Bộ giáo dục và đào tạo Tr-ờng Đại học Quy nhơn Lê Đình Trọng Điều kiện cực trị cho bài toán biến phân và điều khiển tối -u không trơn Luận văn thạc sỹ toán học Quy nhơn - 2008 Bộ giáo dục và đào tạo Tr-ờng Đại học Quy nhơn Lê Đình Trọng Điều kiện cực trị cho bài toán biến phân và điều khiển tối -u không trơn Luận văn thạc sỹ toán học Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 Ng-ời h-ớng dẫn khoa học TSKH - Huỳnh Văn Ngãi Quy nhơn - 2008 1 Mục Lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Ch-ơng 1. kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. D-ới vi phân proximal và công thức tổng mờ . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Nón pháp tuyến proximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2. D-ới vi phân proximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3. Công thức mờ của d-ới vi phân proximal . . . . . . . . . . . 8 Ch-ơng 2. điều kiện cần cực trị cho bài toán Bolza tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1. Bài toán Bolza tổng quát - điều kiện cần cực trị . . . . . . . . . . . 12 2.2. Chứng minh định lý 2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.1 . D-ới vi phân của hàm bao lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.2 . Bài toán phụ: sự nới lỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.3 . Điều kiện cần cho bài toán phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.4 . Chứng minh định lí 2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Ch-ơng 3. bài toán qui hoạch động . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1. Điều kiện cần cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2. Tính chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3. Chứng minh định lý3.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4. nguyên lý cực đại Pontryagin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2 Một số ký hiệu N P S (x) Nón pháp tuyến proximal của S tại x. p f(x) D-ới vi phân proximal của f tại x. epif Trên đồ thị của f. graphf Đồ thị của f. domf Miền hữu hiệu của f. S (x) Hàm chỉ của tập S. f(x) Giới hạn d-ới vi phân proximal của f tại x. X Không gian đối ngẫu của X. convS Bao lồi của S. h.k.n Hầu khắp nơi. S (x) Khoảng cách từ x tới tập S. 3 Mở đầu Phép tính biến phân cổ điển ra đời vào thế kỷ 18, gắn liền với những tên tuổi lớn nh-: Euler, Lagrange, Bernoulli, nhằm mục đích giải quyết những bài toán cực trị xuất hiện trong vật lý và cơ học. Những thành tựu và ph-ơng pháp của nó càng ngày càng thâm nhập vào rất nhiều lĩnh vực khoa học, kỷ thuật khác nhau. Phép tính biến phân cổ điển chỉ giới hạn xem xét những hàm và toán tử đủ trơn. Tuy nhiên trong nhiều bài toán thực tiễn, yêu cầu này không phải lúc nào cũng đảm bảo. Vào khoảng những năm 60 của thế kỷ tr-ớc, một thành tựu nổi bật trong lý thuyết điều khiển tối -u ra đời đó là nguyên lý cực đại Pontryagin, đ-ợc đ-a ra bởi nhà toán học xuất chúng ng-ời Nga Pontryagin. Kết quả này đánh dấu một mốc lớn trong quá trình phát triển của lý thuyết điều khiển tối -u. Trong khoảng vài chục năm gần đây, với những thành tựu của giải tích không trơn cụ thể là lý thuyết vi phân tổng quát, cho phép ta xem xét những bài toán biến phân và điều khiển tối -u mà dữ kiện của nó không nhất thiết trơn. Điều này không những có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà còn mở rộng phạm vi ứng dụng, bởi vì những bài toán trong thực tiễn th-ờng là không trơn. Hơn nữa, những ph-ơng pháp và thành tựu của giải tích không trơn cho phép ta đ-a ra chứng minh đơn giản hơn cho các kết quả biến phân cổ điển, và giúp cho ta có một cái nhìn nhất quán trong một bối cảnh tổng quát những bài toán biến phân cổ điển. Mục đích của luận văn không ngoài việc đọc hiểu, hệ thống những kết quả gần đây về điều kiện cần cực trị cho bài toán biến phân tổng quát Bolza và bài toán qui hoạch động không trơn nh- điều kiện Euler, Weierstrass, nguyên lý cực đại. Chủ yếu là những kết quả trong hai bài báo của Rockafellar và Ioffe [4], [5]. Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn đ-ợc chia làm ba ch-ơng. Ch-ơng I: Trình bày một số khái niệm, định lý sẽ dùng trong các ch-ơng sau. Chứng minh công thức mờ của d-ới vi phân proximal. 4 Ch-ơng II: Nêu định lý điều kiện cần cực trị cho bài toán tổng quát của Bolza khi dữ kiện là không trơn và qui trình chứng minh định lý. Đ-a ra hai ví dụ minh hoạ kết quả của định lý. Ch-ơng III: Xét bài toán qui hoạch động trong tối -u điều khiển. Chứng minh điều kiện cần cực trị, nguyên lý cực đại Pontryagin khi dữ kiện là không trơn. 4 Ch-ơng 1 kiến thức chuẩn bị Trong ch-ơng này chúng tôi trình bày một số khái niệm, định lý sẽ đ-ợc dùng ở các ch-ơng sau. Giả sử X là không gian Banach và cho f : X R {+}. Ta dùng những ký hiệu sau: Miền hữu hiệu của hàm f, domf := {x X : f(x) < +}. Trên đồ thị của hàm f, epif : = {(x, ) domf ì R : f(x) }. Đồ thị của hàm f, graphf := {(x, ) X ì R : f(x) = }. Hàm f đ-ợc gọi là chính th-ờng (proper) nếu domf = . Hàm f là Lipschitz địa ph-ơng tại x X, nếu tồn tại lân cận U của x X và số K > 0 sao cho f(x) f(x ) Kx x , x, x U. (1.1) Hàm f đ-ợc gọi là Lipschitz địa ph-ơng trên X, nếu f Lipschitz địa ph-ơng tại mọi x X. Hàm f đ-ợc gọi là Lipschitz với hằng số Lipschitz K trên X, nếu (1.1) đúng với mọi x, x X. Hàm số f : X (, +] đ-ợc gọi là nửa liên tục d-ới tại x X nếu lim inf xx f(x) f(x) (với f(x) < ), tức là với mọi > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho f(x) f(y), y U. (1.2) Nếu f(x) = +, thì f đ-ợc gọi là nửa liên tục d-ới tại x, nếu với mọi N > 0 tồn tại lân cận U của x sao cho f(y) N, y U. (1.3) Hàm f đ-ợc gọi là nửa liên tục d-ới nếu f nửa liên tục d-ới tại mọi x X. Nếu thay (1.2) và (1.3) t-ơng ứng bởi (1.4) và (1.5) ta đ-ợc định nghĩa hàm nửa liên tục trên tại x. f(y) f(x) + , y U. (1.4) f(y) N, y U. (1.5) 5 Cho S X, hàm chỉ của tập S đ-ợc ký hiệu và xác định nh- sau S (x) = 0 nếu x S nếu x / S Ta thấy rằng hàm f đạt cực tiểu trên S X khi và chỉ khi f + S đạt cực tiểu trên X. 1.1. Hàm lồi Hàm f : X R {+} đ-ợc gọi là hàm lồi nếu nó thoả mãn bất đẳng thức f(x + (1 )y) f(x) + (1 )f(y), x, y X, [0, 1]. Giả sử (X, .) là không gian định chuẩn và f : X R là một phiếm hàm lồi. Với mọi x X, tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục l trên X ký hiệu f(x) sao cho f(x) f(x) + l(x x) x X đ-ợc gọi là d-ới vi phân của f tại x. Một phiếm hàm tuyến tính liên tục l f(x) gọi là d-ới vi phân của f tại x. Cho f : R n [, +] là một hàm bất kỳ. Hàm f (x ) = sup{x , x f(x)| x R n }, đ-ợc gọi là hàm liên hợp của f. Định lý 1.1.1. [7] Với mọi hàm số f, hàm liên hợp f là một hàm lồi đóng thoả mãn bất đẳng thức Fenchel sau f (x ) x , x f(x) x, x R n . Nói riêng nếu f lồi chính th-ờng thì f lồi chính th-ờng. Định lý 1.1.2. [7] Cho f là một hàm trên X thì hàm liên hợp f là lồi và đóng trong tôpô yếu* của không gian X . Định lý 1.1.3. [8](Moreau - Rockafellar) Giả sử f 1 , . . . , f n là các hàm lồi chính th-ờng trên X. Khi đó x X, (f 1 + . . . + f n ) f 1 (x) + . . . + f n (x). 