S GD&T Bc Giang Trng THPT Lc Ngn s 1  chính thc  THI TH I HC LN 1 NM HC 2013 - 2014 Môn: Toán - khi A, A1, B, D. Thi gian làm bài 180 phút, không k thi gian phát  I. PHN CHUNG CHO TT C THÍ SINH ( 7 im) Câu 1 (2 im). Cho hàm s 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1 y x m x m m x = − + + + + có  th (1). a) Kho sát s bin thiên và v  th ca hàm s (1) khi m = 0. b) Tìm m  hàm s (1) ng bin trên khong ( ) +∞ ;2 Câu 2 (1 im). Gii phng trình sau: 2 3 2 2 cos cos 1 cos2 tan cos x x x x x + − − =  Câu 3 (1 im). Gii phng trình sau: 2 2 7 - x + x x + 5 = 3 - 2x - x (x R) ∈ Câu 4 (1 im). Tìm m  h phng trình sau có 3 cp nghim thc phân bit: 2 3( 1) 1 x y m xy x  + + =   = −   Câu 5 (1 im ). Cho hình chóp t giác S.ABCD có áy là hình ch nht, SA vuông góc vi áy, G là trng tâm tam giác SAC, mt phng (ABG) ct SC ti M, ct SD ti N. Tính th tích ca khi a din MNABCD bit SA=AB=a và góc hp bi ng thng AN và mp(ABCD) bng 0 30 . Câu 6 (1 im) Cho x,y,z tho mãn là các s thc: 2 2 x - xy + y = 1 .Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca biu thc: 4 4 2 2 x + y + 1 P = x + y + 1 II. PHN RIÊNG (3 im): Thí sinh ch c làm mt trong hai phn ( Phn A hoc phn B). A. Theo chng trình chun Câu 7a (1 im). Trong mt phng Oxy, cho tam giác ABC vi AB = 5 , C(-1;-1), ng thng AB có phng trình: x + 2y – 3 = 0 và trng tâm tam giác ABC thu c ng thng d: x + y – 2 = 0 . Tìm to  !nh A và B. Câu 8a (1 im). Trong mt phng vi h to  Oxy, cho ng tròn (C): 2 2 x + y - 4x - 4y + 4=0 và ng thng d có phng trình: x + y - 2=0 . Chng minh rng d luôn ct (C) tai hai im phân bit A và B. Tìm to  im M trên ng tròn (C) sao cho din tích tam giác MAB ln nht. Câu 9a (1 im). Cho khai trin: ( ) 12 2 2 24 0 1 2 24 1 + x + x = a + a x + a x + +a x . Tính 4 a . B. Theo chng nâng cao Câu 7b (1 im). Trong mt phng Oxy, cho tam giác ABC bit B(2;-1), ng cao và phân giác trong qua !nh A và C l"n lt có phng trình: 3x – 4y + 27 = 0 và x + 2y – 5 = 0. Vit phng trình các cnh ca tam giác ABC. Câu 8b (1 im). Trong mt phng Oxy, vit phng trình chính tc ca Elíp (E), bit rng tâm sai ca (E) bng 5 3 và hình ch nht c s có din tích bng 24. Câu 9b (1 im). M t h p ng 15 viên bi, trong ó có 7 viên bi xanh và 8 viên bi . Ly ng#u nhiên 3 viên bi (không k th t ra khi h p). Tính xác xut  trong 3 viên bi ly ra có ít nht 1 viên bi . Ht Chú ý: Giáo viên coi thi không gii thích gì thêm. H và tên thí sinh: S bao danh: HNG DN CHM VÀ CHO IM Môn: Toán (Thi Th H ln 1 - Nm hc 2013 - 2014) Câu Ni dung c bn im Câu 1 2  Cho hàm s 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1 y x m x m m x = − + + + + có  th (C m ). a) Kho sát s bin thiên và v  th ca hàm s khi m = 0. b) Tìm m  hàm s ng bin trên khong ( ) +∞ ;2 a (1) Vi m = 0 ta có: y = 2x 3 – 3x 2 + 1 *TX: R * Gii hn: lim ; lim x x y y →+∞ →−∞ = +∞ = −∞ *S bin thiên: Ta có y’ = 6x 2 – 6x =6x(x-1) = 0 <=> x = 0; x= 1 x - ∞ 0 1 + ∞ y’ + 0 - 0 + y 1 + ∞ - ∞ 0 0.5 * kt lun ng bin, nghch bin và cc tr. * Ch! ra to  im un U(1/2;1/2), Hs có th b qua bc này 0.25 * V  th: O 1 1 0,25 b (1 ) 