MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ HỌC LÝ THUYẾT Câu 1. Chất điểm khối lượng m chuyển động với vận tốc đầu 0 v từ điểm A theo phương vuông góc với 0 OA r= uuur ur ( O là gốc tọa độ) dưới tác dụng của lực F Cm r= - ur r ( C là hằng số dương). Tìm phương trình quỹ đạo và vận tốc của vật. +) Ta có [ ] [ ] 0 . dL M r mv r F L const dt = = + = =Ù Ù Þ ur uur r r r ur r ur uuuuur Do vậy quỹ đạo chuyển động nằm trong một mặt phẳng. +) Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ. +) PTCĐ 2 2 , d r C r dt = - r r trong đó ( ) 0 0 0 0 , . t t dr r r v dt = = æ ö ÷ ç ÷ = = ç ÷ ç ÷ ç è ø r r r r +) Giải ra ta được 0 0 cos sin . v r r C t C t C = + r r r +) Phương trình quỹ đạo 2 2 2 2 0 0 1. x y C r v + = +) Vận tốc của vật 2 2 2 2 0 0 0 0 sin cos sin cos .v C r C t v C t v Cr C t v C t= - + = +Þ r r r Câu 2. Đĩa tròn nằm ngang có khối lượng M phân bố đều, bán kính của đĩa là .R Đĩa có thể quay không ma sát quanh trục thẳng đứng đi qua tâm. Trên mép đĩa có một chất điểm khối lượng .m Ban đầu đĩa và chất điểm quay với vận tốc góc 0 .w Tính vận tốc của hệ khi chất điểm dịch chuyển về vị trí cách tâm đĩa một khoảng .r +) Do các ngoại lực tác dụng lên hệ có phương song song với trục quay nên tổng mômen ngoại lực tác dụng lên hệ theo trục quay Oz bằng 0, tức là 0. z M = +) Ta có 0. z z dL M dt = = Suy ra . z L const= +) Chọn chiều dương là chiều quay của đĩa lúc đầu. +) Mômen xung lượng của hệ theo phương trục Oz được bảo toàn nên ta có 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 1 1 ( 2 ) . 2 2 2 M m R MR mR MR mr MR mr + + = + =w w w wÞ w w + Câu 3. Phà và một ôtô đạu trên phà có vận tốc 0 .v Sau đó ô tô chuyển động trên phà với vận tốc tương đối u hướng từ đầu phà đến cuối phà. Biết khối lượng của phà là M và khối lượng của ô tô là .m Tính vận tốc của phà khi ô tô đang chuyển động. +) Chọn chiều dương là chiều chuyển động của phà lúc đầu. Xét hệ gồm phà và ôtô. +) Do tổng ngoại lực tác dụng lên hệ theo phương ngang bằng không nên 0 . l x x x dP F P const dt = = =Þ +) Động lượng của hệ theo phương ngang được bảo toàn nên ta có 0 0 ( ) ( ) . m M m v Mv m v u v v u M m + = + - = +Þ + (với v là vận tốc của phà khi ôtô đang chuyển động). Cõu 1. Mt viờn n khi lng m c bn i trong trng trng u vi vn tc 0 v ur hp vi phng ngang gúc .a Lc cn .F mgkv= - ur r Tỡm PTC v vn tc ca vt. +) D thy qu o c ca n nm trong mt mt phng. Chn h trc Oxy nh h.v. +) PT cng , dv g gkv dt = - r r r trong ú 0 0 (0) cos , (0) sin , (0) (0) 0. x y v v v v x y= = = =a a +) Chiu lờn Ox, Oy ta c , . y x x y dv dv gkv g gkv dt dt = - = - +) Gii ra ta c ( ) 0 0 0 cos 0 0 0 sin 0 cos 1 sin sin 1 1 x y v t x kgt x x v v t kgt y y v y dv gk dt v v e v dv v v v e gk dt k v k - a - a ỡ ù ù ù = - ù ỡ ù ù = a ù ù ù ù ù ù ổ ử ị ớ ớ ữ ỗ ù ù ữ = + - -a a ỗ ù ù ữ ỗ ữ = ỗ ù ù ố ứ ù ù ợ ù ù - ù ù ợ ũ ũ ũ ũ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos cos 1 1 1 1 1 sin 1 . sin sin 1 x t kgt kgt y t kgt kgt v dx v e dt x e kg y t v e dy v v e dt k kg k k - - - - ỡ ù ỡ ù ù a ù ù = a = - ù ù ù ù ù ù ị ớ ớ ổ ử ù ù ộ ự ổ ử ữ ỗ ù ù ữ ỗ ữ = - - -a ờ ỳ ỗ ù ù ữ = + - -a a ữ ỗ ỗ ữù ù ữ ỗ ờ ỳ ỗ ố ứ ữ ỗ ù ù ố ứ ợ ờ ỳ ù ở ỷ ợ ũ ũ ũ ũ Cõu 2. Cỏc vt 1 2 ,m m ni nhau bng dõy khụng dón vt qua rũng rc, chỳng trt trờn nờm vuụng gúc .m Tớnh dch chuyn ca nờm khi 1 m h xung mt on .s +) Chn chiu dng nh hỡnh v. Xột h gm cỏc vt 1 ,m m v 2 .m +) Do tng ngoi lc tỏc dng lờn h theo phng ngang bng khụng nờn ( ) 0 l c d Mv F dt = = (vi 1 2 M m m m= + + ). Suy ra 0 c c v const v= =ị (do ban u h ng yờn). Suy ra . c x const= +) bin thiờn khi tõm ca h bng khụng, do ú 1 2 1 2 cot ( cot ) ( ) 0 m m m x m x s m x s x s M +a + + + + = = -D D a D ị D (vi xD l dch chuyn ca nờm). +) Vy nờm s chuyn ng ngc li mt on 1 2 cot . m m s s M +a =D Cõu 3. Ph v mt ụtụ u trờn ph cú vn tc 0 .v Sau ú ụ tụ chuyn ng trờn ph vi vn tc tng i u hng t u ph n cui ph. Bit khi lng ca ph l M v khi lng ca ụ tụ l .m Tớnh vn tc ca ph khi ụtụ ang chuyn ng. +) Chn chiu dng l chiu chuyn ng ca ph lỳc u. Xột h gm ph v ụtụ. +) Do tng ngoi lc tỏc dng lờn h theo phng ngang bng khụng nờn 0 . l x x x dP F P const dt = = =ị +) ng lng ca h theo phng ngang c bo ton nờn ta cú 0 0 ( ) ( ) m M m v Mv m v u v v u M m + = + - = +ị + (vi v l vn tc ca ph khi ụtụ ang chuyn ng). Câu 1. Một cano khối lượng m bắt đầu chuyển động thẳng trên mặt nước dưới tác dụng của lực kéo không đổi F ur song song mặt nước và lực ma sát trượt có hệ số .kv=m Tìm phương trình chuyển động và vận tốc giới hạn của cano. +) Dễ thấy quỹ đạo cđ của cano nằm trên 1 đường thẳng. Chọn trục Ox như hình vẽ. +) Phương trình chuyển động , ms F F P N dv dt m + + + = ur ur r r r trong đó 0 0 ( ) 0,( ) 0. t t v x = = = = r r r r +) Chiếu lên trục Ox ta được . dv F kgv dt m = - Giải ra ta có ( ) 2 0 0 1 1 . 2 v t kgt kgt dv F F F e F kg dt v e t x t t F kgm m kgm kg m v kgm - - æ ö - ÷ ç ÷ ç = = - = -Þ Þ ÷ ç ÷ ÷ ç è ø - ò ò : : Câu 2. Sợi dây khối lượng không đáng kể vắt qua ròng rọc treo 1 2 , .m m Ròng rọc là đĩa tròn đồng chất , .m R Xác định gia tốc mỗi vật, bỏ qua ma sát. +) Giả sử ròng rọc quay với vận tốc .w Khi đó 1 2 .v v R= = w +) Mômen xung lượng của hệ là 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 . 2 2 m L J R m v R m v mR R m R Rm R R m m æ ö ÷ ç ÷ = + + = + + = + +w w w w w ç ÷ ç ÷ ç è ø +) Để ròng rọc quay theo chiều đưa 1 m đi xuống thì mômen ngoại lực 1 2 1 2 ( ). P P M M M R g m m= - = - +) Ta có . dL M dt = Suy ra, gia tốc của mỗi vật 1 2 1 2 2( ) . ( 2 2 ) m m d g dt R m m m - w = =e + + Câu 3. Đĩa tròn đồng chất ,M R bắt đầu lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng với góc nghiêng .a Tính vận tốc của tâm đĩa khi đĩa lăn xuống được một đoạn s theo phương mặt phẳng nghiêng. +) Độ biến thiên của động năng là 2 2 2 2 1 1 1 3 . 2 2 2 4 d v Mv MR Mv R æ ö ÷ ç ÷ = + =D ç ÷ ç ÷ ç è ø (với v là vận tốc của tâm đĩa khi đĩa lăn xuống được một đoạn s ) +) Công của trọng lực là sin . P A Mgs= a +) Áp dụng Định lý biến thiên động năng cho đĩa tròn ta có 2 3 sin sin 2 . 4 3 gs Mgs Mv v a = =a Þ . MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ HỌC LÝ THUYẾT Câu 1. Chất điểm khối lượng m chuyển động với vận tốc. tốc của tâm đĩa khi đĩa lăn xuống được một đoạn s ) +) Công của trọng lực là sin . P A Mgs= a +) Áp dụng Định lý biến thiên động năng cho đĩa tròn ta