Nhóm 1: Chuyên đề “Lý thuyết Graph và ứng dụng” Trường THPT Thốt Nốt LỜI MỞ ĐẦU Nhiệm vụ đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh không chỉ là định hướng mà còn đòi hỏi cần nghiên cứu xác định nguyên tắc, quy trình vận dụng của những phương pháp dạy học tích cực. Việc kết hợp các phương pháp truyền thống với các phương pháp dạy học đặc thù như phương pháp Graph là một giải pháp tốt. Lý thuyết đồ thị (Graph) là một chuyên ngành toán học hiện đại đã được ứng dụng vào nhiều ngành khoa học, kĩ thuật khác nhau vì lý thuyết đồ thị toán học là phương pháp khoa học có tính khái quát cao, có tính ổn định vững chắc để mã hóa các mối quan hệ của các đối tượng được nghiên cứu. Có thể nói Graph là một phép Toán thần kì kích thích sự hoạt đông, óc tư duy, suy luận của trí não thậm chí còn là một câu trả lời thông minh, logic cho các câu đố hốc búa. Việc vận dụng phương pháp graph trong dạy học Toán nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn học này ở trường THPT (nhất là các trường chuyên Tin) và được xem như là một trong những hành trang mới vừa tiếp cận vừa bổ sung vào hệ thống các phương pháp dạy học truyền thống song đó còn làm phong phú thêm kho tàng các phương pháp dạy học Toán . Theo hướng này, có nhiều tác giả đã thành công trong việc nghiên cứu và vận dụng lý thuyết Graph vào dạy học một số môn học ở trường phổ thông và đã có những kết quả bước đầu. Năm 1980, tác giả Trần Trọng Dương đã nghiên cứu đề tài: “Áp dụng phương pháp Graph và algorit hoá để nghiên cứu cấu trúc và phương pháp giải, xây dựng hệ thống về lập công thức hoá học ở trường phổ thông”. Năm 1984, Phạm Tư vớisự hướng dẫn của giáo sư Nguyễn Ngọc Quang đã nghiên cứu đề tài: “Dùng Graph nội dung của bài lên lớp để dạy và học chương Nitơ- Phôtpho ở lớp 11 trường trung học phổ thông”. Năm 1987, Nguyễn Chính Trung đã nghiên cứu: “Dùng phương pháp Graph lập chương trình tối ưu để dạy môn sử”. Trong dạy học sinh học ở trường phổ thông, Nguyễn Phúc Chỉnh là người đầu tiên đi sâu nghiên cứu về lý thuyết Graph và ứng dụng lý thuyết Graph trong dạy học Giải phẫu - Sinh lý người (năm 2005). Đối với phương pháp Graph trong dạy học ttoán cácchuyên gia Hoàng Chúng và Vũ Đình Hoà đã có một số định hướng nhưng chưa có học viên cao học nào nghiên cứu một cách chi tiết. Với mong muốn được tiệp cận chuyên sâu về Graph, nhóm tác giả mạnh dạn làm bài thu hoạch “Lý thuyết đồ thị Graph”. Nội dung bài viết là những kinh nghiệm mà nhóm tác giả đã học hỏi được, bám sát vào những dạng cơ bản mà học sinh thường gặp trong học tập hay đời sống hàng ngày để từ đó vận dụng lí thuyết đồ thị và giúp ta đạt được hai mục tiêu: - Giải được một lớp bài tập - Hỗ trợ cho việc lập trình Trong bài thu hoạch, tác giả đưa ra một số khái niệm cơ bản về đồ thị kèm theo những hình ảnh minh họa sinh động kết hợp với xây dựng hệ thống phương pháp phân tích, trình bày cách giải đối với các bài tập, ví dụ cụ thể dựa theo các vấn đề được đề cập. Bên cạnh đó chúng