Trn S Tựng WWW.MATHVN.COM WWW.MATHVN.COM Trang 1 PHNG TRèNH LNG GIC www.mathvn.com TRONG THI I HC 2002-2010 Baứi 1. (H 2002A) Tỡm nghim thuc khong (0; 2 p ) ca phng trỡnh: x x x x x cos3 sin3 5 sin cos2 3 1 2sin2 ổ ử + + = + ỗ ữ + ố ứ HD: iu kin: x m x n 12 7 12 p p p p ỡ ạ - + ù ớ ù ạ + ợ . PT x x 5cos 2 cos2 3 = + x 1 cos 2 = x x 3 5 3 p p ộ = ờ ờ ờ = ở . Baứi 2. (H 2002B) Gii phng trỡnh: x x x x 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 - = - HD: PT x x x cos .sin 9 .sin 2 0 = x x sin 2 .sin 9 0 = x k x k 9 2 p p ộ = ờ ờ ờ = ờ ở . Baứi 3. (H 2002D) Tỡm x thuc on [0; 14] nghim ỳng phng trỡnh: x x x cos3 4 cos2 3cos 4 0 - + - = HD: PT x x 2 4 cos (cos 2) 0 - = x cos 0 = x x x x 3 5 7 ; ; ; 2 2 2 2 p p p p = = = = . Baứi 4. (H 2002Adb1) Cho phng trỡnh: x x a x x 2sin cos 1 sin 2 cos 3 + + = - + (a l tham s). 1. Gii phng trỡnh khi a 1 3 = . 2. Tỡm a phng trỡnh cú nghim. HD: 1) x k 4 p p = - + 2) a 1 2 2 - Ê Ê (a v PT bc 1 i vi sinx v cosx) Baứi 5. (H 2002Adb2) Gii phng trỡnh: x x x x x x 2 tan cos cos sin 1 tan .tan 2 ổ ử + - = + ỗ ữ ố ứ . HD: x k 2 p = . Chỳ ý: iu kin: x x cos 0 cos 1 ỡ ạ ớ ạ - ợ v x x x 1 1 tan .tan 2 cos + = . Baứi 6. (H 2002Bdb1) Gii phng trỡnh: ( ) x x x x 2 4 4 2 sin 2 sin3 tan 1 cos - + = . HD: iu kin: cosx ạ 0. PT x x k x k 1 2 5 2 sin3 ; 2 18 3 18 3 p p p p = = + = + . Baứi 7. (H 2002Bdb2) Gii phng trỡnh: x x x x x 4 4 sin cos 1 1 cot 2 5sin2 2 8sin 2 + = - . HD: iu kin: sin2x ạ 0. PT x x x k 2 9 cos 2 5cos2 0 4 6 p p - + = = + . Baứi 8. (H 2002Ddb1) Gii phng trỡnh: x x 2 1 sin 8cos = . HD: iu kin: x x cos 0 sin 0 ỡ ạ ớ > ợ www.MATHVN.com Trn S Tựng WWW.MATHVN.COM Trang 2 PT x k x k x k x k 3 5 7 2 ; 2 ; 2 ; 2 8 8 8 8 p p p p p p p p = + = + = + = + Baứi 9. (H 2002Ddb2) Xỏc nh m phng trỡnh: ( ) x x x x m 4 4 2 sin cos cos4 2sin2 0 + + + - = (*) cú ớt nht mt nghim thuc on 0; 2 p ộ ự ờ ỳ ở ỷ . HD: m 10 2 3 - Ê Ê - . t t = sin2x. (*) cú nghim thuc 0; 2 p ộ ự ờ ỳ ở ỷ f t t t m 2 ( ) 3 2 3 = - = + cú nghim t ẻ [0;1] Baứi 10. (H 2003A) Gii phng trỡnh: x x x x x 2 cos2 1 cot 1 sin sin 2 1 tan 2 - = + - + . HD: iu kin: x x x sin 0, cos 0, tan 1 ạ ạ ạ . PT x x x x x 2 (cos sin )(1 sin .cos sin ) 0 - - + = x k 4 p p = + . Baứi 11. (H 2003B) Gii phng trỡnh: x x x x 2 cot tan 4sin2 sin2 - + = . HD: iu kin: x x