Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2012 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 0902 – 11 – 00 - 33 - Trang | 1 - ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2011 HƯỚNG DẪN GIẢI MÔN THI TOÁN (Vòng 2) Câu I. 1) Điều kiện 0 1 x ≤ ≤ , phương trình tương đương với: 3 ( 1 1) 1 3 x x x ⇔ − + = + + 3( 1 1) 3 x x x ⇔ − + = + + Nếu ( ) 0 1 3 1 1 3 x x ≤ < ⇒ − + > đồng thời 3 1 4 3 x x + + < + = Suy ra VT > VP. (loại). Thử lại ta thấy 1 x = là nghiệm. 2) 0 x y = = là nghiệm. Xét 0, 0 x y ≠ ≠ hệ phương trình tương đương với: 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 (1) 1 1 1 1 1 2 1 4 2 8(2) x y x y x y xy x y xy + = + = ⇔ + + = + + =                                 Thay (1) vào (2) ta thu được 3 1 1 2 1 1 8 1 1 x y x y xy  + =     + = ⇔       =   1 x y ⇔ = = Câu II. 1) Ký hiệu 3 1 1 , 27 3 K n= − +       do 1 n > 1 K ⇒ ≥ . Ta có: 3 1 1 1 27 3 K n K ≤ − + < + 3 3 1 1 2 ( ) ( ) 3 27 3 K n K⇔ − ≤ − < + 3 2 3 2 1 1 4 8 2 3 27 27 3 27 K K K n K K K⇔ − + − ≤ − ≤ + + + 3 2 3 2 4 1 3 3 3 3 K K n K K K K ⇔ + ≤ + < + + + 3 2 3 ( 1) K n K K ⇔ < + < + Suy ra 2 2 3 1 1 27 3 n K n n   + = + − +     không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số nguyên dương. 2) Ta có: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 6 5 6 5 5 6 6 x y z x y x z y z y x z x z y + + + + + = + + + + + + + + Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2012 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 0902 – 11 – 00 - 33 - Trang | 2 - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 2 x y x z x y y z z x z y + + + + + + + + + ≤ + + ( ) 9 9 6 3 3 3 2 2 2 x y z x y z + + ≤ = + + Suy ra 2 2 2 3 3 2 2 . 3 6( 5) 6( 5) 5 x y z P x y z + + = ≥ + + + + + Đẳng thức xảy ra 1, 2. x y z ⇔ = = = Vậy min 2 . 3 P = Câu III. 1) Tứ giác BPIM nội tiếp và / / AD BC    MAD BPM BIM ⇒ = = ⇒ tứ giác AMID nội tiếp. Tương tự tứ giác DNIA nội tiếp. Vậy năm điểm , , , , A M I N D thuộc một đường tròn ( ) K 2) Do các tứ giác BPIM và CPIN nội tiếp nên ta có    QMI BPI CNI = = ⇒ tứ giác MINQ nội tiếp. Mà ( ) , , M I N K ∈ ⇒ Tứ giác MINQ nội tiếp đường tròn ( ) K . Vậy Q thuộc đường tròn ( ) K (đpcm) 3) Khi , , P I Q thẳng hàng, kết hợp với Q thuộc đường tròn ( ) K ta có:   AIQ PIC = (đối đỉnh)   PIC PNC = (do tứ giác NIPC nội tiếp)   PNC QND = (đối đỉnh)   QND QID = (do tứ giác INDQ nội tiếp )   AIQ QID ⇒ = IQ ⇒ là phân giác  DIA nên IP là phân giác góc  . BIC Do đó PB IB ID IB ID BD PB BD PC IC IA IC IA AC PC CA + = = = = ⇒ = + (đpcm) Câu IV. Giả sử A có n số, chúng ta xếp chúng theo thứ tự ( ) 1 2 2 1 100 1 n x x x x= < < < < = ⋯⋯ Suy ra với mỗi { } 1,2,3, , 1 k n ∈ − … ta có ( ) 1 2 2 k i j k k k x x x x x x + = + ≤ + = với 1 , . i j k ≤ ≤ K Q N M I B C A D P K Q N M P I B C A D Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2012 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 0902 – 11 – 00 - 33 - Trang | 3 - Áp dụng kết quả ( ) 2 ta thu được 2 3 4 5 1 1 2, 2 2 4, 8, 16, x x x x ≤ + = ≤ + = ≤ ≤ 6 7 32, 64. x x ≤ ≤ Suy ra tập A phải có ít nhất 8 phần tử. +) Giả sứ 8 n = 8 100 x ⇒ = . Vì 6 7 8 7 7 32 64 96 2 50. x x x x x+ ≤ + = ⇒ = ⇒ = Vì 5 6 7 6 6 16 32 48 2 25. x x x x x+ ≤ + = ⇒ = ⇒ = Vì 4 5 6 5 5 25 2 8 16 24 25 2x x x x x + ≤ + = < ⇒ = ⇒ = (mâu thuẫn). +) 9 n = ta có tập { } 1,2,3,5,10,20,25,50,100 thỏa mãn yêu cầu bài toán . Đáp số: 9 n = Nguồn: Hocmai.vn . 1 - ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2011 HƯỚNG DẪN GIẢI MÔN THI TOÁN (Vòng. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2012 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò