KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÀ THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM 2011 MÔN: TOÁN Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4 điểm) Giải hệ phương trình: 3 3 3 ( 1)(2 2 1 3 6) 2 6 2 ( ) 2 0 x y x y x y xy x y y x  − − + + = +   − − + − + =   Câu 2 (5 điểm) Cho dãy số ( n x ) xác định bởi: 1 2 * 1 4 2, n n x x x n + =   = − ∀ ∈Ν  Tìm 1 1 2 lim n n x x x x + Câu 3 (5 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD. a. Qua D kẻ các đường thẳng a, b, c sao cho a vuông góc với DA; b vuông góc với DB; c vuông góc với DC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là giao điểm của a và BC, b và CA, c và AB. Chứng minh ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng. b. Giả thiết AB=AC=BD, AC và BD cắt nhau tại P. Gọi O và I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABP. Chứng minh rằng nếu O khác I thì OI vuông góc với CD. Câu 4 (3 điểm) Cho 2 số nguyên dương m, n thoả mãn m > n và m + n là số chẵn. Chứng minh rằng các nghiệm của phương trình: 2 2 2 2 2 ( 1)( 1) ( 1) 0x m m x n n− − + − − − + = đều là các số nguyên nhưng không là số chính phương. Câu 5 (3 điểm) Trong mặt phẳng cho 26 điểm đôi một phân biệt nằm trong một tam giác đều cạnh bằng 1. Chứng minh rằng trong số 26 điểm đã cho tồn tại 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 0,2. HẾT Họ và tên thí sinh Số báo danh Họ tên, chữ kí giám thị số 1: Họ tên, chữ ký giám thị số 2: ĐỀ CHÍNH THỨC