sin 0 cos 0 ỡ ạ ớ ạ ợ . PT x x 2 2 cos 2 cos2 1 0 - - = x k 3 p p = + . Baứi 12. (H 2003D) Gii phng trỡnh: x x x 2 2 2 sin tan cos 0 2 4 2 p ổ ử - - = ỗ ữ ố ứ . HD: iu kin: x cos 0 ạ . PT x x x x (1 sin )(1 cos )(sin cos ) 0 - + + = x k x k 2 4 p p p p ộ = + ờ = - + ờ ở . Baứi 13. (H 2003Adb1) Gii phng trỡnh: ( ) x x x 2 cos2 cos 2 tan 1 2 + - = . HD: iu kin: cosx ạ 0. PT x x x 2 (1 cos )(2 cos 5cos 2) 0 + - + = x k x k (2 1) , 2 3 p p p = + = + Baứi 14. (H 2003Adb2) Gii phng trỡnh: ( ) x x x x 3 tan tan 2sin 6cos 0 - + + = . HD: iu kin: cosx ạ 0. PT x x x x k 2 2 (1 cos2 )(3cos sin ) 0 3 p p + - = = + Baứi 15. (H 2003Bdb1) Gii phng trỡnh: x x x 6 2 3cos4 8 cos 2cos 3 0 - + + = . HD: PT x x x x k x k 4 2 cos2 ( 2 cos 5cos 3) 0 , 4 2 p p p - + - = = + = Baứi 16. (H 2003Bdb2) Gii phng trỡnh: ( ) x x x 2 2 3 cos 2sin 2 4 1 2 cos 1 p ổ ử - - - ỗ ữ ố ứ = - . HD: iu kin: x 1 cos 2 ạ . PT x x x k 3 cos sin 0 (2 1) 3 p p - + = = + + Baứi 17. (H 2003Ddb1) Gii phng trỡnh: ( ) x x x x x 2 cos cos 1 2(1 sin ) sin cos - = + + . HD: iu kin: x sin 0 4 p ổ ử + ạ ỗ ữ ố ứ . Trn S Tùng WWW.MATHVN.COM WWW.MATHVN.COM Trang 3 PT Û x x x k x k 2 (1 sin ) (1 cos ) 0 , 2 2 p p p p + + = Û = - + = + Baøi 18. (H 2003D–db2) Gii phng trình: x x x x 2 cos4 cot tan sin2 = + . HD: iu kin: sin2x ¹ 0. PT Û x x x k 2 2 cos 2 cos2 1 0 3 p p - - = Û = ± + . Baøi 19. (H 2004B) Gii phng trình: x x x 2 5sin 2 3(1 sin ) tan - = - . HD: iu kin: x cos 0 ¹ . PT Û x x 2 2sin 3sin 2 0 + - = Û x k x k 2 6 5 2 6 p p p p é = + ê ê ê = + ë . Baøi 20. (H 2004D) Gii phng trình: x x x x x (2 cos 1)(2sin cos ) sin 2 sin - + = - . HD: PT Û x x x (2 cos 1)(sin cos ) 0 - + = Û x k x k 2 3 4 p p p p é = ± + ê ê ê = - + ë . Baøi 21. (H 2004A–db1) Gii phng trình: ( ) x x x x 3 3 4 sin cos cos 3sin + = + . HD: Baøi 22. (H 2004A–db2) Gii phng trình: x x 1 sin 1 cos 1 - + - = . HD: Baøi 23. (H 2004B–db1) Gii phng trình: x x x 1 1 2 2 cos 4 sin cos p æ ö + + = ç ÷ è ø . HD: Baøi 24. (H 2004B–db2) Gii phng trình: x x x x sin 4 .sin 7 cos3 .cos6 = . HD: Baøi 25. (H 2004D–db1) Gii phng trình: x x x x x x 2sin .cos2 sin 2 .cos sin 4 .cos + = . HD: Baøi 26. (H 2004D–db2) Gii phng trình: x x x x sin sin 2 3(cos cos2 ) + = + . HD: Baøi 27. (H 2005A) Gii phng trình: x x x 2 2 cos 3 .cos2 cos 0 - = . HD: PT