ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 1 http://trungtamquangminh.tk MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Phương trình, bất phương trình chứa căn thức là một phần quan trọng của môn Đại số ở bậc phổ thông. Đây cũng là dạng toán khiến các bạn học sinh gặp khó khăn vì dạng bài tập phong phú, đòi hỏi nhiều kỹ năng tính toán và biến đổi. Chúng tôi xin giới thiệu Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình chứa căn thức để giúp các bạn học sinh cơ bản nắm được cách giải quyết các bài toán dạng này. I. Một số dạng cơ bản của phương trình, bất phương trình chứa căn thức. 1. Phương trình a) () () () () () 0fx fx gx f xgx ⎧ ≥ ⎪ =⇔ ⎨ = ⎪ ⎩ b) () () () () () 2 0gx fx gx f xgx ⎧ ≥ ⎪ =⇔ ⎨ = ⎡⎤ ⎪ ⎣ ⎦ ⎩ Vd1: Giải phương trình sau: () 2 32 11xx x−+=− Hướng dẫn: Nhận xét: Phương trình có dạng () () f xgx= nên ta giải như sau Ta có () () 2 2 10 1 32 1 1 1 1 x xx x x x x −≥ ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ − += − ⎪ ⎩ ≥ ⎧ ⇔⇔= ⎨ = ⎩ Vậy { } 1S = Vd2: Giải phương trình: () 22 54 2 312 2xx xx−+=− −+ Hướng dẫn: Ta có () 22 2 22 2542312 540 54 2 312 xx xx xx xx xx ⇔−+=−−+ ⎧ −+≥ ⎪ ⇔ ⎨ −+=− −+ ⎪ ⎩ ( ) ( ) 2 140 3280 xx xx ⎧− − ≥ ⎪ ⇔ ⎨ −−= ⎪ ⎩ ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 2 http://trungtamquangminh.tk 1 4 8 2 6 8 6 x x x x x ⎧≤ ⎡ ⎪ ⎢ ≥ ⎣ ⎪ − ⎪ ⇔⇔= ⎨ = ⎡ ⎪ ⎢ − ⎪ ⎢ = ⎪ ⎣ ⎩ Vậy 8 6 S ⎧⎫ =− ⎨⎬ ⎩⎭ 2. Bất phương trình a) () () () () () 2 0 0 gx fx gx f xgx ⎧ ≥ ⎪ <⇔ ⎨ ≤<⎡⎤ ⎪ ⎣ ⎦ ⎩ b) () () () () () () () 2 0 0 0 gx fx fx gx gx f xgx ⎡ ⎧< ⎪ ⎢ ⎨ ≥ ⎢ ⎪ ⎩ >⇔ ⎢ ⎧ ≥ ⎢ ⎪ ⎢ ⎨ >⎡ ⎤ ⎢ ⎪ ⎣ ⎦ ⎩ ⎣ Vd3: Giải các bất phương trình sau: a) () 2 12 1xx+≥ − b) 2 25 43xxx−<− + −, 14 1; 5 S ⎡⎞ = ⎟ ⎢ ⎣⎠ Hướng dẫn a) Ta có : () () () 2 2 2 10 12 1 12 10 x xx xx +≥ ⎧ ⎪ +≥ − ⇔ ⎨ +≥ −≥ ⎪ ⎩ 2 2 1 230 10 x xx x ≥− ⎧ ⎪ ⇔ −−≤ ⎨ ⎪ −≥ ⎩ 1 1 13 13 1 1 x x x x x x ⎧ ⎪ ≥− ⎪ =− ⎡ ⎪ ⇔−≤ ≤⇔ ⎨ ⎢ ≤≤ ⎣ ⎪ ≤− ⎡ ⎪ ⎢ ⎪ ≥ ⎣ ⎩ Vậy tập nghiệm [] { } 1; 3 1S =∪− b)Ta có 2 25 43xxx−<− + − () () () 2 2 2 250 1 430 250 2 25 43 x xx x xxx ⎡ −< ⎧ ⎢ ⎨ −+ −≥ ⎩ ⎢ ⇔ ⎢ −≥ ⎧ ⎪ ⎢ ⎨ ⎢ −<−+− ⎪ ⎩ ⎣ ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 3 http://trungtamquangminh.tk Giải (1) () 5 5 11 2 2 13 x x x ⎧ < ⎪ ⇔⇔≤< ⎨ ⎪ ≤≤ ⎩ Giải (2) () 2 5 5 514 2 2 2 14 25 2 524280 5 x x x x xx ⎧ ⎧ ≥ ⎪ ≥ ⎪⎪ ⇔⇔⇔≤< ⎨⎨ ⎪⎪ << −+< ⎩ ⎪ ⎩ Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình là 14 1; 5 S ⎡ ⎞ = ⎟ ⎢ ⎣ ⎠ II. CÁC PHƯƠNG PHÁP 1. Phương pháp bình phương liên tiếp Sử dụng phương pháp bình phương liên