CON LẮC ĐƠN SỐ 1 Câu 1: Một con lắc đơn dao động điều hoà theo phương trình li độ góc α = 0,1cos(2πt + π/4) ( rad ). Trong khoảng thời gian 5,25s tính từ thời điểm con lắc bắt đầu dao động, có bao nhiêu lần con lắc có độ lớn vận tốc bằng 1/2 vận tốc cực đại của nó? A. 11 lần. B. 21 lần. C. 20 lần. D. 22 lần. Giải: Trong một chu kì dao động có 4 lần v = 2 max v tại vị trí W đ = 4 1 W > W t = 4 3 W tmax tức là lúc li độ α = ± 2 3 max α Chu kì của con lắc đơn đã cho T = ω π 2 = 1 (s) t = 5,25 (s) = 5T + 4 1 T Khi t = 0 : α 0 = 0,1cos(π/4) = 2 2 max α ; vật chuyển động theo chiều âm về VTCB Sau 5 chu kì vật trở lại vị trí ban đầu, sau T/4 tiếp vật chưa qua được vị trí α = - 2 3 max α Do đó: Trong khoảng thời gian 5,25s tính từ thời điểm con lắc bắt đầu dao động, con lắc có độ lớn vận tốc bằng 1/2 vận tốc cực đại của nó 20 lần. Chọn đáp án C Câu 2: Một con lắc đơn có chiều dài l = 64cm và khối lượng m = 100g. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc 6 0 rồi thả nhẹ cho dao động. Sau 20 chu kì thì biên độ góc chỉ còn là 3 0 . Lấy g = 2 π = 10m/s 2 . Để con lắc dao động duy trì với biên độ góc 6 0 thì phải dùng bộ máy đồng hồ để bổ sung năng lượng có công suất trung bình là A. 0,77mW. B. 0,082mW. C. 17mW. D. 0,077mW. Giải: α 0 = 6 0 = 0,1047rad. Cơ năng ban đầu W 0 = mgl(1-cosα 0 ) = 2mglsin 2 2 0 α ≈ mgl 2 2 0 α Ths Hoa Ngọc San A O M 0 α 0 C nng sau t = 20T: W = mgl(1-cos) = 2mglsin 2 2 mgl 2 2 =mgl 8 2 0 gim c nng sau 20 chu kỡ: W = mgl( 2 2 0 - 8 2 0 ) = mgl 8 3 2 0 = 2,63.10 -3 J T = 2 g l = 2 2 64,0 = 1,6 (s) Cụng sut trung bỡnh cn cung cp con lc dao ng duy trỡ vi biờn gúc l 6 0 W TB = 3 3 10.082,0 32 10.63,2 20 == T W W = 0,082mW. Chn ỏp ỏn B Cõu 3. Một con lắc đồng hồ đợc coi nh một con lắc đơn có chu kì dao động ( ) sT 2= ; vật nặng có khối lợng ( ) kgm 1= . Biên độ góc dao động lúc đầu là 0 0 5= . Do chịu tác dụng của một lực cản không đổi ( ) NF C 011,0= nên nó chỉ dao động đợc một thời gian ( ) s rồi dừng lại. Ngời ta dùng một pin có suất điện động ( ) V3 điện trở trong không đáng kể để bổ sung năng lợng cho con lắc với hiệu suất 25%. Pin có điện lợng ban đầu ( ) CQ 4 0 10= . Hỏi đồng hồ chạy đợc thời gian bao lâu thì lại phải thay pin? Gii: Gi l gim biờn gúc mi l qua v trớ cõn bng = 0 - C nng ban u ca con lc n W 0 = mgl(1-cos 0 ) = mgl,2sin 2 22 2 0 2 0 mgl Vi l = 993,0 4 2 2 gT (m) gim c nng sau na chu k: W = 2 22 0 mgl W = F c ( 0 + )l 2 22 0 mgl = F c ( 0 + )l > = 00245,0 2 = mg F c 0 = 08722,0 180 14,3.5 = W = 2F c ( 0 + )l = 2F c (2 0 - )l = 0,00376 (J). õy l phn nng lng tiờu hao sau mt chu kỡ tc l sau 2s Nng lng ca ngun: W = EQ 0 = 3.10 4 (J) Nng lng cú ớch cung cp cho ng h: W co ich = H.W = 0,75.10 4 (J) Thi gian pin cung cp nng lng cho ng h Ths Hoa Ngc San t = W co ich /∆W = 5,19946808 00376,0 7500 = s = 19946808,5/86400 = 23,086 ngày = 23 ngày Câu 4 Một con lắc lò xo thẳng đứng và một con lắc đơn được tích điện q, cùng khối lượng m. Khi không có điện trường chúng dao động điều hòa với chu kỳ T 1 = T 2 . Khi đặt cả hai cong lắc trong cùng điện trường đều có véc tơ cường độ điện trường E nằm ngang thì độ giãn của con lắc lò xo tăng 1,44 lần, con lắc đơn dao động với chu kỳ 5/6 s. Chu kì dao động của con lắc lò xo trong điện trường đều là: A. 5/6 s. B. 1 s. C. 1,44s. D. 1,2s Giải: Khi chưa có điện trường: T 1 = 2π g l∆ ; T 2 = 2π g l ; Với ∆l : độ giãn của lò xo; l chiều dài của con lắc đơn T 1 = T 2 > ∆l = l Khi đặt các con lắc trong điện trường gia tốc trọng trường hiệu dụng tác lên các vật: g’ = g + a Khi đó vị trí cân bằng là O’ T’ 1 = 2π ' 2.2,1 ' 44,1 2 ' ' g l g l g l ∆ = ∆ = ∆ ππ ; T’ 2 = 2π 'g l = 2π 'g l∆ 2,1 ' ' 2 1 = T T > T’ 1 = 1,2 T’ 2 = 1,2 .5/6 = 1s. Chọn đáp án B Câu 5: sợi dây chiều dài l ,được cắt ra làm hai đoạn l 1 ,l 2 ,dùng làm hai con lắc đơn.Biết li độ con lắc đơn có chiều dài l 1 khi động năng bằng thế năng bằng li độ của con lắc có chiều dài l 2 khi động năng bằng hai lần thế năng.Vận tốc cực đại của con lắc l 1 bằng hai lần vận tốc cực đại của con lắc l 2 .Tìm chiều dài l ban đầu. Giải: Giả sử phương trinhg dao động của con lắc đơn có dạng α = α 0 cosωt Cơ năng của con lắc tại thới điểm có li độ α W= 2 2 mv + mgl(1- cosα) = mgl(1- cosα 0 ). Ths Hoa Ngọc San g g’ O’ a W t = mgl(1- cosα) = mgl .2sin 2 2 α ≈ mgl.2 4 2 α = mgl 2 2 α ; W = W 0 = mgl 2 2 0 α Khi W đ = W t > α 1 2 = 2 2 01 α ; Khi W đ = 2W t > α 2 2 = 3 2 02 α α 1 = α 2 > 2 01 α = 3 02 α (*) Vân tốc cực đại của con lắc đơn v max = ωlα 0 = α 0 gl v 1max = 2v 2max > gl 1 2 01 α = 4gl 2 2 02 α > l 1 2 01 α = 4l 2 2 02 α (**) Từ (*) và (**) > l 1 = 4l 2 2 3 > l 1 = 2 6 l 2 > l = (1+ 2 6 ) l 2 . Bài ra thiếu điều kiện để xác định cụ thể l Câu 6: Treo một vật trong lượng 10N vào một đầu sợi dây nhẹ, không co dãn rồi kéo vật khỏi phương thẳng đứng một góc α 0 và thả nhẹ cho vật dao động. Biết dây treo chỉ chịu được lực căng lớn nhất là 20N. Để dây không bị đứt, góc α 0 không thể vượt quá: A: 15 0 . B:30 0 . C: 45 0 . D: 60 0 . Giải Xét thời điểm khi vật ở M, góc lệch của dây treo là α Vận tốc của vật tại M: v 2 = 2gl( cosα - cosα 0 ). Lực căng của dây treo khi vật ở M T = mgcosα + l mv 2 = mg(3cosα - 2cosα 0 ). T = T max khi α = 0 T max = P(3 – 2cosα 0 ) = 10(3 – 2cosα 0 ) ≤ 20 > 2cosα 0 ≥ 1 > cosα 0 ≥ 0,5 > α 0 ≤ 60 0 . Chọn đáp án D Câu 7: Một con lắc đơn gồm 1 vật nhỏ được treo vào đầu dưới của 1 sợi dây không dãn, đầu trên của sợi dây được buộc cố định. Bỏ qua ma sát của lực cản của không khí. Kéo con lắc lệch khỏi phương thẳng đứng một góc 0,1rad rồi thả nhẹ. Tỉ số độ lớn gia