tôi còn cung cấp đáp án và hướng dẫn giải sơ lược một số bài GVBM: Dư Quang Anh Huy Trang 1 Nhóm 1: Chuyên đề “Lý thuyết Graph và ứng dụng” Trường THPT Thốt Nốt tập tiêu biểu nhằm giúp độc giả có thể thông hiểu, vận dụng, kiểm tra kiến thức và rèn luyện kĩ năng phân tích đồ thị. Mong rằng với bài thu hoạch “Lý thuyết đồ thị Graph” sẽ giúp độc giả có cái nhìn và tầm hiểu biết khái quát, sâu và rộng hơn về dạng Toán vô cùng quan trọng này. Nhân đây, nhóm tác giả xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy Dư Quang Anh Huy (giáo viên toán trường THPT Thốt Nốt, TP Cần Thơ) đã nhiệt tình giúp đỡ, chỉ dẫn chúng tôi trong quá trình biên soạn bài thu họạch này. Tuy bài thu hoạch được biên soạn khá kĩ và công phu nhưng việc thiếu sót là khó tránh khỏi. Nếu có điều chi sơ suất rất mong quí độc giả thông cảm! Xin chân thành cảm ơn! GVBM: Dư Quang Anh Huy Trang 2 Nhóm 1: Chuyên đề “Lý thuyết Graph và ứng dụng” Trường THPT Thốt Nốt ĐỒ THỊ TRONG ĐỜI SỐNG Trong đời sống, chúng ta phải giải quyết nhiều vấn đề mà ta có thể coi một đường cong là cạnh và đầu mút của chúng được coi là đỉnh của cạnh. Để làm rõ điều này, chúng ta có thể xem xét những ví dụ sau đây.  Ví dụ 1: Hãy xác định một con đường đi bộ từ nhà đến trường tối ưu nhất (hiểu theo nghĩa khoảng cách ngắn nhất). - Khi giải quyết bài toán này bạn phải quan sát trên bản đồ, bỏ qua độ rộng hẹp của các đường phố và chỉ còn chú ý tới độ dài của các con đường cũng như các đầu mút giao thông để phát hiện một con đường ngắn nhất. Trong vấn đề tìm đường đi ngắn nhất này chúng ta đã coi các phố là các cạnh và các đầu mút giao thông (các ngã tư chẳng hạn) là các đỉnh của các cạnh. - Trong nhiều vấn đề phải giải quyết khác của đời sống , đôi lúc ta còn phải bỏ qua các yếu tố độ dài của các cạnh của hệ thống cạnh, và các đỉnh trong mô hình, như ví dụ sau chỉ rõ.  Ví dụ 2: Hãy vẽ sơ đồ mạng giao thông công cộng của một thành phố. - Trong hình trên là bản đồ giao thông công cộng thành phố Wien (thủ đô nước Áo). Trong vấn đề nêu ở trên, rõ ràng ta sẽ bỏ qua yếu tố độ dài các tuyến đường mà chỉ còn quan tâm đến yếu tố đường đi như thế nào, từ bên nào tới bên nào. Trong vấn đề này, các bến là các đỉnh còn cạnh là các tuyến đường đi qua chúng hoặc xuất phát từ các bến. Nhưng nhiều khi chúng ta không dễ phát hiện các yếu tố cạnh và đỉnh trong bài toán chúng ta phải giải quyết.  Ví dụ 3: Hãy phân nhóm học tập trong lớp sao cho những người trong cùng một nhóm là bạn thân của nhau. - Ở đây không còn những đường đi cho sẵn. Nhưng ta có thể nhận thấy các đỉnh trong sơ đồ cần lập là những em học sinh trong lớp. - Trong sơ đồ biểu diễn, ta nối những cặp hai em học sinh vốn vẫn là bạn than của nhau lại bằng một đoạn thẳng (hoặc bằng một đoạn thẳng cũng đươc). - Bằng cách đó ta sẽ có một sơ đồ gồm các đỉnh (các em học sinh) và các cạnh (các đường nối hai em chỉ khi hai em này là bạn thân của nhau trong lớp). Trong hình 7 là một ví dụ với n= 10 em học sinh. - Những mô hình