HỘI TOÁN TRUYỀN THỐNG NĂM 2006 ĐỀ THI OLIMPIC TOÁN Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180’ Câu 1: Với mỗi n ∈ N,chou n = 4n n 4 +2n 2 +9 . Đặt S n = u 1 + u 2 + + u n . Tìm lim n→∞ S n . Câu 2: Cho f là một hàm có đạo hàm liên tục đến cấp 2 trên (a, b). Giả sử có M>0 để |f  (x)|≤M với mọi x ∈ (a, b). Chứng minh rằng f là liên tục đều trên (a, b). Câu 3: Cho f :  − π 2 , π 2  → (−1, 1) là một hàm số khả vi, f  không âm và liên tục. Chứng minh rằng tồn tại x 0 ∈  − π 2 , π 2  sao cho (f(x 0 )) 2 +(f  (x 0 )) 2 < 1. Câu 4: Cho hàm f liên tục trên R thỏa mãn f (0) = 0 và |f(x) − f (y)|≤|sin x − sin y|,x,y∈ R. Chứng minh rằng π 2  0  f(x) 2 − f(x)  dx ≤ π 4 +1. Tìm tất cả các hàm f để đẳng thức xảy ra. Câu 5: Cho hàm f khả vi đến cấp 2 trên [a, b] và f  (a)=f  (b)=0. Chứng minh rằng tồn tại c ∈ (a, b) sao cho |f  (c)|≥ 4 (b − a) 2 |f(b) − f(a)|. 1 ĐÁP ÁN Câu 1: Ta có u n = 1 n 2 − 2n +3 − 1 n 2 +2n +3 = 1 (n − 1) 2 +2 − 1 (n +1) 2 +2 ,n ∈ N. Đặt ϕ(x)= 1 x 2 +2 thì u n = ϕ(n − 1) − ϕ(n +1). Do đó với n ≥ 2, S n = ϕ(0) − ϕ(2) + ϕ(1) − ϕ(3) + + ϕ(n − 1) − ϕ(n +1) = ϕ(0) + ϕ(1) − ϕ(n +1)− ϕ(n) = 1 2 + 1 3 − 1 (n +1) 2 +2 − 1 n 2 +2 . Từ đó ta có lim n→∞ S n = 5 6 . Câu 2: Cố định x 0 ∈ (a, b). Theo định lý Lagrange, với mỗi x ∈ (a, b) \{x 0 } tồn tại c x ∈ (a, b) sao cho f  (x) − f  (x 0 )=f  (c x )(x − x 0 ). Do đó |f  (x)|≤|f  (x) − f  (x 0 )| + |f  (x 0 )|≤M|x − x 0 | + |f  (x 0 )|≤M(b −a)+|f  (x 0 )|. Đặt K = M(b − a)+|f  (x 0 )| > 0, ta có |f  (x)|≤K với mọi x ∈ (a, b). Lúc đó với x, x  ∈ (a, b), dễ thấy |f(x) − f (x  )|≤K|x − x  |. Với ε>0 tùy ý cho trước, chọn δ = ε K . Nếu |x − x  | <δthì |f(x) − f (x  )| <ε. Vậy f liên tục đều trên (a, b). Câu 3: Xét hàm số g(x) = arcsin(f (x)). Khi đó g :  − π 2 , π 2  →  − π 2 , π 2  liên tục trên  − π 2 , π 2  , khả vi trên  − π 2 , π 2  . Theo định lý Largange, tồn tại x 0 ∈  − π 2 , π 2  sao cho g( π 2 ) − g(− π 2 )= f  (x 0 )  1 − (f(x 0 )) 2 .π. Theo giả thiết, vế trái không âm và vế phải nhỏ hơn π.Vìvậy 0 ≤ f  (x 0 )  1 − (f(x 0 )) 2 < 1. 2 Từ đây dễ dàng nhận được (f(x 0 )) 2 +(f  (x 0 )) 2 < 1. Câu 4: Với mỗi x ∈ R, ta có |f(x)| = |f (x) − f(0)|≤|sin x − sin 0| = | sin x| và |f(x) 2 − f(x)| = |f (x)||f (x) − 1|≤|sin x|(| sin x| +1). Vậy π 2  0  f(x) 2 − f(x)  dx ≤ π 2  0 sin x(sin x +1)= π 4 +1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f liên tục trên R và với mỗi x ∈ [0, π 2 ], |f(x)| = sin x và |f(x)−1| = sin x+1, tức là f liên tục trên R và f(x)=− sin x trên [0, π 2 ]. Câu 5: Áp dụng khai triển Taylor của hàm f đến cấp 2 tại a và b ta có: f  a + b 2  = f(a)+ f  (x 1 ) 2!  b − a 2  2 và f  a + b 2  = f(b)+ f  (x 2 ) 2!  b − a 2  2 , với x 1 ∈  a, a+b 2  và x 2 ∈  a+b 2 ,b  . Do đó |f(b) − f(a)| =  b − a 2  2 . 1 2 |f  (x 2 ) − f  (x 1 )|≤  b − a 2  2 |f  (c)|, trong đó |f  (c)| = max{|f  (x 1 )|, |f  (x 2 )|} (c = x 1 hoặc c = x 2 ). Vậy tồn tại c ∈ (a, b) sao cho |f  (c)|≥ 4 (b − a) 2 |f(b) − f(a)|. 3 . HỘI TOÁN TRUYỀN THỐNG NĂM 2006 ĐỀ THI OLIMPIC TOÁN Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180’ Câu 1: Với. có M>0 để |f  (x)|≤M với mọi x ∈ (a, b). Chứng minh rằng f là liên tục đều trên (a, b). Câu 3: Cho f :  − π 2 , π 2  → (−1, 1) là một hàm số khả