tốc của vật tại VTCB và độ lớn gia tốc tại vị trí biên bằng: A: 0,1. B: 0. C: 10. D: 1. Giải Xét thời điểm khi vật ở M, góc lệch của dây treo là α Ths Hoa Ngọc San A’ A O M α 0 α A’ A O M F tt α 0 α Vận tốc của vật tại M: v 2 = 2gl( cosα - cosα 0 ) > v = 0 )cos2gl(cos αα − a = 22 ttht aa + a ht = l v 2 = 2g(cosα - cosα 0 ) a tt = m F tt = m P α sin = gα Tại VTCB:α = 0 > a tt = 0 nên a 0 = a ht = 2g(1-cosα 0 ) = 2g.2sin 2 2 0 α = g 2 0 α Tại biên : α = α 0 nên a ht =0 > a B = a tt = gα 0 Do đó : B a a 0 = 0 2 0 α α g g = α 0 = 0,1 . chọn đáp án A Câu 8 : một con lắc đơn dao động điều hòa,nếu giảm chiều dài con lắc đi 44cm thì chu kì giảm đi 0,4s.lấy g=10m/s 2 .π 2 =10,coi rằng chiều dài con lắc đơn đủ lớn thì chu kì dao động khi chưa giảm chiều dài là A:1s B:2,4s C:2s D:1,8s Giải: T = 2π g l ; T’ = 2π g ll ∆− > T T ' = l ll ∆− >( T T ' ) 2 = l ll ∆− >( T TT '∆− ) 2 = l ll ∆− < > 1 - T T∆2 + ( T T∆ ) 2 = 1 - l l∆ < > T T∆2 - ( T T∆ ) 2 = l l∆ (*) T = 2π g l > l = 2 2 4 π gT = 4 2 T T T∆2 - ( T T∆ ) 2 = l l∆ = 2 4 T l∆ < > T 8,0 - 2 2 4,0 T = 2 44,0.4 T > T 8,0 = 2 92,1 T > T 92,1 = 0,8 > T = 2,4 (s). Chọn đáp án B Câu 9: Một con lắc đơn có chiều dài l= 40cm , được treo tại nơi có g = 10m/s 2 . Bỏ qua sức cản không khí. Đưa con lắc lệch khỏi VTCB một góc 0,1rad rồi truyền cho vật nặng vận tốc Ths Hoa Ngọc San A O M 0 α maxα0 20cm/s theo phương vuông góc với dây hướng về VTCB. Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng của vật nặng, gốc thời gian lúc gia tốc của vật nặng tiếp tuyến với quỹ đạo lần thứ nhất. Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ cong A. 8cos(25t +π) cm B. 4 2 cos(25t +π) cm C. 4 2 cos(25t +π/2) cm D. 8cos(25t) cm Giải: Phương trình dao động của con lắc theo li độ cong có dạng s = S max cos( ωt + ϕ) Gọi α m là biên độ góc của dao độngn của con lắc đơn Khi đo biên độ của tọa độ cong S max = α m l α 0 = 0,1 rad. Theo ĐL bảo toàn năng lượng ta có mgl(1-cosα m ) = mgl(1-cosα 0 ) + 2 2 0 mv < > mgl 2 2 max α = mgl 2 2 0 α + 2 2 0 mv < > 2 max α = 2 0 α + gl v 2 0 = 0,1 2 + 0,01 < > α max = 0,141 = 0,1 2 (rad) < > S max = α m l = 0,04 2 (m) = 4 2 (cm) (*) Tần số góc của dao động ω = l g = 25 rad/s Gốc thời gian t = 0 khi gia tốc của vật nặng tiếp tuyến với quỹ đạo lần thứ nhất tức là gia tốc hướng tâm a ht = 0 > v = 0: tức là lúc vật ở biên âm (ở điểm A). Khi t = 0 s = -S max > ϕ = π. Vậy: Phương trình dao động của con lắc theo li độ cong s = S max cos( ωt + ϕ) s = 4 2 cos( ωt +π ) (cm). Chọn đáp án B Câu 10. Một con lắc đơn gồm vật có khối lượng m, dây treo có chiều dài l = 2m, lấy g = π2. Con lắc dao động điều hòa dưới tác dụng của ngoại lực có biểu thức F = F0cos(ωt + π/2) N. Nếu chu kỳ T của ngoại lực tăng từ 2s lên 4s thì biên độ dao động của vật sẽ: A tăng