HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 20 VÀI MÔ HÌNH ĐƠN GIẢN VỀ HỆ HẠT HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bây giờ ta sẽ dùng những suy luận chung ở bài 18 và bài 19 để nghiên cứu nguyên tử và hệ hạt với những dao động nhỏ Tạm thời, ta bỏ qua ảnh hưởng của spin đối với chuyển động. 1.Nguyên tử như hệ hai hạt Trong bài 18 và bài 19, khi xét chuyển động của electron quang học trong nguyên tử, ta đã coi hạt nhân là tâm lực bất động và là đối tượng cỏ điển. Điều này được biện hộ bởi việc khối lượng hạt nhân là rất lớn so với electron, và vì thế nó có độ ỳ lớn. Tuy nhiên, việc coi nó là đối tượng cổ điển dù sao cũng khá thô, vì nố vẫn không thể so sánh được với các đối tượng vĩ mô. HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Vì vậy, để có kết qủa chính xác hơn, ở đây ta sẽ coi cả hạt nhân là đối tượng lượng tử Do các electron đều quá nhẹ so với hạt nhân, nên khi dồn sự chú ý vào một electron (electron quang học), ta có thể coi nguyên tử là hệ hai hạt một electron và một nhạt nhân Ký hiệu m 1 là khối lượng hạt nhân, m 2 khối lượng electron, ta có phương trình trạng thái dừng của nguyên tử là: ( ) (20.1) Ψ=Ψ+Ψ       ∇−∇− ErU mm 2 2 2 2 2 1 1 2 22  HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Đặt ( ) ZYXR mm rmrm ,, 21 2211   = + + Khi đó R  là bộ ba tọa độ của khối tâm Phương trình (20.1) trở thành ( ) (20.2) Ψ=Ψ+Ψ       ∇−∇− ErU M 2 2 2 2 ~ 22 µ  trong đó 2 ∇ lấy theo X, Y, Z tức là liên quan đến chuyển động của khối tâm 21 mmM += và 21 21 mm mm + = µ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam còn 2 ~ ∇ lấy theo x, y, z tức là liên quan đến chuyển động tương đối giữa hai hạt 21 mmM += và 21 21 mm mm + = µ Cũng như trong bài 18, việc tách biến dẫn đến nghiệm dừng: ( ) ( ) ( ) (20.3) zy,x,e ψ RP i rR     , , − =Ψ trong đó Ψ thỏa mãn phương trình ( ) (20.4) Ψ=Ψ+Ψ∇− ε rU m 2 2 2 ~ 2  với M P E 2 2 −= ε HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam là năng lượng của chuyển động tương đối hay nội năng của hệ. Phương trình (20.4) hiển nhiên là phương trình chuyển động của hạt có khối lượng µ trong trường xuyên tâm U(r) Các mức năng lượng liên quan đến hằng số Rydberg - Ritz: c e R 3 4 4  π µ = Trong biểu thức này trước đây ta lấy µ bằng khối lượng electron thì ở đây phải lấy µ là khối lượng rút gon của hệ. Cũng vơí giá trị µ như vậy, các mức nội năng sẽ là: ) 3, 2, 1,( == n n e n 22 4 2 µ ε Chú ý rằng ở đây ta đã bỏ qua spin của hạt. ( ) (20.4) Ψ=Ψ+Ψ∇− ε rU m 2 2 2 ~ 2  HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Dao động nhỏ của hệ hạt Trước hết xét hệ hai hạt cùng có khối lượng là µ Ký hiệu x 1 , x 2 là độ lệch của hai hạt so với vị trí cân bằng. Thế năng của hệ có dạng: ( ) ( ) (20.5) +++= 2121 2 21 , 2 , xxxxxxU λ µω và hamiltonian của hệ là ( ) (20.6) ++++         ∂ ∂ + ∂ ∂ −= 2121 2 2 2 2 2 1 22 , 22 ˆ xxxx xx H λ µω µ  HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam trong đó ω là tần số dao động riêng của mỗi hạt (khi không có tương tác) λ x 1 x 2 +… là năng lượng tương tác. Để đơn giản hóa vấn đề, sau đây ta sẽ bỏ qua các số hạng chưa có mặt trong U và H ˆ (bậc cao hơn các số hạng đã viết) Đặt: ( ) ( ) (20.7) qqx qqx        −= += 212 211 2 1 2 1 ta có:         ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ 212 2 21 1 11 2 1 xxq x xq x xq ψψψψψ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Tương tự:         ∂∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ 21 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 xxxxq ψψψψ Do đó: 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 qqxx ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ψψψψ Vì vậy: (20.8) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 22 222 ˆ qq qq H µωµω µ ++         ∂ ∂ + ∂ ∂ −=  trong đó: (20.9)        −= += µ λ ωω µ λ ωω 22 2 22 1 [...]... trên, như đã biết từ bài 10, có dạng: ψ kn ( qk ) = Ckn e 2 - k 2 H n ( ξ k ) µωk  , và các mức năng lượng tương ứng là: 1  Ekn =  ωk  n + , n = 0, 1, 2, 2  trong đó: (20. 11' ) ξ k = qk (20. 12) Do đó, nghiệm của (20. 10) sẽ có dạng: ψ n1n2 ( q1 , q2 ) = ψ1n1 ( q1 ) ψ 2 n2 ( q2 ) (20. 13) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ứng với mức năng lượng: En1n2 1 1... thức (20. 8) cho thấy: về mặt toán học, ta có thể thay một hệ hai hạt tương tác bằng một hệ dao động tử độc lập (20. 8) Phương trình trạng thái dừng sẽ là:  2  ∂ 2ψ ∂ 2ψ  2 + 2 − 2 µ  ∂q1 ∂q2  Đặt 2  µω12 2 µω2 2 + q1ψ + q2ψ = Eψ  2 2  (20. 10) ψ = ψ ( q1 , q2 ) = ψ ( q1 )ψ ( q2 ) từ phương trình (20. 10) ta được hai phương trình:  2 ∂ 2ψ k µω12 2 − + qkψ k = Ekψ k 2 2 µ ∂qk 2 (k = 1, 2) (20. 11)... 2   (20. 14) Bây giờ ta chuyển sang trường hợp tổng quát Giả sử có N hạt với khối lượng giống nhau là µ thực hiện những dao động nhỏ Ký hiệu ba tọa độ của hạt thứ k là x3k-2, x3k-1, x3k Khi đó, bỏ qua các số hạng bậc cao hơn 2, ta có hàm thế năng của hệ là: U= 3N ∑A i ,k =1 xx ik i k (20. 15) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Đặt: 3N q j = ∑ A jkα ik xk (20. 16)... 2 j =1 3N (20. 17) Tương ứng, hamiltonian của hệ là:   2 ∂ 2 µω 2 2  j ˆ H = ∑ − + qj  2  2µ ∂q  2 j=  j  và phương trình trạng thái dừng sẽ là: 3N ˆ Hψ = Eψ (20. 18) (20. 19) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Nghiệm của (20. 18) có dạng: ψ n1 n3 N ( q1 , , q3 N ) = ψ n1 ( q1 ) ψ n3 N ( q3 N )  2 ∂ 2ψ k µω12 2 − + qkψ k = Ekψ k 2 2 µ ∂qk 2 (20. 20) (k = 1,... N ( q1 , , q3 N ) = ψ n1 ( q1 ) ψ n3 N ( q3 N )  2 ∂ 2ψ k µω12 2 − + qkψ k = Ekψ k 2 2 µ ∂qk 2 (20. 20) (k = 1, 2) trong đó mỗi ψ k ( qk ) đều có dạng (20. 11) và các mức năng lượng tương ứng là: 1  = ∑  ωk  nk +  2  k =1 3N En1 n3 N (20. 21) (20. 11) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam HONG . Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 20 VÀI MÔ HÌNH ĐƠN GIẢN. biết từ bài 10, có dạng: ( ) ( ) ) (20. 11' kn - knkkn ξ.H.eCqψ k 2 2 = trong đó:  k kk q µω ξ = , và các mức năng lượng tương ứng là: (20. 12) 2,