CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤ T THEO SIN VÀ COSIN (PHƯƠNG TRÌNH CỔ ĐIỂN) a sin u + b cos u = c ( * ) ( a, b ∈ R \ ) Caù c h : Chia vế phương trình cho a + b2 ≠ a b sin α = với α ∈ [ 0, 2π] Đặt cos α = a + b2 a + b2 c Thì ( *) ⇔ sin u cos α + cos u sin α = a + b2 c ⇔ sin ( u + α ) = a + b2 Caù c h : Neá u u = π + k2π nghiệ m củ a (*) : a sin π + b cos π = c ⇔ − b = c u Neá u u ≠ π + k2π đặ t t = tg (*) n h : 2 2t 1−t a +b =c 1+t + t2 ⇔ ( b + c ) t − 2at + c − b = (1)( với b + c ≠ ) Phương trình có nghiệ m ⇔ Δ ' = a − ( c + b ) ( c − b ) ≥ ⇔ a ≥ c − b ⇔ a + b2 ≥ c Giaû i phương trình (1) tìm t Từ t = tg u ta tìm đượ c u ⎛ 2π 6π ⎞ Bà i 87 : Tìm x ∈ ⎜ , ⎟ thỏ a phương trình : cos 7x − sin 7x = − ( *) ⎝ ⎠ Chia hai vế củ a (*) cho ta đượ c : ( *) ⇔ cos 7x − sin 7x = − 2 2 π π ⇔ − sin cos 7x + cos sin 7x = 6 π⎞ π ⎛ ⇔ sin ⎜ 7x − ⎟ = sin 6⎠ ⎝ π π π 3π ⇔ 7x − = + k2π hay 7x − = + h2π , ( k, h ∈ Z ) 6 5π k2π 11π h2π + hay x = + , k,h ∈ 84 84 ⎛ 2π 6π ⎞ Do x ∈ ⎜ , ⎟ nê n ta phả i có : ⎝ ⎠ 2π 5π k2π 6π 2π 11π h2π 6π < + < hay < + < ( k, h ∈ 84 7 84 7 k2 11 h2 ⇔ < + < hay < + < ( k, h ∈ ) 84 7 84 7 Suy k = 2, h = 1, 5π 4π 53 11π 2π 35 Vaäy x = + = π∨ x = + = π 84 84 84 84 11π 4π 59 ∨x= + = π 84 84 ⇔x= ) Bà i 88 : Giả i phương trình 3sin 3x − cos 9x = + sin3 3x ( *) ( ) Ta coù : ( * ) ⇔ 3sin 3x − sin 3x − cos 9x = ⇔ sin 9x − cos 9x = 1 sin 9x − cos 9x = 2 π⎞ π ⎛ ⇔ sin ⎜ 9x − ⎟ = = sin 3⎠ ⎝ π π π 5π ⇔ 9x − = + k2π hay 9x − = + k2π, k ∈ 6 π k2π 7π k2π ⇔x= + hay x = + ,k ∈ 18 54 ⇔ Bà i 89 : Giả i phương trình ⎞ ⎛ tgx − sin 2x − cos 2x + ⎜ cos x − ⎟ = ( *) cos x ⎠ ⎝ Điề u kieä n : cos x ≠ sin x − sin 2x − cos 2x + cos x − =0 Lú c : ( *) ⇔ cos x cos x ⇔ sin x − sin 2x cos x − cos x cos 2x + cos2 x − = ⇔ sin x − cos2 x − cos x cos 2x + cos 2x = ( ) ⇔ − sin x cos 2x − cos x cos 2x + cos 2x = ⇔ c os 2x = hay − sin x − cos x + = ( ⎡cos 2x = nhaän cos 2x = cos2 x − = cos x ≠ ⇔⎢ ⎢sin x + cos x = vô nghiệm 12 + 12 < 22 ⎢ ⎣ ( ) ) ⇔ 2x = ( 2k + 1) ⇔x= π ,k ∈ π kπ + ,k ∈ Bà i 90 : Giải phương trình sin x = + ( *) cos x sin x Điề u kiệ n : sin 2x ≠ Lú c (*) ⇔ 8sin2 x cos x = sin x + cos x ⇔ (1 − cos 2x ) cos x = sin x + cos x ⇔ −4 cos 2x cos x = sin x − cos x ⇔ −2 ( cos 3x + cos x ) = sin x − cos x sin x + cosx 2 π⎞ ⎛ ⇔ cos 3x = cos ⎜ x + ⎟ 3⎠ ⎝ π π ⇔ 3x = x + + k2π ∨ 3x = − x − + k2π 3 π π kπ , k∈ ⇔ x = + kπ ∨ x = − + 12 Nhậ n so vớ i điề u kiệ n sin 2x ≠ Caù c h khaù c : (*) ⇔ 8sin2 x cos x = sin x + cos x ( hiể n nhiê n cosx = hay sinx = khô n g nghiệ m củ a pt nà y ) ⇔ 8(1 − cos2 x) cos x = sin x + cos x ⇔ cos 3x = − ⇔ cos x − cos3 x = sin x + cos x ⇔ cos x − cos3 x = sin x − cos x cos x − sin x 2 π⎞ ⎛ ⇔ cos 3x = cos ⎜ x + ⎟ 3⎠ ⎝ π π ⇔ 3x = x + + k2π ∨ 3x = − x − + k2π 3 π π kπ , k∈ ⇔ x = + kπ ∨ x = − + 12 ⇔ cos3 x − cos x = Bà i 91 : Giả i phương trình sin x + cos x − 3sin 2x + cos 2x = ( * ) ( ) Ta coù : (*) ⇔ sin x + cos x − sin x cos x + − sin x = ⇔ cos x − sin x cos x − sin2 x + sin x − = 7⎞ ⎛ ⇔ cos x (1 − sin x ) − ( sin x − 1) ⎜ sin x − ⎟ = 2⎠ ⎝ 7⎞ ⎛ ⇔ − sin x = hay cos x + ⎜ sin x − ⎟ = 2⎠ ⎝ ⎡sin x = ⇔⎢ 2 ⎢ cos x + sin x = vô nghiệm + < ⎣ π ⇔ x = + k2π , k ∈ Bà i 92 : Giải phương trình: sin 2x + cos 2x = + sin x − cos x ( * ) ( ) ( ) Ta coù : (*) ⇔ sin x cos x + 2 cos2 x − = + sin x − cos x ⇔ sin x cos x − sin x + cos2 x + cos x − = 1⎞ 1⎞⎛ 3⎞ ⎛ ⎛ ⇔ sin x ⎜ cos x − ⎟ + ⎜ cos x − ⎟ ⎜ cos x + ⎟ = 2⎠ 2⎠⎝ 2⎠ ⎝ ⎝ ⇔ cos x − = hay sin x + cos x + = vô nghiệm 22 + 42 < 62 ( ⇔x=± ) π + k 2π Bà i 93 : Giả i phương trình sin 2x − cos 2x = sin x + cos x − ( * ) ( ) Ta coù : (*) ⇔ sin x cos x − − sin x = sin x + cos x − ⇔ cos x ( sin x − 1) + sin2 x − sin x + = 1⎞ ⎛ ⇔ cos x ( sin x − 1) + ⎜ sin x − ⎟ ( sin x − 3) 2⎠ ⎝ ⇔ cos x ( sin x − 1) + ( sin x − 1) ( sin x − 3) = ( ⇔ sin x − = hay cos x + sin x − = vô nghiệm 12 + 22 < 32 ⇔x= π 5π + k2π ∨ x = + k2π , k ∈ 6 Baø i 94 : Giả i phương trình sin 2x − cos 2x = 3sin x + cos x − ( * ) ( ) Ta coù (*) ⇔ sin x cos x − − sin x = 3sin x + cos x − ⇔ cos x ( sin x − 1) + sin2 x − sin x + = ⇔ cos x ( sin x − 1) + ( sin x − 1) ( sin x − 1) = ⇔ sin x − = hay cos x + sin x − = ) hay π⎞ ⎛ cos x ⎜ x − ⎟ = 4⎠ ⎝ π 5π π π ⇔ x = + k2π ∨ x = + k2π hay x − = ± + k2π, k ∈ 6 4 π 5π π ⇔ x = + k2π ∨ x = + k2π hay x = + k2π ∨ x = k2π, k ∈ 6 Baø i 95 : Giải phương trình π⎞ ⎛ sin 2x + cos 2x − = cos ⎜ 2x − ⎟ ( *) 6⎠ ⎝ ⇔ sin x = ( ) Đặt t = sin 2x + cos 2x , Điều kiện − a + b = −2 ≤ t ≤ = a + b ⎛1 ⎞ π⎞ ⎛ cos 2x ⎟ = cos ⎜ 2x − ⎟ Thì t = ⎜ sin 2x + ⎜2 ⎟ 6⎠ ⎝ ⎝ ⎠ Vậ y (*) n h: t t − = ⇔ 2t − t − 10 = ⇔ t = ( loaïi ) ∨ t = −2 2 π⎞ ⎛ Do ñoù ( * ) ⇔ cos ⎜ 2x − ⎟ = −1 6⎠ ⎝ π 7π ⇔ 2x − = π + k2π ⇔ x = + kπ 12 Bà i 96 : Giải phương trình cos3 x + cos2x + sin x = ( *) Ta coù (*) ⇔ cos3 x + cos2 x − + sin x = ⇔ cos2 x ( cos x + 1) − + sin x = ⇔ (1 − sin x ) (1 + cos x ) − (1 − sin x ) = ⇔ − sin x = hay (1 + sin x )(1 + cos x ) − = ⇔ − sin x = hay + sin x cos x + 2(sin x + cos x) = ⇔ − sin x = hay (sin x + cos x )2 + 2(sin x + cos x) = ⇔ sin x = hay sin x + cos x = hay sin x + cos x + = ( vô nghiệm do: 12 + 12 < 2 ) ⇔ sin x = hay tgx = −1 ⇔ x = π π + k2π hay x = − + k2 π, k ∈ ¢ − cos 2x ( *) sin 2x Điề u kiệ n : sin 2x ≠ ⇔ cos 2x ≠ ±1 Ta coù (*) − cos 2x ⇔ + cot g2x = = − cos 2x + cos 2x ⇔ cot g2x = −1 + cos 2x − cos 2x cos 2x ⇔ = sin 2x + cos 2x Bà i 97 : Giả i phương trình + cot g2x = ⎡ cos 2x = ( nhaän ≠ ±1) ⇔⎢ −1 ⎢ = ⎢ sin 2x + cos 2x ⎣ ⇔ cos 2x = ∨ + cos 2x = − sin 2x ⇔ cos 2x = ∨ sin 2x + cos 2x = −1 π⎞ ⎛ ⎛ π⎞ ⇔ cos 2x = ∨ sin ⎜ 2x + ⎟ = − = sin ⎜ − ⎟ 4⎠ ⎝ ⎝ 4⎠ π π π π 5π ⇔ 2x = + kπ ∨ 2x + = − + k2 π ∨ 2x + = + k2 π, k ∈ ¢ 4 4 π kπ π ⇔x= + ∨ x == − + kπ ∨ 2x = π + k2 π ( loaïi ) , k ∈ ¢ 4 π kπ , k ∈¢ ⇔x= + Bà i 98 : Giả i phương trình ( sin x + cos x ) + sin 4x = ( *) Ta coù : (*) ⇔ ⎡( sin x + cos2 x ) − sin x cos2 x ⎤ + sin 4x = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⇔ ⎢1 − sin 2x ⎥ + sin 4x = 2 ⎣ ⎦ ⇔ cos 4x + sin 4x = −1 cos 4x + sin 4x = − 2 π⎞ 2π ⎛ ⇔ cos ⎜ 4x − ⎟ = cos 3⎠ ⎝ π 2π ⇔ 4x − = ± + k2π 3 π ⇔ 4x = π + k2 π hay 4x = − + k2 π , k ∈ ¢ π π π π ⇔ x = + k hay x = − + k , k ∈ ¢ 12 Caù c h khaù c : (*) ⇔ (1 − sin 2x ) + sin 4x = ⇔ ⇔ cos2 2x + sin 2x cos 2x = ⇔ cos 2x = ∨ cos 2x + sin 2x = ⇔ cos 2x = ∨ cot g2x = − π π ⇔ 2x = + kπ ∨ 2x = − + kπ, k ∈ ¢ π kπ π kπ ⇔x= + ∨x=− + , k∈¢ 12 Bà i 99 : Giải phương trình + sin 2x + cos3 2x = sin 4x ( *) Ta coù (*) ⇔ + ( sin 2x + cos 2x )(1 − sin 2x cos 2x ) = sin 4x ⎛ ⎞ ⇔ − sin 4x + ( sin 2x + cos 2x ) ⎜ − sin 4x ⎟ = ⎝ ⎠ ⇔ − sin 4x = hay + sin 2x + cos 2x = ⎡sin 4x = ( loaïi ) ⇔⎢ ⎣sin 2x + cos 2x = −1 π ⇔ sin( 2x + ) = −1 π⎞ π ⎛ ⇔ sin ⎜ 2x + ⎟ = sin(− ) 4⎠ ⎝ π π ⎡ ⎢2x + = − + k2 π ⇔⎢ ( k ∈ Z) ⎢2x + π = 5π + k2 π ⎢ 4 ⎣ π π ⇔ x = − + kπ ∨ x = + kπ, k ∈ ¢ Bà i 100 : Giả i phương trình tgx − cot gx = sin x + cos x ( *) ( ) ⎧sin x ≠ Điề u kiệ n ⎨ ⇔ sin 2x ≠ ⎩cos x ≠ sin x cos x −3 = sin x + cos x Lú c : (*) ⇔ cos x sin x ⇔ sin x − cos2 x = sin x cos x sin x + cos x ( ( )( ( ) ) ) ⇔ sin x + cos x sin x − cos x − sin 2x = ⎡sin x = − cos x ⎢ ⇔ ⎢1 ⎢ sin x − cos x = sin 2x ⎣ ⎡ ⎛ π⎞ ⎢ tgx = − = tg ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ ⇔⎢ ⎢ ⎛ π⎞ ⎢sin ⎜ x − ⎟ = sin 2x 3⎠ ⎣ ⎝ π π π ⇔ x = − + kπ ∨ x − = 2x + k2 π ∨ x − = π − 2x + k2 π, k ∈ Z 3 π π 4π k2 π + kπ ∨ x = − − k2 π ∨ x = + , k∈ ¢ 3 π 4π k2π ⇔ x = − + kπ ∨ x = + ( nhaän sin 2x ≠ ) ⇔x=− Bà i 101 : Giả i phương trình sin x + cos3 x = sin x − cos x ( * ) Ta coù : (*) ⇔ sin3 x − sin x + cos3 x + cos x = ⇔ sin x ( sin x − 1) + cos3 x + cos x = ⇔ − sin x cos2 x + cos3 x + cos x = ⇔ cos x = hay − sin x cos x + cos2 x + = ⎡ cos x = ⇔⎢ ⎣ − sin 2x + cos 2x = −3 ( vô nghiệm + < ) π ⇔ x = ( 2k + 1) , k ∈ Z Bà i 102 : Giả i phương trình π⎞ ⎛ cos4 x + sin ⎜ x + ⎟ = ( *) 4⎠ ⎝ 1⎡ π ⎞⎤ ⎛ Ta coù : (*) ⇔ (1 + cos 2x ) + ⎢1 − cos ⎜ 2x + ⎟ ⎥ 4⎣ ⎠⎦ ⎝ = ⇔ (1 + cos 2x ) + (1 + sin 2x ) = 2 ⇔ cos 2x + sin 2x = −1 3π π⎞ ⎛ ⇔ cos ⎜ 2x − ⎟ = − = cos 4⎠ ⎝ 3π π ⇔ 2x − = ± + k2π 4 π π ⇔ x = + kπ ∨ x = − + kπ, k ∈ Z Bà i 103 : Giả i phương trình sin x.cos3x + cos3 x.sin 3x + 3 cos 4x = ( *) Ta coù : (*) ⇔ sin x ( cos3 x − cos x ) + cos3 x ( 3sin x − sin x ) + 3 cos 4x = ⇔ −12 sin3 x cos x + 12 sin x cos3 x + 3 cos 4x = ⇔ sin x cos x ( − sin x + cos2 x ) + cos 4x = ⇔ sin 2x.cos 2x + cos 4x = π sin cos 4x = ⇔ sin 4x + π cos π π π + sin cos 4x = cos 3 π⎞ π ⎛ ⇔ sin ⎜ 4x + ⎟ = sin 3⎠ ⎝ π π π 5π ⇔ 4x + = + k2 π ∨ 4x + = + k2 π, k ∈ ¢ 6 π kπ π kπ , k∈¢ ⇔x=− + ∨x= + 24 ⇔ sin 4x.cos Bà i 104 : Cho phương trình : sin x − sin x cos x − cos2 x = m ( *) a/ Tìm m cho phương trình có nghiệ m b/ Giả i phương trình m = -1 1 Ta coù : (*) ⇔ (1 − cos 2x ) − sin 2x − (1 + cos 2x ) = m 2 ⇔ sin 2x + 3cos 2x = −2m + ⇔ a2 + b ≥ c2 a/ (*) có nghiệ m ⇔ + ≥ (1 − 2m ) ⇔ 4m − 4m − ≤ − 10 + 10 ≤m≤ 2 b/ Khi m = -1 ta đượ c phương trình sin 2x + cos 2x = (1) ⇔ • Nếu x = ( 2k + 1) thỏa π sin 2x = cos 2x = −1 nên phương trình (1) không π cos x ≠ ,đặt t = tgx (1 − t ) 2t (1) thaø n h + =3 + t2 + t2 ⇔ 2t + (1 − t ) = ( t + 1) • Nếu x ≠ ( 2k + 1) ⇔ 6t − 2t = ⇔ t = 0∨t =3 Vaä y ( 1) ⇔ tgx = hay tgx = = tgϕ ⇔ x = kπ hay x = ϕ + kπ, k ∈ ¢ ⎛ 3π ⎞ + sin ⎜ − x ⎟ ⎝ ⎠ = 6tgα * Baø i 105 : Cho phương trình ( ) sin x + tg2 α π a/ Giải phương trình