Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh Page 1 of 17 PHẦN I. ĐƯỜNG THẲNG CHỦ ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I. CÁC BÀI TỐN CƠ BẢN Bài tốn 1. Phương trình đường thẳng qua 2 điểm. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm ( ) 11 M x ;y và ( ) 22 N x ;y  Phương pháp giải.  Phương trình tham số: + ( ) 2 12 1 MN x x ;y y=−−  + Đường thẳng d qua M và nhận MN  làm VTCP nên: ( ) ( ) 1 21 1 21 x x x xt d: y y y yt  =+−   =+−    Phương trình tổng qt: + ( ) 2 12 1 MN x x ;y y=−−  + Đường thẳng d qua M và nhận ( ) ( ) 21 21 n y y; x x= −− −  làm VTPT nên có dạng: ( )( ) ( )( ) 21 1 21 1 y y xx x x yy 0−−−−−= Ví dụ 1. Lập phương trình đường thẳng (tham số. tổng qt) của đường thẳng d đi qua ( ) M 1; 2− và ( ) N 3; 6− Giải.  Phương trình tham số: + Ta có ( ) MN 4; 8= −  + Đường thẳng d qua M và nhận MN  làm VTCP nên: x 1 4t d: y 2 8t =−+   = −   Phương trình tổng qt: + Ta có ( ) MN 4; 8= −  + Đường thẳng d qua M và nhận ( ) n 8;4 =  làm VTPT nên: ( ) ( ) d:8 x 1 4 y 2 0 d:2x y 0++ − =⇔ +=  Nhận xét.( Phương trình đoạn chắn). Phương trình đường thẳng d cắt Ox,Oy theo thứ tự tại ( ) A a;0 và ( ) B 0;b với a 0,b 0≠≠ có dạng: xy d: 1 ab += Ví dụ 2. Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm ( ) A 2;0− và ( ) B 0;3 Giải. Phương trình đường thẳng d cho bởi: xy d: 1 d:3x 2y 6 0 23 + =⇔ − += − Bài tốn 2. (Phương trình đường thẳng biết vec tơ chỉ phương). Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm ( ) 00 M x ;y và có VTCP ( ) u a;b=   Phương pháp giải.  Phương trình tham số: 0 0 x x at d: y y bt = +   = +   Phương trình tổng qt: Đường thẳng d đi qua ( ) 00 M x ;y và có VTPT ( ) n b; a= −  nên: ( ) ( ) 00 d:b x x a y y 0−− −= Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh Page 2 of 17 Ví dụ 3. Lập phương trình đường thẳng d đi qua ( ) M 1; 2 và có VTCP ( ) u 2; 1 = −   Phương trình tham số: x 1 2t d: y2t = +   = −   Phương trình tổng qt: Đường thẳng d đi qua ( ) M 1; 2 và có VTPT ( ) n 1; 2=  nên: ( ) ( ) d:1 x 1 2 y 2 0 d:x 2y 4 0− + − =⇔ + −= Bài tốn 3. (Phương trình đường thẳng viết vec tơ pháp tuyến). Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm ( ) 00 M x ;y và có VTPT ( ) n a;b=   Phương pháp giải.  Phương trình tổng qt: Đường thẳng d đi qua ( ) 00 M x ;y và có VTPT ( ) n a;b=  nên: ( ) ( ) 00 d:a x x b y y 0−+ −=  Phương trình tham số: Đường thẳng d đi qua ( ) 00 M x ;y và có VTCP ( ) u b;a= −  nên: 0 0 x x bt d: y y at = −   = +  Bài tốn 4. Phương trình đường thẳng biết hệ số góc. Viết phương trình đường thẳng d đi qua ( ) 00 M x ;y có hệ số góc k  Phương pháp giải. Đường thẳng d được cho bởi ( ) 00 d:y k x x y= −+  Chú ý. Nếu gọi α là góc tạo bởi đường thẳng d và trục dương của trục Ox , ta có: k tan= α Ví dụ 4. Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau: a) Đi qua điểm ( ) M 1; 2 có hệ số góc k3= b) Đi qua điểm ( ) A 3;2− và tạo với hướng dương của trục Ox một góc 0 45 c) Đi qua điểm ( ) B 3;2 và tạo với trục Ox một góc 0 60 Bài tốn 5. Chuyển dạng phương trình đường thẳng  Cho phương trình dạng tham số: 0 0 x x at d: y y bt = +   = +  (1) + Nếu a,b 0≠ khử t từ (1) ta có: 00 xx yy ab −− = (Phương trình chính tắc) + Từ pt chính tắc ta có: ( ) ( ) 0 0 00 b x x a y y 0 bx ay ay bx 0 − − − =⇔−+ − = (Phương trình tổng qt)  Chú ý. + Nếu a0= thì phương trình tổng qt là 00 d:x x d:x x 0=⇔ −= + Nếu b0 = thì phương trình tổng qt là 00 d:y y d:y y 0=⇔ −=  Cho phương trình dạng tổng qt: d :ax by c 0+ += + Cho xt= giải y theo t ta có : xt d: ca yt bb =    =−−   (Phương trình tham số) + Từ đó đưa ra phương trình chính tắc  Chú ý: + Nếu d :ax c 0+= thì phương trình tham số là c x d: a yt  = −    =  Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh Page 3 of 17 + Nếu d:by c 0+= thì phương trình tham số là xt d: c y b =    = −   Ví dụ 5. Lập phương trình chính tắc và phương trình tổng qt của đường thẳng d biết: a) x 3 2t d: y 1 5t = +   = −  b) x 2t d: y1 =   =  Ví dụ 6. Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d biết: d:x 2y 1 0− −= II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A và B trong cách trường hợp sau: a) ( ) ( ) A 3; 2 & B 1; 5−− b) ( ) ( ) A 3;1 & B 1; 6−− c) ( ) ( ) A 3;0 &B 0; 6− d) ( ) 2 m A 0; & B 2m 1; m 2  −+   , từ đó tìm điểm cố định của d Bài tập 2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và có VTCP u  trong các trường hợp sau: a) ( ) ( ) A 2; 3 & u 1; 2= −  b) ( ) ( ) A 1; 4 & u 0;1 −=  Bài tập 3. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và có VTPT n  trong các trường hợp sau: a) ( ) ( ) A 3;2 &n 2;2 =  b) ( ) ( ) A4;3&n 5;4 −=−  Bài tập 4. Viết phương trình tổng qt, phương trình chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau: a) x 3 2t d: y4t = −   = +  b) x 1 3t d: y2t = −   = +  c) x3 d: y 5 6t =   =−+  d) x 3 2t d: y 1 5t = −   = +  Bài tập 5. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của các đường thẳng sau: a) xy20+−= b) x 2y 5 0+ += c) 3x y 8 0−−= d) x3= e) y5= − Bài tập 6. Viết phương trình các cạnh và các đường trung trực của ABC∆ biết trung điểm ba cạnh BC,AC,AB theo thứ tự là ( ) ( ) ( ) M 2;3 ,N 4; 1 ,P 3;5−− Bài tập 7. Cho tam giác ABC có ( ) ( ) ( ) A2;2,B 1;6,C 5;3−− a) Viết phương trình các cạnh của tam giác b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác c) Chứng minh ABC∆ vng cân Bài tập 8. Cho tam giác ABC có ( ) ( ) ( ) A1; 1,B 2;1,C3;5 −− a) Viết phương trình đường thẳng chứa trung tuyến BI của tam giác ABC b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A và vng góc với trung tuyến BI Bài tập 9. Cho tam giác ABC có ( ) ( ) ( ) A 1; 1 , B 1; 9 , C 9;1−− a) Lập phương trình các cạnh của tam giác b) Lập phương trình các đường trung tuyến của tam giác Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh Page 4 of 17 c) Lập phương trình các đường cao của tam giác d) Lập phương trình các đường trung trực của các cạnh của tam giác Bài tập 10. Trong mp tọa độ cho điểm ( ) M 5; 3− . Viết phương trình của đường thẳng d đi qua M và cắt trục hồnh và trục tung lần lượt tại A,B sao cho M là trung điểm của AB CHỦ ĐỀ 2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, VNG GĨC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC Bài tốn 1. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng :ax by c 0∆ + += cho trước và thỏa mãn điều kiện K  Phương pháp giải.  Cách 1. Vì d// ∆ nên d nhận VTPT của ∆ là ( ) n a;b ∆ =  làm VTPT và thỏa điều kiện K  Cách 2. Vì d//∆ nên d nhận VTCP của ∆ là ( ) u b;a ∆ = −  làm VTCP và thỏa điều kiện K  Cách 3. Vì d / / d :ax by m 0∆⇒ + + = Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm ( ) A 3;2 và song song với đường thẳng :x 2y 1 0∆ + −= Giải.  Cách 1. Ta có d//∆ nên d nhận VTPT của ∆ là ( ) n 1; 2 ∆ =  làm VTPT nên d có phương trình ( ) ( ) d:1. x 3 2. y 2 0 d:x 2y 7 0− + − =⇔ + −=  Cách 2. d//∆ nên d nhận VTCP của ∆ là ( ) u 2;1 ∆ = −  làm VTCP nên x 3 2t d: y2t = −   = +   Cách 3. Vì d / / d:x 2y m 0∆⇒ + + = . Mặt khác ( ) A 3;2 d 3 2.2 m 0 m 7∈⇒+ + =⇔ =− Vậy d:x 2y 7 0+ −= Bài tốn 2. Viết phương trình đường thẳng d vng góc với đường thẳng :ax by c 0∆ + += cho trước và thỏa mãn điều kiện K  Phương pháp giải.  Cách 1. Đường thẳng d thỏa mãn: thỏa mãn K thỏa mãn K d: d: d nhận VTPT của làm VTCP  ⇔  ⊥∆ ∆   Cách 2. Đường thẳng d thỏa mãn: thỏa mãn K thỏa mãn K d: d: d nhận VTCP của làm VTPT  ⇔  ⊥∆ ∆   Cách 3. Đường thẳng d :ax by c 0⊥∆ + + = nên d có dạng: d : bx ay m 0−+= II. MỘT SỐ BÀI TỐN Bài 1. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu cho ( ) B 4; 5−− và hai đường cao có phương trình: 1 d : 5x 3y 4 0+ −= và 2 d : 3x 8y 13 0++= Bài 2. Cho ABC∆ có phương trình AB:5x 3y 2 0− += , các đường cao xuất phát từ A,B lần lượt có phương trình là: 1 d :4x 3y 1 0− += và 2 d :7x 2y 22 0+−= . Lập phương trình hai cạnh AC,BC và đường cao thứ 3. Bài 3. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh ( ) C 4; 1− , đường cao và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh của tam giác có phương trình tương ứng là 12 d :2x 3y 12 0 , d :2x 3y 0−+= += Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh Page 5 of 17 Bài 4. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết   A 1; 3 và hai trung tuyến lần lượt có phương trình là x 2y 1 0− += và y10 −= Bài 5. Biết phương trình hai cạnh của một tam giác trong mặt phẳng là 5x 2y 6 0− += và 4x 7y 11 0+ −= . Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó biết rằng trực tâm của tam giác trùng với gốc tọa độ. III. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua ( ) A 3; 1− và song song với :2x 3y 1 0∆ + −= Bài tập 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm ( ) A 1; 2 và vng góc với: a) Đường thẳng :x y 1 0∆ − −= b) Trục Ox Bài tập 3. Cho hai đường thẳng 1 d :5x 2y 7 0− += và 2 d :5x 2y 9 0 − −= . Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đều 12 d ;d Bài tập 4. Lập phương trình các cạnh và các đường trung trực của tam giác ABC biết trung điểm ba cạnh BC,AC,AB theo thứ tự là ( ) ( ) ( ) M 2;3 , N 4; 1 , P 3;5−− Bài tập 5. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết ( ) A 2;2 và hai đường cao có phương trình 1 d :x y 2 0 +−= và 2 d :9x 3y 4 0 − += Bài tập 6. Lập phương trình các cạnh ABC∆ , biết 1 đỉnh ( ) A 2; 7− , phương trình đường cao kẻ từ C là 1 d :3x y 11 0 ++ = và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh C là 2 d :x 2y 7 0 + += Bài tập 7. Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB là xy90+−= , đường cao qua đỉnh A và B lần lượt có phương trình là 1 d : x 2y 13 0+ −= và 2 d :7x 5y 49 0 +−= . Lập phương trình AC,BC và đường cao thứ ba. Bài tập 8. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh ( ) C 3;5 , đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ 1 đỉnh có phương trình tương ứng là và 2 d :8x y 7 0+−= Bài tập 9. Lập phương trình các canh của tam giác ABC biết ( ) A 3;1 và hai đường trung tuyến có phương trình là 1 d :2x y 1 0− −= và 2 d :x 1 0−= Bài tập 10. Phương trình hai cạnh của một tam giác là 3x y 24 0 ; 3x 4y 96 0−+ = + − = . Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác biết trực tâm 32 H 0; 3    Bài tập 11. Cho tam giác ABC với ( ) ( ) ( ) A 2;1 , B 2;5 , C 4;1− . Viết phương trình các đường trung trực của các cạnh AB , AC . Từ đó tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CHỦ ĐỀ 3. HÌNH CHIẾU VNG GĨC CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG Bài tốn 1. Xác định hình chiếu vng góc H của điểm M lên đường thẳng d  Phương pháp giải.  Cách 1. + Viết phương trình đường thẳng d qua M và vng góc với d + Ta có H d d'= ∩  Cách 2. + Chuyển d về dạng tham số 0 0 x x at d: y y bt = +   = +  Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh Page 6 of 17 + Gọi ( ) 00 H x at;y bt++ là hình chiếu vng góc của M lên d. Ta có dd MH u MH.u 0 t⊥⇔ =⇒     Bài tốn 2. Xác định điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d  Phương pháp giải.  Cách 1. + Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A vng góc với d + Gọi Id=∆∩ + Từ đó tìm tọa độ A'  Cách 2. Gọi ( ) 00 A' x ;y ta có: d AA' u Trung điểm I của AA' nằm trên d  ⊥       00 x ,y ⇒ Ví dụ 1. Cho đường thẳng d:3x 4y 12 0+ −= và điểm ( ) M 7;4 . Tìm tọa độ hình chiếu vng góc H của M lên d. Từ đó suy ra tọa độ 1 M là điểm đối xứng của M qua d. Giải.  Cách 1. + Gọi ∆ là đường thẳng qua M và vng góc với d . Vì d :4x 3y m 0∆⊥ ⇒∆ − + = Vì M 4.7 3.4 m 0 m 16∈∆⇒ − + = ⇔ =− . Do đó :4x 3y 16 0∆ −−= + Ta có Hd=∆∩ , suy ra tọa độ của H là nghiệm của hệ: ( ) 3x 4y 12 0 x 4 H 4;0 4x 3y 16 0 y 0 + −= =  ⇔⇒  −−= =  + Vì H là trung điểmcủa 1 MM nên ta có ( ) 1 M 1; 4−  Cách 2. + Chuyển d về tham số ta có ( ) x 4 4t d: H 4 4t;3t y 3t = −  ⇒−  =  + Ta có ( ) ( ) dd MH u MH.u 0 4 4t 3 3 3t 4 0 t 0⊥ ⇔ = ⇔− − − + − = ⇔ =     . Do đó ( ) H 4;0 + Vì H là trung điểmcủa 1 MM nên ta có ( ) 1 M 1; 4− Ví dụ 2. Cho điểm ( ) M 3; 1 − và x 4t d: y 3 3t =   = +  . Tìm tọa độ điểm đối xứng của M qua d. Giải. + Chuyển d về dạng tổng qt ta có: d:3x 4y 12 0−+= + Gọi ( ) 00 M' x ;y là điểm đối xứng của M qua d. d MM' u Trung điểm I của MM' nằm trên d  ⊥       ( ) ( ) 00 00 0 00 00 0 4x 3 3y 1 0 4x 3y 9 x 3 x3 y1 3x 4y 37 y 7 3. 