Tạp chí Khoa học 2011:17b 201-206 Trường Đại học Cần Thơ 201 MỘT TRƯỜNG HỢP CỦA ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN TRUNG TÂM CHO DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC Phạm Thị Thu Hường và Phạm Thị Thu Hoa 1 ABSTRACT Central limit theorem plays an important role in probability theory and applied statistic. However, the findings of this theorem mainly focus on the sequences of independent random variables. Its results haven’t been found so much in the case of the sequences of dependent radom variables. Although, the independence of the sequences of random variables is not easy to meet and satisfy. So we need to find conditions to limit the range of the sequences of dependent radom variables to get the results of the central limit theorem. In this paper, we find out a range of conditions for the sequences of dependent radom variables and prove that these conditions stronger than the results were outlined in the paper of Dvoretzky but this still satisfies the central limit theorem. Keywords: probability theory, applied statistic, Central limit theorem, the sequences of independent random variables, the sequences of dependent radom variables Title: A case of central limit theorem for the sequences of dependent random variables TÓM TẮT Định lý giới hạn trung tâm giữ một vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng. Tuy nhiên, những kết quả nghiên cứu về định lý này chủ yếu tập trung vào dãy những biến ngẫu nhiên độc lập, còn trong trường hợp những biến ngẫu nhiên phụ thuộc kết quả nghiên cứu vẫn chưa được nhiều. Tuy nhiên, điều kiện độc lập của dãy các biến ngẫu nhiên không phải lúc nào cũng th ỏa mãn và dễ thỏa mãn. Nên ta cần phải tìm điều kiện để hạn chế dãy những biến ngẫu nhiên phụ thuộc để có được kết quả của định lý giới hạn trung tâm. Trong bài báo này, chúng tôi nêu ra một điều kiện cho dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc và chứng minh điều kiện đưa ra chặt hơn kết quả đã nêu ra trong bài báo của Dvoretzky nhưng dãy biến ngẫu nhiên này vẫn thỏa mãn đị nh lí giới hạn trung tâm. Từ khóa: lí thuyết xác suất, thống kê ứng dụng, định lí giới hạn trung tâm, dãy biến ngẫu nhiên độc lập, dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc 1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KẾT QUẢ CÓ LIÊN QUAN Định lí 1: Định lí giới hạn trung tâm cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập: Xét dãy tam giác 12 ( , , , ), 1,2, nn nn XX X n  gồm các biến ngẫu nhiên sao cho đối với mỗi n , các biến ngẫu nhiên 12 , , , nn nn XX X độc lập, 1 ()1 n kn k DX    , và 1 Trường Đại học An Giang Tạp chí Khoa học 2011:17b 201-206 Trường Đại học Cần Thơ 202 0,( 1, , ) kn E Xkn . Đặt 2 1 ,(), n nknknkn k SX DXkn     , khi đó nếu với 2 s  nào đó , 2 1 (| | ,| | ) 0 n s kn kn k Emin X X    thì (0,1) D n SN . Từ đây ta thấy, khi có nhiều nhân tố ngẫu nhiên độc lập tác động sao cho không có nhân tố nào vượt trội lấn át các nhân tố khác thì kết quả của chúng có dạng phân phối tiệm cận chuẩn. Định nghĩa 1: Cho không gian xác suất (, , )FPW , , là hai đại số của W khi đó ta định nghĩa: (,) sup ( ) ()()PF G pFpGa =Ç- , supremum được lấy trên tất cả những tập F Î  và G Î  . Định nghĩa 2: Cho dãy tam giác , 1,2, 1,2, , () n nk n k k X == , ,,1, ( , , ) nk n nk XX  ,1 , , ( , , ) n nk m nk nk XX   . Ta định nghĩa : ,,1 1 () ( , ) n nnknkm kk m msup         Định lí 2: Cho x là một biến ngẫu nhiên giá trị phức thỏa mãn 1x £ , đặt ()x= và  là d - đại số trong không gian xác suất. Khi đó: |(|) |2.(,)EE Exxpa-£. Định lí 3: Theo Dvoretzky (1972) ta có kết quả sau: Cho một dãy tam giác biến ngẫu nhiên , ( ), 1,2, , 1,2, , nk n Xn k k   . Đặt ,, , , ,0, , 1 ,, n b n nab nk nb n b nk ka SXSSSS =+ === å , 1 n k nk k X = = å . Sao cho , 0, 1,2, 1, 2, , nk n E Xnkk  . Một dãy tổng riêng của , () nk X là , ( ), 1,2, 1,2, , ni n Yn i r với 0(0)(1) () nn nnn j jjrk    sao cho: () ,, (1)1 n n ji ni nk kji YX    thỏa mãn: 2 , 0 ni n i lim EY    chaún (1) 2 , 1 ni n ile lim EY    (2) Tạp chí Khoa học 2011:17b 201-206 Trường Đại học Cần Thơ 203  2 ,, 1 0, 0 n r ni ni n i lim E Y I Y        (3) và ()0 nn n n lim r m    với 1 [() ( 1)] n nnn ik mminjiji    (4) Thì (0,1) D n SN . 2 KẾT QUẢ MỚI CỦA BÀI BÁO Chúng tôi nêu ra một điều kiện cho dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc dựa trên ý tưởng của Đào Quang Tuyến (2003) và chứng minh điều kiện đưa ra chặc hơn kết quả đã nêu ra trong bài báo của Dvoretzky (1972), nhưng dãy biến ngẫu nhiên này vẫn thỏa mãn định lí giới hạn trung tâm. Từ kết quả trong bài báo Asymp của Dvoretzky (1972), chúng tôi tổng quát kết quả trên như sau: Định lí 4: Cho m ột dãy tam giác biến ngẫu nhiên , ( ), 1,2, , 1,2, , nk n Xn k k   thỏa mãn , 0, 1,2, 1,2, , nk n E Xnkk  , và một dãy tổng riêng của , () nk X là , ( ), 1,2, 1,2, , ni n Yn i r   với 0(0)(1) () nn nnn j jjrk    sao cho: () ,, (1)1 n n ji ni nk kji YX    thỏa mãn: 2 , 0 ni n i lim EY    chaún (1’) 2 , 1 lÎ ni n i lim EY    (2’)  2 ,, 1 0, 0 n r ni ni n i lim E Y I Y        (3’) và với t  thỏa điều kiện sau: 2 ,, 1(0,) v,()0 n k r n nj nk kjk Co exp it Y exp itY               (4’) Ở đây , 2k I  tập hợp những số nguyên chẳn (lẻ) trong tập I, nếu k là số chẳn hay lẻ Thì (0,1) D n SN . Chứng minh: ta có thể tổng quát được như trên vì ở đây điều kiện (4’) chặc hơn so với điều kiện (4), cụ thể là: Tạp chí Khoa học 2011:17b 201-206 Trường Đại học Cần Thơ 204 2 ,, 1(0,) v,()2.() n k r nj nk n n n kjk Co exp it Y exp itY r m              Hay ta có: 2 ,, (0, ) v,() k nj nk jk Co exp it Y exp itY             () nn m   . Thật vậy, 2 ,, (0, ) v,() k nj nk jk Co exp it Y exp itY             = ,, , (0, ) (0, ) , 2 2 nj nk nj jk jk nk k k it Y Y it Y itY Ee Ee Ee           ,, , (0, ) (0, ) , 2 2 , nj nk nj jk jk nk k k it Y Y it Y itY nj E E Ee Ee Ee                      với 2 (0, ) k j k  ,, , (0, ) (0, ) , 2 2 , nj nk nj jk jk nk k k it Y Y it Y itY nj E E Ee Ee Ee                 với 2 (0, ) k j k  = ,, , (0, ) (0, ) , 2 2 ,, () nj nk nj jk jk nk k k it Y Y it Y itY nj nj EEe Ee Ee                 với 2 (0, ) k j k  =   , (0, ) ,, 2 , nj jk nk nk k it Y itY itY nj Ee E Ee Ee     với 2 (0, ) k j k  ,, 1.2 ( , ) nj nk     với ,,1, ,1,() ( , , ) ( , , ) n nj n nj n nj j YY X X  ,,(1)1,() ( , , ) nn nk n j k n j k XX   2() nn m    với 1 [() ( 1)] n nnn ik mminjiji  , ,,1 1 () ( , ) n nnknkm kk m msup         . (theo bổ đề 5.3 của Dvoretzky). Tp chớ Khoa hc 2011:17b 201-206 Trng i hc Cn Th 205 Vy, 2 ,, 1(0,) v,()2.