ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Giải tích pdf

tailieuhay_1189
tailieuhay_1189(14742 tài liệu)
(10 người theo dõi)
Lượt xem 126
1
Tải xuống
(Lịch sử tải xuống)
Số trang: 8 | Loại file: PDF
0

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 16/03/2014, 07:20

Mô tả: 1 HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM MATHOLP’04 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Cho dãy số {xn} xác định như sau: 100, ( 1) , 1.2004nnnxx x n      Tính2lim .nnx Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục và dương trên [0,+ ). Chứng minh rằng hàm số 00()()()xxtf t dtFxf t dt đồng biến trên [0,+ ). Câu 3. Cho 0 . ab Tính tích phân   1010) ( ) (1 ) .) lim ( ) .a I bx a x dxbI   Câu 4. Xác định các hàm số f(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: 2004( ) ( ) , .( ) ( ) ( ) ( ), , .xi f x e xii f x y f x f y x y     ¡¡ Câu 5. Cho đa thức P(x) thoả mãn điều kiện ( ) ( ) 0P a P b với a < b. Đặt ( ) .a x bM max P x Chứng minh rằng 3) ( )( )( ) 2 ( ) ,1) ( ) ( ) .12bbaabaa P x x a x b dx P x dxb P x dx M b a   Hết 2 ĐÁP ÁN OLYPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Giải tích Câu 1. Cho dãy số {xn} xác định như sau: 100, ( 1) , 1.2004nnnxx x n      Tính2lim .nnx Giải. Ta chứng minh công thức 1( 1) (2004) 1.(2004) .2005nnnnx Thật vậy, đặt (),(2004)nnhnx  ta thu được 11 1 1( ) ( 1) ( 1)(2004) 2004 (2004)nnnh n h n   . Suy ra ( ) ( 1) ( 1) (2004)nnh n h n    và  11( ) (0) ( ) ( 1) ( 1) (2004) .nniiiih n h h i h i      Do 0(0) 0xh nên 111 ( 1) (2004) 1( 1) (2004) .(2004) (2004) .2005nnniinnnix   Suy ra 222004lim .2005nnx Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục và dương trên [0,+ ). Chứng minh rằng hàm số 00()()()xxtf t dtFxf t dt đồng biến trên [0,+ ). Giải. Ta có 0020( ) ( ) ( ) ( )( ) .()xxxxf x f t dt f x tf t dtFxf t dt Vì 2()0()xxfxf t dt 3 và 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) 0x x xx f t dt tf t dt x t f t dt      với ( ) 0,f t x t nên ( ) 0Fx khi x > 0. Do vậy F(x) là một hàm đồng biến trong 0, . Câu 3. Cho 0< a < b. Tính tích phân   1010) ( ) (1 ) .) lim ( ) .a I bx a x dxbI   Giải. a) Đặt (1 ) ,bx a x t   ta có  10111(1 )1 1 1.11babatbx a x dx dtbabatb a b a       b) Từ a) suy ra  111111( ) .( 1)baIba Suy ra  1110lim ( ) .bbaabIea Câu 4. Xác định các hàm số f(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: 2004( ) ( ) , .( ) ( ) ( ) ( ), , .xi f x e xii f x y f x f y x y     ¡¡ Giải. Đặt 2004( ) ( ).xf x e g x Theo giả thiết (i) thì ( ) 1gx với mọi .x¡ Thế vào điều kiện (ii), ta thu được 200( ) 2004 2004( ) ( ) ( ),x y x ye g x y e g x e g y hay ( ) ( ) ( ), , .g x y g x g y x y   ¡ Với x= y= 0 ta thu được  2(0) (0)(0) 1.