SỞ GD&ĐT TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC: 2011 – 2012 Môn: Toán (Thời gian làm bài 150’) Ngày thi 16 tháng 3 năm 2012. Bài 1. (5đ) Cho biểu thức: 2 a a 3a 2 a a 4 P a a 1 a a 2          a) Rút gọn P b) Tìm GTNN của P Bài 2. (5đ) Giải các pt sau: a) 33 2 3 2 2x x 2x 3x 1 3x 1 x 2         b) x 4 – 2y 4 – x 2 y 2 – 4x 2 – 7y 2 – 5 = 0 Bài 3. (4đ) Cho (O; R). Đường thẳng d không đi qua O cắt (O) tại hai điểm A và B. từ một điểm tùy ý trên d và ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với (O), (M, N là hai tiếp điểm). a) Dựng vị trí điểm M trên d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông. b) Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua ba điểm M, N, P luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M di động trên d. Bài 4. (4đ) a) Tìm GTLN của 2 y x 9 x   b) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: 2 2 2 3 3 3 a b c 1;a b c 1;a b c 1          . Chứng minh: 2009 2009 2009 a b c 1    Bài 5. (2đ) Cho ABC  thay đổi, có AB = 6 và CA = 2CB. Tìm GTLN của diện tích ABC  . HẾT Họ và tên:…………………………… SBD…………………………… Chữ kí GT 1:………………… ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TỈNH NINH BÌNH 2012 Bài 1: a) ĐK a > 0 và a  2 2 a a 3a 2 a a 4 P a a 1 a a 2 a( a 1)(a a 1) a(3 a 2) ( a 2)( a 2) P a a 1 a a 2 P a 3 a 4                         b) Ta có 2 3 7 7 P a 3 a 4 ( a ) 4 4 4        với mọi a TMĐK Vy giá tr nh nht ca P l 7 4 khi a= 9 4 Bài 2: Coi PT là bậc hai với ẩn t = x 2 ta tính được PT có 2 2 9( 2) y   từ đó ta có x 2 = 2 y 2 + 5(1) và x 2 = - y 2 – 1(vô nghiệm) Với (1) ta thấy x phải lẻ nên đặt x = 2k+1 suy ra 2k 2 + 2k - y 2 = 2 do đó y phải chẵn nên đặt y = 2z suy ra k(k+1) – 2z = 1 (vô nghiệm do VT chia hết cho 2 còn vế phải không chia hết cho 2 Bài 3: a)Để MONP là hình vuông thì đường chéo OM=ON 2 =R 2 Dựng điểm M: ta dựng hình vuông OACD, dựng đường tròn tâm O đi qua điểm D, cắt (d) tại M. Chứng minh: Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MN và MP. Ta có MN = 2 2 MO ON R   nên ta giác ONM vuông cân tại N. Tương tự, tam giác ta giác OPM cũng vuông cân tại P. Q P O I F H M L B N E A do đó MNOP là hình vuông. Bài toán luôn có hai nghiệm hình vì OM = R 2 >R b)Ta có: MN và MP là 2 tiếp tuyến của (O) nên MNOP là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM. tâm là trung điểm H của OM, suy ra tam giác cân MPQ nội tiếp trong đường tròn đường kính OM tâm H +) Kẻ OE vuông góc AB thì E là trung điểm của AB ( cố định). Kẻ HL  (d) thì HL//OE nên HL là đường trung bình của tam giác OEM, suy ra HL=1/2 OE(không đổi) +) Do đó khi M di động trên (d) thì H luôn cách đều (d) một đoạn không đổi nên H chạy trên đường thẳng (d’)//(d) và (d’) đi qua trung điểm của đoạn OE. +) Ta có : Om là phân giác trong góc NMP kẻ tia phân giác trong · PNM cắt đường tròn (O) tại điểm F, khi đó » » NF FP  => F trên OM, do đó F là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP Vậy khi M di động trên (d) thì tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP chạy trên đường tròn (O) Chú ý: do hình vẽ phức tạp nên dựng hình vuông OACD không vẽ trên trên hình vẽ Bài 4: a) áp dụng BĐT ab 2 2 2 a b   ĐK 9 –x 2  0 ta có 2 9 y x 9 x 2    Vậy giá trị lớn nhất của y là 9/2 khi x= 9 2  b) ta có a 3 +b 3 +c 3 -3abc=(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 -ab-bc-ca) => 1-3abc=1-ab-bc-ca =>ab+bc+ca=3abc mà 1 2 =(a+b+c) 2 = a 2 +b 2 +c 2 +2(ab+bc+ca) => ab+bc+ca=0 => abc=0 => a=0 hoặc b=0 hoặc c=0 Nếu a = 0 => 2 2 3 3 1 1 1 b c b c b c            =>b 2 +c 2 +2bc=1 => 2bc=0 =>(a,b,c) =(0,0,1) hoặc (a,b,c) =(0,1,0) Nếu b = 0 làm tương tự =>(a,b,c) =(0,0,1) hoặc (a,b,c) =(1,0,0) Nếu c = 0 làm tương tự =>(a,b,c) =(0,1,0) hoặc (a,b,c) =(1,0,0) Vậy mội trường hợp ta có P = 1 Bài 5: Đặt BC =x > 0 theo công thức He rông ta có S= ( )( )( ) p p a p b p c    với 6 2 x p   => S 2 = 6 3 6 6 3 6 . . . 2 2 2 2 x x x x     => S 2 = 2 2 2 2 9 9 9 (36 )( 4) ( 20) 256 .256 144 16 16 16 x x x           Vậy giá trị điện tích lơn nhất là 12(đvđt) khi x= 20 (đvđd) . ĐK 9 –x 2  0 ta có 2 9 y x 9 x 2    Vậy giá trị lớn nhất của y là 9/ 2 khi x= 9 2  b) ta có a 3 +b 3 +c 3 -3 abc=(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 -ab-bc-ca). SỞ GD&ĐT TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC: 2 011 – 2012 Môn: Toán (Thời gian làm bài 150’) Ngày thi 16 tháng 3 năm 2012. Bài