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1 y x m x m m x = − + + + + )1(6)12(66' 2 +++−= mmxmxy y’ có 01)(4)12( 22 >=+−+=∆ mmm 0.5    += = ⇔= 1 0' mx mx y 0.25 Hàm s ng bin trên ( ) +∞ ;2 ⇔ 0' > y 2 > ∀ x ⇔ 21 ≤ + m ⇔ 1 ≤ m   1 ≤ m 0.25 Câu 2 1  Gii phng trình sau: 2 3 2 2 cos cos 1 cos2 tan cos x x x x x + − − =   K c os x $ 0, pt   c  a v  2 2 2 cos2 tan 1 cos (1 tan ) 2cos cos -1 0 x x x x x x − = + − + ⇔ − = 0.5 Gi  i ti  p  c cosx = 1 và cosx = 0,5 r  i  i chi  u  k   a ra  S: 2 2 2 , 2 ; hay 3 3 x k x k x k π π π π = = ± + = . 0.5 Câu 3 1 Gii phng trình sau: 2 2 7 - x + x x + 5 = 3 - 2x - x (x R) ∈ 2 2 2 3 2 0 7 5 3 2 x x PT x x x x x  − − ≥  ⇔  − + + = − −    0.25  2 3 2 0 5 2( 2) x x x x x  − − ≥  ⇔  + = − +    0.25  3 1 0 2 5 2. x x x x x   − ≤ ≤  ⇔ ≠   +  + = −   ( ) ( ) 2 2 0 1 16 0 x x x − ≤ <   ⇔  + − =    0.25 1 x ⇔ = − Vy phng trình ã cho có m t nghim x = - 1. 0.25 Câu 4 1  Tìm m  h phng trình sau có 3 cp nghim thc phân bit: 2 3( 1) ,(1) 1 ,(2) x y m xy x  + + =   = −   (2) <=> 2 1 0 (1 ) x xy x − ≥   = −  <=> 1 1 2 x y x x ≤    = − +   ( do x = 0 không là nghim) 0,25 Th vào (1) ta có: 2 1 3( 1) 2 x x m x + + − + = , (3) Xét hàm s f(x) = 2 1 3( 1) 2 x x x + + − + trên ( ] ;1 −∞ , lp bng bin thiên. Lp lun c m%i giá tr x trên ( ] ;1 −∞ thì có duy nht 1 giá tr y, nên (3) có 3 nghim phân bit 0,5 KL: 20 12 3 15 4 4 m m  < ≤   −  < < −   0,25 Câu 5 1  Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình vuông cnh bng a. mt bên SAB là tam giác vuông cân nh S và nm trong mt phng vuông góc vi mt phng áy. Tính theo a th tích khi chóp S.ABCD và tính khong cách gia hai ng thng AB và SD. + Trong mp(SAC) k& AG ct SC ti M, trong mp(SBD) k& BG ct SD ti N. + Vì G là trng tâm tam giác ABC nên d' có 2 3 SG SO = suy ra G c(ng là trng tâm tam giác SBD. T) ó suy ra M, N l"n lt là trung im ca SC, SD. + D' có: . . . 1 1 2 2 S ABD S BCD S ABCD V V V V = = = . Theo công thc t* s th tích ta có: . . . 1 1 1 . . 1.1. 2 2 4 S ABN S ABN S ABD V SA SB SN V V V SA SB SD = = =  = . . . 1 1 1 1 . . 1. . 2 2 4 8 S BMN S BMN S BCD V SB SM SN V V V SB SC SD = = =  = T) ó suy ra: . . . 3 . 8 S ABMN S ABN S BMN V V V V = + = + Ta có: 1 . ( ) 3 V SA dt ABCD = ; mà theo gi thit ( ) SA ABCD ⊥ nên góc hp bi AN vi mp(ABCD) chính là góc  NAD , li có N là trung im ca SC nên tam giác NAD cân ti N, suy ra   0 30 . NAD NDA = = Suy ra: 0 3 tan30 SA AD a = = . Suy ra: 3 1 1 3 . ( ) . . 3 3 3 3 V SA dt ABCD a a a a = = = . Suy ra: th tích c"n tìm là: 3 . . 3 5 8 8 5 3 . 24 = − = − = = MNABCD S ABCD S ABMN a V V V V V V  0,5 0,5 Câu 6 1  Cho x,y,z tho mãn là các s thc: 2 2 x - xy + y = 1 .Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca biu thc: 4 4 2 2 x + y + 1 P = x + y + 1   0,25 M  N O  C A D B S G  1 1 I H C  xyxyyx xyxyxyyxyx 33)(1 21 2 22 −≥−+= =−≥+−=   1 3 1 ≤≤− xy      xyyxyxyx +=+⇔=+− 11 2222   12 2244 ++−=+ xyyxyx   !"#$%#$$&  1 3 1 ; 2 22 )( 2 ≤≤− + ++− == t t tt tfP   0,25 '     −−= −= ⇔= + +−⇔= )(26 26 0 )2( 6 10)(' 2 lt t t tf   0,25 ( ")*+ [ ] 1; 3 1 −  ,& ) 3 1 ( − f % )26( −f % )1(f  - 626)26( −=−= fMaxP % 15 11 ) 3 1 (min =−= fP    0,25 Câu 7a (1) Trong mt phng Oxy, cho tam giác ABC vi AB = 5 , C(-1;-1), ng thng AB có phng trình: x + 2y – 3 = 0 và trng tâm tam giác ABC thuc ng thng d: x + y – 2 = 0 . Tìm to  nh A và B.  * Gi s+ A(3-2a ; a); B(3 - 2b; b) * Tính trng tâm tam giác G. Vì G thu c d nên ta có: * Mt khác AB = 5 . * T) ó gii h ta c: 3 1 6; ; 4; 2 2 A B     − −         hoc 3 1 6; ; 4; 2 2 B A     − −         0,25 0,25 0,5 Câu 8a (1) Trong mt phng vi h to  Oxy, cho ng tròn (C): 2 2 x + y - 4x - 4y + 4=0 và ng thng d có phng trình: x + y - 2=0 . Chng minh rng d luôn ct (C) tai hai im phân bit A và B. Tìm to  im M trên ng tròn (C) sao cho din tích tam giác MAB ln nht. * Ch! ra (C) có tâm I(2;2), R = 2. * Ta  giao im d và (C) là nghim h: 2 2 4 4 4 0 2 0 x y x y x y  + − − + =  + − =  Gii h tìm c A(0;2); B(2;0) 0,25 Hay d luôn ct (C) ti hai im phân bit A và B 0,25 B C H A D * Ta có 1 . 2 ABC S AB CH ∆ = ( H là hình chiu C trên AB), ax max ABC S m CH ∆ <=> D' thy ( ) 2 c C C x = ∆ ∩   >  ( ∆ ) có pt: y =x Gii h tìm c ( ) 2 2;2 2 C + + 0,25 0,25 Câu 9a (1) Cho khai trin: ( ) 12 2 2 24 0 1 2 24 1 + x + x = a + a x + a x + +a x . Tính 4 a . * Xét s hng t,ng quát ca khai trin: 2 12 ( ) n n C x x + . * khai trin ( ) 2 n x x + có s hng t,ng quát: 2 . k n k k n C x x − => s hng t,ng quát ca khai trin ã cho có dng: 12 n C . 2 . k n k k n C x x − (0 12) k n ≤ ≤ ≤ . * S hng cha x 4 khi n + k = 4, vi k trên ta tìm c } { ( , ) (0;4);(1;3);(2;2) k n ∈ . Thay vào ta c: a 4 = 1221 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 7b (1) Trong mt phng Oxy, cho tam giác ABC bit B(2;-1), ng cao và phân giác trong qua nh A và C ln lt có phng trình: 3x – 4y + 27 = 0 và x + 2y – 5 = 0. Vit phng trình các cnh ca tam giác ABC. * Phng trình cnh BC: 4x+3y-5=0 * Ta  C là nghim h: 4 3 5 0 2 5 0 x y x y + − =   + − =  =>C(-1;3) * Gi B' là im i xng ca B qua CD => B' AC ∈ * Tìm c B' => phng trình AC: y = 3. * Tìm c A(-5;3) * Vit c pt AB: 4x+7y-1=0. KL: 0,5 0,25 0,25 Câu 8b (1) Trong mt phng Oxy, vit phng trình chính tc ca Elíp (E), bit rng tâm sai ca (E) bng 5 3 và hình ch nht c s có din tích bng 24 Gi s+ ptct (E): 2 2 2 2 1,( 0) x y a b a b + = > > T) gi thit ta có 2 2 5 3 c a b e a a − = = = <=>2a=3b, (1) 0,5 Mt khác hình ch nht c s có chiu dài bng 2a, chiu r ng 2b nên ta có: 2a.2b= 24 <=> a.b = 6, (2) 0,25 Gii h (1) và (2) tìm c a = 3, b= 2. KL: 2 2 1 9 4 x y + = 0,25 Câu 9b (1) Mt hp ng 15 viên bi, trong ó có 7 viên bi xanh và 8 viên bi . Ly ng u nhiên 3 viên bi (không k th t ra khi hp). Tính xác xut  trong 3 viên bi ly ra có ít nht 1 viên bi . * S ph"n t+ không gian m#u: ( ) 3 15 455 n CΩ = = * Xét A là bin c "c 3 viên c chn màu xanh": => n(A) = 3 7 C =35 0,25 * Xác sut ca bin c A: 35 1 ( ) 455 13 P A = = 0,25 * Xét B là bin c "có ít nht 1 bi  c chn" P(B) = 1- P(A) = 12 13 KL: 0,5 Chú ý: - Trên ây ch là áp án vn tt và hng d n cho im. Hc sinh phi lp lun cht ch mi cho im ti a. - Hc sinh gii cách khác úng v n cho im ti a theo thang im.