() n k r nj nk n n n kjk Co exp it Y exp itY r m . Ta i chng minh nh lý 4 tha món nh lớ gii hn trung tõm: Do ta cú 2 , 0 ni n i lim EY chaỳn (1) v t iu kin 2 ,, 1(0,) v,()0 n k r n nj nk kjk Co exp it Y exp itY (4) õy , 2k I tp hp nhng s nguyờn chn (l) trong tp I, nu k l s chn hay l. Nờn ta cú: ,2 2 0 p nk k Y + ắ ắắ ồ chaỳn . Mc khỏc: 2 , 1 ni n i lim EY leỷ (2), , 0, 1,2, 1,2, , nk n E Xnkk Da theo phng phỏp so sỏnh c trỡnh by trong [2] ta nh ngha , (),() nk n Yklr * Êeỷ l dóy nhng bin ngu nhiờn c lp, sao cho hm phõn b ca mi ,nk Y * trựng vi ,nk Y vi mi n v mi () n krÊẻl . Kt hp vi cỏc iu kin (2) v (3) ta cú , () (0,1) D nk k YN * ắắắ ồ leỷ . Mc khỏc: ,, , ((0,) ((0,) ((0,) ,2 , , * 2 ((0,) nk nk nj n kl r kl r jk nk nk nk nn n it Y it Y it Y r itY itY itY k kr Ee Ee Ee Ee Ee Ee ẻẻ ẻ - + ẻ ổử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ốứ ồồ ồ -= - ồ leỷ leỷ ẻ) ẻ) ) ) , ((0,) ,2 , , 2 ((0,) nj n jl k nk nk nk n it Y r itY itY itY k kl r Ee Ee Ee Ee ẻ - + ẻ ổử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ốứ ồ Ê- ồ ẻ) ẻ) , , ((0,) ((0,) v,() n nj nk kr jk Co exp it Y exp itY ẻẻ ỡỹ ùù ổử ùù ữ ỗ ùữù ỗ ùù ữ ỗ ớý ữ ỗ ữ ùù ỗ ữ ùù ữ ỗ ốứ ùù ùù ợỵ =- ồồ leỷ leỷ)) Tp chớ Khoa hc 2011:17b 201-206 Trng i hc Cn Th 206 2 , , 1 (0, ) v,()0 n k r n nj nk k jk Co exp it Y exp itY = ẻ ỡỹ ùù ổử ùù ữ ỗ ùữù ỗ ùù ữ ỗ ắ ắắ ớý ữ ỗ ữ ùù ỗ ữ ùù ỗ ữ ốứ ùù ùù ợỵ Ê- ồồ ( do 4) Nờn , () (0,1) D nk k YNắắắ ồ leỷ Do ú, 1 ,(0,1) n r D n i SYni N = ắắắ= ồ . Vớ d: Cho () k X l dóy bin ngu nhiờn bt kỡ cú k vng v phng sai hu hn. t , 1,2, , kk kn n XEX Xkn B , *2 1 1 () ,() n kk n k nnk k n XEX SBDX B , *** ,, , ,0, 1 , b nab kn nb n b ka SXSS . Khi ú vi 0 bt k 2 2 1 1 [( ) ,| |> ] 0 n kkkkn k n EX EX X EX B B v iu kin * ,1 1 |cov ( ), ( ) | 0 n n nk kn k exp itS exp itX c tha món thỡ * (0,1) D n SN . TI LIU THAM KHO A. Dvoretzky, Asymptotic normality for sums of dependent random variables, Proc.Sixth Berkeley Symp. Math. Statist. Prob. Univ of California Press, 1972, 513-535. o Quang Tuyn, Central limit theorems for Mixing Arrays, Vietnam journal of Mathematics 32 (2004), 277-292. Nguyn Duy Tin - V Vit Yờn, Lý thuyt xỏc sut thng kờ, nh xut bn giỏo dc, 2003. Y.S. Chow and H. Teicher, Probability theory, Springer, Newyork, Heidelberg, Berlin, 1978. . hạn trung tâm, dãy biến ngẫu nhiên độc lập, dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc 1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KẾT QUẢ CÓ LIÊN QUAN Định lí 1: Định lí giới hạn trung tâm. Khoa học 2011:17b 201-206 Trường Đại học Cần Thơ 201 MỘT TRƯỜNG HỢP CỦA ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN TRUNG TÂM CHO DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC Phạm Thị Thu Hường