Û x x 2 2 cos 4 cos4 3 0 + - = Û x k 2 p = . Baøi 28. (H 2005B) Gii phng trình: x x x x 1 sin cos sin 2 cos2 0 + + + + = . HD: PT Û x x x (sin cos )(2 cos 1) 0 + + = Û x k x k 4 2 2 3 p p p p é = - + ê ê ê = ± + ë . Baøi 29. (H 2005D) Gii phng trình: x x x x 4 4 3 cos sin cos sin 3 0 4 4 2 p p æ ö æ ö + + - - - = ç ÷ ç ÷ è ø è ø . HD: PT Û x x 2 sin 2 sin 2 2 0 + - = Û x k 4 p p = + . Baøi 30. (H 2005A–db1) Tìm nghim trên khong (0; p ) ca phng trình: x x x 2 2 3 4sin 3 cos2 1 2 cos 2 4 p æ ö - = + - ç ÷ è ø . www.MATHVN.com Trn S Tùng WWW.MATHVN.COM Trang 4 HD: PT Û x x cos 2 cos( ) 6 p p æ ö + = - ç ÷ è ø Û x x x 5 17 5 ; ; 18 18 6 p p p = = = . Baøi 31. (H 2005A–db2) Gii phng trình: x x x 3 2 2 cos 3cos sin 0 4 p æ ö - - - = ç ÷ è ø . HD: PT Û x x x x x x x x 3 3 2 2 cos sin 3cos .sin 3cos .sin 3cos sin 0 + + + - - = Xét 2 trng hp: a) Nu x cos 0 = thì PT Û x x x 3 cos 0 sin sin 0 ì = í - = î Û x k 2 p p = + . b) Nu x cos 0 ¹ thì ta chia 2 v ca PT cho x 3 cos . Khi đó: PT Û x x cos 0 tan 1 ì ¹ í = î Û x k 4 p p = + . Vy: PT có nghim: x k 2 p p = + hoc x k 4 p p = + . Baøi 32. (H 2005B–db1) Gii phng trình : ( ) x x x x x 2 2 3 sin .cos2 cos tan 1 2sin 0 + - + = . HD: iu kin: x cos 0 ¹ . PT Û x x 2 2sin sin 1 0 + - = Û x k x k 2 6 5 2 6 p p p p é = + ê ê ê = + ë . Baøi 33. (H 2005B–db2) Gii phng trình : x x x x 2 2 cos2 1 tan 3tan 2 cos p æ ö - + - = ç ÷ è ø HD: iu kin: x cos 0 ¹ . PT Û x 3 tan 1 = - Û x k 4 p p = - + . Baøi 34. (H 2005D–db1) Gii phng trình: x x x 3 sin tan 2 2 1 cos p æ ö - + = ç ÷ è ø + . HD: iu kin: x sin 0 ¹ . PT Û x 2sin 1 = Û x k x k 2 6 5 2 6 p p p p é = + ê ê ê = + ë . Baøi 35. (H 2005D–db2) Gii phng trình: x x x x sin 2 cos2 3sin cos 2 0 + + - - = . HD: PT Û x x x (2sin 1)(sin cos 1) 0 - - - = Û x x 1 sin 2 2 sin 4 2 p é = ê ê æ ö ê - = ç ÷ ê è ø ë Û x k x k x k x k 2 6 5 2 6 2 2 2 p p p p p p p p é = + ê ê ê = + ê ê = + ê ê = + ë . Baøi 36. (H 2006A) Gii phng trình: ( ) x x x x x 6 6 2 cos sin sin .cos 0 2 2sin + - = - . HD: iu kin: x 2 sin 2 ¹ . PT Û x x 2 3sin 2 sin 2 4 0 + - = Û x k 4 p p = + . i chiu điu kin, kt lun PT có nghim: x m 5 2 4 p p = + . Baøi 37. (H 2006B) Gii phng trình: x x x x cot sin 1 tan .tan 4 2 æ ö + + = ç ÷ è ø . Trn S Tùng WWW.MATHVN.COM WWW.MATHVN.COM Trang 5 HD: iu kin: x x x sin 0, cos 