rồi giảm B chỉ tăng C chỉ giảm D giảm rồi tăng Giải; Ths Hoa Ngọc San Chu kỳ doa động riêng của con lắc đơn T 0 = 2π g l = 2π 2 2 π = 2 2 (s) Khi tăng chu kì từ T 1 = 2s qua T 0 = 2 2 (s) đến T 2 = 4(s), tấn số sẽ giảm từ f 1 qua f 0 đến f 2 .Biên độ của dao động cưỡng bức tăng khi f tiến đến f 0 . Do đó trong trường hợp nay ta chọn đáp án A. Biên độ tăng rồi giảm Câu 11:con lắc đơn dao động trong môi trường không khí.Kéo con lắc lệch phương thẳng đứng một góc 0,1 rad rồi thả nhẹ.biết lực căn của không khí tác dụng lên con lắc là không đổi và bằng 0,001 lần trọng lượng của vật.coi biên độ giảm đều trong từng chu kỳ.số lần con lắc qua vị trí cân băng đến lúc dừng lại là: A: 25 B: 50 c: 100 D: 200 Giải: Gọi ∆α là độ giảm biên độ góc sau mỗi lần qua VTCB. (∆α< 0,1) Cơ năng ban đầu W 0 = mgl(1-cosα) = 2mglsin 2 2 α ≈ mgl 2 2 α Độ giảm cơ năng sau mỗi lần qua VTCB: ∆W = ])(.2[ 2 ])([ 2 222 αααααα ∆−∆=∆−− mglmgl (1) Công của lực cản trong thời gian trên: A cản = F c s = 0,001mg(2α - ∆α)l (2) Từ (1) và (2), theo ĐL bảo toàn năng lượng: ∆W = A c ])(.2[ 2 2 ααα ∆−∆ mgl = 0,001mg(2α - ∆α)l > (∆α) 2 – 0,202∆α + 0,0004 = 0 > ∆α = 0,101 ± 0,099. Loại nghiệm 0,2 ta có ∆α= 0,002 Số lần vật qua VTCB N = 50 002,0 1,0 == ∆ α α . Chọn đáp án B. Câu 12 : Một con lắc đơn: có khối lượng m1 = 400g, có chiều dài 160cm. ban đầu người ta kéo vật lệch khỏi VTCB một góc 60 0 rồi thả nhẹ cho vật dao động, khi vật đi qua VTCB vật va chạm mềm với vật m2 = 100g đang đứng yên, lấy g = 10m/s 2 . Khi đó biên độ góc của con lắc sau khi va chạm là Ths Hoa Ngọc San A. 53,13 0 . B. 47,16 0 . C. 77,36 0 . D.53 0 . Giải: Gọi v 0 vận tốc của m 1 trước khi va chạm với m 2 ; v vận tốc của hai vật ngay au va chạm Theo ĐL bảo toàn động lượng ta có: m 1 v 0 = (m 1 + m 2 )v > v = 21 1 mm m + v 0 = 5 4 v 0 (*) Theo ĐL bảo toàn cơ năng cho hai trường hợp: 2 2 01 vm = m 1 gl(1- cosα 0 ) (**) 2 )2( 2 1 vmm + = (m 1 + m 2 )gl(1- cosα) (***) Từ (**) và (***) 0 cos -1 cos -1 α α = 2 0 2 v v = 25 16 > 1- cosα) = 25 16 (1- cosα 0 ) = 25 16 2 1 = 25 8 = 0,32 cosα = 0,68 > α = 47,156 0 = 47,16 0 . Chọn đáp án B Câu 13 : Một con lắc đơn đếm giây có chu kì bằng 2s, ở nhiệt độ 20 o C và tại nơi có gia tốc trọng trường 9,813 m/s 2 , thanh treo có hệ số nở dài là 17.10 –6 K –1 . Đưa con lắc đến nơi có gia tốc trọng trường là 9,809 m/s 2 và nhiệt độ 30 0 C thì chu kì dao động là : A. ≈ 2,0007 (s) B. ≈ 2,0232 (s) C. ≈ 2,0132 (s) D. ≈ 2,0006 (s) Giải: Chu kì dao động của con lắc đơn: T = 2π g l T’ = 2π ' ' g l với l’ = l(1+ α∆t 0 ) = l(1 + 10α) T T ' = l l' 'g g = α 101+ 'g g Do α << 1 nên α 101+ ≈ 1 + 2 '1 10α = 1+5α > T’ = (1+5α)T 'g g = ( 1 + 5.17.10 -6 ).2. 809,9 813,9 ≈ 2,00057778 (s) ≈ 2,0006 (s) Ths Hoa Ngọc San Câu 14: Một con lắc đơn có chiều dài 1m, đầu trên cố định đầu dưới gắn với vật nặng có khối lượng m. Điểm cố định cách mặt đất 2,5m. Ở thời điểm ban đầu đưa con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc (α = 0,09 rad (goc nhỏ) rồi thả nhẹ khi con lắc vừa qua vị trí cân bằng thì sợi dây bị đứt. Bỏ qua mọi sức cản, lấy g = π 2 = 10 m/s 2 . Tốc độ của vật nặng ở thời điểm t = 0,55s có giá trị gần bằng: A. 5,5 m/s B. 0,5743m/s C. 0,2826 m/s D. 1 m/s Giải: Chu kì dao động của con lắc đơn T = 2π g l = 2 (s). Thời gian đễn VTCB là T/4 = 0,5 (s) Khi qua VTCB sợi dây đứt, chuyển động của vật là CĐ ném ngang từ độ cao h 0 = 1,5m với vận tốc ban đầu xác định theo công thức: 2 2 0 mv = mgl(1-cosα) = mgl2sin 2 2 α = mgl 2 2 α > v 0 = πα Thời gian vật CĐ sau khi dây đứt là t = 0,05s. Khi đó vật ở độ cao h = h 0 - 2 2 gt > h 0 – h = 2 2 gt mgh 0 + 2 2 0 mv = mgh + 2 2 mv > v 2 = v 0 2 + 2g(h 0 – h) = v 0 2 + 2g 2 2 gt v 2 = v 0 2 + (gt) 2 v 2 = (πα) 2 + (gt) 2 > v = 0,5753 m/s Bài 15: Một con lắc đơn gồm vật nặng khối lượng m, dây treo có chiều dài l dao động điều hòa với biên độ góc 0 α tại một nơi có gia tốc trọng trường g. Độ lớn lực căng dây tại vị trí có động năng gấp hai lần thế năng là A: ( ) 0 2 2cosT mg α = − B: ( ) 0 4 cosT mg α = − C: ( ) 0 4 2cosT mg α = − D: ( ) 0 2 cosT mg α = − Giải: Xét con lắc ở vị trí M, dây treo tạo với phương thẳng đứng góc α Tốc độ của vật tại M v = )cos2gl(cos 0 αα − Ths Hoa Ngọc San A’ O M F tt A α 0 α T + P = F ht Lực căng tại vị trí M T = F ht + Pcosα = l mv 2 + mgcosα T = mg(3cosα - 2cosα 0 ) (*) Khi W đ = 2W t > 3W t = W 0 3mgl(1-cosα) = mgl(1 – cosα 0 ) > 3cosα = 2 + cosα 0 (**) Do đó T = mg(2 – cosα 0 ). Đáp án D Câu 16: Đưa vật nhỏ của con lắc đơn đến vị trí dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc 5 0 rồi thả nhẹ cho dao động. Khi dao động vật luôn chịu tác dụng bởi một lực cản có độ lớn bằng 1% trọng lượng vật. biết biên độ của vật giảm đều trong từng chu kỳ. Sau khi qua vị trí cân bằng được 20 lần thì biên độ dao động của vật là: A. 4,9 0 B. 4,6 0 C. 4,7 0 D. 4,8 0 Giải: α 0 = 5 0 = 0,0,0872rad. Cơ năng ban đầu W 0 = mgl(1-cosα 0 ) = 2mglsin 2 2 0 α ≈ mgl 2 2 0 α Độ giảm cơ năng sau mỗi lần qua VTCB: ∆W = mgl( 2 22 0 αα − ) = A Fc = F c l(α 0 + α) Độ giảm biên độ góc sau mỗi lần qua VTCB: ∆α = α 0 – α = mg F c 2 = mg mg01,0.2 = 0,02 Sau khi qua vị trí cân bằng được 20 lần thì biên độ dao động của vật là: α 20 = α 0 – 20∆α = 5 0 – 20.0,02 0 = 4,6 0 . Đáp án B. Ths Hoa Ngọc San . l l' 'g g = α 10 1+ 'g g Do α << 1 nên α 10 1+ ≈ 1 + 2 &apos ;1 10α = 1+ 5α > T’ = (1+ 5α)T 'g g = ( 1 + 5 .17 .10 -6 ).2. 809,9 813 ,9 ≈ 2,00057778. : một con lắc đơn dao động điều hòa,nếu giảm chiều dài con lắc đi 44cm thì chu kì giảm đi 0,4s.lấy g =10 m/s 2 .π 2 =10 ,coi rằng chiều dài con lắc đơn đủ