HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH THƠNG QUA CHỨNG MINH CÁC BÀI TỐN TRONG TAM GIÁC THƯỜNG I Kiến thức cần nhớ: Biết hai tam giác Các trường hợp hai tam giác: Cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c); Cạnh – góc – cạnh (c.g.c); Góc – cạnh – góc (g.c.g) Biết khái niệm tính chất số đường đặc biệt như: Đường trung trực, đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác Biết định lí tổng ba góc tam giác, định lí góc ngồi tam giác Cơng thức tính diện tích tam giác Quan hệ góc cạnh đối diện tam giác, bất đẳng thức tam giác Hiểu định nghĩa hai tam giác đồng dạng Tỉ số hai đoạn thẳng, đoạn thẳng tỉ lệ II Hệ thống tập: Bài (Luyện tập tốn – Nguyễn Bá Hịa – NXB Giáo dục) Cho tam giác ABC có AC > AB Trên cạnh BC lấy điểm D Trên đoạn thẳng AD lấy A điểm E Ta chứng minh EC – EB < AC – AB sau: Trong ∆AEC ta có EC < AC + AE (1) Trong ∆ABE ta có EB < AB + AE (2) E Trừ (1) (2) vế theo vế ta có: EC – EB < AC – AB Hãy tìm chỗ sai chứng minh GIẢI B D C Ta thấy hai bất đẳng thức (1) (2) hay sai, hai bất đẳng thức không sai, lấy bất đẳng thức (1) trừ bất đẳng thức (2) hay sai, sai chứng minh nằm chổ ta lấy hai bất đẳng thức trừ cho Nhớ! Không trừ hai bất đẳng thức chiều Nhận xét: Cần ý việc biến đổi bất đẳng thức Bài Chứng minh đường phân giác tam giác chia cạnh đối diện thành đoạn thẳng tỉ lệ với cạnh kề đoạn thẳng GIẢI A ∆ABC , AD phân giác AB DB = AC DC GT KL Qua B vẽ đường thẳng song song AC cắt AD E ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ AC // BE ⇒ A2 = E1 mà A1 = A2 nên A1 = E1 B D ⇒ ∆ABC cân B ⇒ AB = BE (1) C E BE DB = Từ ∆EDB ∆ADC có BE//AC ⇒ AC DC Kết hợp với (1) ta có AB DB = (đpcm) AC DC Bài chứng minh ta kẻ đường thẳng qua B song song AC Vậy ta kẻ đường thẳng qua B mà song song với AD chứng minh tốn hay không Cách 2: F Qua B vẽ đường thẳng song song với AD cắt AC F ∧ ∧ ∧ ∧ BF // AD ⇒ F1 = A2 , B1 = A1 ∧ ∧ ∧ A ∧ Có A1 = A2 nên F1 = B1 ⇒ ∆ABF cân A ⇒ AF = AB AF DB AB DB = = ∆BFC có BF // AD ⇒ AC DC AC DC B D C Cũng với cách vẽ đường phụ với đường phụ hợp lí ta lại có thêm cách chứng minh, ta xét cách chứng minh khác A Cách 3: Vẽ DE // AC; DF // AB ( E ∈ AB, F ∈ AC ) ⇒ AFDE hình bình hành F E Có AD phân giác ⇒ AFDE hình thoi B ⇒ AF = DE = DF = AE ∆ABC có DE // AC ⇒ Suy D DB EB DB AE = = ; DC EA DC CF DB EB AE EB + AE AB = = = = DC AF CF AF + CF AC (đpcm) Bài Cho tam giác ABC biết AB < AC Trên tia BA lấy điểm D cho BC = BD Nối C với D Gọi E giao điểm AC với phân giác góc B a) Chứng minh CE = DE b) Dựng đường cao AH tam giác ACD Chứng minh AH // BE Hệ thống câu hỏi: Giả thuyết kết luận tốn gì? Dạng tốn dạng gì? (dạng chứng minh) a) Chứng minh CE = DE - Để chứng minh hai đoạn thẳng ta thường có cách nào? - Tại hai tam giác BEC BED nhau? - Từ hai tam giác ta suy điều gì? b) Chứng minh AH // BE - Ta có AH ⊥ CD muốn chứng minh AH // BE ta cần chứng minh điều gì? C - Muốn chứng minh BI ⊥ CD ta phải làm sao? ∧ ∧ - Vì có