Annals of Mathematics Sur le th´eor`eme de Paley-Wiener d’Arthur By Patrick Delorme Annals of Mathematics, 162 (2005), 987–1029 Sur le th´or`me de e e Paley-Wiener d’Arthur By Patrick Delorme Abstract The Fourier transform of a C ∞ function, f , with compact support on a real reductive Lie group G is given by a collection of operators φ(P, σ, λ) := π P (σ, λ)(f ) for a suitable family of representations of G, which depends on a family, indexed by P in a finite set of parabolic subgroups of G, of pairs of parameters (σ, λ), σ varying in a set of discrete series, λ lying in a complex finite dimensional vector space The π P (σ, λ) are generalized principal series, induced from P It is easy to verify the holomorphy of the Fourier transform in the complex parameters Also it satisfies some growth properties Moreover an intertwining operator between two representations π P (σ, λ), π P (σ , λ ) of the family, implies an intertwining property for φ(P, σ, λ) and φ(P , σ , λ ) There is also a way to introduce ”successive (partial) derivatives” of the family of representations, π P (σ, λ), along the parameter λ, and intertwining operators between subquotients of these successive derivatives imply the intertwining property for the successive derivatives of the Fourier transform φ We show that these properties characterize the collections of operators (P, σ, λ) → φ(P, σ, λ) which are Fourier transforms of a C ∞ function with compact support, for G linear The proof, which uses Harish-Chandra’s Plancherel formula, rests on a similar result for left and right K-finite functions, which is due to J Arthur We give also a proof of Arthur’s result, purely in term of representations, involving the work of A Knapp and E Stein on intertwining integrals and Langlands and Vogan’s classifications of irreducible representations of G Introduction Le Th´or`me de Paley-Wiener de J Arthur (cf [A]) d´crit la transform´e e e e e ∞ ` support compact, τ -sph´riques, ou de Fourier de l’espace des fonctions C a e K-finies ` gauche et ` droite sur un groupe r´ductif r´el dans la classe d’Harisha a e e Chandra, o` K est un sous-groupe compact maximal de G La d´monstration u e repose sur le d´placement de contour de certaines int´grales et sur l’´tude des e e e r´sidus ainsi obtenus Plus r´cemment ce r´sultat a ´t´ g´n´ralis´ aux espaces e e e ee e e e 988 PATRICK DELORME sym´triques r´ductifs par E van den Ban et H Schlichtkrull (cf [BS]), en e e utilisant ´galement un d´placement de contour d’ int´grales et les r´sidus e e e e Ant´rieurement au travail d’Arthur, D P Zelobenko (cf [Z]) avait obtenu e le r´sultat pour les groupes semi-simples complexes, par une m´thode bas´e e e e sur sa classification des repr´sentations irr´ductibles (cf [Du] pour une expoe e sition de cette classification) et un argument de r´currence sur la longueur des e K-types Nous avons appris cette m´thode dans des notes non publi´es de M e e Duflo et l’avons appliqu´e aux groupes semi-simples r´els avec une seule classe e e de conjugaison de sous-groupes de Cartan (cf [D1]) Nous l’appliquons ici a une classe de groupes r´ductifs r´els pour obtenir ` e e une d´monstration du r´sultat d’Arthur, qui s’exprime compl`tement ` l’aide e e e a des repr´sentations de G Nous obtenons aussi la caract´risation de la transe e form´e de Fourier de l’alg`bre de convolution des distributions sur G, K-finies e e a ` droite et a gauche et ` support dans K Enfin, nous caract´risons l’image par ` a e ∞ , a support compact, ce la transform´e de Fourier de l’espace des fonctions C ` e qui est rendu possible par notre reformulation du Th´or`me d’Arthur en terme e e de repr´sentations Le Th´or`me s’applique notamment au