quy về các tập đỉnh và các cạnh nối các đỉnh là những đồ thị. Không chỉ trong đời sống mà đặc biệt trong khoa học chúng ta cũng thường xuyên gặp những đồ thị. GVBM: Dư Quang Anh Huy Trang 3 Nhóm 1: Chuyên đề “Lý thuyết Graph và ứng dụng” Trường THPT Thốt Nốt  Ví dụ 4: 7 cây cầu ở thành phố Konigsberg năm 1736. - Trong ví dụ này, những người dân của thành phố Konigsberg đặt câu hỏi: liệu có thể đi một vòng qua 7 cây cầu sao cho mỗi cây cầu chỉ đi qua đúng một lần mà thôi? Nếu như coi mỗi cây cầu là một cạnh của đồ thị, với đỉnh là các hòn đảo và hai bờ sông, thì bài toán được đặt ra là có thể vẽ đồ thị tương ứng bằng một nét bút hay không? Bài toán này được người dân thành phố Konigsberg đặt ra từ những năm 1736, và được Euler giải quyết trọn vẹn trong lí thuyết đồ thị được mang tên của ông. - Sau đây là lời giải của Euler: - Để chứng minh kết quả, Euler đã phát biểu bài toán bằng các thuật ngữ của lý thuyết đồ thị. Ông loại bỏ tất cả các chi tiết ngoại trừ các vùng đất và các cây cầu, sau đó thay thế mỗi vùng đất bằng một điểm, gọi là đỉnh hoặc nút, và thay mỗi cây cầu bằng một đoạn nối, gọi là cạnh hoặc liên kết. Cấu trúc toán học thu được được gọi là một đồ thị. - Hình thù của đồ thị có thể bị bóp méo theo đủ kiểu nhưng không làm đồ thị bị thay đổi, miễn là các liên kết giữa các nút giữ nguyên. Việc một liên kết thẳng hay cong, một nút ở bên phải hay bên trái một nút khác là không quan trọng. - Euler nhận ra rằng bài toán có thể được giải bằng cách sử dụng bậc của các nút. Bậc của một nút là số cạnh nối với nó; trong đồ thị các cây cầu Konigsberg, ba nút GVBM: Dư Quang Anh Huy Trang 4 Nhóm 1: Chuyên đề “Lý thuyết Graph và ứng dụng” Trường THPT Thốt Nốt có bậc bằng 3 và một nút có bậc 5. Euler đã chứng minh rằng một chu trình có dạng như mong muốn chỉ tồn tại khi và chỉ khi không có nút bậc lẻ. Một đường đi như vậy được gọi là một chu trình Euler. Do đồ thị các cây cầu Königsberg có bốn nút bậc lẻ, nên nó không thể có chu trình Euler. - Có thể sửa đổi bài toán để yêu cầu một đường đi qua tất cả các cây cầu nhưng không cần có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Đường đi như vậy được gọi là một đường đi Euler. Một đường đi như vậy tồn tại khi và chỉ khi đồ thị có đúng hai đỉnh bậc lẻ. (Như vậy điều này cũng không thể đối với bảy cây cầu ở Konigsberg.) KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ Hình 1 - Trong các ví dụ kể trên, các cạnh của đồ thị đều là các đường không có hướng. Những đồ thị như vậy gọi là đồ thị vô hướng. Nhưng đôi khi ta gặp những vấn đề mà khi xác lập đồ thị tương ứng ta buộc phải xác định một hướng đi cho nó. Chẳng hạn trong ví dụ 1 ,nếu bạn là người đi xe đạp thì phải lưu ý đến yếu tố là có thể có những con đường một chiều (được đánh dấu bằng mũi tên như trên hình 1). - Như vậy, giả sử đồ thị G được xác định bởi hai tập hợp, tập hợp X ( ≠ 0 ) gồm các đỉnh { } DCBA ,,, và tập hợp E gồm các cạnh nối hai đỉnh của X. Ta có A, B là hai đỉnh trong X cạnh