BIC = BID = 900 ? D - Vậy ta có điều phải chứng minh chưa? H GIẢI GT ∧ ∧ ∆ABC ; AB EC – EB b) Trên tia AD lấy O cho OB = OC Chứng tỏ F điểm tia đối tia OA AC – AB > FB – FC Hệ thống câu hỏi: Đọc đề, tóm tắt, vẽ hình cho tốn 16 a) Chứng minh AC – AB > EC – EB - Em có nhận xét đoạn thẳng - Lấy K AC cho AB = AK Vậy toán trở thành? - Giờ ta phải chứng minh KC > EC – EB - Xét ∆CEK ta có KC > EC – EK Vậy kết hợp với điều kiện ta cần phải chứng minh EB = EK - Em có nhận xét hai tam giác AEB AEK - Vậy ta có EB = EK Vậy suy điều phải chứng minh chưa? b) Chứng tỏ F thuộc tia đối tia OA AC – AB > FB – FC - Trước tiên ta thấy FB so với FC - Ta chứng minh tương tự câu a) GIẢI a) Trên cạnh AC lấy điểm K cho AB = AK A Như vậy: AC – AB = AC – AK = CK ∧ K E Xét hai tam giác AEB AEK có: ∧ AE cạnh chung; BAE = KAE (gt) B AB = AK (gt) D C ⇒ ∆AEB = ∆AEK (c.g.c), ta suy EB = EK Xét ∆CEK ta có: EC – EK < CK O ⇒ EC – EB < CK ⇒ EC – EB < AC – AB hay AC – AB > EC – EB (đpcm) b) F Có OB = OC ⇒ O nằm đường trung trực BC Mặt khác O ∈ CD nên O giao điểm AD đường trung trực đoạn BC Nếu F nằm tia đối tia OA: FB > FC Chứng minh tương tự câu a) ta AC – AB > FB – FC 17 (đpcm) Nhận xét: Sử dụng kết hợp vẽ đường phụ bất đẳng thức tam giác, khả biến đổi bất đẳng thức để giải tập Bài 14 Cho tam giác ABC với AB = c, BC = a, AC = b a – b = b – c Gọi M giao điểm trung tuyến P giao điểm đường phân giác góc tam giác Chứng minh MP // AC (Đề thi học sinh giỏi toán cấp II, 1977) Hệ thống câu hỏi: Đọc đề, vẽ hình nêu giả thuyết kết luận toán.? Hướng tốn gì? Làm chứng minh PH = MN Ta thấy điện tích tam giác ABC tổng điện tích tam giác nào? Thay cơng thức tính điện tích vào ta đẳng thức nào? Kết hợp với điều kiện a – b = b – c đẳng thức trở thành? Ta có BE = 3BH, Vậy ta cần phải chứng minh BE = 3MN Em có nhận xét điện tích hai tam giác BAD MAD, từ suy BE = 3MN hay chưa Từ kiện ta suy PH = MN từ suy PM // AC hay chưa? B GIẢI GT a – b = b – c; BM = BD I PH = PI = PK KL MP // AC Gọi diện tích tam giác ABC S ABC P K Ta có: S ABC = S APB + S BPC + SCPA M (1) E H N D A Dựng BE BD theo thứ tự đường cao đường trung tuyến ∆ABC Dựng đường cao PK, PI, PH tam giác APB, BPC, CPA Từ đẳng 18 C 1 1 b.BE = c.PK + a.PI + b.PH 2 2 thức (1) ta có: ⇒ b.BE = c.PK + a.PI + b.PH (2) Vì P giao điểm ba đường phân giác nên: PH = PI = PK Vậy đẳng thức (2) trở ⇒ b.BE = ( a + b + c ) PH thành (3) Theo giả thuyết a – b = b – c nên a + c = 2b thay vào (3) ta được: b.BE = ⇒ 3b.PH BE = PH (4) Dựng MN ⊥ AC Ta có: S BAD = 3S MAD (vì BD=3MD, đường cao xuất phát từ đỉnh A chung hai tam giác trùng nhau) Tương tự: S BDC = 3SMDC Ta suy ra: S ABC = S BAD + S BDC = 3S MAD + 3SMDC = 3S AMC Từ ta suy ra: BE = 3MN (5) Từ (4) (5) ta được: PH = MN Mặt khác: PH // MN nên PM // HN hay MP // AC (đpcm) Nhận xét: Sử dụng cơng thức tính diện tích tam giác, khả vẽ đường phụ, sử dụng tính chất bắc cầu để chứng minh hai đường thẳng song song Bài 15 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AD, BE, CF đường ∧ ∧ cao Lấy M đoạn FD, lấy N tia DE cho MAN = BAC Chứng ∧ minh AM tia phân giác góc NMF Hệ thống câu hỏi: ∧ ∧ Mục đích ta chứng minh gì? ( AMF = AMN ) ∧ Ta có AMF tổng hai góc nào? 19 ∧ ∧ ∧ Vậy ta cần chứng minh AMN = A1 + D1 ∧ ∧ Ta chứng minh AMN = AIN hay không? ∧ ∧ ∧ Ta lại có AIN = A2 + D2 ∧ ∧ Từ ta việc chứng minh D1 = D2 toán giải GIẢI A Xét tứ giác BFHD có: ∧ N E ∧ BFH + HDB = 2v nên tứ giác BFHD nội tiếp ∧ F H ∧ đường tròn ⇒ B1 = D1 (1) ∧ ∧ Tương tự tứ giác CDHE nội tiếp ⇒ D2 = C1 (2) Tứ giác BFEC có F E nhìn đoạn BC ∧ x I M B D ∧ góc vng nên nội tiếp ⇒ B1 = C1 (3) ∧ ∧ Từ (1), (2), (3) ta có ⇒ D1 = D2 Gọi I điểm đối xứng M qua DA ta có I ∈ DE Do AD trung trực MI MI ⊥ AD Do: AC ⊥ BC } ∧ ⇒ MI P BC ∧ Từ đó: NIx = NDC (4) Xét tứ giác ABDE có E, D nhìn AB góc vng nên tứ giác ∧ ∧ ABDE nội tiếp, nên NDC = BAC ∧ (5) ∧ Mà MAN = BAC (giả thuyết) (6) ∧ ∧ Từ (4), (5), (6) cho ta NIx = MAN có nghĩa tứ giác AMIN nội tiếp ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⇒ AMN = AIN = A2 + D2 = A1 + D1 = FMA 20 C ∧ ∧ ∧ Vậy ⇒ AMN = FMA có nghĩa AM tia phân giác NMF (đpcm) Nhận xét: Sữ dụng kết hợp nhiều kiến thức liên quan đến tứ giác nội tiếp, tính chất đường trung trực, kết hợp nhiều giả thuyết để chứng minh toán Bài tập tự rèn: Bài 16: Trong tam giác ABC lấy điểm P, cạnh AC BC lấy ∧ ∧ ∧ ∧ điểm tương ứng M L cho PAC = PBC ; PLC = PMC = 900 a) Chứng minh: AM.PL = BL.PM b) Giả sử D trung điểm cạnh AB Chứng minh: DM = DL `Bài 17: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), H G lần lược trực tâm, trọng tâm tam giác ABC Chứng minh: O, G, H thẳng hàng Bài 18: Giả sử H trực tâm tam giác nhọn ABC Trên đoạn HB ∧ ∧ HC lấy hai điểm M, N cho AMC = ANB = 900 Chứng minh rằng: AN=AM Bài 19: Từ đỉnh tam giác người ta vẽ đường vng góc xuống bốn đường phân giác hai đỉnh Chứng minh bốn chân đường vng góc thẳng hàng ∧ Bài 20: Cho ∆ABC , (AB > AC) có A = α , cạnh AB lấy điểm D cho BD = AC Lấy điểm E trung điểm AD, F trung điểm BC Tính ∧ BEF Tác dụng qua tập: Qua tập nhằm giúp cho học sinh bước đầu có số kĩ toán chứng minh tam giác thường Ngồi cịn rèn luyện cách trình bài, lập luận chặc chẽ, xác khả tư hợp lơgic, khả sáng tạo qua tập nâng cao, 21 Thấy mối quan hệ toán để áp dụng vào tốn khác có dạng tương tự, điển tập tự rèn 22 ... xét: Qua toán cho ta thấy để chứng minh hai đoạn thẳng ta gép vào hai tam giác chứng minh hai tam giác nhau; Chứng minh hai đoạn thẳng song song ta chứng minh vng góc với đường thẳng khác Bài. .. Nhận xét: Từ toán ta phát biểu định lí: Cho tam C giác điểm O tùy ý tam giác Tổng khoảng cách từ điểm O đến ba đỉnh tam giác lớn chu vi bé chu vi tam giác Bài 8: Chứng minh cạnh lớn tam giác lớn... thức tam giác kết hợp chia nhỏ 10 toán dể chứng minh dễ dàng Bài 9: Cho tam giác ABC với AB < AC Gọi AD đường phân giác góc A, I giao điểm ba đường phân giác tam giác H hình chiếu I BC Chứng minh