Đang tải... (xem toàn văn)
Tổng quan về phương trình lượng giác Môn toán Ôn thi tốt nghiệp
1. 1 1 2 2 sin x 4 sinx cosx π + = + 2 sin x sinx cosx 4 2 2 sin(x ) 2 2 sin x 4 sinxcosx 4 sinxcosx π + π + π ⇔ + = ⇔ + = sin(x ) 0 x k 4 4 1 2 sin x 2 0 sinx cosx 0 sin2x 0 4 sinx cosx 2sinxcosx 1 sin2x 1 π π + = = − + π π ⇔ + − = ⇔ ⇔ ≠ ≠ = = x k sin2x sin 1 0 4 2 x k (k Z) 4 sin2x 1 2x k2 x k 2 4 π π = − + π ⇒ = − = − ≠ π ⇔ ⇔ = ± + π ∈ π π = ⇔ = + π ⇔ = + π 2. C1. )cos(sincossin xx2xx 5533 +=+ xx2x2x 3553 coscossinsin −=−⇔ x2xx2x1x2xx21x 332323 coscoscossin)cos(cos)sin(sin =⇔−=−⇔ 3 3 3 cos2x 0 cos2x 0 cos2x 0 x m x k x m (m Z) tgx 1 4 2 4 4 2 sin x cos x tg x 1 = = = π π π π π ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = + ∨ = + π ⇔ = + ∈ = = = C2. )cos(sincossin xx2xx 5533 +=+ )cos(sin)cos)(sincos(sin xx2xxxx 552233 +=++⇔ )sin(coscos)sin(cossincossinsincoscossin xxxxxxxxxxxx 223223552323 −=−⇔+=+⇔ = =− ⇔ =− =− ⇔=−−⇔ xx 0xx 0xx 0xx 0xxxx 22 33 22 3322 sincos sincos sincos sincos )sin)(cossin(cos Z)(k cossincos sincos sincos ∈ π + π =⇔=⇔=−⇔ = =− ⇔ 2 k 4 x0x20xx xx 0xx 22 22 3. x3x2x 222 coscossin += 0x61x2x4 2 x61 2 x41 2 x21 =+++⇔ − + − = − ⇔ )cos()cos(cos coscoscos 0xx2x340x3xx320x32xx32 2 =⇔=+⇔=+⇔ coscoscos)cos(coscoscoscoscos Z)(k cos cos cos ∈ π + π =∨ π + π =∨π+ π =⇔=∨=∨=⇔ 3 k 6 x 2 k 4 xk 2 x0x30x20x 4. )cos(sincossin xx2xx 8866 +=+ xx2x2x 6886 coscossinsin −=−⇔ x2xx2x1x2xx21x 662626 coscoscossin)cos(cos)sin(sin =⇔−=−⇔ Z)(m cos cos cossin cos ∈ π + π =⇔ π+ π ±= π + π = ⇔ ±= = ⇔ = = ⇔ = = ⇔ 2 m 4 x k 4 x 2 m 4 x 1tgx 0x2 1xtg 0x2 xx 0x2 666 1 5. 2xxxx =++− cossin cossin ( ) 4xxxx 2 =++−⇔ cossin cossin 2 kx0x21x22x224xx2x21x21 22 π =⇔=⇔=⇔=⇔=−+++−⇔ sin cos cos cossin sinsin 6 . x2 8 13 xx 266 cossincos =− x2 8 13 xx 23232 cos)(sin)(cos =−⇔ x2 8 13 xxxxxx 2224422 cos)cossinsin)(cossin(cos =++−⇔ x213x228x2x2 8 13 x2 4 1 x2 2 1 1x2 22222 cos)sin(coscos)sinsin(cos =−⇔=+−⇔ =+− = ⇔ =−− = ⇔ =− = ⇔ 06x213x22 0x2 x213x2128 0x2 x213x228 0x2 222 coscos cos cos)cos( cos cossin cos (loại) cos cos cos 6x2 2 1 x20x2 =∨=∨=⇔ Z)(k ∈π+ π ±=∨ π + π =⇔ k 6 x 2 k 4 x 7. x22tgx31 sin =+ (*) . Đặt tgxt = π+ π −=⇔−=⇔−=⇔=+−+⇔=+−+⇔ + =+⇔ k 4 x1tgx1t01t2t31t01ttt3 t1 t4 t31 223 2 ))(((*) 8. tgx32x2x3 +=+ cossin 2tgx32tgx3x2tgx3x2xtgx3 +=+⇔+=+⇔ )(coscoscos 3 2 kx 2kx tg 3 2 tgx 1x −=α∈ π+α= π= ⇔ α=−= = ⇔ tg Z)(k cos 8. 