0, cos 0 2 ¹ ¹ ¹ . PT Û x x x x cos sin 4 sin cos + = Û x 1 sin2 2 = Û x k x k 12 5 12 p p p p é = + ê ê ê = + ë . Baøi 38. (H 2006D) Gii phng trình: x x x cos3 cos2 cos 1 0 + - - = . HD: PT Û x x 2 sin (2 cos 1) 0 + = Û x k x k 2 2 3 p p p é = ê = ± + ê ë . Baøi 39. (H 2006A–db1) Gii phng trình: x x x x 3 3 2 3 2 cos3 .cos sin3 .sin 8 + - = . HD: PT Û x 2 cos4 2 = Û x k 16 2 p p = ± + . Baøi 40. (H 2006A–db2) Gii phng trình: x x 2sin 2 4sin 1 0 6 p æ ö - + + = ç ÷ è ø . HD: PT Û ( ) x x x sin 3 cos sin 2 0 + + = Û x k x k 7 2 6 p p p é = ê = + ê ë . Baøi 41. (H 2006B–db1) Gii phng trình: ( ) ( ) x x x 2 2 2 2sin 1 tan 2 3 2 cos 1 0 - + - = . HD: iu kin: x cos2 0 ¹ . PT Û ( ) x x 2 cos2 tan 2 3 0 - = Û x k 6 2 p p = ± + . Baøi 42. (H 2006B–db2) Gii phng trình: x x x x cos2 (1 2 cos )(sin cos ) 0 + + - = . HD: PT Û x x x x (sin cos )(cos sin 1) 0 - - + = Û x k x k x k 4 2 2 2 p p p p p p é = + ê ê ê = + ê ê = + ë . Baøi 43. (H 2006D–db1) Gii phng trình: x x x 3 3 2 cos sin 2sin 1 + + = . HD: PT Û x x x x (cos sin )(1 cos )(sin 1) 0 + - + = Û x k x k x k 4 2 2 2 p p p p p é = - + ê ê = ê ê = - + ê ë . Baøi 44. (H 2006D–db2) Gii phng trình: x x x x 3 2 4sin 4 sin 3sin 2 6 cos 0 + + + = . HD: PT Û x x x 2 (sin 1)( 2 cos 3 cos 2) 0 + - + + = Û x k x k 2 2 2 2 3 p p p p é = - + ê ê ê = ± + ë . Baøi 45. (H 2007A) Gii phng trình: ( ) ( ) x x x x x 2 2 1 sin cos 1 cos sin 1 sin2 + + + = + HD: PT Û x x x x (sin cos )(1 sin )(1 cos ) 0 + - - = Û x k x k x k 4 2 2 2 p p p p p é = - + ê ê ê = + ê ê = ë . www.MATHVN.com Trn S Tùng WWW.MATHVN.COM Trang 6 Baøi 46. (H 2007B) Gii phng trình: x x x 2 2sin 2 sin 7 1 sin + - = . HD: PT Û ( ) x x cos4 2sin3 1) 0 - = Û x k x k x k 8 4 2 18 3 5 2 18 3 p p p p p p é = + ê ê ê = + ê ê = + ê ë . Baøi 47. (H 2007D) Gii phng trình: x x x 2 sin cos 3 cos 2 2 2 æ ö + + = ç ÷ è ø . HD: PT Û x x 1 sin 3 cos 2 + + = Û x 1 cos 6 2 p æ ö - = ç ÷ è ø Û x k x k 2 2 2 6 p p p p é = + ê ê ê = - + ë Baøi 48. (H 2007A–db1) Gii phng trình: x x x x x 1 1 sin2 sin 2 cot 2 2sin sin 2 + - - = . HD: iu kin x sin 2 0 ¹ . PT Û ( ) x x x 2 cos2 2 cos cos 1 0 + + = Û x k 4 2 p p = + . Baøi 49. (H 2007A–db2) Gii phng trình: x x x x x 2 2 cos 2 3 sin cos 1 3(sin 3 cos ) + + = + . HD: PT Û x x 2 2 cos 3cos 0 6 6 p p æ ö æ ö - - - = ç ÷ ç ÷ è ø è ø Û x k 2 3 p p = + . Baøi 50. (H 2007B–db1) Gii phng trình: 5 3 sin cos 2 cos 2 4 2 4 2 x x x æ ö æ ö - - - = ç ÷ ç ÷ è ø è ø p p HD: PT Û x x 3 cos 2 cos 2 0 2 4 p æ ö æ ö + + = ç ÷ ç ÷ è ø è ø Û x k x k x k 2 3 3 2 2 2 p p p p p p é = + ê ê ê = + ê ê = + ë . Baøi 51. (H 2007B–db2) Gii phng trình: x x x x x x sin2 cos2 tan cot cos sin + = - . HD: iu kin: x sin 2 0 ¹ . PT Û x x cos cos2 = - Û x k 2 3 p p = ± + . Baøi 52. (H 2007D–db1) Gii phng trình: x x 2 2 sin cos 1 12 p æ ö - = ç ÷ è ø HD: PT Û x 5 sin 2 cos sin 12 12 12 p p p æ ö - = = ç ÷ è ø Û x k hay x k 4 3 p p p p = + = + . Baøi 53. (H 2007D–db2) Gii phng trình: x x x (1– tan )(1 sin 2 ) 1 tan + = + . HD: iu kin: x cos 0 ¹ . PT Û x x x (cos sin )(cos2 1) 0 + - = Û x k x k 4 p p p é = - + ê ê = ë . Baøi 54. (H 2008A) Gii phng trình: x x x 1 1 7 4sin sin 4 3 sin 2 p p æ ö + = - ç ÷ è ø æ ö - ç ÷ è ø . Trn S Tùng WWW.MATHVN.COM WWW.MATHVN.COM Trang 7 HD: iu kin: x x 3 sin 0, sin 0 2 p æ ö ¹ - ¹ ç ÷ è ø . PT Û x x x x 1 (sin cos ) 2 2 0 sin cos æ ö + + = ç ÷ è ø Û x k x k x k 4 8 5 8 p p p p p p é = - + ê ê ê = - + ê ê = + ê ë Baøi 55. (H 2008B) Gii phng trình: x x x x x x 3 3 2 2 sin 3 cos sin cos 3 sin cos - = - . HD: PT ( ) x x x cos2 sin 3 cos 0 + = Û x k x k ; 4 2 3 p p p p = + = - + . Baøi 56. (H 2008D) Gii phng trình: x x x x 2sin (1 cos2 ) sin 2 1 2 cos + + = + . HD: PT Û x x (2 cos 1)(sin2 1) 0 + - = Û x k x k 2 2 ; 3 4 p p p p = ± + = + . Baøi 57. (H 2008A–db1) Tìm nghim trên khong (0; p ) ca phng trình: x x x 2 2 3 4sin 3 cos2 1 2 cos 2 4 p æ ö - = + - ç ÷ è ø . HD: PT Û x x x 2 cos 3 cos2 sin 2 - = - Û ( ) x x cos 2 cos 6 p p æ ö + = - ç ÷ è ø Û x k hay x h 5 2 7 2 18 3 6 p p p p = + = - + Do x (0; ) p Î nên ch chn x x x 5 17 5 ; ; 18 18 6 p p p = = = . Baøi 58. (H 2008A–db2) Gii phng trình: x x x 3 2 2 cos 3cos sin 0 4 p æ ö - - - = ç ÷ è ø . HD: PT Û x x x x x x x x 3 3 2 2 cos sin 3cos .sin 3cos .sin 3cos sin 0 + + + - - = Xét 2 trng hp: a) Nu x cos 0 = thì PT Û x x x 3 cos 0 sin sin 0 ì = í - = î Û x k 2 p p = + . b) Nu x cos 0 ¹ thì ta chia 2 v ca PT cho x 3 cos . Khi đó: PT Û x x cos 0 tan 1 ì ¹ í = î Û x k 4 p p = + . Vy: PT có nghim: x k 2 p p = + hoc x k 4 p p = + . Baøi 59. (H 2008B–db1) Gii phng trình: ( ) x x x x x 2 2 3 sin cos2 cos tan 1 2sin 0 + - + = . HD: iu kin: cos 0 2 x x k ¹ Û ¹ + p p . PT Û x x 2 2sin sin 1 0 + - = Û x k x k 5 2 ; 2 6 6 p p p p = + = + . Baøi 60. (H 2008B–db2) Gii phng trình: x x x x 2 2 cos2 1 tan 3tan 2 cos p æ ö - + - = ç ÷ è ø . HD: iu kin: x cos 0 ¹ . PT Û x 3 tan 1 = - Û x k 4 p p = - + . www.MATHVN.com Trn S Tùng WWW.MATHVN.COM Trang 8 Baøi 61. (H 2008D–db1) Gii phng trình: x x x 3 sin tan 2 2 1 cos p æ ö - + = ç ÷ è ø + . HD: iu kin: x sin 0 ¹ . PT Û x x (cos 1)(2sin 1) 0 + - = Û x k x k 2 6 5 2 6 p p p p é = + ê ê ê = + ë . Baøi 62. (H 2008D–db2) Gii phng trình: sin 2 cos2 3sin cos 2 0 x x x x + + - - = HD: PT Û x x x (2sin 1)(sin cos 1) 0 - - - = Û x x 1 sin 2 2 sin 4 2 p é = ê ê æ ö ê - = ç ÷ ê è ø ë Û x k x k x k x k 5 2 ; 2 ; 2 ; 2 6 6 2 p p p p p p p p = + = + = + = + . Baøi 63. (H 2009A) Gii phng trình: x x x x (1 2sin ) cos 3 (1 2sin )(1 sin ) - = + - . HD: iu kin: x x 1 sin 1, sin 2 ¹ ¹ - . PT Û x x x x cos 3 sin sin 2 3 cos2 - = + Û x xcos cos 2 3 6 p p æ ö æ ö + = - ç ÷ ç ÷ è ø è ø Û x k 2 18 3 p p = - + . Baøi 64. (H 2009B) Gii phng trình: ( ) x x x x x x 3 sin cos .sin2 3 cos3 2 cos 4 sin+ + = + . HD: PT Û x x x sin3 3 cos3 2 cos 4 + = Û x x cos 3 cos 4 6 p æ ö - = ç ÷ è ø Û x k x k 2 6 2 42 7 p p p p é = - + ê ê ê = + ë . Baøi 65. (H 2009D) Gii phng trình: x x x x 3 cos5 2sin 3 cos2 sin 0 - - = . HD: PT Û x x x 3 1 cos5 sin5 sin 2 2 - = Û x x sin 5 sin 3 p æ ö - = ç ÷ è ø Û x k x k 18 3 6 2 p p p p é = + ê ê ê = - + ë . Baøi 66. (H 2010A) Gii phng trình: x x x x x (1 sin cos2 )sin 1 4 cos 1 tan 2 p æ ö + + + ç ÷ è ø = + HD: iu kin: x x cos 0; 1 tan 0 ¹ + ¹ . PT Û x x sin cos2 0 + = Û x k x k 7 2 ; 2 6 6 p p p p = - + = + . Baøi 67. (H 2010B) Gii phng trình: x x x x x (sin 2 cos2 ) cos 2 cos2 sin 0 + + - = . HD: PT Û x x x (sin cos 2)cos2 0 + + = Û x k 4 2 p p = + . Baøi 68. (H 2010D) Gii phng trình: x x x x sin 2 cos2 3sin cos 1 0 - + - - = . HD: PT Û x x x (2sin 1)(cos sin 2) 0 - + + = Û x k x k 5 2 ; 2 6 6 p p p p = + = + . . WWW.MATHVN.COM Trang 1 PHNG TRèNH LNG GIC www.mathvn.com TRONG THI I HC 2002- 2010 Baứi 1. (H 2002A) Tỡm nghim thuc khong (0; 2 p ) ca phng trỡnh: . 2 cos2 3 = + x 1 cos 2 = x x 3 5 3 p p ộ = ờ ờ ờ = ở . Baứi 2. (H 2002B) Gii phng trỡnh: x x x x 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 - = - HD: