Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng Ngày 8 tháng 3 năm 2011 Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Định nghĩa Hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp 1 là hệ có dạng:          dy 1 dx = f 1 (x, y 1 , , y n ) dy n dx = f n (x, y 1 , , y n ) (1) trong đó x là biến số độc lập, y 1 , y 2 , , y n là các hàm số phải tìm. Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Cho hệ phương trình vi phân (1). Giả sử các hàm số f i (x, y 1 , , y n ) cùng với các đạo hàm riêng ∂f i (x, y 1 , , y n ) ∂y j , i = 1, 2, , n; j = 1, 2, , n, liên tục trong một miền D trong R n+1 . Giả sử  x 0 , y 0 1 , y 0 2 , , y 0 n  là một điểm thuộc D. Khi đó trong một lân cận nào đó của điểm x = x 0 có một nghiệm duy nhất của hệ (1) thỏa mãn các điều kiện y 1   x=x 0 = y 0 1 , y 2   x=x 0 = y 0 2 , , y n   x=x 0 = y 0 n Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Các loại nghiệm của hệ chuẩn tắc Nghiệm tổng quát của hệ (1) là bộ n hàm số y i = ϕ i (x, C 1 , C 2 , , C n ) , i = 1, 2, , n trong đó C 1 , C 2 , , C n là các hằng số tùy ý thỏa mãn các điều kiện sau: 1, Nó thỏa mãn hệ (1) với mọi giá trị của C 1 , C 2 , , C n ; 2, Với mọi điểm  x 0 , y 0 1 , y 0 2 , , y 0 n  ở đó các điều kiện của định lý tồn tại và duy nhất nghiệm được thỏa mãn, có thể tìm được một bộ giá trị C 1 = C 0 1 , C 2 = C 0 2 , , C n = C 0 n sao cho các hàm số y i = ϕ i (x, C 1 , C 2 , , C n ) thỏa mãn các điều kiện ban đầu y i | x=x 0 = y 0 i , i = 1, 2, , n Nghiệm riêng của hệ (1) là nghiệm có được bằng cách cho C 1 , C 2 , , C n trong nghiệm tổng quát các giá trị xác định C 1 = C 0 1 ; C 2 = C 0 2 ; , C n = C 0 n Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Phương pháp khử Một hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp một có thể đưa được về một phương trình vi phân cấp cao đối với một hàm số chưa biết bằng cách khử những hàm số chưa biết còn lại từ những phương trình của hệ. Giải phương trình vi phân cấp cao đó, rồi tìm những hàm số chưa biết còn lại. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  y  = 5y + 4z z  = 4y + 5z Lấy đạo hàm hai vế phương trình đầu ta được:y  = 5y  + 4z  Thay z  bởi vế phải của phương trình sau, ta được y  = 5y  + 16y + 20z Từ phương trình đầu suy ra z = 1 4 (y  − 5y). Thế vào phương trình trên ta được y  − 10y  + 9y = 0 Nghiệm tổng quát của phương trình này là: y = C 1 e x + C 2 e 9x . Tính y  rồi thế vào phương trình đầu ta được z = −C 1 e x + C 2 e 9x Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Phương pháp khử Ví dụ 2: Giải hệ phương trình      dx dt = y dy dt = x Ví dụ 3: Giải hệ phương trình      dx dt = 3x − 2y dy dt = 2x − y Ví dụ 4: Giải hệ phương trình  y  = y + z z  = y + z + x Ví dụ 5: Giải hệ phương trình      y  = y 2 z z  = 1 2 y Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Phương pháp lập tổ hợp giải tích Trong một số trường hợp, có thể tổ hợp các phương trình của hệ lại để được một phương trình vi phân dễ giải. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  y  = z z  = y Cộng hai vế phương trình: y  + z  = y + z ⇒ y + z = C 1 e x Trừ hai vế phương trình: y  − z  = −(y − z) ⇒ y − z = C 2 e −x Từ đó suy ra y = 1 2 (C 1 e x + C 2 e −x ) ; z = 1 2 (C 1 e x − C 2 e −x ) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  y  = y 2 + yz z  = z 2 + yz Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Định nghĩa Hệ tuyến tính thuần nhất hệ số hằng là hệ có dạng:          dy 1 dx = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n dy n dx = a n1 y 1 + a n2 y 2 + + a nn y n (2) Nếu y 1 , y 2 , , y n là nghiệm của hệ (2), dùng ký hiệu vecto  Y có các thành phần y 1 , y 2 , , y n để chỉ nghiệm ấy. Nếu  Y 1 ,  Y 2 , ,  Y m là những nghiệm của hệ (2) thì mọi tổ hợp của chúng dạng C 1  Y 1 + C 2  Y 2 + + C m  Y m cũng là nghiệm của hệ ấy. Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Phương pháp giải Tìm nghiệm của hệ dưới dạng y 1 = p 1 e λx , y 2 = p 2 e λx , , y n = p n e λx (3) trong đó p 1 , p 2 , , p n , λ là những số phải xác định. Sau khi thế (3) vào (2), ta được hệ phương trình sau đối với p 1 , p 2 , , p n :        (a 11 − λ) p 1 + a 12 p 2 + + a 1n p n = 0 a 21 p 1 + (a 22 − λ) p 2 + + a 2n p n = 0 a n1 p 1 + a n2‘ p 2 + + (a nn − λ) p n = 0 (4) Đó là hệ thuần nhất phải có nghiệm khác không, do đó định thức của ma trận các hệ số phải bằng không. Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Phương pháp giải         a 11 − λ a 12 a 1n a 21 a 22 − λ a 2n a n1 a n2‘ a nn − λ         = 0 (5) Phương trình (5) được gọi là phương trình đặc trưng của hệ (2). Các nghiệm của phương trình đặc trưng gọi là giá trị riêng của hệ. Ta xét các khả năng sau: TH1: Nếu phương trình đặc trưng (5) có n nghiệm thực phân biệt λ 1 , λ 2 , , λ n . Ứng với mỗi giá trị riêng λ k , từ hệ (4) ta xác định giá trị riêng p 1k , p 2k , , p nk , k = 1, 2, , n Khi đó hệ phương trình vi phân có n nghiệm: y 11 = p 11 e λ 1 x , y 21 = p 21 e λ 1 x , , y n1 = p n1 e λ 1 x y 12 = p 12 e λ 2 x , y 22 = p 22 e λ 2 x , , y n2 = p n2 e λ 2 x Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN [...]... Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Phương pháp giải Các hệ số của đa thức phụ thuộc n hằng số tùy ý C1 , C2 , , Cn Dựa vào hệ phương trình (2) có thể tìm được các hệ số đó bằng phương pháp hệ số bất định TH3: Nếu phương trình đặc... PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (5) Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Phương pháp giải a11 − λ a21 an1 a12 a1n a22 − λ a2n an2‘ ann − λ =0 Phương trình (5) được gọi là phương trình đặc trưng của hệ (2) Các nghiệm của phương trình đặc trưng gọi là giá trị riêng của hệ Ta... Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Phương pháp giải a11 − λ a21 an1 a12 a1n a22 − λ a2n an2‘ ann − λ =0 Phương trình (5) được gọi là phương trình đặc trưng của hệ (2) Các nghiệm của phương trình đặc trưng gọi là giá trị riêng của hệ Ta xét các khả năng sau: Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG... + C3 e 3t  z = −2C1 e t − 8C2 e 2t − 3C3 e 3t Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Ví dụ Ví dụ 2 Giải hệ y =y −z z = y + 3z Giải: Phương trình đặc trưng 1−λ 1 −1 3−λ = 0 ⇔ λ2 − 4λ + 4 = 0 ⇔ λ1 = λ2 =... 2x z = (cx + d ) e 2x Thế vào phương trình được: 2ax + 2b + a = (a − c)x + b − d 2cx + 2d + c = (a + 3c)x + (b + 3d ) Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Ví dụ Đồng nhất hệ số hai vế ta được:   2a =... (C1 x + C2 ) e 2x z = − (C1 x + C1 + C2 ) e 2x Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Ví dụ Ví dụ 3 Giải hệ y = 4y − 3z z = 3y + 4z Giải: Phương trình đặc trưng 4−λ 3 −3 4−λ = 0 ⇔ λ = 4 ± 3i Với λ1 = 4 + 3i... 4x (C1 cos 3x + C2 sin 3x) z = e 4x (−C1 sin 3x + C2 cos 3x) Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Bài tập Giải các hệ phương trình sau:   dx = −x + y + z   dt   dy 1 =x −y +z  dt    dz  =x +y... Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Phương pháp giải Hệ nghiệm đó được gọi là hệ nghiệm cơ bản Từ hệ nghiệm cơ bản có thể xây dựng nghiệm tổng quát của hệ bằng cách lấy tổ hợp tuyến tính   y1 = C1 y11 + C2 y12 + + Cn y1n   y2 = C1 y21 + C2 y22 + + Cn y2n    yn = C1 yn1 + C2 yn2 + + Cn ynn TH2: Phương. .. với phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng, nghĩa là lấy các nghiệm riêng là phần thực và phần ảo của nghiệm riêng phức tương ứng Ví dụ 1   dx = 6x − 12y − z   dt   dy Giải hệ = x − 3y − z  dt   dz   = −4x + 12y + 3z dt Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân. .. C1 e t + C2 e 2t + C3 e −t y = C1 e t − 3C3 e −t  z = C1 e t + C2 e 2t − 5C3 e −t Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Bài tập   dx = 3x + 2z    dt    x dy y 3 = y + 2z  dt   z  dz   = . nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Th.S. nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Định nghĩa Hệ phương trình vi