6 Nếu tất cả các f i , i = 1, . . . , n là hàm lồi chính th-ờng trên X trừ một số hàm liên tục tại x domf 1 . . . domf n thì ta có đẳng thức. Định lý 1.1.4. [8] (Lyapunov) Cho T là một tập và à 1 , à 2 , . . . , à n là các độ đo hữu hạn liên tục xác định trên một đại số các tập con của T . Thì hạng của độ đo vectơ m = (à 1 , . . . , à n ) là lồi và đóng. Định lý 1.1.5. [8] (Mazur) Cho X là một không gian Banach và cho một điểm x thuộc vào một tập đóng yếu A X. Thì tồn tại một dãy tổ hợp lồi các phần tử của A hội tụ tới x theo chuẩn. Chú ý 1.1.6. Một tập F X đ-ợc gọi là đóng yếu theo dãy nếu dãy {x n } F có giới hạn yếu là x thì x X. Định lý 1.1.7. [1] (Nguyên lý biến phân Ekeland) Giả sử (X, ) là không gian mêtric đầy đủ và f : X R {+} là một hàm chính th-ờng nửa liên tục d-ới và bị chặn d-ới. Điểm u X và > 0 thỏa mãn f(u) inf f + . Khi đó, với bất kỳ > 0, tồn tại v X sao cho (i) f(v) f(u), (ii) (v, u) , (iii) f(w) + (w, v) > f(v), w X, w = v. 1.2. D-ới vi phân proximal và công thức tổng mờ 1.2.1. Nón pháp tuyến proximal Cho X là một không gian Hilbert và S là tập con khác rỗng của X. Giả sử x X, x / S. Nếu tồn tại s S sao cho khoảng cách từ s đến x là nhỏ nhất thì s đ-ợc gọi là hình chiếu của x lên S. Tập gồm các hình chiếu của x lên S ký hiệu là proj S (x). Véc tơ x s đ-ợc gọi là vectơ pháp tuyến proximal của S tại x. Nón pháp tuyến proximal của tập S tại s ký hiệu N P S (s) đ-ợc xác định nh- sau N P S (s) := X : = t(x s), t 0, s proj S (x) . 7 Hàm khoảng cách S : X R đ-ợc xác định bởi S (x) := inf{x s : s S}, ta cũng có thể viết (x, S) thay cho S (x). Mệnh đề 1.2.1. [2] a) Bất đẳng thức pháp tuyến proximal N S N (s) 0 sao cho , s s s s 2 s S. Hơn nữa, với mọi > 0 cho tr-ớc ta có b) N S N (s) 0 sao cho , s s s s 2 s S B(s, ). c) Nếu S là tập lồi và đóng thì N S N (s) , s s 0 s S. 1.2.2. D-ới vi phân proximal Định nghĩa 1.2.2. [4] Cho X là một không gian Hilbert và f : X R{+ } = R. D-ới vi phân proximal của hàm nửa liên tục d-ới f tại một điểm x với f(x) hữu hạn, ký hiệu p f(x) là một phần tử x X sao cho tồn tại > 0, k > 0, f(x + u) f(x) x , u ku 2 , nếu u < . D-ới vi phân giới hạn proximal của f tại x ký hiệu f(x) và, f(x) = lim sup u x f(u) f(x) p f(u). Ví dụ: 1) Nếu f đạt cực tiểu tại x thì 0 p f(x). 2) Nếu f = I S thì p f(x) = p I S (x) = N P S (x). 3) Nếu f là hàm liên tục trên tập mở U X thì p f(x) = f (x) x U. Định lý 1.2.3. [ 7] Cho f là hàm nửa liên tục d-ới và x domf. Khi đó p f(x) > 0; > 0 : f(y) f(x) + , y x y x 2 y B(x, ). Khi x S và S là đóng thì N(S, x) = 0 (x, S). (1.6) [...]... | và |L(t, x, y)| c(t) khi |y x (t)| N; |x x(t)| ; |x x(t)| 13 Nội dung chính của ch-ơng này là trình bày chứng minh định lý sau Nó cho những điều kiện cần cực trị cho bài toán Bolza tổng quát, đ-ợc giải quyết bởi Ioffe - Rockafellar Đây là điều kiện cần cực trị rất tổng quát cho bài toán với dữ kiện không nhất thiết trơn Chú ý rằng khi các dữ kiện là trơn, định lý trên suy ra những điều kiện. .. Ch-ơng 2 điều kiện cần cực trị cho bài toán Bolza tổng quát 2.1 Bài toán Bolza tổng quát - điều kiện cần cực trị Cho W11 là không gian Banach của các hàm liên tục tuyệt đối trên [0, 1] và lấy giá trị trong Rn , với x(t) Lp (xét chuẩn, x(.) = |x(0)| + x(.) p, trong đó |.