nối AB, nếu kí hiệ là AB hoặc BA trong trường hợp này đồ thị G là đồ thị vô hướng. Nếu có phân biệt thứ tự AB và BA sẽ khác nhau thì ta có đồ thị có hướng. A B D C GVBM: Dư Quang Anh Huy Trang 5 Nhóm 1: Chuyên đề “Lý thuyết Graph và ứng dụng” Trường THPT Thốt Nốt - Khi biểu diễn đồ thị có hướng thì nguyên tắc cũng vẫn giống như biểu diễn đồ thị cạnh không có hướng. Riêng đối với những cạnh có hướng ta đánh dấu mũi tên theo chiều cạnh để biểu thị hướng đi của nó. - Trong đồ thị trên có hướng với 4 đỉnh. Điểm chung nhau của tất cả các ví dụ mà chúng ta xem xét là chúng có hữu hạn đỉnh. Những đồ thị chỉ có hữu hạn đỉnh như vậy được gọi là đồ thị hữu hạn. Hình 3 - Cũng có tình huống là một đỉnh được nối với chính nó bởi môt cạnh nào đó mà ta gọi là khuyên. Trong hình 3 là một đồ thị có cạnh kép bên trái và khuyên ở giữa. - Với đặc điểm này đồ thị hữu hạn được chia thành 2 loại cơ bản là đồ thị đơn và đồ thị kép. + Đồ thị đơn thì không có khuyên và giữa hai đỉnh của nó có không quá một cạnh nối chúng. +Đồ thị kép thì hoặc có khuyên hoặc tồn tại hai đỉnh nào đó mà giữa chúng có ít nhất hai cạnh nối. - Trong chuyện đề này ta chỉ xét và nghiên cứu đồ thị hữu hạn ( tức là X và E là hữu hạn và vô hướng). Chính xác về mặt toán học đồ thị được định nghĩa như sau : Định nghĩa: Một bộ G = (X, E) gồm hai tập hợp X và E được gọi là một đồ thị hữu hạn nếu 1) X và E là 2 tập hữu hạn 2) Cho mỗi phần tử e ∈ E tồn tại một cặp hai phần tử x, y ∈ X và n ∈ Ν sao cho e = (x,y,n) (cạnh có hướng) hoặc e = {x,y,n} (cạnh vô hướng) - Số n biểu diễn cạnh e = (x,y,n) hoặc e = {x,y,n} dùng để đánh số cạnh kép hoặc các khuyên xuất phát từ cùng một đỉnh.Trong trường hợp đồ thị không có cạnh kép thì thay vì viết cạnh (x,y.n) hoặc {x,y.n} ta có thể viết đơn giản cạnh (x,y) hoặc {x,y} - Hai cạnh được gọi là song song nếu chúng cùng liên kết một cặp đỉnh. GVBM: Dư Quang Anh Huy Trang 6 Nhóm 1: Chuyên đề “Lý thuyết Graph và ứng dụng” Trường THPT Thốt Nốt - Trong trường hợp tất cả các cạnh của G đều là cạnh vô hướng thì G được gọi là đồ thị vô hướng (h.4). Trong hình 4 ta có một số đồ thị đơn vô hướng 4 đỉnh - Nếu e = {x,y,n} là cạnh của G thì x,y được gọi là đỉnh của cạnh e - Trong trường hợp tất cả các cạnh của đồ thị G đều là cạnh có hướng thì G được gọi là đồ thị có hướng . Hình 4 - Nếu e = (x,y,n) là một cạnh của G thì x được gọi là đỉnh xuất phát còn y được gọi là đỉnh kết thúc của e . Hình 5 - Trong hình 5 có đồ thị G = (X,E) có tập đỉnh X với các đỉnh a,b,c,d và tập cạnh e với các cạnh {a,b}, {b,d,1}, {b,d,2}, {b,c,1}, {b.c.2}, {b,e}, {e,e,1}, {e,e,2}, {e,e,3}, {e,e,4} và {e,e,5} * Chú ý : Bậc của một đỉnh (giả sử là đỉnh A) là tổng số các cạnh của đỉnh đó (với qui ước mỗi khuyên được tính hai lần) và được kí hiệu là: deg(A) 1. Đồ thị con - Cho 2 đồ thị G (X, E) và G’(X’, E’) - Đồ thị G’ được gọi là con của đồ thị G nếu X’ ⊂ X và E’ ⊂ E. 2. Đường đi -Trong đồ thị G xét một dãy cạnh liên tiếp: A 0 A 1 , A 1 A 2 , , A n-1 A n được