3 sin x 2 sinx 4 π − = (*) . C1. Ta có : 2 sin x sinx cosx 4 π − = − 3 3 3 3 1 2 2 sin x (sinx cosx) sin x (sinx cosx) 4 4 2 2 π π ⇔ − = − ⇔ − = − x4xxx2xx 22 1 33 sin)cos(sinsin)cos(sin(*) =−⇔=−⇔ Vì : có ta cos cho trình phươngcủa vế haiChia . trình phươngmãn thỏa khôngcos 0x0x 3 ≠= Z)(k ))(()()( ∈π+ π −=⇔−=⇔=++⇔+=− k 4 x1tgx01xtg31tgxxtg1tgx41tgx 223 C2. x4xxxxx4xx 23 sin)cos)(sincos(sinsin)cos(sin(*) =−−⇔=−⇔ 0xx2xx2x3xx4xx21xx 22 =+−−−⇔=−−⇔ cossincossinsincossin)cossin)(cos(sin 02x2x2x2x03x2x1x2x 22 =−+−⇔=−+−−⇔ )(cossin)(coscos)cos(sin)sin(cos Z)(k (loại) cos )sin)(cos(cos ∈π+ π −=⇔ −= = ⇔=+−⇔ k 4 x 1tgx 2x2 0xx2x2 9. 2x43xx4 44 =++ sin)cos(sin 2x43x2 2 1 14 2 =+−⇔ sin)sin( 2 3 2 3 x41x4x432x22x43 2 π = π −⇔−=+⇔−=−⇔ cos)cos(cossinsinsin Z)(k ∈ π + π −=∨ π + π =⇔ 2 k 12 x 2 k 4 x 10. 8 8 6 6 2(sin x cos x) sin x cos x + = + 8 6 6 8 2cos x cos x sin x 2sin x ⇔ − = − 6 2 6 2 6 6 cos x(2cos x 1) sin x(1 2sin x) cos xcos2x sin xcos2x⇔ − = − ⇔ = 6 6 6 x m cos2x 0 cos2x 0 cos2x 0 4 2 x m (m Z) tgx 1 4 2 sin x cos x tg x 1 x k 4 π π = + = = = π π ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = ± + ∈ = ± π = = = ± + π 11. 8 8 10 10 5 sin x cos x 2(sin x cos x) cos2x 4 + = + + 10 8 8 8 5 2cos x cos x 2sin x sin x cos2x 0 4 ⇔ − + − + = 8 2 8 2 8 8 5 5 cos x(2cos x 1) sin x(1 2sin x) cos2x 0 cos xcos2x sin xcos2x cos2x 0 4 4 ⇔ − − − + = ⇔ − + = 8 8 8 8 cos2x 0 5 k cos2x cos x sin x 0 x 5 4 4 2 sin x cos x 1 vo â nghieäm 4 = π π ⇔ − + = ⇔ = + = + > 12. 0 4 3 x2x2 22 =+− cossin 03x214x214 2 =++−−⇔ )cos()cos( 03x24x2403x244x244 22 =−+⇔=+−−−⇔ coscoscoscos 1 3 cos2x cos cos2x 1 (loaïi) 2x k2 x k (k Z) 2 3 2 3 6 π π π ⇔ = = ∨ = − < − ⇔ = ± + π ⇔ = ± + π ∈ 13. 03xt g4xtg 24 =+− 2 2 tg x 1 tg x 3 tgx 1 tg tgx 3 tg x k x k (k Z) 4 3 4 3 π π π π ⇔ = ∨ = ⇔ = ± = ± ∨ = ± = ± ⇔ = ± + π ∨ = ± + + π ∈ 14. x22x2 24 coscos −= 4 2 2 2 cos 2x cos 2x 2 0 cos 2x 1 cos 2x 2 1 (loaïi)⇔ + − = ⇔ = ∨ = > Z)(k sin ∈ π =⇔π=⇔=⇔ 2 k xkx20x2 15. 03x4x2 42 =+− sincos 03x4x21 422 =+−−⇔ sin)sin( 03x4x4x41 442 =+−+−⇔ sinsinsin Z)(k cossin ∈π+ π =⇔=⇔=⇔ k 2 x0x1x 2 16. 2 2 cos x cos 2x 1 = − 011x4x4x011x2x 242222 =−+−=⇔=−−=⇔ coscoscos)cos(cos 4 2 2 2 5 4cos x 5cos x cos x 0 cos x 1 (loaïi) cosx 0 x k (k Z) 4 2 π ⇔ = ⇔ = ∨ = > ⇔ = ⇔ = + π ∈ 17. x231x2 4 coscos =+ )coscos(cos)cos(cos 1x4x431x21x231x2 244224 +−=+⇔−=+⇔ 3 =+ = = = = = =+ 5 2 x21 0x 5 2 x2 0x 5 1 x 1x 01x6x5 2 2 2 24 cos sin cos sin cos cos coscos 3 3 sinx 0 cos2x cos x k x k2 (k Z) vụựi cos 5 2 5 = = = = = + = 18. (1) sin 2xtgx2 22 =+ . ẹieu kieọn : 0x cos C1. x2xxx22 x x x21 2222 2 2 2 cossincossin cos sin sin)( =+=+ x2x1x2x2x2x1xx12 22422222 coscoscoscoscoscoscos)cos( =+=+ 4 2 2 2 2 2 1 2cos x cos x 1 0 cos x 1 (loaùi) cos x 2cos x 1 2cos x 1 0 2 + = = = = = Z)(k cos + =+ == 2 k 4 xk 2 x20x2 C2. xtg22xtgxtgxtg22xtg xtg1 xtg2 1 24222 2 2 +=++=+ + )( 4 2 2 2 tg x tg x 2 0 tg x 1 tg x 2 (loaùi) tgx 1 tg x k (k Z) 4 4 + = = = = = = + 19. 07x213x8 4 =+ cossin 06x26x807x2113x8 2424 =+=+ sinsin)sin(sin 4 2 2 2 2 1 1 1 4sin x 13sin x 3 0 sin x sin x 3 1 (loaùi) 2sin x 1 cos2x 4 2 2 + = = = > = = Z)(k coscos + =+ = == k 6 x2k 3 x2 32 1 x2 20. 0x5x33 44 = cossin 0x5xx21330x5x133 442422 =+= cos)coscos(cos)cos( = = =+ = = = = 1x22 0x 3x212 0x 3x4 0x x6x8 22 2 2 24 cos cos )cos( cos cos cos coscos 1 cosx 0 cos2x cos x k 2x k2 x k x k (k Z) 2 3 2 3 2 6 = = = = + = + = + = + 21. 2xgxtg 22 =+ cot 2 xtg 1 xtg 2 2 =+ (1) . ẹieu kieọn : 0tgx (1) 01xtg01xtg2xtg 2224 ==+ )( 2 tg x 1 tgx 1 tg x k (k Z) 4 4 = = = = + 22. (1) cos 2 x 1 xtg4 2 4 += . ẹieu kieọn : 0x cos 4 2 4 2 2 2 3 (1) 4tg x 1 tg x 2 4tg x tg x 3 0 tg x 1 tg x (loaùi) 4 = + + = = = tgx 1 tg x k (k Z) 4 4 = = = + 4 23. 8 1 xx 88 =+ cossin 8 1 xx2xx 8 1 xx 442442424 =+=+ cossin)cos(sin)(cos)(sin 4 2 2 4 2 4 1 1 1 1 1 (1 sin 2x) 2(sinxcosx) 1 sin 2x sin 2x 2 sin2x 2 8 4 2 8 = + = 1x2x22x288 8 1 x2 8 1 x2 4 1 x21 442442 =+=+ sinsinsinsinsinsin 4 2 2 2 sin 2x 8sin 2x 7 0 sin 2x 1 sin 2x 7 1 (loaùi) + = = = > 0x2 = cos Z) (k + =+ = 2 k 4 xk 2 x2 24. 03xx5x212 =+ )cos(sin)sin( 03xx5xx2 2 =+ )cos(sin)cos(sin 3 2 sinx cosx 1 sinx cosx 2 (loaùi) sin x sin 2 4 2 4 = = > = = 3 x k2 x k2 x k2 x k2 (k Z) 4 4 4 4 2 = + = + = + = + 25. 07xx12x215 =+++ )cos(sin)sin( 07xx12xx5 2 =+++ )cos(sin)cos(sin 7 2 7 sinx cosx 1 sinx cosx sin x sin sin x sin 5 4 2 4 4 5 2 + = + = + = = + = = 3 x k2 x k2 x k2 x k2 (k Z 2 4 4 = = + = + = + 26. 0xxx4x3 4224 =+ sinsincoscos 27. 2 2 4 2 2 cos x 5 cosx 15 0 cosx cos x + + = 28. 2 2 1 1 cos x 2 cosx 2 0 cosx cos x + + + = 2 2 1 1 1 1 cosx 2 2 cosx 2 cosx 2 cosx cosx cosx cosx cosx + = + + = + 1 1 cosx 0 (1) cosx 2 (2) cosx cosx + = + = .ẹieu kieọn : 0x cos nghieọm) (voõ coscos)( 1x0x11 22 ==+ Z)(k cos)(coscoscos)( ====+ 2kx1x01x01x2x2 22 29. x 1 x x 1 x 2 2 cos cos cos cos +=+ 2 2 1 1 1 1 cosx 2 cosx cosx cosx 2 0 cosx cosx cosx cosx + = + + + = 1 1 cosx 1 (1) cosx 2 (2) cosx cosx + = + = .ẹieu kieọn : 0x cos 5 nghiệm) (vô coscos)( 01xx1 2 =++⇔ Z)(k cos)(coscoscos)( ∈π=⇔=⇔=−⇔=+−⇔ 2kx1x01x01x2x2 22 30. 2 2 1 1 cos x 2 cosx 1 cosx cos x + = − + 2 1 1 cosx 2 2 cosx 1 cosx cosx ⇔ − + = − + 2 1 1 cosx 2 cosx 1 0 cosx cosx ⇔ − − − + = 01 x 1 x01 x 1 x 2 =−−⇔=−−⇔ cos cos] cos [cos 01xx 2 =−−⇔ coscos 1 5 1 5 cosx 1 (loại) cosx cos x k2 (k Z) 2 2 + − ⇔ = > ∨ = = α ⇔ = ± α + π ∈ 31. 2 2 1 1 2 cos x 7 cosx 2 0 cosx cos x + + − + = 2 2 1 1 1 1 2 cosx 2 7 cosx 2 0 2 cosx 7 cosx 6 0 cosx cosx cosx cosx ⇔ − + + − + = ⇔ − + − + = 1 1 3 cosx 2 (1) cosx (2) cosx cosx 2 ⇔ − = − ∨ − = − . Điều kiện : 0x ≠cos Z)(k (loại) cos coscos coscos)( ∈π+α±=⇔ −<−−= α=+−= ⇔=−+⇔ 2kx 121x 21x 01x2x1 2 2 1 (2) 2cos x 3cosx 2 0 cosx cos cosx 2 (loại) x k2 (k Z) 2 3 3 π π ⇔ + − = ⇔ = = ∨ = − ⇔ = ± + π ∈ Vậy nghiệm của phương trình là : π+α±= 2kx v Z)(k ∈π+ π ±= 2k 3 x 32. 2 2 1 1 sin x sinx 0 sinx sin x + − + = 2 1 1 sinx sinx 2 0 sinx sinx ⇔ + − + − = 1 1 sinx 1 (1) sinx 2 (2) sinx sinx ⇔ + = − ∨ + = . Điều kiện : 0x ≠ sin nghiệm) (vô sinsin)( 01xx1 2 =++⇔ Z)(k sin)(sinsinsin)( ∈π+ π =⇔=⇔=−⇔=+−⇔ 2k 2 x1x01x01x2x2 22 33. 2 2 1 1 4 sin x 4 sinx 7 0 sinx sin x + + + − = 2 2 1 1 1 1 4 sinx 2 4 sinx 7 0 4 sinx 4 sinx 15 0 sinx sinx sinx sinx ⇔ + − + + − = ⇔ + + + − = 1 3 1 5 sinx (1) sinx (2) sinx 2 sinx 2 ⇔ + = ∨ + = − . Điều kiện : 0x ≠sin nghiệm) (vô sinsin)( 02x3x21 2 =+−⇔ 6 2 1 (2) 2sin x 5sinx 2 0 sinx 2(loại) sinx sin 2 6 π ⇔ + + = ⇔ = − ∨ = − = − 7 x k2 x k2 (k Z) 6 6 π π ⇔ = − + π ∨ = + π ∈ 34. C1 : (*) )cot(cot 6gxtgx2xgxtg 22 =+++ Điều kiện : Z)(k sincossin ∈ π ≠⇔≠⇔≠ 2 k x0x20xx 6gxtgx22gxtgx 2 =++−+⇔ )cot()cot((*) 08gxtgx2gxtgx 2 =−+++⇔ )cot()cot( tgx cot gx 2 (1) tgx cot gx 4 (2) ⇔ + = ∨ + = − Z)(k )()( ∈π+ π =⇔ π ==⇔=−⇔=+−⇔=+⇔ k 4 x 4 tg1tgx01tgx01tgx2xtg2 tgx 1 tgx1 22 )sin(sinsin cossin cossin sin cos cos sin )( 62 1 x21x22xx4xx4 x x x x 2 22 π −=−=⇔=−⇔−=+⇔−=+⇔ 7 7 2x k2 2x k2 x k x k (k Z) 6 6 12 12 π π π π ⇔ = − + π ∨ = + π ⇔ = − + π ∨ = + π ∈ Vậy nghiệm của phương trình là : π+ π = k 4 x Z)(k ∈π+ π =∨π+ π −=∨ k 12 7 xk 12 x C2 : Đặt gxtgx2xgxtggxtgxtgxtgxt 2222 cotcot)cot(cot ++=+=⇒+= 2xgxtg 22 ++= cot 42xgxtg2 22 =+≥ cot −≤ ≥ ⇔≥⇒≥⇒ 2t 2t 2t4t 2 Khi cot 2gxtgx2t =+⇔= 01tgx01tgx2xtg2 tgx 1 tgx 22 =−⇔=+−⇔=+⇔ )( Z)(k ∈π+ π =⇔ π ==⇔ k 4 x 4 tg1tgx Khi 4 cot4 −=+⇔−= gxtgxt xx4xx4 x x x x 22 cossin cossin sin cos cos sin −=+⇔−=+⇔ 1 2sin2x 1 sin2x sin 2 6 π ⇔ − = ⇔ = − = − 7 7 2x k2 2x k2 x k x k (k Z) 6 6 12 12 π π π π ⇔ = − + π ∨ = + π ⇔ = − + π ∨ = + π ∈ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : π+ π = k 4 x Z)(k ∈π+ π =∨π+ π −=∨ k 12 7 xk 12 x 35. (*) )cot(cot 06gxtgx5xgxtg 22 =++++ Điều kiện : Z)(k sincossin ∈ π ≠⇔≠⇔≠ 2 k x0x20xx 06gxtgx52gxtgx 2 =+++−+⇔ )cot()cot((*) 04gxtgx5gxtgx 2 =++++⇔ )cot()cot( tgx cot gx 1 (1) tgx cot gx 4 (2)⇔ + = − ∨ + = − nghiệm) (vô )( 01tgxxtg1 tgx 1 tgx1 2 =++⇔−=+⇔ 7 )sin(sinsin cossin cossin sin cos cos sin )( 62 1 x21x22xx4xx4 x x x x 2 22 π −=−=⇔=−⇔−=+⇔−=+⇔ 7 7 2x k2 2x k2 x k x k (k Z) 6 6 12 12 π π π π ⇔ = − + π ∨ = + π ⇔ = − + π ∨ = + π ∈ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : Z)(k ∈π+ π =∨π+ π −= k 12 7 xk 12 x 36. (1) )cot(cot cos 01gxtgx4xg3 x 3 2 2 =−+++ . Điều kiện : Z)(k sincossin ∈ π ≠⇔≠⇔≠ 2 k x0x20xx 01gxtgx4xg3xtg1301gxtgx4xg3 x 3 1 222 2 =−++++⇔=−+++⇔ )cot(cot)()cot(cot cos )( 02gxtgx42gxtgx302gxtgx4xgxtg3 222 =+++−+⇔=++++⇔ )cot(])cot[()cot()cot( 04gxtgx4gxtgx3 2 =−+++⇔ )cot()cot( (*) Đặt : gxtgx2xgxtggxtgxtgxtgxt 2222 cotcot)cot(cot ++=+=⇒+= 2xgxtg 22 ++= cot 42xgxtg2 22 =+≥ cot −≤ ≥ ⇔≥⇒≥⇒ 2t 2t 2t4t 2 2 2 (*) 3t 4t 4 0 t 2 t (loại) 3 ⇔ + − = ⇔ = − ∨ = Khi : 1x2xx2xx x x x x 2t 22 −=⇔−=+⇔−=+⇔−= sincossincossin2 sin cos cos sin 2x k2 x k (k Z) 2 4 π π ⇔ = − + π ⇔ = − + π ∈ 37. (1) )cot( sin 04gxtgx5xtg2 x 2 2 2 =++++ Điều kiện : Z)(k sincossin ∈ π ≠⇔≠⇔≠ 2 k x0x20xx 04gxtgx5xtg2xg121 22 =+++++⇔ )cot()cot()( 04gxtgx52gxtgx204gxtgx5xgxtg2 222 =+++−+⇔=++++⇔ )cot(])cot[()cot()cot( 0gxtgx5gxtgx2 2 =+++⇔ )cot()cot( (*) Đặt : gxtgx2xgxtggxtgxtgxtgxt 2222 cotcot)cot(cot ++=+=⇒+= 2xgxtg 22 ++= cot 42xgxtg2 22 =+≥ cot −≤ ≥ ⇔≥⇒≥⇒ 2t 2t 2t4t 2 . 2 5 (*) 2t 5t 0 t t 0 (loại) 2 ⇔ + = ⇔ = − ∨ = Khi α=−=⇔−=+⇔−=+⇔−= sinsincossin)cos(sin sin cos cos sin 5 1 x2xx5xx2 2 5 x x x x 2 5 t 22 2x k2 x k x k (k Z) 2x k2 2 2 2 = α + π α π α ⇔ ⇔ = + π ∨ = − + π ∈ = π − α + π 38. 3 (sinx cosx) 2(1 sin2x) sinx cosx 2 0 + − + + + − = 8 3 2 (sinx cosx) 2(sinx cosx) sinx cosx 2 0⇔ + − + + + − = đặt t sinx cosx 2 cos x 4 π = + = − . điều kiện: t 2≤ . Phương trình trở thành : 3 2 2 t 2t t 2 0 (t 2)(t +1) = 0 t = 2⇔ − + − = ⇔ − ⇔ 39. 2(sinx cosx) tgx cotgx + = + sinx cosx 2(sinx cosx) cosx sinx ⇔ + = + 2(sinx cosx)sinxcosx 1⇔ + = đặt t sinx cosx 2 cos x 4 π = + = − . điều kiện: t 2≤ . Phương trình trở thành : 3 2 t t 2 0 (t 2)(t + 2t +1) = 0 t = 2⇔ − − = ⇔ − ⇔ 40. 3 3 sin x cos x sin2x sinx cosx + = + + (sinx cosx)(1 sinxcosx) 2sinx cosx sinx cosx⇔ + − = + + 2 t 1 đặt t sinx cosx 2 cos x sinxcosx 4 2 π − = + = − ⇒ = . điều kiện: t 2≤ . Phương trình trở thành : 3 2 2 t 2t t 2 0 (t 1)(t + 2t 5) = 0 t = 1 t = 2 (loại) t = 1+ − − = ⇔ + − ⇔ ∨ − ⇔ 41. 1 1 10 cosx sinx cosx sinx 3 + + + = 1 10 (sinx cosx) 1 sinxcosx 3 ⇔ + + = 2 t 1 đặt t sinx cosx 2 cos x sinxcosx 4 2 π − = + = − ⇒ = . điều kiện: t 2≤ .Phương trình trở thành : 3 2 2 2 19 2 19 3t 10t 3t 10 0 (t 2)(3t 4t 5) = 0 t = 2 t = t = (loại) 3 3 − + − + + = ⇔ − − − ⇔ ∨ ∨ 42. 2 (cos4x cos2x) 5 sin3x − = + 2 2 2 2 VT (cos4x cos2x) (2sin3xsinx) sin 3xsin x 4= − = = ≤ . VP 5 sin3x 4 = + ≥ Vậy phương trình tương đương với hệ : 2 2 2 cosx 0 sin 3xsin x 1 sin x 1 x k2 sin3x 1 2 sin3x 1 sin3x 1 = = = π ⇔ ⇔ ⇔ = + π = − = − = − 43. 2 (cos4x cos2x) 5 sin3x − = + 2 2 2 2 VT (cos4x cos2x) (2sin3xsinx) sin 3xsin x 4= − = = ≤ . VP 5 sin3x 4 = + ≥ Vậy phương trình tương đương với hệ : 2 2 2 cosx 0 sin 3xsin x 1 sin x 1 x k2 sin3x 1 2 sin3x 1 sin3x 1 = = = π ⇔ ⇔ ⇔ = + π = − = − = − 44. sinx cosx 2(2 sin3x) + = − 9 VT sinx cosx 2 sin x 2 4 π = + = + ≤ . VP 2(2 sin3x) 2= − ≥ Vậy phương trình tương đương với hệ : x k2 sin x 1 x k2 4 vo â nghiệm 4 4 m2 sin3x 1 x 2 sin3x 1 6 3 π π π = + π + = = + π ⇔ ⇔ π π = = + − = Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 45. 13 14 sin x sin x 1 + = 13 14 2 2 sin x sin x sin x sin x⇔ + = + . Vì 13 2 cosx 1 cos x cos x≤ ⇒ ≤ ; 14 2 sinx 1 sin x sin x≤ ⇒ ≤ Vậy 13 14 sin x sin x 1+ ≤ . Dấu đẳng thức xảy ra khi: 13 2 2 11 14 2 2 12 cos x cos x cos x(cos x 1) 0 cosx 0 cosx 1 x k m x 2 sinx 1 sinx 0 2 sin x sin x sin x(sin x 1) 0 x k2 π = − = = = = + π π ⇔ ⇔ ∨ ⇔ ⇔ = = ± = = − = = π 46. )sin(cossin x322xx −=+ (1) VT sinx cosx 2 cos x 2 4 π = + = − ≤ 2122x322VP =−≥−= )()sin( Vậy 2 cos x 2 cos x 1 cos x 1 (1) 4 (1) 4 4 2 sin3x 1 sin3x 1 (2) 2(2 sin3x) 2 π π π − = − = − = ⇔ ⇔ ⇔ − = = − = π+ π =⇔π= π −⇔ 2k 4 x2k 4 x1)( ( k ∈ Z) thế vào (2) ta có : 3 3 2 sin3x sin k6 sin 1 4 4 2 π π = + π = = ≠ Vậy phương trình vô nghiệm 47. x35x2x4 2 sin)cos(cos +=− 4xx34xx32VT 222 ≤=−= sinsin)sinsin( . 415x35VP =−≥+= sin Vậy −=− ±= ⇔ −= = ⇔ −= = ⇔ =+ = ⇔ (2) 1xsinsin (1) sin sin sin sin sinsin sin sinsin )( 3 22222 4x3 1x 1x3 1x 1x3 1xx3 4x35 4xx34 1 Khi Z)(k sin ∈π+ π =⇔= 2k 2 x1x thế vào (2) ta có : 143x3 −=−=sin thỏa mãn Khi Z)(k sin ∈π+ π −=⇔−= 2k 2 x1x thế vào (2) ta có : 1143x3 −≠=+−=sin không thỏa Vậy nghiệm của phương trình là : Z)(k ∈π+ π −= 2k 2 x 10 [...]... Chí Minh năm 1997 khối A 5 5 2 Cho phương trình : 4 cos x sin x − sin x cos x = sin 4x + m (*) Biết x = π là một nghiệm của (*) Hãy giải phương trình (*) trong trường hợp đó Giải 4 4 2 4sin x cos x(cos x − sin x) = sin 4x + m ⇔ 2sin 2x cos 2x = sin 2 4x + m ⇔ sin 2 4x − sin 4x + m = 0 (1) Vì x = π là nghiệm của phương trình (*) nên x = π cũng là nghiệm của phương trình (1) Nghóa là : sin 4x = sin... xét dấu đạo hàm trên đoạn [ 0;1] ta có : f(0) = 0 ; f(1) = 1 9 ≤ m ≤1 16 91 Đại Học Luật TP Hồ Chí Minh năm 1997 khối A Cho phương trình : cos 4x = c os2 3x + asin 2 x a) Giải phương trình trên khi a = 1 Vậy phương trình có nghiệm khi : − π b) Xác đònh tham số a để phương trình đã cho có nghiệm x trên khoảng 0; 12 Giải 1 + cos 6x 1 + cos 2x 2 2 2 + a a) cos 4x = c os 3x + asin x ⇔ 2... 1998 khối A cos x cos 2x cos 4x cos8x = 1 (*) 16 Xét sinx = 0 thì phương trình không thỏa Vậy (*) ⇔ sin x cos x cos 2x cos 4x cos8x = 2kπ π 2kπ ∨x= + 15 17 17 108 Đại Học Kinh Tế năm 1994 1 sin x 16 ⇔ sin16x = sin x ⇔ x = Cho phương trình : cos6 x + sin 6 x = 2mtg2x cos2 x − sin 2 x a) Tìm m để phương trình có nghiệm 1 b) Giải phương trình khi m = 8 Giải cos x + sin x cos x + sin x 2m sin 2x = 2mtg2x... + 3 cos x = 0 ⇔ cos x(4 cos2 x + 3) = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = 72 Đại Học Thái Nguyên khối D năm 2000 π + kπ 2 s in2x + 4(cos x − sin x) = m a) Giải phương trình trên khi m = 4 b) Với giá trò nào của m thì phương trình trên có nghiệm? Giải a) Khi m = 4 , phương trình có dạng : s in2x + 4(cos x − sin x) = 4 ⇔ (1 − sin 2x) − 4(cos x − sin x) + 3 = 0 ⇔ (cos x − sin x)2 − 4(cos x − sin x) + 3 = 0 cos x −... của phương trình (1) Nghóa là : sin 4x = sin 4π = 0 vậy từ (1) ⇒ m = 0 sin 4x = 0 kπ π kπ 2 ⇔x= ∨x= + Vậy phương trình trở thành : sin 4x − sin 4x = 0 ⇔ 4 8 4 sin 4x = 1 90 Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 1997 khối D Tìm các giá trò m để phương trình sau có nghiệm 4 4 6 6 2 Cho phương trình : 4(sin x + cos x) − 4(sin x + cos x) − sin 4x = m Giải 19 3 1 4(sin 4 x + cos4 x) − 4(sin 6... x) + m − 1 = 0 (*) π 2 Đặt : t = cos x − sin x = 2 cos x + ⇒ t ≤ 2 (*) ⇔ t − 4t + m − 1 = 0 4 Nếu ∆ / = 5 − m < 0 ⇔ m > 5 ⇒ phương trình vô nghiệm Nếu ∆ / = 5 − m ≥ 0 ⇔ m ≤ 5 ⇒ phương trình có hai nghiệm t1 = 2 − ∆ / ∨ t 2 = 2 + ∆ / > 2 (loại) Vậy phương trình có nghiệm khi − 2 ≤ t1 = 2 − ∆ / ≤ 2 ⇔ 2 − 2 ≤ ∆ / ≤ 2 + 2 ⇔ 6 − 4 2 ≤ ∆ / ≤ 6 + 4 2 ⇔ 6 − 4 2 ≤ 5 − m ≤ 6 + 4 2 ⇔ −1 − 4 2 ≤ 5 −... 2x = a sin 2x ⇔ 4 − 3sin 2 2x = 4a sin 2x (*) 4 Đặt : t = sin 2x ⇒ 0 ≤ t ≤ 1 (*) ⇔ 3t 2 + 4at − 4 = 0 Với t = 0 ta có f(0) = −4 < 0 ⇒ phương trình (1) luôn có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện t1 < 0 < t 2 Như vậy , phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn t1 < 0 < t 2 ≤ 1 ⇔ f(1) ≥ 0 ⇔ 4a − 1 ≥ 0 ⇔ a ≥ 1/ 4 80 Đề thi chung của Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối... Minh năm 1997 4 4 6 6 2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4(sin x + cos x) − 4(sin x + cos x) − sin 4x = m tgx = cot gx + 2 cot g3 2x ⇔ Giải 1 1 4 4 6 6 Ta có : sin x + cos x = (3 + cos 4x) ; sin x + cos x = (5 + 3cos 4x) 4 8 Khi đó phương trình có dạng : 1 3 + cos 4x − (5 + 3cos 4x) − sin 2 4x = m ⇔ 2 cos2 4x − cos 4x − 1 = 2m Đặt : t = cos 4x ⇒ t ≤ 1 2 1 2 / Phương trình có dạng : f(t) = 2t − t... kπ 2 Vì x ∈ [ 0;14] ⇒ k = 0 ∨ k = 1 ∨ k = 2 ∨ k = 3 ⇔ π 3π 5π 7π ∨x= ∨x= ∨x= 2 2 2 2 82 Đề thi chung của Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối A Tìm x thuộc đoạn x ∈ [ 0;2π] nghiệm đúng phương trình : Vậy nghiệm của phương trình là: x = cos3x + sin 3x 5 sin x + = cos2x + 3 (*) 1 + 2sin 2x Giải 1 + 2sin 2x ≠ 0 ⇔ sin 2x ≠ −1/ 2 (a) Điều kiện : (*) ⇔ 5 ( sin x + 2sin x sin 2x + cos3x + sin 3x... 2x + 3 cos 2x + 1 = 0 2 cos2 x = 0 cos 2x = −1 1 + cos 2x = 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ cos 2x = −1/ 2 cos 2x = −1/ 2 cos 2x = −1/ 2 94 Đại Học Bách Khoa Hà Nội năm 1996 Tìm nghiệm của phương trình : sin thỏa mãn bất phương trình : 4 cos x = 0 (loại) π cos 2x = −1/ 2 ⇔ x = ± 3 + kπ x + cos4 x = cos 2x (1) 1 + log 1 (2 + x − x 2 ) ≥ 0 (2) 2 Giải 1 sin 4 x + cos4 x = cos 2x ⇔ 1 − sin 2 2x = cos 2x . sinx) m + − = a) Giải phương trình trên khi m 4= b) Với giá trò nào của m thì phương trình trên có nghiệm? Giải a) Khi m 4= , phương trình có dạng : sin2x. ⇔ > ⇒ phương trình vô nghiệm Nếu / 5 m 0 m 5∆ = − ≥ ⇔ ≤ ⇒ phương trình có hai nghiệm / / 1 2 t 2 t 2 2 (loại)= − ∆ ∨ = + ∆ > Vậy phương trình có