groupe des points e e e r´els d’un groupe alg´brique connexe d´fini sur R e e e Contrairement au cas des groupes semi-simples complexes, il faut faire intervenir des conditions d’entrelacement portant sur des d´riv´es partielles e e d’ordre quelconque des transform´es de Fourier, relations introduites par e O Campoli (cf [Cam]) pour les groupes de rang Nous introduisons ces relations en terme d’entrelacement entre sous-quotients, non n´cessairement e irr´ductibles, de d´riv´es successives de s´ries principales g´n´ralis´es (cf § 1.5 e e e e e e e pour cette notion) La plupart des r´sultats utilis´s pour notre preuve du Th´or`me d’Arthur e e e e datent d’au moins 20 ans notamment ceux sur les int´grales d’entrelacement e et leur normalisation [KSt], la classification de Langlands (cf e.g [BoWall]) et la classification de Vogan (cf [V1], [V2]) des repr´sentations irr´ductibles, e e les homomorphismes d’Harish-Chandra li´s aux K-types minimaux des s´ries e e principales g´n´ralis´es (cf [D2]), et les multiplicateurs (cf [D3]) Un r´sultat e e e e r´cent (cf [DSou]), qui fait suite a un travail de S Souaifi (cf [Sou]), joue e ` toutefois un role crucial Celui-ci ´tablit que tout module d’Harish-Chandra est e un sous-quotient d’une somme finie de d´riv´es successives de s´ries principales e e e g´n´ralis´es En outre on peut choisir celles-ci de sorte que leurs K-types e e e soient de longueur sup´rieure ou ´gale ` celle d’au moins un K-type du module e e a original (cf [DSou, Th 3]) ∞ La caract´risation de la transform´e de Fourier de Cc (G), utilise d’une e e part la formule de Plancherel d’Harish-Chandra et d’autre part le r´sultat e suivant de W Casselman et N Wallach (cf [Cass], [Wall]): tout morphisme de (g, K)-modules entre modules d’Harish-Chandra se prolonge continˆment u en un morphisme de G-modules entre leurs compl´tions ` croissance mod´r´e e a ee ´ ` SUR LE THEOREME DE PALEY-WIENER D’ARTHUR 989 Voici le plan de l’article Au paragraphe 1, on rappelle les principaux r´sultats utilis´s pour notre preuve du Th´or`me d’Arthur Le paragraphe e e e e δγ e e d´montre la Proposition qui porte sur l’espace Kσ Le succ`s de la m´thode e r´side d’une part dans la bonne d´finition de cet espace interm´diaire, qui e e e tient compte de conditions portant sur les d´riv´es Le paragraphe reprend e e essentiellement la m´thode de Zelobenko pour d´duire le Th´or`me de Paleye e e e Wiener pour les fonctions K-finies de la Proposition Le succ`s de la m´thode e e r´side d’autre part dans le r´sultat de [DSou] cit´ plus haut Au paragraphe 4, e e e on ´tablit le Th´or`me de Paley-Wiener pour l’espace des fonctions C ∞ ` e e e a support compact, sans condition de K-finitude R´sum´ Soit G un groupe de Lie r´ductif lin´aire (voir § pour les e e e e hypoth`ses pr´cises) et K un sous-groupe compact maximal de G, qui est le e e groupe des points fixes d’une involution de Cartan θ On note P l’ensemble des sous-groupes paraboliques de G dont l’alg`bre de Lie contient un souse espace ab´lien maximal fix´ de l’espace des ´l´ments de l’alg`bre de Lie de G e e ee e antiinvariants par θ Pour P ∈ P, on note P = M AN sa d´composition de e Langlands On introduit la notion de ”d´riv´es (partielles) successives” d’une famille e e holomorphe d’op´rateurs, puis de repr´sentations, dans un espace fixe En e e particulier les ”d´riv´es successives” de s´ries principales g´n´ralis´es sont e e e e e e ´galement des repr´sentations induites d’un sous-groupe parabolique P = e e M AN ` partir d’une repr´sentation de P triviale sur N , cette repr´sentation a e e induisante ´tant ´gale, comme repr´sentation de M A, au produit tensoriel e e e d’une s´rie discr`te, σ, de M par une repr´sentation de dimension finie de A e e e dont tous les sous-quotients irr´ductibles sont isomorphes ` une repr´sentation e a e de diff´rentielle λ ∈ a∗ On notera (I(σ), π P (σ, λ)) la r´alisation compacte du e e C (g, K)-module des vecteurs K-finis de la s´rie principale correspondante e ˆ Soit γ, δ ∈ K On note χδ la fonction C ∞ sur K qui est repr´sent´e e e par le projecteur sur la composante isotypique de type δ dans toute repr´sent e ation continue de K On note PW(G, K)δγ l’espace des applications φ qui a ` (P, σ, λ), avec P ∈ P , σ s´rie discr`te de M dans un espace de Hilbert, e e fix´ une fois pour toute pour chaque dimension, et λ ∈ a∗ , associe φ(P, σ, λ) ∈ e C ee Hom(I(σ)γ , I(σ)δ ) qu’on peut regarder comme un ´l´ment de Hom(I(σ), I(σ)), nul sur les composantes isotypiques de K distinctes de celle de γ, I(σ)γ et telles que: 1) Comme fonction de λ, φ(P, σ, λ) est la transform´e de Fourier d’une e ∞ ` support compact, a valeurs dans Hom(I(σ)γ , I(σ)δ ) fonction C a ` 2) Les op´rateurs φ(P, σ, λ), φ(P , σ , λ ) sont entrelac´s par tout op´rateur e e e P (σ, λ) et π P (σ , λ ) Chaque d’entrelacement entre les (g, K)-modules π d´riv´e partielle successive des φ(P, σ, λ) d´finit un op´rateur dans la e e e e P (σ, λ) et donc dans leurs d´riv´e partielle successive correspondante de π e e 990 PATRICK DELORME sommes finies On suppose que ces op´rateurs laissent stables tout e (g, K)-sous-module et qu’ils d´finissent par cons´quent un op´rateur dans e e e les sous-quotients, pas n´cessairement irr´ductibles On demande enfin e e que tout entrelacement entre ces sous-quotients entrelace les op´rateurs e d´termin´s par φ dans ces sous-quotients e e Remarquez qu’en tenant compte de la propri´t´ 2), du Th´or`me du ee e e sous-module de Casselman et de l’induction par ´tages, on voit que φ est e d´termin´e par ses restrictions aux param`tres (P, σ, λ), avec P ∈ P souse e e groupe parabolique minimal ∞ On note Cc (G)δγ l’espace des fonctions C ∞ ` support compact, f , telles a que χδ f χγ = f La transform´e de Fourier d’un ´l´ment de cet espace est e ee l’application qui a tout (P, σ, λ) comme ci-dessus associe π P (σ, λ)(f ), regard´ ` e γ , I(σ)δ ) ( voir ci-dessus) L’espace de ces comme un ´l´ment de Hom(I(σ) ee transform´es de Fourier est not´ F(G, K)δγ Il s’agit de prouver l’´galit´ de e e e e δγ et de PW(G, K)δγ (cf Th´or`me 1: c’est la version K-finie du e e F(G, K) Th´or`me d’Arthur) L’inclusion du premier espace dans le second est facile a e e ` prouver Pour prouver l’inclusion inverse, il faut introduire un espace auxiliaire Soit M A le sous-groupe de L´vi d’un ´l´ment de P et σ une s´rie discr`te de e ee e e M On note A(σ) l’ensemble des K-types minimaux de I(σ) Pour simplifier δγ ce r´sum´, on suppose que A(σ) est r´duit a un ´l´ment, µ On note Fσ e e e ` ee l’ensemble des restrictions des ´l´ments de F(G, K)δγ aux triplets (P, σ, λ) ee δγ e e avec P ∈ P, de sous-groupe de L´vi M A, λ ∈ a∗ On d´finit de mˆme PWσ e C Il r´sulte du travail commun avec L Clozel (cf.[CD1]) que l’on a l’´galit´: e e e µµ µµ Fσ = PWσ On a mˆme une description de ces espaces ` l’aide d’invariants sous un souse a groupe d’un groupe de Weyl Nous en donnons ici une preuve plus simple, bas´e sur un travail commun avec M Flensted-Jensen (cf [DF-J]) On note e δγ δγ Kσ l’espace des ´l´ments φ de PWσ v´rifiant certaines propri´t´s d’annulation ee e ee que nous allons essayer de d´crire d’une fa¸on plus imag´e que dans le corps du e c e texte Si P, Q sont des sous-groupes paraboliques adjacents, de sous groupe de L´vi M A, les int´grales d’entrelacement normalis´es de A Knapp et E Stein, e e e A(Q, P, σ, λ), d´pendent d’un param`tre complexe z = λα , o` α est la seule e e u racine r´duite de a ` la fois positive pour P et n´gative pour Q La condition e a e impos´e est que, ` chaque fois que l’on a de telles donn´es avec Reλα ≥ 0, on e a e ait φ(P, σ, λ) qui s’annule sur le noyau de A(Q, P, σ, λ), et, plus g´n´ralement, e e on impose qu’il en est de mˆme pour les ”d´riv´es”, d’ordre quelconque, par e e e rapport a la variable z, de ces familles d’op´rateurs La deuxi`me ´tape im` e e e portante de la d´monstration du Th´or`me est la preuve du fait que tout e e e ´ ` SUR LE THEOREME DE PALEY-WIENER D’ARTHUR 991 δγ e ´l´ment φ de Kσ s’´crit : ee φ(P, σ, λ) ≡ π P (σ, λ)(ui )φi (P, σ, λ)π P (σ, λ)(ui ) i ee e o` ui , uj sont des ´l´ments de l’alg`bre de convolution, H(G, K), des distriu butions sur G, a support dans K, K-finies ` droite et a gauche, v´rifiant ` a ` e µµ χδ ui χµ = ui , χµ ui χγ = ui , et les φi sont ´l´ments de Fσ On traite ee cette question sous-forme matricielle, en introduisant un deuxi`me indice j e pour param´trer les u , les φi sont remplac´s par une famille d´pendant alors e e e de i et j, φij Les donn´es sont φ et les ui , uj et les inconnues les φij Il s’agit de e syst`mes lin´aires d´pendant de λ La solution fait apparaitre un d´nominateur e e e ˆ e ´gal ` un d´terminant, ce qui introduit des fonctions m´romorphes l` o` on e a e e a u voudrait voir des fonctions holomorphes Ce d´terminant est produit de deux e facteurs polynomiaux L’un des facteurs, qui ne d´pend pas des donn´es, est e e un produit de formes affines, li´ aux propri´t´s des op´rateurs d’entrelacement e ee e On montre que ce facteur divise le num´rateur des solutions en utilisant les e δγ propri´t´s caract´ristiques de φ ∈ Kσ On montre alors que les solutions ee e multipli´es par l’autre facteur du d´nominateur ont les propri´t´s voulues, i.e e e ee µµ appartiennent a Fσ Ce deuxi`me facteur du d´nominateur d´pend des ui ` e e e et uj , et leurs combinaisons lin´aires, lorsque ui et uj varient engendrent un e e id´al d’une alg`bre de polynˆmes sur a∗ On montre que cet id´al est sans e e o C z´ro en utilisant notamment le fait que si Reλ est P -dominant le K-type µ e est cyclique pour π P (σ, λ) Le th`or`me des z´ros de Hilbert montre que cet e e e id´al contient la constante On obtient la repr´sentation voulue de φ par e e une simple sommation Ceci fait l’objet de la Proposition Celle-ci a comme δγ δγ corollaire imm´diat l’inclusion de Kσ dans Fσ e Pour achever la preuve du Th´or`me 1, on introduit, pour t ≥ 0, un e e δγ δγ form´ des ´l´ments φ de ce dernier tels que sous-espace Nt de PW(G, K) e ee φ(P, σ, λ) est nul si la longueur du K-type µ ∈ A(σ) est sup´rieure o` ´gale ` t e ue a δγ L’objet de la Proposition est de montrer que Nt est inclus dans F(G, K)δγ Il suffit de voir que l’assertion est vraie pour t ´gal ` l’une quelconque des e a longueurs t1 < · · · < d’un K-type minimal d’une s´rie principale g´n´ralis´e e e e e δγ δγ e a contenant γ et aussi pour tp+1 := + 1, car Nt est ´gal ` l’un des Ntq On fait une r´currence sur q = 1, , p + Soit M A le sous-groupe de Levi e d’un ´l´ment P de P, σ une s´rie discr`te de M telle que µ ∈ A(σ) soit de ee e e longueur tq Le pas de r´currence r´side dans le fait que si φ est ´l´ment de Ntδγ , e e ee q la restriction de φ aux (P, σ, λ), o` P admet M A comme sous-groupe de L´vi, u e δγ et λ ∈ a∗ , est un ´l´ment de Kσ C’est dans cette preuve que le Th´or`me sur ee e e C les modules d’Harish-Chandra cit´ ci-dessus (cf [DSou]) est utilis´ On utilise e e alors la Proposition ou son corollaire, pour obtenir, par une soustraction a ` φ d’une somme finie d’´l´ments de F(G, K)δγ , un ´l´ment de Ntδγ , auquel on ee ee q−1 peut appliquer l’hypoth`se de r´currence e e 992 PATRICK DELORME Cette Proposition implique le Th´or`me car pour t strictement plus e e δγ grand que la longueur de γ, Nt est ´gal ` PW(G, K)δγ En effet si µ ∈ A(σ) e a est de longueur strictement plus grand que la longueur de γ, I(σ) ne contient pas le K-type γ, donc pour φ ∈ PW(G, K)δγ , φ(P, σ, λ) est nul pour tout λ ∞ Pour d´terminer l’image par la transform´e de Fourier de Cc (G), F(G), e e on introduit un espace PW(G), avec des conditions portant sur des entrelacements entre certains G-module lisses ` croissance mod´r´es, les sommes finies a ee de d´riv´es successives de s´ries principales g´n´ralis´es Cet espace contient e e e e e e F(G) Il faut montrer l’inclusion inverse L’espace PW(G) est un espace de Fr´chet sur lequel K ì K op`re de faáon C Alors un ´l´ment φ de cet espace e e c ee est la somme de ses composantes isotypiques sous K × K, φδγ Mais grˆce au a r´sultat de Casselman et Wallach rappel´ plus haut, on peut montrer que φδγ e e est ´l´ment de PW(G, K)δγ , donc, d’apr`s le Th´or`me 1, c’est la transform´e ee e e e e ∞ de Fourier d’un ´l´ment f δγ de Cc (G)δγ Grˆce ` la formule de Plancherel ee a a d’Harish-Chandra, et la d´finition de PW(G), on voit que la s´rie des f δγ cone e verge dans L2 (G), vers une fonction f On note ∆ = Cg − 2Ck o` Cg est le u ee e Casimir de l’alg`bre de Lie de G et Ck est un ´l´ment du centre de l’alg`bre ene veloppante, U(k), de la complexifi´e de l’alg`bre de Lie de K tel que ∆ soit un e e op´rateur diff´rentiel elliptique d’ordre On voit de mˆme que, pour p ∈ N la e e e s´rie des ∆p f δγ converge dans L2 (G) On en d´duit que la distribution ∆p f est e e e ´l´ment de L2 (G) pour tout p ∈ N Mais ∆ est un op´rateur elliptique, donc f ee ∞ Par ailleurs le Th´or`me dans sa forme pr´cise permet de controler est C e e e ∞ ee les supports des f δγ Finalement f est ´l´ment de Cc (G) Pour conclure que φ ∈ F(G), on v´rifie que f admet φ comme transform´e de Fourier e e Remerciements C’est Michel Duflo qui a ´veill´, ` la fin des ann´es 70, e e a e mon int´rˆt pour le Th´or`me de Paley-Wiener pour les groupes r´els r´ductifs ee e e e e C’est une conversation r´cente avec lui, ` propos des travaux d’E van den Ban e a et H Schlichtkrull, qui m’a fait reconsid´rer cette question Je le remercie de e tous les points de vue enrichissants dont il m’a fait b´n´ficier e e Je remercie ´galement Jacques Carmona pour ses r´ponses aux nome e breuses questions que je lui pos´es pendant toute l’´laboration de ce travail e e Je remercie enfin Sofien Souaifi pour de nombreuses remarques et Abderrazak Bouaziz pour des questions constructives Notations, rappels 1.1 Hypoth`ses sur G Si E est un espace vectoriel, E ∗ d´signe son dual e e e e e e Si E est r´el, EC d´signe son complexifi´ et S(E) l’alg`bre sym´trique de EC Si e E, F sont des espaces vectoriels complexes on note Hom(E, F ) l’ensemble des applications C-lin´aires de E dans F On dit qu’une application d’un espace e vectoriel complexe de dimension finie dans un espace vectoriel complexe est ´ ` SUR LE THEOREME DE PALEY-WIENER D’ARTHUR 993 polynˆmiale si son image est contenue dans un espace de dimension finie et o polynˆmiale comme application ` valeurs dans celui-ci o a e Si G est un groupe de Lie, on note G0 sa composante neutre, g son alg`bre de Lie, U(g) l’alg`bre enveloppante de gC , Z(g) le centre de U(g) e Soit G un sous-groupe ferm´ de GL(n, R) Noter que cette hypoth`se est e e gouvern´e par notre recours ` (1.6), (1.7), (1.8) ( voir plus bas) Alors gC e a s’identifie a une sous-alg`bre de Lie de gl(n, C) On note GC le sous-groupe ` e analytique de GL(n, C) d’alg`bre de Lie gC et ZC (G) le centralisateur de G e dans GL(n, C) On suppose: (i) (1.1) g est r´ductive; e (ii) G a un nombre fini de composantes connexes; (iii) G ⊂ GC ZC (G) Alors G est dans la classe d’Harish-Chandra [H-C] L’intersection G des noye e aux des caract`res de G ` valeurs dans R∗+ v´rifie les hypoth`ses de [KSt] e a et [K] dont les r´sultats s’´tendent imm´diatement ` G Par ailleurs, nos hye e e a poth`ses sur G sont celles de [CD1] On note θ une involution de Cartan de G e et K le groupe des points fixes de θ On note AG le sous-groupe analytique de G dont l’alg`bre de Lie est l’espace des ´l´ments du centre de g antiinvariants e ee par θ On l’appelle composante d´ploy´e de G On a G = GAG On fixe e e une forme bilin´aire sym´trique, B, sur g, invariante par Ad G et θ, telle que e e la forme quadratique X = −B(X, θX) soit d´finie positive e 1.2 Int´grales d ’entrelacements Soit P un sous-groupe parabolique de G e e e On note LP ou L = P ∩ θ(P ), AP ou A la composante d´ploy´e de L, M = L, N ou NP son radical unipotent On appelle P = M AN la d´composition e de Langlands de P , L le sous-groupe de L´vi de P On note ρ ou ρP la e forme lin´aire sur a, d´finie par ρ(X) = 1/2tr(ad X|n), X ∈ a On note ∆(a) e e l’ensemble des racines r´duites de a dans g et pour α ∈ ∆(a), on note gα le e sous-espace radiciel correspondant On note ∆+ = {α ∈ ∆(a)|gα ⊂ nP } et P CP = {λ ∈ a∗ |(λ, α) > 0, α ∈ ∆+ } On notera C P , l’adh´rence de CP dans a∗ e P On note W (A) le groupe de Weyl de (G, A), ´gal au quotient du normalisateur, e e NK (a) de a dans K, par son centralisateur ZK (a), qui op`re sur les classes ˆ d’´quivalence de repr´sentations unitaires de M et sur le dual unitaire M de M e e On fixe une fois pour toutes, un espace de Hilbert pour chaque dimension Soit ˆ Md l’ensemble des repr´sentations de la s´rie discr`te de M dans ces espaces Il e e e ˆ s’agit de repr´sentations concr`tes et non de classes d’´quivalences Si σ ∈ Md , e e e on note Wσ le stabilisateur de la classe d’´quivalence de σ dans W (A) e On fixe un sous-groupe parabolique minimal Pmin = Mmin Amin Nmin Soit P l’ensemble des sous-groupes paraboliques de G contenant Amin , soit L l’ensemble des sous-groupes de L´vi des ´l´ments de P Pour L ∈ L, on note e ee P(L) l’ensemble des ´l´ments de P dont le sous-groupe de L´vi est ´gal ` L ee e e a 994 PATRICK DELORME On note Pst l’ensemble des ´l´ments de P contenant Pmin , dont les ´l´ments ee ee G := W (A ) sont dits standards On note W m e Soit (σ, Hσ ) une repr´sentation continue de M , dans un espace de Hilbert , dont la restriction a K ∩M est unitaire, dont la multiplicit´ des K ∩M -types est ` e finie et dont le (m, K∩M )-module sous-jacent est de longueur finie Soit λ ∈ a∗ C ∞ On note Hσ l’espace des vecteurs C ∞ de Hσ On consid`re l’espace I P,∞ (σ, λ), e ∞ e l’espace des fonctions C ∞ , ϕ : G → Hσ v´rifiant ϕ(gman) = a−λ−ρ ϕ(g), g ∈ G, a ∈ A, n ∈ N Le groupe G agit sur I P,∞ (σ, λ) par translation a ` gauche On note I P (σ, λ) l’espace des vecteurs K-finis de I P,∞ (σ, λ), I P,2 (σ, λ) le compl´t´ de I P,∞ (δ, λ) pour le produit scalaire: (ϕ|ϕ ) = K (ϕ(k)|ϕ (k))dk ee Dans ces trois espaces, on note π P (σ, λ) la repr´sentation de G ou (g, K) e ∞ (σ), I(σ), I (σ), l’espace, ind´pendant de λ, des e correspondante On note I restrictions ` K des ´l´ments de I P,∞ (σ, λ), I P (σ, λ), I P,2 (σ, λ) La restriction a ee a ` K est une bijection entre ces espaces et on note π P (σ, λ) ( ou encore π P (σ, λ), par abus de notation), la repr´sentation de G, ou (g, K), obtenue par transport e de structure On appelle application holomorphe d’une ou plusieurs variables complexes a ` valeurs dans un espace vectoriel complexe, V , sans topologie sp´cifi´e, toute e e application a valeurs dans un sous-espace de dimension finie, et