vậy : t = xy đạt GTLN x = y = ; t = xy đạt GTNN Bài toán : Cho x, y, z số dương thỏa mãn xyz ≥ x + y + z + Tìm GTNN x + y + z Lời giải : áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho ba số dương x, y, z ta có : Vậy t = x + y + z đạt GTNN x = y = z = Bài toán : Cho số thực x, y, z thỏa mãn x2 + 2y2 + 2x2z2 + y2z2 + 3x2y2z2 = Tìm GTLN GTNN A = xyz Lời giải : x2 + 2y2 + 2x2z2 + y2z2 + 3x2y2z2 = (x2 + y2z2) + 2(y2 + x2z2) + 3x2y2z2 = (1) áp dụng bất đẳng thức m2 + n2 ≥ 2|mn| với m, n ta có : x2 + y2z2 ≥ 2|xyz| ; y2 + x2z2 ≥ 2|xyz| (2) Từ (1) (2) suy : 2|xyz| + 4|xyz| + 3(xyz)2 ≤ 3A2 + 6|A| - ≤ A2 + 2|A| - ≤ (|A| - 1)(|A| + 3) ≤ |A| ≤ -1 ≤ A ≤ Vậy : A đạt GTLN A đạt GTNN -1 Bài toán : Cho số thực x, y, z thỏa mãn x4 + y4 + x2 - = 2y2(1 - x2) Tìm GTLN GTNN x2 + y2 Lời giải : Ta có x4 + y4 + x2 - = 2y2(1 - x2) (x2 + y2)2 - 2(x2 + y2) - = -3x2 ≤ => t2 - 2t - ≤ (với t = x2 + y2 ≥ 0) => (t + 1)(t - 3) ≤ => t ≤ Vậy t = x2 + y2 đạt GTLN x = ; Ta lại có x4 + y4 + x2 - = 2y2(1 - x2) (x2 + y2)2 + x2 + y2 - = 3y2 ≥ => t2 + t - ≥ (với t = x2 + y2 ≥ 0) Vậy t = x2 + y2 đạt GTNN y = ; Bài tập tương tự 1) Cho x, y, z thỏa mãn : 2xyz + xy + yz + zx ≤ Tìm GTLN xyz Đáp số : 1/8(x = y = z = 1/2) 2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn : (x + y + z)3 + x2 + y2 + z2 + = 29xyz Tìm GTNN xyz Đáp số : (x = y = z = 2) 3) Tìm GTLN GTNN S = x2 + y2 biết x y nghiệm phương trình : 5x2 + 8xy + 5y2 = 36 Đáp số : GTLN 36 GTNN 4) Cho x y số thực thỏa mãn : Tìm GTLN x2 + y2 Đáp số : (x = -1 ; y = 0) 5) Cho số thực x, y, z thỏa mãn : x2 + 4y2 + z2 = 4xy + 5x - 10y +2z - Tìm GTLN GTNN x - 2y Đáp số : GTLN (x = 2y + ; y Є R ; z = 1) ; GTNN (x = 2y + ; y Є R ; z = 1) 6) Tìm số ngun khơng âm x, y, z, t để M = x2 + y2 + 2z2 + t2 đạt GTNN, biết : Đáp số : x = ; y = ; z = ; t = Khi M đạt giá trị nhỏ 61 MỘT HẰNG ĐẲNG THỨC THÚ VỊ Với số thực a, b, c, ta có : (a + b)(a + c) = a2 + (ab + bc + ca) = a(a + b + c) + bc (*) Với tôi, (*) đẳng thức thú vị Trước hết, từ (*) ta có : Hệ : Nếu ab + bc + ca = a2 + = (a + b)(a + c) Hệ : Nếu a + b + c = a + bc = (a + b)(a + c) Bây giờ, đến với vài ứng dụng (*) hai hệ Bài toán : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Hãy tính giá trị biểu thức : Lời giải : Theo hệ ta có a2 + = a2 + (ab + bc + ca) = (a + b)(a + c) ; b2 + = b2 + (ab + bc + ca) = (b + a)(b + c) ; c2 + = c2 + (ab + bc + ca) = (c + a)(c + b) Suy Vì A = a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) = 2(ab + bc + ca) = Vấn đề khó ta hướng tới việc đánh giá biểu thức Bài toán : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn (a +b)(a +c) = Chứng minh : Lời giải : a) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a(a + b + c) ; bc : = (a + b)( a + c) = a(a + b + c) + bc ≥ b) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương a2 ; (ab + bc + ca)/2 ; (ab + bc + ca)/2 = (a + b)( a + c) = a2 + (ab + bc + ca) = Bài toán : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh : Lời giải : Theo hệ ta có Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a2 + ab ; a2 + ac : Tương tự ta có Từ kết ta suy : Bài toán sau nguyên đề thi Châu - Thái Bình Dương năm 2002 viết lại cho đơn giản (thay (1/x ; 1/y ; 1/z) (a ; b ; c)) Bài toán : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh : Lời giải : Theo hệ bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski ta có Tương tự ta có Từ kết ta suy : Để kết thúc, xin bạn làm thêm số tập : Bài tập : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Hãy tính giá trị biểu thức : Bài tập : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh : Bài tập : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh : (a + bc)(b + ca)(c + ab) ≥ 64/81(ab + bc + ca)2 .. .Đề số Đề số Đề số Đề số Đề số Đề số Đề số Đề số 10 Đề số Đề số 11 Đề số Đề số 12 B CÁC ĐỀ THI TỪ NĂM 2001  2009 Đề số Đề số 16 Đề số 31 Đề số 46 Đề số Đề số 17 Đề số 32 Đề số 47 Đề số Đề. .. 18 Đề số 33 Đề số 48 Đề số Đề số 19 Đề số 34 Đề số 49 Đề số Đề số 20 Đề số 35 Đề số 50 Đề số Đề số 21 Đề số 36 Đề số 51 Đề số Đề số 22 Đề số 37 Đề số 52 Đề số Đề số 23 Đề số 38 Đề số 53 Đề số Đề. .. 59 Đề số 15 Đề số 30 Đề số 45 Đề số 60 C MỘT SỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS Đề số Đề số 11 Đề số Đề số 12 Đề số Đề số 13 Đề số Đề số 14 Đề sô Đề số 15 Đề số Đề số 16 Đề số Đề số 17 Đề số Đề