(0) 1gggg Suy ra 1 (0) ( ( )) ( ) ( ) 1, .g g x x g x g x x        ¡ Do đó ( ) 1gx và 2004( ) .xf x e Câu 5. Cho đa thức P(x) thoả mãn điều kiện ( ) ( ) 0P a P b, với a < b. Đặt ( ) .a x bM max P x Chứng minh rằng 4 3) ( )( )( ) 2 ( ) ,1) ( ) ( ) .12bbaabaa P x x a x b dx P x dxb P x dx M b a   Giải. a) Ta chứng minh ( )( )( ) 2 ( ) (1)bbaaP x x a b x dx P x dx    Thật vậy, sử dụng công thức tích phân từng phần, ta thu được     ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) .bbaab b ba a aP x x a b x dx P x x a b x dxP x b x x a dx P x b x x a dx P x dx                    b) Từ (1) ta thu được 1( ) ( )( )( ) .2bbaaP x dx P x x a b x dx    Suy ra 1( ) ( ) ( )( ) .2bbaaP x dx P x x a b x dx   Vì a x b nên ( )( ) ( )( )x a b x x a b x     và 3( ) ( )( ) ( ) .2 12bbaaMMP x dx x a b x dx b a     o0o 5 HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM MATHOLP’05 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2005 Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Câu1. Cho dãy số {xn} ( 1,2,3, )n được xác định bởi công thức truy hồi sau: 2112, 5.nnx x x   Tìm giới hạn 2112lim( ) . nnnxx x x Câu 2. Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a, b] (a < b) và thoả mãn điều kiện ( ) 0.baf x dx  Chứng minh rằng tồn tại ( , )c a bsao cho ( ) 2005 ( ) .caf c f x dx Câu 3. Cho số dương a và hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ¡ sao cho()f x avới mọi .x¡Biết rằng 200 ( )sin .f x xdx a Chứng minh rằng khi đó trên đoạn 0,2, phương trình( ) 0fxcó duy nhất nghiệm. Câu 4. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0, 1] và thoả mãn điều kiện  121( ) , 0,1 .2xxf t dt x   Hãy chứng minh  11200( ) ( ) .f x dx xf x dx Câu 5. Giả sử f(x) là hàm số có đạo hàm cấp 2 liên tục trên ¡và thoả mãn điều kiện (0) (1) .f f a Chứng minh rằng   x 0,1max ( ) 8( )f x a b, với   0,1min ( ) .xb f x Cho một mở rộng kết quả trên đối với đoạn  ,.¡ Hết 6 ĐÁP ÁN OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2005 Môn: Giải tích Câu1. Cho dãy số {xn} ( 1,2,3, )n được xác định bởi công thức truy hồi sau: 2112, 5.nnx x x   Tìm giới hạn 2112lim( ) . nnnxx x x Giải. Theo giả thiết ta có 2 2 2 4 2 2 2 2 2 21 1 12 2 2 2 21 1 1 1 24 ( 2) 4 4 ( 4) ( 4) ( 4) 21( ) .n n n n n n n n nn n nx x x x x x x x xx x x x x x x                Suy ra 2121 2 1 2421 . ( )nnnxx x x x x x Dễ dàng chứng minh được (vi dụ: bằng qui nạp!) 2, 1.kxk   Do vậy 2112lim 21. nnnxx x x Câu 2. Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a, b] (a < b) và thoả mãn điều kiện ( ) 0.baf x dx  Chứng minh rằng tồn tại ( , )c a bsao cho ( ) 2005 ( ) .caf c f x dx Giải. Xét hàm số 2005( ) ( ) .ttaF t e f x dx Khi đó ( ) ( ) 0F a F bvà 2005 2005( ) 2005 ( ) ( ).tttaF t e f x dx e f t   Theo Định lý Rolle, tồn tại ( , )c a bsao cho ( ) 0,Fc nghĩa là 2005 20052005 ( ) ( ) 0.cccae f x dx e f c   Hay từ đây suy ra điều phải chứng minh: ( ) 2005 ( ) .caf c f x dx Câu 3. Cho số dương a và hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ¡ sao cho()f x avới mọi .x¡Biết rằng 7 200 ( )sin .f x xdx a Chứng minh rằng khi đó trên đoạn 0,2, phương trình( ) 0fxcó duy nhất nghiệm. Giải. Ta có 2 2 2200 0 02200( )sin ( ) cos cos ( ) ( )cos(0) ( )cos (0) cos (0) .f x xdx f x d x xf x f x xdxf f x xdx f a xdx f a              Suy ra 20(0) ( )sin 0.f f x xdx a   Giả sử ( 2) 0.f Từ giả thiết ( ) 0f x asuy ra ()fxđồng biến trên đoạn  0, 2 . Khi đó  ( ) 0 0, 2 .f x x   Do vậy ( )sin 0 0, 2 ,f x x x  hay 20( )sin 0.f x xdx Mâu thuẫn với giả thiết. Vậy, ( 2) 0.f Kết hợp với điều kiện()fxtrên đoạn  0, 2suy ra điều phải chứng minh. Câu 4. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0, 1] và thoả mãn điều kiện  121( ) , 0,1 .2xxf t dt x   Hãy chứng minh  11200( ) ( ) .f x dx xf x dx Giải. Ta có     1 1 1 12220 0 0 0112000 ( ) ( ) 2 ( )1( ) 2 ( ) .3f x x dx f x dx xf x dx x dxf x dx xf x dx           Suy ra  112001( ) 2 ( ) . (1)3f x dx xf x dx Đặt 110( ) .xA f t dt dx 8 Ta có 1 1 120011( ) .23xxA f t dt dx dx     Mặt khác 11 1 1 1 10 0 00( ) ( ) ( ) ( ) .xxA f t dt dx x f t dt xf x dx xf x dx        Do đó 101( ) .3xf x dx  (2) Thay (2) vào (1) suy ra điều phải chứng minh. Câu 5. Giả sử f(x) là hàm số có đạo hàm cấp 2 liên tục trên ¡và thoả mãn điều kiện(0) (1) .f f a Chứng minh rằng   x 0,1max ( ) 8( )f x a b, với   0,1min ( ) .xb f x Cho một mở rộng kết quả trên đối với đoạn  ,.¡ Giải. Sử dụng giả thiết và áp dụng định lý Rolle, tồn tại (0,1)csao cho( ) 0fc. Xét khai triển Taylor của hàm ()fxtại điểm c: 2( ( ))( ) ( ) ( )( ) ( )2fxf x f c f c x c x c    . Thay lần lượt giá trị x = 0 và x = 1 vào đẳng thức trên ta thu được 22( (0).2( (1)(1 ) .2fa b cfa b c   Hay 222( )( (0)) 0.2( )( (1)) 0.(1 )abfcabfc Nhân vế với vế hai bất đẳng thức sau cùng ta thu được 22224( )( (0)) ( (1)) 64( ) .(1 )abf f a bcc    (sử dụng bất đẳng thức 221(1 )16cc với [0,1])c. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Mở rộng đối với đoạn  ,:  2x,8( )max {f (x)}()ab. Ghi chú: Nếu thí sinh đưa ra đư phản ví dụ khi a=b thì có thể xét thưởng điểm. Hết . HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM MATHOLP’04 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn. ĐÁP ÁN OLYPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Giải tích Câu 1. Cho dãy số {xn} xác định như sau: 100, ( 1) , 1. 2004 nnnxx x

— Xem thêm —

Xem thêm: ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Giải tích pdf, ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Giải tích pdf, ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Giải tích pdf

Lên đầu trang

Bạn nên Đăng nhập để nhận thông báo khi có phản hồi

123doc

Bạn nên Đăng nhập để nhận thông báo khi có phản hồi

Bình luận về tài liệu de-thi-olympic-toan-hoc-sinh-vien-toan-quoc-2004-mon-thi-giai-tich-pdf

Tài liệu liên quan

Từ khóa liên quan

Đăng ký

Generate time = 0.30594396591187 s. Memory usage = 18.57 MB