holomorphe ` comme application ` valeurs dans ce sous-espace Par contre, si V est un a espace de Fr´chet, on emploiera la d´finition usuelle et ses propri´t´s (cf [Bou, e e ee §3.3]) On appelle application m´romorphe a valeurs dans un espace vectoriel e ` complexe V au voisinage de z ∈ Cn , toute application localement de la forme u a g −1 f o` f (resp g) est une fonction holomorphe au voisinage de z ` valeurs dans V (resp C) (1.2) Soit P1 , P2 , P3 des sous-groupes paraboliques de sous-groupe de Levi M A On note dn une mesure de Haar sur θ(N1 ) ∩ N2 Alors: ` (i) Il existe une unique fonction sur a∗ , λ → A(P2 , P1 , σ, λ), a valeurs C dans les endomorphismes de I(σ), telle que pour tout ϕ ∈ I(σ), λ → A(P2 , P1 , σ, λ)ϕ soit m´romorphe, caract´ris´e par la propri´t´ e e e ee suivante: Il existe une constante C ≥ telle que pour tout λ v´rifiant (Re λ, α) e > C pour tout α ∈ ∆+1 ∩ −∆+2 , on ait: P P ϕP1 (kn)dn, ϕ ∈ I(σ), k ∈ K ˜ (A(P2 , P1 , σ, λ)ϕ)(k) = θ(N1 )∩N2 e Ici l’int´grale est absolument convergente et ϕP1 d´signe l’unique e ˜ P1 (σ, λ) dont la restriction a K est ´gale ` ϕ ` e a ´l´ment de I ee P1 (σ, λ) et π P2 (σ, λ) Lorsqu’il est d´fini, A(P2 , P1 , σ, λ) entrelace π e ´ ` SUR LE THEOREME DE PALEY-WIENER D’ARTHUR 995 (ii) Si σ est une s´rie discr`te ou plus g´n´ralement une repr´sentation e e e e e temp´r´e, on peut prendre C = ee (iii) Pour λ ´l´ment du compl´mentaire de l’ensemble des z´ros d’une ee e e fonction m´romorphe non identiquement nulle, A(P2 , P1 , σ, λ) est e inversible (iv) Pour une normalisation convenable des mesures, si nP3 ∩nP1 ⊂ nP2 ∩ e e e nP1 , on a l’´galit´ de fonctions m´romorphes en λ ∈ a∗ : C A(P3 , P1 , σ, λ) = A(P3 , P2 , σ, λ)A(P2 , P1 , σ, λ) R´f´rences Pour (i), cf [KSt, Th 6.6] Pour (ii), cf [H-C, Lemme 5.1] ee Pour (iii), cf [KSt, Props 7.3, 7.4 (c), 7.5 et Th 7.6] Pour (iv), cf [KSt, Cor 7.7] (1.3) Soit P = M AN ⊂ P = M A N deux ´l´ments de P Soit σ une ee repr´sentation unitaire irr´ductible de M ou plus g´n´ralement comme e e e e dans (1.2) On note a = a ∩ m de sorte que a = a ⊕ a On note λ = λ + λ la d´composition correspondante de λ ∈ a∗ On note P := e C e u P ∩ M qui admet la d´composition de Langlands P = M A N , o` A est le sous-groupe analytique de A, d’alg`bre de Lie a , N = N ∩ M e e On note σ la repr´sentation π P (σ, λ ) de M , dans I P ,2 (σ, λ ) Alors on dispose d’un isomorphisme naturel entre I P (σ, λ) et I P (σ , λ ) donn´ e par: ϕ ∈ I P (σ, λ) → ϕ ∈ I P (σ , λ ), ou(ϕ (g))(m ) = ϕ(gm ), g ∈ G, m ∈ M On consid`re Q un sous-groupe parabolique adjacent a P : il existe une e ` unique racine r´duite, α, de a dans nP ∩ (θ(nQ )) On note Gα le centralisateur e de Ker α dans G, et Gα = Mα Aα sa d´composition de Langlands On note P e (resp Q ) le sous-groupe parabolique de G engendr´ par P (resp Q) et Gα , qui e e admet Gα comme sous-groupe de Levi On d´finit P et Q comme ci-dessus A est alors de dimension et on note λα au lieu de λ Dans l’isomorphisme e e entre a et a∗ donn´ par le produit scalaire, B, α peut ˆtre pris comme base de a et λα s’identifie a un scalaire ` (1.4) Tenant compte de l’isomorphisme (1.3) pour P et Q, dans la r´alisation e compacte, on a l’identit´ de fonctions m´romorphes en λ ∈ a∗ : e e C (A(Q, P, σ, λ)ϕ) (k) = A(Q , P , σ, λα )(ϕ (k)), k ∈ K, ϕ ∈ I P (σ, λ) o` les deux membres sont des fonctions de k ∈ K ∩ M u Enfin on a (cf e.g [BoWall, IV 4.5, 4.6]): 1015 ´ ` SUR LE THEOREME DE PALEY-WIENER D’ARTHUR Fin de la d´monstration de la Proposition Soit P ∈ P(L) Soit Φm , e m = 1, , n, construit avec des φi ∈ Fδµi et des vi d´pendant de m tels que: e ω Ψm (P, σ, λ) = 1, λ ∈ a∗ C m=1, ,n µ γ Soit Φr , r = 1, , t , construits avec des φj ∈ Fωj et des vj d´pendant de