Đang tải... (xem toàn văn)
Lý thuyết và bài tập về định thức
ĐỊNH THỨC TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng TP HCM — 2011 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 / 68 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (aij ) ∈ Mn (K ) ma trận vuông cấp n Định thức ma trận A = (aij ) số, ký hiệu detA |A| TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 / 68 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (aij ) ∈ Mn (K ) ma trận vuông cấp n Định thức ma trận A = (aij ) số, ký hiệu detA |A| Vậy det : Mn (K ) → K A → detA TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 / 68 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (aij ) ∈ Mn (K ) ma trận vuông cấp n Ta gọi Mij định thức phụ phần tử aij Định thức Mij định thức cấp (n − 1) thu cách gạch bỏ hàng thứ i cột thứ j định thức |A| TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 / 68 Khái niệm định thức a11 |A| = a(i−1)1 ai1 a(i+1)1 an1 Định nghĩa định thức a1(j−1) a1j a1(j+1) a(i−1)(j−1) a(i−1)j a(i−1)(j+1) ai(j−1) aij ai(j+1) a(i+1)(j−1) a(i+1)j a(i+1)(j+1) an)(j−1) anj an(j+1) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC a1n a(i−1)n ain a(i+1)n ann TP HCM — 2011 n×n / 68 Khái niệm định thức a11 |A| = a(i−1)1 ai1 a(i+1)1 an1 Định nghĩa định thức a1(j−1) a1j a1(j+1) a(i−1)(j−1) a(i−1)j a(i−1)(j+1) ai(j−1) aij ai(j+1) a(i+1)(j−1) a(i+1)j a(i+1)(j+1) an)(j−1) anj an(j+1) a1n a(i−1)n ain a(i+1)n ann n×n Khái niệm định thức a11 |A| = a(i−1)1 ai1 a(i+1)1 an1 Định nghĩa định thức a1(j−1) a1j a1(j+1) a(i−1)(j−1) a(i−1)j a(i−1)(j+1) ai(j−1) aij ai(j+1) a(i+1)(j−1) a(i+1)j a(i+1)(j+1) an)(j−1) anj an(j+1) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC a1n a(i−1)n ain a(i+1)n ann TP HCM — 2011 n×n / 68 Khái niệm định thức Mij = a11 a(i−1)1 a(i+1)1 an1 a1(j−1) Định nghĩa định thức a1(j+1) a(i−1)(j−1) a(i−1)(j+1) a(i+1)(j−1) a(i+1)(j+1) an(j−1) an(j+1) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC a1n a(i−1)n a(i+1)n ann (n−1)×(n−1) TP HCM — 2011 / 68 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (aij ) ∈ Mn (K ) ma trận vuông cấp n Ta gọi Aij = (−1)i+j Mij phần bù đại số phần tử aij TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 / 68 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (aij ) ∈ Mn (K ) ma trận vuông cấp n Ta gọi Aij = (−1)i+j Mij phần bù đại số phần tử aij Định nghĩa (Khai triển theo hàng.) Định thức ma trận vuông cấp n A = (aij ) số n a1j A1j = a11A11 + a12A12 + + a1n A1n j=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 / 68 Hạng ma trận 1 0 1 0 1 −1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 −1 1 0 2 0 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp h3 →h3 −h2 h4 →h4 +h2 h6 →h6 −h2 −−− −− −→ h5 →h5 −h4 h6 →h6 −2h4 −−− −−−→ 0 0 0 1 0 −1 1 0 1 0 2 1 0 0 0 1 0 −1 1 0 2 0 −1 0 −1 ĐỊNH THỨC h4 →h4 +2h3 h5 →h5 +h3 h6 →h6 +2h3 −−− −−−→ h6 →h6 −h5 −−− −− −→ TP HCM — 2011 64 / 68 Hạng ma trận 0 0 0 0 1 0 0 −1 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 0 0 Tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp 0 −1 ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 65 / 68 Hạng ma trận 0 0 0 0 1 0 0 −1 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 0 0 Tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp 0 Vậy r (A) = −1 ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 65 / 68 Hạng ma trận Tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp Ví dụ λ Cho A = 1 4 10 Tìm hạng ma trận A 17 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 66 / 68 Hạng ma trận Tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp Ví dụ λ Cho A = 1 4 10 Tìm hạng ma trận A 17 Giải λ 1 4 10 c1 ↔c4 −− −→ 17 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 66 / 68 Hạng ma trận Tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp Ví dụ λ Cho A = 1 4 10 Tìm hạng ma trận A 17 Giải λ 1 4 10 c1 ↔c4 −− −→ 17 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 3 ĐỊNH THỨC 1 10 λ c1 ↔c2 −− −→ 17 TP HCM — 2011 66 / 68 Hạng ma trận Tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp Ví dụ λ Cho A = 1 4 10 Tìm hạng ma trận A 17 Giải λ 10 17 1 4 10 c1 ↔c4 −− −→ 17 h2 →h2 −4h1 h3 →h3 −7h1 λ h4 →h4 −2h1 −−−→ −−− TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 3 ĐỊNH THỨC 1 10 λ c1 ↔c2 −− −→ 17 TP HCM — 2011 66 / 68 Hạng ma trận Tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp Ví dụ λ Cho A = 1 4 10 Tìm hạng ma trận A 17 Giải λ 10 17 1 4 10 c1 ↔c4 −− −→ 17 h2 →h2 −4h1 h3 →h3 −7h1 λ h4 →h4 −2h1 −−−→ −−− TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 1 10 λ c1 ↔c2 −− −→ 17 −15 λ − 12 h2 ↔h4 −− −→ −25 10 −20 −5 −4 3 ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 66 / 68 Hạng ma trận Tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp Ví dụ λ Cho A = 1 4 10 Tìm hạng ma trận A 17 Giải λ 10 17 1 4 10 c1 ↔c4 −− −→ 17 h2 →h2 −4h1 h3 →h3 −7h1 λ h4 →h4 −2h1 −−−→ −−− TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 1 10 λ c1 ↔c2 −− −→ 17 −15 λ − 12 h2 ↔h4 −− −→ −25 10 −20 −5 −4 3 ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 66 / 68 Hạng ma trận Tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp h3 →h3 −5h2 −5 −4 h4 →h4 −3h2 −−−→ −25 10 −20 − − − −15 λ − 12 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 67 / 68 Hạng ma trận Tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp h3 →h3 −5h2 −5 −4 h4 →h4 −3h2 −−−→ −25 10 −20 − − − −15 λ − 12 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC −5 −4 h3 ↔h4 −→ 0 0 −− 0 λ TP HCM — 2011 67 / 68 Hạng ma trận Tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp h3 →h3 −5h2 −5 −4 h4 →h4 −3h2 −−−→ −25 10 −20 − − − −15 λ − 12 −5 −4 h3 ↔h4 −→ 0 0 −− 0 λ −5 −4 c3 ↔c4 −→ 0 λ −− 0 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 67 / 68 Hạng ma trận Tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp h3 →h3 −5h2 −5 −4 h4 →h4 −3h2 −−−→ −25 10 −20 − − − −15 λ − 12 −5 −4 c3 ↔c4 −→ 0 λ −− 0 0 −5 −4 h3 ↔h4 −→ 0 0 −− 0 λ −5 −4 0 λ 0 0 Biện luận TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 67 / 68 Hạng ma trận Tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp h3 →h3 −5h2 −5 −4 h4 →h4 −3h2 −−−→ −25 10 −20 − − − −15 λ − 12 −5 −4 c3 ↔c4 −→ 0 λ −− 0 0 −5 −4 h3 ↔h4 −→ 0 0 −− 0 λ −5 −4 0 λ 0 0 Biện luận Nếu λ = r (A) = Nếu λ = r (A) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 67 / 68 Hạng ma trận Tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 68 / 68 ... TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 / 68 Khái niệm định thức Tính chất định thức Tính chất định thức TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 10 / 68 Khái niệm định thức. .. a31 a32 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 / 68 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Ví dụ Tính định thức detA với A = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM —... TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 15 / 68 Khái niệm định thức Tính chất định thức Định lý Định thức ma trận chuyển vị ma trận A định thức ma trận A: detAT = detA TS Lê Xuân Đại