tiếp nhằm biến đổi phương trình, bất phương trình về dạng không còn chứa căn thức. Tuy nhiên khi bình phương hai vế của phương trình, bất phương trình nhớ đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu (đối với phương trình có thể giải bằng phương trình hệ quả sau đó thử lại kết quả, còn đố i với bất phương trình bắt buộc phải đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu) Vd1: Giải phương trình 31 21 6 x xx+− −= − Hướng dẫn: Điều kiện 310 1 210 6 2 60 x xx x +≥ ⎧ ⎪ ⎧ −≥ ⇔ ≤ ≤ ⎨⎨ ⎩ ⎪ −≥ ⎩ Với điều kiện trên ta có 31 21 6 31 6 21 316 2126 21 2426 21 xx x xxx x xx xx xxx +− −= − ⇔+=−+− ⇔+=−+−+ − − ⇔−= − − 26 21 x xx⇔−= − − ( ) 2x ≥ () 22 2 44 2 136 317100 5 2 3 x xxx xx x xl ⇔−+=− + − ⇔−+= = ⎡ ⎢ ⇔ ⎢ = ⎣ Vậy { } 5S = ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 4 http://trungtamquangminh.tk Vd2: Giải bất phương trình () 13 23 92 2 22 xx−− − ≥ Hướng dẫn Điều kiện 30 9 3 92 0 2 x x x −≥ ⎧ ⇔≤≤ ⎨ −≤ ⎩ Với điều kiện trên ta có () ()() 13 22392 22 193 43 92 92 442 16 48 18 2 6 9 2 xx x xx xxx ⇔−≥−+ ⇔−≥−++− ⇔−≥−+− ()() 2 18 64 0 933392 933 992 x xx x x −≥ ⎧ ⎪ ⇔−≥−⇔ ⎨ −≥− ⎪ ⎩ 2 32 32 9 4 28 9 81 576 1008 0 9 4 x x x x xx x ⎧ ≥ ⎪ ⎧ ≥⎪ ⎪ ⇔⇔⇔≥ ⎡ ⎨⎨ ≤ ⎢ ⎪⎪ −+≥ ⎩ ⎢ ⎪ ≥ ⎣ ⎩ Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là 9 4; 2 S ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2. Phương pháp đặt ẩn phụ Mục đích của phương pháp đặt ẩn phụ là đưa phương trình bất phương trình về dạng cơ bản hoặc là dạng đã biết cách giải. Từ nghiệm của phương trình, bất phương trình mới ta suy ra nghiệm của phương trình, bất phương trình ban đầu. Chú ý: Phương trình, bất phương trình mới không tương đương với phương trình bất phương trình cũ (vì khác tập hợp nghiệm) mà chỉ tương đương theo nghĩa từ phương trình ,bất phương trình này ta suy ra nghiệm của phương trình, bất phương trình kia và ngược lại. Dạng 1. Đặt ẩn phụ khi thấy các biểu thức có dạng giống nhau. Đặt () tfx = , đưa phương trình, bất phương trình theo biến x về phương trình bất phương trình theo biến t (Chú ý đặt điều kiện cho biến t (nếu có)). Vd1: Giải phương trình 22 3293227xx xx−++ −+= Nhận xét: Ta thấy biểu thức dưới dấu căn đều có số hạng 2 32 x x − , và đây là biểu thức chung, chú ý rằng chúng ta quan tâm đến nhũng biểu thức chung chứa biến, còn nếu có thêm hằng số cũng không quan trọng, và ta có thể đặt ẩn 2 32tx x=− , để đưa phương trình về dạng cơ bản, tuy nhiên để bài toán được gọn hơn ta thường đặt ẩn phụ cho nguyên