ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi 3 chiều 1/11 C CC C C CC C A AA A A AA A Ù ÙÙ Ù Ù ÙÙ Ù C CC C C CC C P PP P P PP P H HH H H HH H E EE E E EE E Ù ÙÙ Ù Ù ÙÙ Ù P PP P P PP P B BB B B BB B I II I I II I E EE E E EE E Á ÁÁ Á Á ÁÁ Á N NN N N NN N Đ ĐĐ Đ Đ ĐĐ Đ O OO O O OO O Å ÅÅ Å Å ÅÅ Å I II I I II I 3 33 3 3 33 3 C CC C C CC C H HH H H HH H I II I I II I E EE E E EE E À ÀÀ À À ÀÀ À U UU U U UU U D D a a ã ã n n n n h h a a ä ä p p • Cùng một loại đối tượng có thể xuất hiện trong nhiều cảnh và xuất hiện nhiều lần trong một cảnh với các phương vò, màu sắc khác nhau. • Nếu ta có các mô hình đối tượng tốt, ta có thể phát sinh ra các đối tượng khác nhau từ một mô hình duy nhất nhờ các phép biến đổi. • Các phép biến đổi quan trọng nhất là các phép biến đổi Affine và các phép chiếu. ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi 3 chiều 2/11 H H e e ä ä t t o o a a ï ï đ đ o o ä ä b b a a ø ø n n t t a a y y p p h h a a û û i i / / b b a a ø ø n n t t a a y y t t r r a a ù ù i i • Hệ tọa độ theo quy ước bàn tay phải: để bàn tay phải sao cho ngón cái hướng theo trục z, khi nắm tay lại, các ngón tay chuyển động theo hướng từ trục x đến trục y. • Hệ tọa độ theo quy ước bàn tay trái: để bàn tay phải sao cho ngón cái hướng theotrục z, khi nắm tay lại, các ngón tay chuyển động theo hướng từ trục x đến trục y. H H e e ä ä t t o o a a ï ï đ đ o o ä ä t t h h u u a a à à n n n n h h a a á á t t ( ( H H o o m m o o g g e e n n e e o o u u s s C C o o o o r r d d i i n n a a t t e e s s ) ) • Mỗi điểm (x, y, z) trong không gian Descartes được biểu diễn bởi một bộ bốn tọa độ trong không gian 4 chiều thu gọn (hx, hy, hz, h). Người ta thường chọn h=1. • (x, y, z) Descartes (x, y, z, 1) Homogeneous • (x, y, z, w) Homogeneous (x/w, y/w, z/w) Descartes (w ≠ 0). x w w=1 homogeneous (x,y,z,w) projected homogeneous (x/w,y/w,z/w,1) Descartes (x/w,y/w,z/w) ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi 3 chiều 3/11 C C a a ù ù c c p p h h e e ù ù p p b b i i e e á á n n đ đ o o å å i i t t u u y y e e á á n n t t í í n n h h • Phép biến đổi tuyến tính là tổ hợp của các PBĐ: ♦ Tỉ lệ ♦ Quay ♦ Biến dạng và ♦ Đối xứng • Các tính chất của các phép biến đổi tuyến tính ♦ Thoả mãn tính chất về tổ hợp tuyến tính. ♦ Gốc toạ độ là điểm bất động. ♦ Ảnh của đường thẳng là đường thẳng. ♦ Ảnh của các đường thẳng song song là các đường thẳng song song. ♦ Bảo toàn tỉ lệ khoảng cách ♦ Tổ hợp các phép biến đổi có tính phân phối P P h h e e ù ù p p t t ò ò n n h h t t i i e e á á n n • Dòch chuyển một điểm từ vò trí đến vò trí khác trong không gian theo vector offset tr. ()() 0≠ ư ç ç ç è ỉ = ifc heb gda với ifc heb gda zyxz'y'x' y z x (x,y,z) (x',y',z') tr =(tr x ,tr y ,tr z ) T(s 1 P 1 +s 2 P 2 )=s 1 T(P 1 )+s 2 T(P 2 ) ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi 3 chiều 4/11 P P h h e e ù ù p p b b i i e e á á n n đ đ o o å å i i A A f f f f i i n n e e • Phép biến đổi Affine là tổ hợp của các phép biến đổi: ♦ Tuyến tính ♦ Tònh tiến • Các tính chất ♦ Gốc toạ độ không là điểm bất động. ♦ Ảnh của đường thẳng là đường thẳng. ♦ Ảnh của các đường thẳng song song là các đường thẳng song song. ♦ Bảo toàn tỉ lệ khoảng cách ♦ Tổ hợp các phép biến đổi có tính phân phối C C a a ù ù c c p p h h e e ù ù p p b b i i e e á á n n đ đ o o å å i i A A f f f f i i n n e e c c ơ ơ s s ơ ơ û û • Phép biến đổi Affine có thể xem là tổ hợp của các phép biến đổi cơ sở: ♦ Tònh tiến ♦ Tỉ lệ (tâm tỉ lệ đặt tại gốc toạ độ) ♦ Quay quanh trục x ♦ Quay quanh trục y ♦ Quay quanh trục z ♦ Đối xứng qua trục x, y, z* ♦ Biến dạng* (tâm biến dạng đặt tại gốc toạ độ) ()() ư ç ç ç ç ç è ỉ = 1 0 0 0 .11''' zyx trtrtr ihg fed cba zyxzyx tỉ lệ, quay, biến dạng tònh tiến ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi 3 chiều 5/11 • Phép tònh tiến ù ê ê ê ê ê ë é = 1TrTrTr 0100 0010 0001 )Tr,Tr,Tr(Tr zyx zyx • Phép biến đổi tỉ lệ ú ú ú ú ù ê ê ê ê ë é = 1000 0s00 00s0 000s )s,s,S(s z y x zyx Khi s x =s y =s z : phép đồng dạng • Phép quay quanh trục z • Phép quay quanh trục x ú ú ú ú ù ê ê ê ê ë é = 1000 0)cos()sin(-0 0)sin()cos( 00 )R(x, θθ θθ θ 0 01 • Phép quay quanh trục y ú ú ú ú ù ê ê ê ê ë é = 1000 0)cos(0)sin( 00 0)sin(-)cos( )R(y, θθ θθ θ 10 0 y z x y z x (x,y,z) (x',y',z') tr =(tr x ,tr y ,tr z ) y z x ú ú ú ú ù ê ê ê ê ë é = 1000 0100 00)cos()sin(- 00)sin()cos( )R(z, θθ θθ θ ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi 3 chiều 6/11 • Cách xác đònh chiều dương trong các phép quay Các đònh nghóa về chiều quay được dùng chung cho cả hệ tọa độ theo quy ước bàn tay phải và bàn tay trái. Cụ thể chiều dương được đònh nghóa như sau: ♦ Quay quanh trục x: từ trục dương y đến trục dương z. ♦ Quay quanh trục y: từ trục dương z đến trục dương x. ♦ Quay quanh trục z: từ trục dương x đến trục dương y. • Ví dụ, xét trên hệ toạ độ bàn tay trái, khi nhìn dọc từ phía trục quay về gốc toạ độ, chiều dương sẽ là chiều ngược chiều kim đồng hồ ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi 3 chiều 7/11 • Phép đối xứng qua mặt phẳng yOz, zOx và xOy ú ú ú ú ù ê ê ê ê ë é − = 1000 0100 0010 0001 Mr(x) ú ú ú ú ù ê ê ê ê ë é − = 1000 0100 0010 0001 Mr(y) ú ú ú ú ù ê ê ê ê ë é − = 1000 0100 0010 0001 Mr(z) • Phép đối xứng qua trục x, y và z ú ú ú ú ù ê ê ê ê ë é − − = 1000 0100 0010 0001 x M ú ú ú ú ù ê ê ê ê ë é − − = 1000 0100 0010 0001 y M ú ú ú ú ù ê ê ê ê ë é − − = 1000 0100 0010 0001 z M • Phép biến dạng ú ú ú ú ù ê ê ê ê ë é = 1000 01hh 0h1h 0hh1 Sh yzxz zyxy zxyx y z x y z x ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi 3 chiều 8/11 C C a a ù ù c c p p h h e e ù ù p p b b i i e e á á n n đ đ o o å å i i A A f f f f i i n n e e t t o o å å n n g g q q u u a a ù ù t t • Tổ hợp các phép biến đổi Affine là một phép biến đổi Affine. • Mọi phép biến đổi Affine đều có thể phân rã thành tổ hợp các phép biến đổi Affine cơ sở. P P h h e e ù ù p p t t ỉ ỉ l l e e ä ä v v ơ ơ ù ù i i t t a a â â m m b b a a á á t t k k y y ø ø • Phép tỉ lệ với tâm đặt tại điểm (x f , y f , z f ) có thể xét như tổ hợp của các phép biên đổi cơ sở: ♦ Tònh tiến điểm bất động () fff zyx ,, về gốc tọa độ. ♦ Thực hiện phép biến đổi tỉ lệ với tâm là gốc toạ độ. ♦ Tònh tiến ngược điểm bất động từ gốc tọa độ trở về vò trí ban đầu. • Ma trận biến đổi sẽ là: () () () ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ư ç ç ç ç ç è ỉ = 1111 000 000 000 fzfyfx z y x zyxf z-sy-sx-s s s s ),s,s(sS P P h h e e ù ù p p q q u u a a y y q q u u a a n n h h m m o o ä ä t t t t r r u u ï ï c c b b a a á á t t k k y y ø ø • Giả sử trục quay xác đònh bởi 2 điểm P 1 và P 2 (chiều dương hướng từ P 1 đến P 2 thể hiện bởi vector k). ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi 3 chiều 9/11 • Áp dụng qui tắc phân rã, ta có thể biểu diễn quay quanh k một góc θ thành dãy các phép biến đổi cơ sở sau: ♦ Tònh tiến trục k về gốc tọa độ: Tr(-P0) (thành trục k') ♦ Quay quanh trục x để đặt trục k' nằm trên mặt phẳng xOz: R(x, α) (thành trục k''). ♦ Góc quay được xác đònh dựa trên chiếu của k' lên mặt phẳng yOz. Ta không cần tính α cụ thể. Thay vào đó ta tính sin( α) và cos(α) một cách trực tiếp. 10 10 PP PP k = , 2 z 2 y kkd += () () d k sin, d k cos y z == αα ♦ Quay quanh trục y để đưa trục k' về trục z: R(y,-β). Tương tự bước trước, ta không cần tính cụ thể β. ♦ Thực hiện phép quay quanh trục z một góc θ: R(z,θ) ♦ Thực hiện chuỗi các phép biến đổi ngược lại quá trình trên. () d, d βcos == 1 () x x k k sin == 1 β x y z d "k P 0 P 1 k 'k k y α x y z k x "k β ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi 3 chiều 10/11 • Như vậy, phép quay quanh 1 trục bất kỳ có thể được phân rã thành chuỗi các biến đổi cơ sở sau: Tr(-P 0 ) R(x,α) R(y,-β) R(z, θ) R(y, β) R(x, -α) Tr(P 0 ) M M o o d d e e l l i i n n g g t t r r a a n n s s f f o o r r m m a a t t i i o o n n • Biến đổi từ Hệ tọa độ đối tượng sang Hệ tọa độ thế giới thực. Front-Wheel System Tractor System World y W z W x W yf W zf W xf W x t y t z t P P h h e e ù ù p p b b i i e e á á n n đ đ o o å å i i H H e e ä ä t t o o a a ï ï đ đ o o ä ä • Cần thực hiện một phép quay và một phép tònh tiến (gọi là Rigid boby transformation). • Nếu chuyển đổi giữa hai hệ toạ độ bàn tay trái và bàn tay phải thì cần thêm một phép đối xứng nữa. [...]...ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Rigid boby transformation • Bao gồm phép tònh tiên và phép quay và các tổ hợp của chúng • Do không làm thay đổi hình dạng và kích thước đối tượng, chỉ làm thay đổi vò trí, phương hướng của chúng trong không gian Ví dụ về phép tònh tiến Ví dụ về phép quay Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi 3 chiều 11/11 . phép biến đổi. • Các phép biến đổi quan trọng nhất là các phép biến đổi Affine và các phép chiếu. ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến. 8/11 C C a a ù ù c c p p h h e e ù ù p p b b i i e e á á n n đ đ o o å å i i A A f f f f i i n n e e t t o o å å n n g g q q u u a a ù ù t t • Tổ hợp các phép biến đổi Affine là một phép biến đổi Affine. • Mọi phép biến đổi Affine đều có thể phân rã thành tổ hợp các phép biến đổi Affine cơ