r e tels que: Ψr (P, σ, λ) = 1, λ ∈ a∗ C r=1, ,t δγ Kσ Alors le Lemme montre que pour tout (m, r) il existe Soit alors u ∈ une matrice M (m, r)(λ), d´pendant de (m, r), a l lignes et s colonnes, dont e ` ˆ Wσ )rµi µj si K = K (resp ´l´ment de ee le coefficient (i, j) est ´l´ment de (S(a) ee ˆ Wσ )rµi µj si K = K ), telle que: (PWr (a) r Ψm (P, σ, λ)Ψr (P, σ, λ)u(P, σ, λ) = Φm (P, σ, λ)M (m, r)(λ)Φr (P, σ, λ), λ ∈ a∗ C Pour (m, r) fix´s soit T (m, r, i, j) l’application lin´aire de I(σ)µj dans I(σ)µi e e qui a vj associe vi et qui est nulle sur l’orthogonal de vj Alors ` Φm (P, σ, λ)M (m, r)(λ)Φr (P, σ, λ) ≡ φi (P, σ, λ)(M (m, r)i,j (λ)T (m, r, i, j))φj (P, σ, λ) i,j D’apr`s (1.36), (1.38) et (1.35), le second membre est, comme fonction de λ, e µµ un ´l´ment de i,j Fδµi FP,σ Fµγ Sommant sur m et r, on voit que u coincide, ee P,σ P,σ sur l’ensemble des (P, σ, λ), λ ∈ a∗ , avec un ´l´ment de ee C i,j µ Fδµi Fσ µ Fµγ σ σ Ces deux ´l´ments de Iδγ coincident d’apr`s (1.30) Donc u appartient au ee e σ deuxi`me membre de l’´galit´ de la Proposition Ceci ach`ve la preuve de la e e e e Proposition Espaces des transform´es de Fourier de H(G, K) et Hr (G, K) e 3.1 Enonc´ du Th´or`me Soit H = H ou Hr On note P W pour PW e e e (resp PWr ) si H = H (resp Hr ) On note F pour F (resp Fr ) si H = H (resp Hr ) D´finition On note F δγ (resp F (G, K)) l ’espace des applications φ, e ˆ qui a (P, σ, λ), o` L = M A ∈ L, P ∈ P(L), σ ∈ Md , associent φ(P, σ, λ) ` u γ , I(σ)δ ) (resp Hom(I(σ), I(σ)) et pour lesquelles il existe h ∈ ∈ Hom(I(σ) ˆ H(G, K)δγ (resp h ∈ H(G, K)), v´rifiant φ(P, σ, λ) = h(P, σ, λ) pour tout e (P, σ, λ) comme ci-dessus D’autre part on note P W (G, K)δγ l ’espace des applications φ, qui asˆ socient ` (P, σ, λ), o` L = M A ∈ L, P ∈ P(L), σ ∈ Md , φ(P, σ, λ) ∈ a u γ , I(σ)δ ) telles que : Hom(I(σ) 1016 PATRICK DELORME (3.1) L’application λ → φ(P, σ, λ) est ´l´ment de S(a) ⊗ Hom(I(σ)γ , I(σ)δ ) si ee P W = PW (resp PW r (a) ⊗ Hom(I(σ)γ , I(σ)δ ) si P W = PWr ) (3.2) Chaque φ d´finit par d´rivations successives (cf §1.5 ) des endomore e phismes de chaque d´riv´e successive de s´rie principale g´n´ralis´e, donc e e e e e e aussi des sommes finies de celles-ci On demande que ces endomorphismes pr´servent les (g, K)-sous-modules de ces sommes finies, donc d´finissent e e des op´rateurs dans les sous-quotients On demande que ces op´rateurs e e commutent aux op´rateurs d’entrelacement entre ces sous-quotients e On note P W (G, K) la somme directe des P W (G, K)δγ , lorsque δ, γ varient ˆ dans K Remarque On remarque que, d’une part (3.2) implique les relations (1.30), (1.31) D’autre part, si φ v´rifie la propri´t´ suivante, il v´rifie (3.2): e ee e (3.3) Dans toute somme finie de d´riv´es successives de s´ries principales g´n´re e e e e alis´es (π, V ), l’op´rateur d´termin´ par d´rivation de φ (cf §1.5) est e e e e e induit par un ´l´ment h, de H(G, K), d´pendant ´ventuellement de π ee e e On d´duit donc de (1.28) que: e (3.4) F δγ ⊂ P W (G, K)δγ ˆ ´ ` Theoreme (i) Pour tout δ, γ ∈ K, on a: F δγ = P W (G, K)δγ (ii) On munit F (G, K) et P W (G, K) d ’une structure de (g, K)-module, dite action a gauche en d´finissant l ’action de x el´ment de K ou g sur φ ` e ´e L (x)φ(P, σ, λ) = π P (σ, λ)(x)φ(P, σ, λ) On d´finit de mˆme une action par π e e ˆ a droite Alors h ∈ H(G, K) → h ∈ P W (G, K) entrelace les actions a droite ` ` (resp gauche) de g et K sur ces espaces 3.2 Enonc´ et preuve de la Proposition e ˆ Proposition Soit δ, γ ∈ K Soit t ≥ Soit Ntδγ le sous-espace de δγ form´ des φ tels que: P W (G, K) e ˆ (3.5) φ(P, σ, λ) = 0, si L = M A ∈ L, P ∈ P(L), σ ∈ Md , λ ∈ a∗ , sont tels C que pour tout µ ∈ A(σ), µ ≥ t Alors on a: Ntδγ = F δε Fεγ ˆ ε∈K, ε