gọi là một đường đi từ đỉnh A0 (đỉnh đầu) đến đỉnh An(đỉnh cuối) qua các đỉnh A0, A1,…, An và chứa các cạnh A0A1, A1A2, An-1An - Đường đi này được viết gọn lại là: A 0 A 1 A 2 …An hay A0-An (nếu muốn nhấn mạnh đỉnh đầu và đỉnh cuối). GVBM: Dư Quang Anh Huy Trang 7 Nhóm 1: Chuyên đề “Lý thuyết Graph và ứng dụng” Trường THPT Thốt Nốt - Tổng quát ta có: Cho A, B là hai đỉnh của một đồ thị G. Một đường đi từ A đến B là một dãy các cạnh (A i , A i+1 ), i= 0,…, k- 1 với A 0 = A, A k = B. Số các cạnh (ở đây là k) tạo nên đường đi gọi là độ dài của đường đi. - Một đường đi được gọi là đường đi đơn nếu nó không qua cạnh nào lần thứ hai. - Một đường đi được gọi là đường đi sơ cấp nếu nó không đi qua đỉnh nào lần thứ hai. *Chú ý: nếu đường đi là sơ cấp đến đường đi đơn nhưng điều ngược lại thì không chắc đúng. 3. Chu trình: một chu trình là một đường đi khép kín ( đỉnh đầu trùng đình cuối) và có độ dài lớn hơn hoặc bằng 3. - Chu trình đơn: là một chu trình không qua cạnh nào lần thứ hai được gọi là chu trình đơn. - Một chu trình không qua đỉnh nào lần thứ hai trừ đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau gọi là một chu trình sơ cấp. Ví dụ: + Đường đi ABDE là đường đi sơ cấp độ dài bằng 3. + ABCDE là đường đi đơn không sơ cấp, độ dài bằng 5. + DBCDB không đơn, có độ dài bằng 4. + CDABC là một chu trình đơn sơ cấp, độ dài bằng 4. 4. Tính liên thông: hai đỉnh A, B của một đồ thị được gọi là hai đỉnh liên thông nếu trong đồ thị có một đường đi A-B. - Một đồ thị được gọi là liên thông nếu mọi cặp đỉnh của nó đều liên thông hay với hai đỉnh bất kỳ, ta luôn có một đường đi giữa chúng. - Một đồ thị không liên thông là hợp của hai hay nhiều đồ thị con liên thông, mỗi cặp các đồ thị con này không có đỉnh chung. - Các đồ thị con liên thông rời nhau như vậy được gọi là các thành phần liên thông của đồ thị đang xét. Vậy một đồ thị liên thông khi và chỉ khi nó có một thành phần liên thông. - Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông mạnh nếu với hai đỉnh phân biệt bất kì u và v của G đều có đường đi từ u đến v và từ v đến u. GVBM: Dư Quang Anh Huy Trang 8 Nhóm 1: Chuyên đề “Lý thuyết Graph và ứng dụng” Trường THPT Thốt Nốt - Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông yếu nếu đồ thị vô hướng nền của nó là đồ thị liên thông. Chú ý rằng trong một cây, giữa hai đỉnh bất kỳ tồn tại duy nhất một đường đi: sự tồn tại được bảo đảm bởi tính liên thông, mặt khác, nếu tồn tại hai đường đi phân biệt giữa hai đỉnh thì bằng cách nối chúng lại với nhau ta được một chu trình. Ví dụ: Đồ thị liên thông Đồ thị không liên thông MỘT SỐ ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT - Đồ thị đều là đồ thị mà mọi đỉnh đều cùng bậc. - Nếu k là bậc của đỉnh thì ta gọi là đồ thị K-đều. 2-đều, K 3 3-đều, K 4 1-đều K 2 - Đồ thị đầy đủ là đồ thị mà mọi cặp đỉnh đều có cạnh nối chúng. - Đồ thị không đầy đủ của p đỉnh được kí hiệu là Kp. - Kp có p đỉnh và 2 )1( −pp cạnh. Ví dụ: K 8 có 28 cạnh. K 7 có 21 cạnh. Kp là một đồ thị (p-1) -đều và có 2 )1( −pp cạnh. Ví dụ: K 5 => 4-đều, 10 cạnh. K 6 => 5-đều, 15 cạnh. GVBM: Dư Quang Anh Huy Trang 9 A BED C Nhóm 1: Chuyên đề “Lý thuyết Graph và ứng dụng” Trường THPT Thốt Nốt ĐƯỜNG ĐI EULER VÀ ĐỒ THỊ HAMILTON 1.Đường đi Euler - Đường đi Euler là một đường đi sơ cấp A-B qua tất cả các cạnh của đồ thị chỉ một lần. - Chu trình Euler là một đường đi Euler được gọi là một đồ thị Euler. * Định lí Euler: - Cho đồ thị G[ X, E] - G là đồ thị Euler khi và chỉ khi G liên thông và deg (x) là số chẵn, ∀ x ∈ X. 2.Đồ thị Hamilton: - Đường đi Hamilton là một đường đi sơ cấp A-B qua tất cả các đỉnh của đồ thị chỉ một lần. - Nếu A trùng B thì ta có một chu trình Hamilton . - Một đồ thị có ít nhất một chu trình Hamilton được gọi là đồ thị Hamilton. - Không giống như đồ thị Euler hiện nay chưa có quy tắc cần và đủ để kiểm tra xem một đồ thị có phải là Hamilton hay không. Các kết quả có được hiện nay chỉ là điều kiện đủ để một đồ thị là Hamilton. + Một đồ thị đầy đủ là đồ thị Hamilton. + Với n lẻ, n ≥ 3 thì Kn sẽ có 2 1−n chu trình Hamilton đôi một không có cạnh chung. + Giả sử G là đồ thị đơn gồm n đỉnh, n ≥ 3. Nếu deg (x) Xx n ∈∀≥ 2 thì G là một đồ thị Hamilton. CÁC MỆNH ĐỀ MỞ RỘNG VÀ TƯ LIỆU THAM KHẢO *Tư liệu tham khảo 1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản về cây - Một đồ thị vô hướng liên thông không có chu trình được gọi là một cây. - Một đồ thị vô hướng không chứa chu trình được gọi là một rừng. Trong một rừng, mỗi thành viên liên thông là một cây. Ví dụ: Rừng có 3 cây GVBM: Dư Quang Anh Huy Trang 10 [...]... bằng cách loại bỏ đỉnh A và cạnh duy nhất cả G với một đầu mút A Dễ thấy G’ cũng là một đồ thị liên thông với N đỉnh và E − 1 cạnh Áp dụng giả thiết quy nạp cho G’ ta có điều cần chứng minh GVBM: Dư Quang Anh Huy Trang 14 Nhóm 1: Chuyên đề Lý thuyết Graph và ứng dụng Trường THPT Thốt Nốt 3 Mệnh đề 3 Mọi đồ thị liên thông đều có thể được xây dựng bằng cách thêm vào một số cạnh vào một cây có cùng số... Quang Anh Huy Trang 16 Nhóm 1: Chuyên đề Lý thuyết Graph và ứng dụng Trường THPT Thốt Nốt Giải 3 2 4 1 6 5 Bài 5 Trên một bàn cờ 3x 3 ô vuông có 2 con mã trắng ứng ở hai góc bên trên và 2 con mã đen ứng ở hai góc bên dưới Hỏi rằng có thể đổi chỗ 2 con mã đen lên vị trí 2 con mã trắng bằng một cách tương ứng: con mã đen góc trái lên vị trí trên góc trái và con mã đen vị trí bên phải sẽ lên góc bên... đen lên vị trí 2 con mã trắng bằng một cách tương ứng: con mã đen góc trái lên vị trí trên góc trái và con mã đen vị trí bên phải sẽ lên góc bên trên vị trí bên phải còn 2 con mã trắng thì xuống vị trí tương ứng ở bên dưới dược Vì nếu đổi được như vậy, thì trên graph tương ứng, các GVBM: Dư Quang Anh Huy Trang 17 Nhóm 1: Chuyên đề Lý thuyết Graph và ứng dụng Trường THPT Thốt Nốt con mã phải đi qua đầu... Chuyên đề Lý thuyết Graph và ứng dụng Trường THPT Thốt Nốt + Gốc r được gọi là đỉnh mức 0 + Các đỉnh kề với r và xếp ở phía dưới được gọi là đỉnh mức 1 Đỉnh dưới mức 1 là đỉnh mức 2 - Trong một cây có gốc thì v là đỉnh mức k khi và chỉ khi đưởng đi từ r đến v có độ dài bằng k - Mức lớn nhất của một đỉnh bất kì trong cây được gọi là chiều cao cây ĐỒ THỊ PHẲNG VÀ TÔ MÀU ĐỒ THỊ Để đi sâu vào hai khái... hoặc đôi một không quen nhau? GVBM: Dư Quang Anh Huy Trang 18 Nhóm 1: Chuyên đề Lý thuyết Graph và ứng dụng Trường THPT Thốt Nốt Gợi ý :Graph có 5 đỉnh là 5 đỉnh của ngũ giác đều và cạnh nối 2 đỉnh bất kì là cạnh của ngũ giác đều này thỏa mãn yều cầu đề bài Thật vậy, nếu ta lấy 3 đỉnh tùy ý thì luôn có 2 đỉnh kề nhau và có 2 trong số chúng không kề nhau MỤC LỤC Trang Lời mở đầu ……………………………………………………... G không có chu trình thì đai chính là số cạnh của G GVBM: Dư Quang Anh Huy Trang 12 Nhóm 1: Chuyên đề Lý thuyết Graph và ứng dụng Trường THPT Thốt Nốt Ví dụ: A B M1 M4 D M2 M3 E C F Đồ thị trên có 4 miền (M1, M2, M3, M4) và có đai là 8 Định lí: Nếu một đò thị phẳng liên thông có n đỉnh, p cạnh và d miền thì ta có hệ thức: n – p + d = 2 Hệ thức: n – p + d = 2 được gọi là “hệ thức Euler cho hình đa... 1: Chuyên đề Lý thuyết Graph và ứng dụng Trường THPT Thốt Nốt 2 Cây khung - Trong đồ thị liên thông G, nếu ta loại bỏ cạnh nằm trên chu trình nào đó thì ta sẽ được đồ thị vẫn liên thông - Cây khung của đồ thị G là cây nối các đỉnh của đồ thị không còn chu trình nhưng vẫn liên thông Ví dụ: Cho đồ thị G: A D C B Ta có cây khung sau: A D C B *Tổng quát: nếu G là đồ thị có n đỉnh, m cạnh và k thành phần... đỉnh nếu các miền D F được biểu diễn bằng hai đỉnh này là kề nhau Đồ thị nhận được bằng cách này gọi là G đồ thị đối ngẫu của bản đồ đang xét GVBM: Dư Quang Anh Huy Trang 13 Nhóm 1: Chuyên đề Lý thuyết Graph và ứng dụng Trường THPT Thốt Nốt  Định nghĩa: Tô màu một đơn đồ thị là việc gán màu cho các đỉnh của nó sao cho hai đỉnh liền kề có màu khác nhau Mỗi đồ thị có thể có nhiều cách tô màu khác nhau... cây có cùng số đỉnh với đồ thị đã cho, và một cây như vậy được gọi là cây bao trùm của đồ thị Chứng minh : Ta quy nạp theo số chu trình c của đồ thị Nếu c = 0, đồ thị là một cây và ta không có gì phải chứng minh Già sử kết quả cần chứng minh là đúng với c ≥ 0 Giả sử G là một đồ thị có c + 1 chu trình Gọi G’ là đồ thị cảm sinh từ G bằng cách giữ nguyên các đỉnh và bỏ đi đúng một cạnh thuộc một chu trình... cần bỏ một số cạnh trùng nhau và đỉnh lặp) ta sẽ thu được một chu trình có độ dài lẻ, mâu thuẫn với giả thiết ban đầu GVBM: Dư Quang Anh Huy Trang 15 Nhóm 1: Chuyên đề Lý thuyết Graph và ứng dụng Trường THPT Thốt Nốt Nhận xét Ta sẽ đưa ra một đặc trưng khác của các đồ thị 2 phần thông qua số sắc tố Hệ quả Mọi cây là một đồ thị hai phần BÀI TẬP THAM KHẢO Bài . sâu nghiên cứu về lý thuyết Graph và ứng dụng lý thuyết Graph trong dạy học Giải phẫu - Sinh lý người (năm 2005). Đối với phương pháp Graph trong dạy học. pháp tốt. Lý thuyết đồ thị (Graph) là một chuyên ngành toán học hiện đại đã được ứng dụng vào nhiều ngành khoa học, kĩ thuật khác nhau vì lý thuyết đồ