4. 12 0 22  −+ += += =−   ⇔ ⇔⇔   +− −=− = − +=    Vậy ( ) M ' 3;7−  Có thể giải bằng cách tìm tọa độ hình chiếu vng góc của M lên d trước sau đó suy ra tọa độ điểm đối xứng (Như Cách 2 ở Ví dụ 1) II. MỘT SỐ BÀI TỐN Bài 1. Cho tam giác ABC biết ( ) ( ) ( ) A 1; 3 , B 5;1 , C 3; 1−− a) Tìm tọa độ điểm H là trực tâm của tam giác Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh Page 7 of 17 b) Tìm tọa độ điểm K đối xứng với H qua BC Bài 2. Cho tam giác ABC biết ( ) A 2; 1− và hai đường phân giác trong của góc B, C có phương trình 1 d :x 2y 1 0− += và 2 d :x y 3 0++= . Lập phương trình cạnh BC III. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 1. Tìm tọa độ hình chiếu vng góc H của M lên d, từ đó suy ra tọa độ điểm 1 M đối xứng với M qua d, biết: a) ( ) d:4x 5y 3 0 & M 6;4− += − b) ( ) d : x 2y 2 0 & M 1; 4− += c) ( ) d:4x 14y 29 0 & M 1;2− −= d) ( ) xt d : & M 1; 6 y 1 2t =   =−+  e) ( ) x 1 2t d : & M 2;3 y1t = −   = +  f) ( ) x 6 2t d : & M 1; 3 y 5t = +  −  = −  Bài tập 2. Cho tam giác ABC . Tìm tọa độ điểm H là trực tâm của tam giác, từ đó suy ra tọa độ điểm K đối xứng với H qua BC, biết: a) ( ) ( ) ( ) A 0; 3 , B 3; 0 , C 1; 1−− b) ( ) ( ) ( ) A 1;3 , B 0;1 , C 4; 1−− Bài tập 3. Cho tam giác ABC có ( ) A 0;3 và hai đường phân giác trong của góc B,C lần lượt có phương trình 1 d :x y 0 −= và 2 d :2x y 6 0 +−= . Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC. Bài tập 4. Cho tam giác ABC biết ( ) ( ) A 3;5 , B 4; 3− và đường phân giác trong của góc C có phương trình d:x 2y 8 0+ −= . Lập phương trình các cạnh của tam giác. Bài tập 5. Một hình chữ nhật có 2 đỉnh đối nhau có tọa độ ( ) 5;1 và ( ) 0;6 , một cạnh của hình chữ nhật có phương trình x 2y 12 0+ −= . Tìm phương trình các cạnh còn lại của hình chữ nhật. Bài tập 6. Một hình thoi có một đỉnh có tọa độ ( ) 0;1 , một cạnh có phương trình x 7y 7 0+ −= và một đường chéo có phương trình x 2y 7 0+ −= . Tìm phương trình các cạnh còn lại của hình thoi. CHỦ ĐỀ 4. ĐƯỜNG THẲNG ĐỐI XỨNG QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG VÀ QUA MỘT ĐIỂM Bài tốn 1. Xác định phương trình đường thẳng d' đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆  Phương pháp giải.  Khả năng 1. Nếu dI∩∆= . Ta thực hiện các bước: + Xác định tọa độ I + Lấy Ad∈ xác định tọa độ điểm A' đối xứng với A qua ∆ + Đường thẳng d' đi qua I và A'  Khả năng 2. Nếu d//∆ + Viết lại phương trình d dưới dạng TQ: d :ax by c 0+ += + Vì d'//d// d':ax by m 0∆⇒ + + = + Lấy điểm A d,I∈ ∈∆ . Gọi A' đối xứng với A qua I A'⇒ + Vì A' d' m d'∈⇒⇒ Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh Page 8 of 17 Ví dụ 1. Xác định đường thẳng 1 d đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆ , biết: a) d:4x y 3 0−+= và :x y 0 ∆ −= b) d:6x 3y 4 0− += và :4x 2y 3 0∆ − += Giải. a) Ta có: + Gọi ( ) H d H 1; 1= ∩∆⇒ − − . + Lấy ( ) A 0;3 d∈ . Gọi A' là điểm đối xứng của A qua ( ) A ' 3;0∆⇒ + Khi đó 1 d là đường thẳng qua H và 1 A' d :x 4y 3 0⇒ − −= b) Ta có: + Vì 1 d / / d :2x y m 0∆⇒ − + = + Lấy 4 A 0; d 3  ∈   và 3 I 0; 2  ∈∆   . Gọi A' là điểm đối xứng của A qua I. Ta có 5 A' 0; 3    + Vì 1 55 A' d 2.0 m 0 m 33 ∈ ⇒ −+ =⇔ = . Vậy 1 5 d :2x y 0 3 −+= Bài tốn 2. Xác định phương trình đường thẳng 1 d đối xứng với đường thẳng d :ax by c 0+ += qua điểm ( ) 00 I x ;y  Phương pháp giải.  Cách 1. + Gọi ( ) M x;y d∈ . Gọi ( ) 1 11 M x ;y là điểm đối xứng của M qua I. Ta có: 1 0 01 1 0 01 x x 2x x 2x x y y 2y y 2y y += = −  ⇔  += = −  + Thay vào phương trình của d ta suy ra được phương trình 1 d  Cách 2. + Vì 11 d / /d d :ax by m 0⇒ + += + Lấy điểm Ad∈ . Gọi A' là điểm đối xứng của A qua I ⇒ Tọa độ A' + Vì 1 A' d m ∈⇒⇒ phương trình 1 d Ví dụ 2. Xác định phương trình đường thẳng 1 d đối xứng với đường thẳng d:x 2y 2 0− += qua điểm ( ) I 1;1 Giải.  Cách 1. Với ( ) M x;y d ∈ , gọi ( ) 1 11 M x ;y là điểm đối xứng với M qua I. Ta có: 11 11 xx 2 x2x yy 2 y2y += =−  ⇔  += =−  Thay vào phương trình d ta có: ( ) ( ) 1 1 11 2 x 2 2 y 2 0 x 2y 0− − − +=⇔ − = Vậy 1 d :x 2y 0−= Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh Page 9 of 17  Cách 2. + Vì 1 d / /d d: x 2y m 0⇒ − += + Lấy ( ) A 0;1 d ∈ . Gọi A' là điểm đối xứng với A qua I ( ) A' 2;1 ⇒ + Vì 1 A' d m 0∈⇒= . Vậy 1 d :x 2y 0−= II. MỘT SỐ BÀI TỐN Bài 1. Cho ABC∆ biết phương trình cạnh BC:4x y 3 0−+= và hai đường phân giác trong góc B,C có phương trình 1 d :x 2y 1 0− += và 2 d :x y 3 0++= . Lập phương trình cạnh AB, AC Bài 2. Cho hình bình hành ABCD biết phương trình AB:2x y 0−= , AD:4x 3y 0−= và tâm ( ) I 2;2 . Lập phương trình BC,CD III. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 1. Xác định đường thẳng 1 d đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆ , biết: a) d:x 2y 13 0+ −= và :2x y 1 0∆ − −= b) d:x 3y 3 0− += và :2x 6y 3 0∆ − += c) d:x3y60− += và :2x y 3 0∆ −−= Bài tập 2. Xác định phương trình đường thẳng 1 d đối xứng với đường thẳng d qua điểm I , biết: a) d:2x y 4 0−+= và ( ) I 2;1− b) d:x 2y 5 0− −= và ( ) I 2;1 Bài tập 4. Cho ABC∆ biết phương trình cạnh BC :9x 11y 5 0+ += và hai đường phân giác trong góc B,C có phương trình 1 d : 2x 3y 12 0 −+= và 2 d : 2x 3y 0+= . Lập phương trình cạnh AB, AC Bài tập 5. Cho hình bình hành ABCD biết phương trình AB:x 2y 7 0+ −= , AD:x y 2 0−+= và tâm ( ) I 1;1 . Lập phương trình BC,CD Bài tập 6. Cho tam giác ABC có ( ) C 4; 1− , đường phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ A lần lượt có phương trình 1 d :2x 3y 12 0 −+= và 2 d :2x 3y 0+= . Xác định tọa độ đỉnh A,B CHỦ ĐỀ 5. GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH Bài tốn 1. Cho 2 đường thẳng 1 d và 2 d cắt nhau. Hãy xác định góc tạo bởi 1 d và 2 d  Cách 1. Lấy ( ) 1 11 u a ;b=  , ( ) 2 22 u a ;b=  lần lượt là VTCP của 12 d ,d . Gọi α là góc giữa 12 d ,d . Ta có: 12 12 12 2222 12 1122 n .n a .a b .b cos n .n ab.ab + α= = ++  Cách 2. Gọi 12 k ;k lần lượt là hệ số góc của 12 d ,d . α là góc giữa 12 d ,d . Ta có: 12 12 kk tan 1 k .k − α= + Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh Page 10 of 17 Nếu 1 2 12 d d k .k 1⊥⇔ =− Ví dụ 1. Tính góc giữa hai đường thẳng 1 d và 2 d trong các trường hợp sau: a) 1 x 2t d: y4t =   = +  và 2 x 2u d: y 2u =   =  b) 1 x 2t d: y4t =   = +  và 2 d :x y 7 0+−= c) 1 d :x 2y 1 0+ += và 2 d :x 4y 3 0+ += Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm ( ) M 1;1 và tạo với đường thẳng d:x y 2 0−−= một góc 0 45 Ví dụ 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua ( ) M 5;1 và tạo với đường thẳng d:y 2x 4=−+ một góc 0 45 Bài tốn 2. Cho điểm ( ) 00 M x ;y và đường thẳng : ax by c 0∆ + += . Hãy xác định khoảng cách từ M tới ∆  Phương pháp giải. Ta sử dụng cơng thức sau: ( ) 00 22 ax by c d M, ab ++ ∆= + Ví dụ 4. Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d biết: a) ( ) M 1;1 và d:x y 2 0−−= b) ( ) M 2;1 và x1 y1 d: 11 −+ = − c) ( ) M 1; 5 và x 2t d: y4t =   = +  Bài tốn 3. Cho hai đường thẳng 11 1 1 d :a x b y c 0+ += và 22 2 2 d :a x b y c 0+ += . Hãy xác định phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi 1 d và 2 d  Phương pháp giải. Phương trình hai đường phân giác có dạng: 1 11 2 2 2 22 22 11 22 axbyc axbyc ab ab ++ ++ = ± ++ Ví dụ 5. Viết phương trình hai đường phân giác của các góc hợp bởi hai đường thẳng 1 d và 2 d biết: a) 1 d :2x 4y 7 0+ += và 2 d :x 2y 3 0− −= b) 1 xt d: y4t =   = +  và 2 d :x y 7 0+−= c) 1 x 3t d: y4t =   = +  và 2 xu d: y 3u =   =  [...]... Ví dụ 1 Trong mặt phẳng cho ∆ABC có A  ;3  , B (1;2 ) ,C ( −4;3) Viết phương trình đường phân giác trong và ngồi 4  của góc A của tam giác Giải Ta có: + Phương trình cạnh AB : 4x − 3y + 2 = 0 + Phương trình cạnh AC : y − 3 = 0 Page 12 of 17 Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng + GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh Các đường phân giác trong và ngồi của trong và ngồi của góc A có phương. .. MB nhỏ nhất b) MA − MB lớn nhất PHẦN II ĐƯỜNG TRỊN Page 14 of 17 GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng CHỦ ĐỀ 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Bài tốn 1 Xác định các yếu tố của đường tròn Bài tập 1 Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình của đường tròn, xác định tâm và bán kính của nó: a) x 2 + y 2 − 2x − 2y − 2 = 0 b) x 2 + y 2 − 2x −... ∆ABC có A(2;1) , đường cao xuất phát từ B có phương trình x − 3y − 7 = và đường trung tuyến qua 0 đỉnh C có phương trình x + y + 1 = Xác định tọa độ đỉnh B,C 0 Page 13 of 17 Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh Bài tập 8 Cho ∆ABC biết AC : x + 3y − 3 = , đường cao AH : x + y − 1 = , đỉnh C ∈ Ox, B ∈ Oy Tìm tọa độ các đỉnh 0 0 của ∆ABC Bài tập 9 Cho ∆ABC... A, B là nhỏ nhất trong các trường hợp sau: a) A (1;1) và B ( 2; − 4 ) b) A (1;1) và B ( 3;3) Bài tập 4 Cho d : x + 2y + 2 = và hai điểm A(0;6), B(2;5) Tìm M ∈ d sao cho MA + MB nhỏ nhất 0 Bài tập 5 Trong mặt phẳng tọa độ cho 3 điểm A (1;1) , B ( 3;3) , C ( 2;0 ) a) Tính diện tích tam giác  b) Hãy tìm tất cả điểm M trên trục hồnh sao cho AMB nhỏ nhất Bài tập 6 Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm M ( 4;1)... x − 2y + 7 = 0 AB với A (1;1) , B ( 7;5 ) Page 15 of 17 Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh Bài tập 4 Lập phương trình của đường tròn ( C ) tiếp xúc với các trục tọa độ và thỏa mãn các yếu tố sau: a) Đi qua điểm M ( 4;2 ) b) Có tâm nằm trên đường thẳng d : 4x − 2y − 8 = 0 Bài tập 5 Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng ∆ : 4x + 3y − 2... 12y + 2 = 0 d) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến vng góc với ∆ : 3x + 4y − 7 = 0 e) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến đi qua A ( 3;6 ) Page 16 of 17 GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Bài tập 2 Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 4x + 8y − 5 = 0 a) Xác định tâm và bán kính của ( C ) b) Viết phương trình tiếp tuyến... =, BC :3x + 5y + 4 = và 0 0 AC :7x + y − 12 = Viết phương trình đường phân giác trong của góc A 0 Dạng 2 Xác định tọa độ điểm Bài tập 1 Cho ∆ABC có M ( −1;1) là trung điểm một cạnh, còn hai cạnh kia có phương trình là x + y + 2 =; 0 2x + 6y + 3 = Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác 0 Bài tập 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A ( −1;3) , B (1;1) và d :y = 2x a) Tìm C ∈ d sao cho ∆ABC đều... 4;1) một đoạn bằng 2 Page 11 of 17 Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh f) Qua điểm A ( −2;3) và cách đều hai điểm B ( 5; −1) và C ( 3;7 ) Bài tập 3 Tính khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d trong các trường hợp sau: a) M (1;3) và d : 3x − 4y − 2 = 0 x = t b) M ( 2;4 ) và d :  y= 1 + t Bài tập 4 Viết phương trình hai đường phân giác của các góc hợp...GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng II MỘT SỐ BÀI TỐN  x= 2 + at Bài 1 Xác định giá trị a để góc tạo bởi 2 đường thẳng d :  và 3x + 4y + 12 =bằng 450 0 y = 1 − 2t  Bài 2 Tìm giá trị m để khoảng cách từ A (1;1) đến đường thẳng ∆ : mx + ( 2m − 1) y − 3 = bằng 2 0 Bài 3 Lập phương trình đường thẳng qua P (10;2 ) và cách đều hai điểm A (... có:  Phương trình đường phân giác trong góc A là: d 2 : 4x − 8y + 17 = 0  Phương trình đường phân giác ngồi góc A là: d1 : 4x + 2y − 13 = 0 Bài tập 1 Viết phương trình đường phân giác trong và ngồi xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC , biết A (1;1) , B (10;13) và C (13;6 ) Bài tập 2 Biết các cạnh của tam giác ABC có phương trình: AB :x − y + 4 =, BC :3x + 5y + 4 = và 0 0 AC :7x + y − 12 = Viết phương . 9;1−− a) Lập phương trình các cạnh của tam giác b) Lập phương trình các đường trung tuyến của tam giác Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV:. tọa độ điểm H là trực tâm của tam giác Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng GV: Lê Ngọc Sơn_ THPT Phan Chu Trinh Page 7 of 17 b) Tìm tọa độ