biểu thức căn, tức là đặt 2 322txx = −+ ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 5 http://trungtamquangminh.tk Ta giải bài toán này như sau: Đặt 2 322txx=−+ điều kiện 0t ≥ . Khi đó 22 329 7xx t − += +. Phương trình trở thành () ( ) 2 2 2 2 22 77 77 77 dk 7 71449 3 tt tt tt t ttt t ++= ⇔+=− ⇔+=− ≤ ⇔+=−+ ⇔= Với 3t = ta có 2 2 2 3223 3229 3270 122 3 122 3 xx xx xx x x −+= ⇔−+= ⇔−−= ⎡ + = ⎢ ⎢ ⇔ ⎢ − = ⎢ ⎣ Vậy 122122 ; 33 S ⎛⎞ +− = ⎜⎟ ⎝⎠ Vd2: Giải bất phương trình ()( ) 2 145 528xx xx++< ++ Hướng dẫn: Ta có: ()( ) 2 22 145 528 545 528 xx xx xx xx ++< ++ ⇔++<++ Đặt 2 528txx=++ điều kiện 0t ≥ . Khi đó bất phương trình trở thành: 2 24 5tt−< 2 5240 38 tt t ⇔−+< ⇔−<< Kết hợp với điều kiện ta có 08t<< (1) Với 8t < ta có: () 2 2 2 2 5288 5280 94 2 5360 52864 xx x xx x xx xx ++< ∈ ⎧ ++≥ ⎧ ⎪ ⇔⇔⇔−<< ⎨⎨ +−< ++< ⎪ ⎩ ⎩ \ Với 2 05280txx x>⇔ + + >⇔∈\ (3) Từ (1), (2) và (3) ta có nghiệm của bất phương trình là ( ) 9; 4S = − Vd3: Giải bất phương trình: () 2 211 1 x xxx−+> −+ ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 6 http://trungtamquangminh.tk Hướng dẫn: Đặt 2 1txx=−+, điều kiện 0t ≥ , suy ra ( ) ( ) 2 2121xx t − =− Bất phương trình trở thành: () () 2 2 211 210 1 2 1 tt tt tl t −+> ⇔−−> ⎡ <− ⎢ ⇔ ⎢ > ⎣ Với 1t > ta có 222 0 11 11 0 1 x xx xx xx x < ⎡ −+>⇔ −+>⇔ −>⇔ ⎢ > ⎣ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( ) ( ) ;0 1;S = −∞ ∪ +∞ Dạng 2. Các phương trình, bất phương trình có biểu thức ABmAB±± trong đó AB + là hằng số. Khi đó đặt tAB=±, suy ra ( ) 2 2 tAB AB − + =± . Đưa phương trình bất phương trình về ẩn t . Vd4: Giải phương trình: 2 5 ( 2)(5 ) 4xxxx++ −+ + − = Hướng dẫn: Điều kiện 25 x −≤ ≤ Đặt 25tx x=++− (điều kiện 0t ≥ ). Suy ra ()()()() 2 2 7 72 25 72 25 25 2 t txxxxxx − =+ + −=+ + − ⇒ + − = Khi đó phương trình trở thành: () () 2 2 7 4 2 2150 5 3 t t tt tl tn − += ⇔+−= ⎡ =− ⇔ ⎢ = ⎢ ⎣ Với 3t = ta có: ()() ()() 25 3 72 25 9 25 1 xx xx xx ++ −= ⇔++−= ⇔+−= 2 390xx⇔−−= () () 335 2 335 2 x n x n ⎡ + = ⎢ ⎢ ⇔ ⎢ − = ⎢ ⎣ ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 7 http://trungtamquangminh.tk Vậy tập nghiệm của phương trình là 3 353 35 ; 22 S ⎧ ⎫ +− ⎪ ⎪ = ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩⎭ Vd5: Giải bất phương trình: ( ) ( ) 21 92 32192 13xxxx++ − + + − > Hướng dẫn Điều kiện 19 22 x−≤≤ Đặt 21 92tx x=++− (điều kiện 0t ≥ ). Suy ra ()() 2 10 2192 2 t xx − +−= Bất phương trình trở thành 2 10 3. 13 2 t t − +> () () 2 32560 14 3 4 tt tl tn ⇔+−> ⎡ <− ