1 ỨNG DỤNG CỦA CALC 100 TRONG RÚT GỌN ĐA THỨC CÓ HỆ SỐ NGUYÊN Lý do chọn đề tài Bởi đáp án thường cho phép bỏ qua một số bước biến đổi trung gian, nên thay vì nhân vào từ từ rồi rút gọn như vầy     2 2 1 2 1 4 3 2 2 1 4 3 2 7 2 x x x x x x x x x              1 4 4 2 4 43 1 44 2 4 43 thì ta có thể ghi thẳng vào bài làm kết quả rút gọn luôn:     2 1 2 1 4 3 2 7 2 x x x x x        (đối với học sinh THPT thôi nha, lớp 8 mà làm tắt kiểu này là “hột vịt” đó!) Điểm số ở cả hai cách trình bày đều như nhau, thế thì tội tình gì ta không để máy tính làm giùm ta? I. Quy trình CALC 100  Bước 1: nhập đa thức cần rút gọn vào màn hình  Bước 2:  Thực hiện CALC 100 (bấm CALC, máy hỏi X?, nhập 100, bấm =)  Máy hiện lên một số (*)  Bước 3: từ phải sang trái, tách số (*) ở trên theo cụm 2 chữ số – đó chính là các hệ số của đa thức sau khi rút gọn  Bước 4: từ phải sang trái, ghi các hệ số của đa thức rút gọn theo các cụm 2 chữ số ở bước 3, bậc của x tăng dần từ 0 x ! Chú ý: 1) Nếu (*) có dấu "–" thì đó là dấu trừ của cả đa thức 2) Nếu đa thức rút gọn có hệ số 50 i a  thì ta sửa nó thành 100 i a  và tăng hệ số của bậc liền sau nó thêm 1 đơn vị II. Ví dụ (VD) và ứng dụng 1. Thực hiện phép nhân đa thức a)       1 2 1 3 1 4 3 x x x x       * Giải theo quy trình  Bước 1: nhập vào màn hình       1 2 1 3 1 4 3 X X X X        Bước 2: thực hiện CALC 100 X  , máy hiện –6069602  Bước 3: từ phải sang trái tách thành cụm 2 chữ số:   {   {   {   { 4 3 2 1 6 / 06 / 96 / 02 (*)   Bước 4: từ (*) suy ra   {   {   {   { 0 1 2 3 1 2 3 4 2. 96. 6 . 6 . x x x x     Thực hiện chú ý 1, ta được:   2 3 2 96 6 6 x x x      Thực hiện chú ý 2, ta được kết quả chính thức:     2 3 2 96 100 6 1 6 x x x           2   2 3 3 2 2 4 7 6 6 7 4 2 x x x x x x           Vậy,       1 2 1 3 1 4 3 x x x x       3 2 6 7 4 2 x x x      ! Lưu ý, nếu giáo viên chấm quá khó tính, ta nên CALC 100 từ từ để không bị trừ điểm (cẩn thận vẫn hơn). Chẳng hạn, đối với bài trên, ta có thể trình bày như sau       1 2 1 3 1 4 3 x x x x           2 2 3 1 3 1 4 3 x x x x          2 3 1 0. 7 6 4 3 x x x x         3 2 6 7 4 1 3 x x x       3 2 6 7 4 2 x x x      b)         1 6 3 2 x x x x      Kết quả (KQ): 2 x c)      2 2 3 5 3 x x x     KQ: 2 6 4 3 x x    2. Tính   f g x     khi đã biết đa thức   f x và   g x a) Cho   2 2 3 f x x x    . Tìm khai triển của   1 f x  KQ:       CALC 100 2 2 1 1 2 1 3 6 4 f x x x x x          b) Cho   3 2 5 f x x x   . Tìm khai triển của     1 2 f x f x    KQ:     1 2 f x f x            3 3 2 1 5 1 2 2 5 2 x x x x                 CALC 100 2 3 3 20 18 4 x x x      c) Cho   2 f x x x   . Tìm khai triển của   2 2 f x x  KQ:   2 2 f x x      2 2 2 2 2 x x x x     CALC 100 2 3 4 2 3 4 x x x x     3. Quy phương trình (PT) sau về phương trình bậc 2 (không có tham số) a)      2 1 3 1 4 2 2 x x x x       * Hướng dẫn (HD)  Ta thực hiện CALC 100 để rút gọn vế trái (VT) KQ: Phương trình đã cho (PTĐC)   2 1 12 11 2 x x x      2 11 14 1 0 x x      Hoặc ta CALC 100 cho f(X)= VT – VP để ra ngay kết quả rút gọn cũng được, giống như câu b) dưới đây b)         2 2 2 2 1 2 3 4 x x x x       KQ: PTĐC 2 2 4 2 0 x x      2 2 1 0 x x     c)     2 2 1 2 5 1 3 2 0 x x x       KQ: PTĐC 2 4 17 29 0 x x     ! Làm tương tự đối với đề bài yêu cầu quy phương trình về bậc 3, bậc 4 4. Quy PT sau về phương trình bậc 2 (có tham số thực 1 m ) a)     2 2 5 3 4 0 x mx x x m      * HD  Bước 0: chuyển máy qua chế độ số phức MODE 2 (CMPLX) 3  Bước 1: dùng i (phím ENG) để đại diện cho m rồi nhập đa thức     2 2 5 3 4 X iX X X i     vào màn hình  Bước 2: thực hiện CALC 100 như bình thường, máy hiện 208800+297i  Bước 3: tách cụm 2 số:       1 2 20 / 88 / 00 2 / 97 ** i suuuuuuuuuuu suuuuuu  Bước 4: từ (**) và các chú ý ở phần trước, ta suy ra       2 1 2 0 12 21 3 3 x x m x      uuuuuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuuux Vậy, PTĐC   2 0 12 21 3 3 0 x x m x        2 21 12 3 3 0 x x mx m        2 7 4 0 x m x m      b)       1 2 x m x x m     KQ: PTĐC     2 0 2 3 0 x x m x        2 2 3 0 x x mx m        2 2 3 0 x m x m      c)     3 4 2 0 x m x m x      KQ: PTĐC   2 7 2 1 0 x x m x        2 2 7 0 x x mx m        2 2 7 0 x m x m      * Đến lớp 12, bài toán quy phương trình về bậc 2 có hệ số phức cũng làm tương tự ! Chú ý không thể sử dụng CALC 100 cho PT lượng giác (do tính phức tạp của nó) và PT có trị tuyệt đối (vì máy có thể giải thiếu phương trình tương đương) Ví dụ     2 3 1 x x x     100 2 5 2 0 CALC x x      là KQ sai (thiếu PT 7 7 0 x   ) 5. Biểu diễn tọa độ của       , : M M M x y C y f x   theo tham số thực m a) Biểu diễn tung độ của   1, M M m y  theo tham số thực 1 m  . Biết rằng   M C  với (C) là đồ thị của hàm số (ĐTCHS) 4 2 2 3 y x x    KQ:     4 2 1 2 1 3 M y m m      2 2 m   4 b) Biểu diễn tung độ của   2 2 , M M m m y  theo tham số thực m. Biết rằng   M C  với (C) là ĐTCHS 2 3 2 y x x    KQ:     2 2 2 2 3 2 2 M y m m m m      2 3 4 2 6 7 4 m m m m       c) Tìm tham số thực m để điểm   1, 1 M m m   thuộc đồ thị   C của hàm số 4 3 y x   KQ: 2 3 3 0 m m     3 21 2 m    6. Tính đạo hàm của hàm phân thức a) 2 1 2 1 x y x    * HD Ta tính ra dạng của đạo hàm trước, sau đó CALC 100 ở tử số KQ:     2 2 2 2 1 4 1 ' 2 1 x x x y x          2 CALC 100 2 2 1 4 2 2 1 x x x         2 2 2 2 4 1 2 1 x x x      b) 2 2 1 1 x y x    KQ:       2 2 2 2 1 2 2 1 ' 1 x x x y x          2 CALC 100 2 2 2 2 2 1 x x x         2 2 2 2 2 2 1 x x x      c) 2 1 5 6 x y x x     KQ:       2 2 2 5 6 2 5 1 ' 5 6 x x x x y x x             2 CALC 100 2 2 1 2 5 6 x x x x          2 2 2 2 1 5 6 x x x x       III. Lưu ý 1. CALC 100 chỉ có thể hiển thị hệ số nguyên từ 0 đến 99, nên nếu gặp đa thức có hệ số nguyên ≥ 100, chẳng hạn    2 3 4 4 3 5 x x    thì ta phải dùng CALC 1000 mới được. Khi đó tại bước 3, ta tách thành cụm 3 chữ số, và ở chú ý 2, nếu 500 i a  , ta đổi i a thành 1000 i a     2 3 4 4 3 5 x x    CALC 1000 2 3 41 123 136 48 x x x      (bị tràn màn hình đấy nhé!) 2. Nhưng các bạn cứ yên tâm, đề thi đại học chỉ ra PT tối đa là bậc 4, và nếu chúng có hệ số nguyên thì cũng có giá trị nhỏ, không cần sử dụng CALC 1000 làm gì. Hơn nữa CALC 1000 dễ bị tràn màn hình lắm, lúc ấy ta phải xử lí nữa. 3. Tuy nhiên, khi gặp trường hợp đề thi cố ý cho f(X) có hệ số nguyên ≥ 100 thì sao? Khi đấy ta cần phải thử lại 5  Giả sử kết quả tạm thời sau khi thực hiện CALC 100 là f*(X). Ta cần biết f(X) = f*(X) có đúng không?  Ta nhập đa thức f(X) – f*(X) vào màn hình rồi CALC hai số bất kì  Nếu trong cả hai trường hợp, máy đều hiện kết quả = 0 thì ta rút gọn đúng (khi đó, f(X) = f*(X) XR)  Ngược lại, ra kết quả sai thì ta không thực hiện chú ý 2 ở bước 4 hoặc đổi qua CALC 1000 mới có kết quả đúng IV. Cơ sở lí luận Sở dĩ quy trình CALC 100 hữu ích như vậy là vì từ f(100) ta tính được các hệ số i a của đa thức   0 n i i i f x a x    . Thật vậy, ta chứng minh (CM) khẳng định ấy đúng với đa thức       2 , , 0;9 f x ax bx c a b c    , các trường hợp mở rộng hơn được CM hoàn toàn tương tự Ta có   2 100 100 100 f a b c    10000 100 a b c    0000 00 a b c    0 0 a b c  Do đó, nếu tách cụm 2 chữ số từ phải sang trái   / 0 / 0 a b c , ta dễ dàng thấy được các hệ số a, b, c (đpcm) V. Tham khảo: dùng BẢNG SỐ NGUYÊN để thay thế CALC 100 VD 1: thực hiện phép nhân đa thức     2 3 2 1 3 2 1 3 x x x x      Bước 1:  Sắp xếp các nhân tử theo bậc giảm dần     3 2 2 2 3 1 3 0. 1 x x x x x        Và đặt nhân tử có bậc nhỏ hơn đứng trước     2 3 2 3 0. 1 2 3 1 x x x x x        Bước 2: thiết lập BẢNG SỐ NGUYÊN (BSN)  Nhập vào màn hình các hệ số của nhân tử đứng trước có nhân thêm X, mỗi phần cách nhau dấu hai chấm : (bấm ALPHA  – máy Casio fx 570ES) Nhập vào màn hình 3 :0 :1 X X X      CALC các hệ số của nhân tử đứng sau CALC X = 1 máy hiện –3 và 0 và 1 (1) CALC X = 2 máy hiện –6 và 0 và 2 (2) CALC X = 3 máy hiện –9 và 0 và 3 (3) CALC X = 1 máy hiện –3 và 0 và 1 (4)  Ghi kết quả ở dạng đường chéo đi xuống ] (giống chiều giảm của bảng biến thiên ấy!) Ví dụ đối với kết quả (1) thì ta ghi –3 6 0 1 Tương tự, từ (1), (2), (3) và (4) ta được BẢNG –3 –6 –9 –3 0 0 0 0 1 2 3 1  Bước 3: cộng các hệ số của bảng theo chiều dọc (ô trống có giá trị = 0) –3 –6 –9 –3 0 0 0 0 1 2 3 1 –3 –6 –8 –1 3 1  Bước 4: từ phải sang trái, ghi các hệ số của đa thức kết quả, bậc của x tăng dần từ 0 x             2 3 2 2 3 4 5 KQ : 1 3 2 1 3 1 3. 1 . 8 . 6 .x 3 .x x x x x x x x              * Bạn đọc có thể thực hiện lại các ví dụ ở phần III theo quy trình mới này VD 2: quy đa thức sau về dạng tam thức bậc 2 theo x:       5 3 4 P x x x m    (m là tham số thực) HD: Làm tương tự VD trước nhưng ở chế độ số phức MODE 2 (CMPLX) và m được thay bởi i Nhập vào màn hình 5X: –3X CALC X = 4 máy hiện 20 và –12 CALC X = i máy hiện 5i và –3i 20 5i BSN –12 –3i Cộng lại 20 5i –12 –3i         2 KQ : 5 3 4 3 5 12 20 P x x x m m m x x          . 1 ỨNG DỤNG CỦA CALC 100 TRONG RÚT GỌN ĐA THỨC CÓ HỆ SỐ NGUYÊN Lý do chọn đề tài Bởi đáp án thường cho phép bỏ qua một số bước biến đổi. "–" thì đó là dấu trừ của cả đa thức 2) Nếu đa thức rút gọn có hệ số 50 i a  thì ta sửa nó thành 100 i a  và tăng hệ số của bậc liền sau nó thêm 1