α = − b/ Tìm α để phương trình (*) có nghiệ m ⎛ 3π ⎞ ⎛π ⎞ Ta coù : sin ⎜ − x ⎟ = − sin ⎜ − x ⎟ = − cos x ⎝ ⎠ ⎝2 ⎠ 6tgα sin α = cos2 α = 3sin 2α với cos α ≠ + tg α cos α − cos x = 3sin 2α ( điều kiện sin x ≠ cos α ≠ ) Vaä y : ( *) ⇔ sin x ⇔ 3sin 2α sin x + cos x = π a/ Khi α = − ta đượ c phương trình −3sin x + cos x = (1) ( Hiể n nhiê n sin x = khô n g nghiệ m củ a (1)) ⇔ − sin x + cos x = 5 Đặ t cos ϕ = − sin ϕ = với < ϕ < 2π 5 Ta có pt (1) thàn h : sin ( ϕ + x ) = π + k2 π π ⇔ x = −ϕ + + k π 2 b/ (**) có nghiệ m ⇔ ( 3sin 2α ) + 16 ≥ 25 vaø cos α ≠ ⇔ ϕ+x = ⇔ sin 2α ≥ vaø cos α ≠ ⇔ sin 2α = ⇔ cos 2α = ⇔α= π kπ ,k ∈¢ + BÀ I TẬ P Giả i cá c phương trình sau : a/ 2 ( sin x + cos x ) cos x = + cos 2x b/ ( cos x − 1) ( sin x + cos x ) = c/ cos 2x = ( cos x − sin x ) d/ 3sin x = − cos x e/ cos3x + sin x + cos x = f/ cos x + sin x = sin 2x + cos x + sin x g/ cos x + sin x = cos x + sin x + h/ sin x + cos x = cos 2x k/ sin x − = 3sin x − cos3x =6 i / cos x + sin x + cos x + sin x + j/ cos 7x cos 5x − sin 2x = − sin 7x sin 5x m/ ( cos x + sin x ) + sin 4x = p/ cos2 x − sin 2x = + sin x q/ sin 2x − cos 2x = ( sin x − 1) r/ tgx − sin 2x − cos 2x = −4 cos x + ( − ) cos x − sin ⎛ x − π ⎞ ⎜2 4⎟ ⎝ ⎠ cos x =1 cos x − Cho phương trình cosx + msinx = (1) a/ Giả i phương trình m = b/ Tìm cá c giá trị m để (1) có nghiệ m s/ (ĐS : m ≥ ) Cho phương trình : m sin x − m cos x − = (1) m − cos x m − 2sin x a/ Giả i phương trình (1) m = b/ Khi m ≠ vaø m ≠ (1) có bao nhiê u nghiệ m trê n [ 20 π,30 π] ? Cho phương trình sin x + cos x + = a (1) sin x − cos x + a/ Giaû i (1)khi a = b/ Tìm a để (1) có nghiệ m (ĐS : 10 nghiệ m ) Th.S Phạm Hồng Danh TT Luyện thi đại học CLC Vĩnh Viễn ... ⇔ cos2 2x + sin 2x cos 2x = ⇔ cos 2x = ∨ cos 2x + sin 2x = ⇔ cos 2x = ∨ cot g2x = − π π ⇔ 2x = + kπ ∨ 2x = − + kπ, k ∈ ¢ π kπ π kπ ⇔x= + ∨x=− + , k∈¢ 12 Bà i 99 : Giải phương trình + sin 2x +... + k2π hay x = − + k2 π, k ∈ ¢ − cos 2x ( *) sin 2x Điề u kiệ n : sin 2x ≠ ⇔ cos 2x ≠ ±1 Ta coù (*) − cos 2x ⇔ + cot g2x = = − cos 2x + cos 2x ⇔ cot g2x = −1 + cos 2x − cos 2x cos 2x ⇔ = sin 2x... cos 2x Baø i 97 : Giả i phương trình + cot g2x = ⎡ cos 2x = ( nhaän ≠ ±1) ⇔⎢ −1 ⎢ = ⎢ sin 2x + cos 2x ⎣ ⇔ cos 2x = ∨ + cos 2x = − sin 2x ⇔ cos 2x = ∨ sin 2x + cos 2x = −1 π⎞ ⎛ ⎛ π⎞ ⇔ cos 2x =