| là 1 p chuẩn Euclicd của một vectơ trong Rn ) Xét bài toán Bolza tổng quát sau Xác định hàm trên W 11 làm cực tiểu phiếm hàm 1 J... c) Điều kiện cắt ngang (p(0), p(1)) l(x(0), x (1)) Hơn nữa điều kiện Euler (a) và điều kiện chuyển (c) vẫn thoả mãn nếu x (.) là một cực tiểu yếu cổ điển Hệ quả 2.1.2 Với giả thiết nh- trên,nếu l, L là các hàm trơn, ta có a) Điều kiện Euler L L (t, x(.), x(.) t, x(.), x(.) = 0 t [0; 1] h.k.n t y x b) Điều kiện Weierstrass L(t, x(t), y) L(t, x(t), x(t)) + L (t, x(.), x(.)), y x(t) y c) Điều. .. lấy giá trị trong Rn sao cho điều kiện Euler và điều kiện cắt ngang của Định lý 2.1.1 là thoả mãn 25 Chứng minh Chứng minh của định lý đ-ợc chia thành các b-ớc sau i) B-ớc 1 Biến đổi lại bài toán Vì J (x (.)) là hữu hạn, từ điều kiện (A2) không mất tính tổng quát, giả sử rằng x (t) 0 (nếu không ta thay x bởi x (t) + x) Xét hàm f(t, x, y) = nếu |x| , nếu |x| > L(t, x, y) Thì 0 cũng là một cực tiểu... và định lý đ-ợc chứng minh 2.2.3 Điều kiện cần cho bài toán phụ Tiếp theo ta xét bài toán giống nh- ở phần tr-ớc nh-ng thêm vào giả thiết sau (A4) L(t, , ) là hàm liên tục Lipschitz quanh mỗi điểm (x, y) với |x x(t)| , y intR(t) Định lý 2.2.8 [4] Giả sử rằng các điều kiện (A 1), (A2), (A3) và (A4) thoả mãn với w(t, ) = k(t)., k(t) là một hàm khả tích Giả sử J (x(.)) là hữu hạn và x (t) là một cực. .. trên suy ra những điều kiện cần cực trị cổ điển đã biết Định lý 2.1.1 [4] Giả sử x (t) là một cực tiểu địa ph-ơng của J (x(t)) với chuẩn lấy trong W11 (hoặc x(.) là một cực tiểu mạnh cổ điển) và (A1) - (A3) đ-ợc thoả mãn thì có một cung p(t) W11 sao cho các điều kiện sau đ-ợc thoả mãn a) Điều kiện Euler p(t) conv{w : (w, p(t)) L(t, x(t), x(t))} t [0; 1] h.k.n b) Điều kiện Weierstrass L(t, x(t), y)... > 0 đủ nhỏ, nh- < r1 () < 3 và một r = r() sao cho xir < , i = 1, , k và 2 Theo nguyên lý biến phân trơn của Borwein- Preiss [3] có các hàm bậc hai i (x) = x 2 ai , x + i Với a i 2 và các ui , i = 1, , k sao cho ui xir < và hàm g(x1, , xk ) = r (x1 , , xk ) + i (xi ), i đạt cực tiểu tại (u1, , uk ) thuộc tập của (x1 , , xk ), thoả mãn xi < và khi g(u1, , uk ) g(x1r ,... J (.) bằng cách thay thế L(t, x, y) bởi L (t, x, y) d-ới dấu tích phân Ta viết L và J thay cho L và J khi = 0 Định lý 2.2.6 [4] Giả thiết rằng các điều kiện (A1), (A2 ) và (A3 ) đ-ợc thoả mãn Giả sử x (.) là một cực tiểu địa ph-ơng của J (.) trên W11 , thì x (.) là một cực tiểu địa ph-ơng của J (.) trong W11 và J (x (.)) = J (x(.)) cho bất kỳ > 0 đủ nhỏ Chứng minh Tr-ớc hết ta khẳng định L t, x(t),... y)| (t, |x x |) và |L(t, x, y)| c(t), với mọi x, x thuộc hình cầu bán kính tâm x (t) và y R(t), ở đây w(t, ) là hàm Caratheodory không âm với hầu hết t, đơn điệu và hội tụ tới 0 khi 0 và c(t) là hàm khả tích Chú ý rằng ẩn trong điều kiện (A3 ) là w(t, ) c(t) và 1 w(t, )dt 0 khi 0 0 Với > 0, ký hiệu L (t, x, y) là bao lồi của L(t, x, y) + |y x(t)|2 theo biến thứ ba, và J (.) là hàm nhận... theo, ta có tập {(z, y, ) : z Z, [0, 1], (z, y, ) } bị chặn với mọi tập bị chặn Z Rm và bất kỳ R Thật vậy, nếu trái lại điều này không xảy ra, ta sẽ tìm đ-ợc các dãy {z } Z; { } [0; 1] và một dãy không bị chặn {y } sao cho (z , y , ) Không mất tính tổng quát có thể giả sử z z , > 0 và 0 < |y | Điều kiện (z , y , ) có thể viết lại nh- sau f(z , Giả sử rằng y y ) = f(z , )|y . giáo dục và đào tạo Tr-ờng Đại học Quy nhơn Lê Đình Trọng Điều kiện cực trị cho bài toán biến phân và điều khiển tối -u không trơn Luận văn thạc sỹ toán học Quy. giáo dục và đào tạo Tr-ờng Đại học Quy nhơn Lê Đình Trọng Điều kiện cực trị cho bài toán biến phân và điều khiển tối -u không trơn Luận văn thạc sỹ toán học Chuyên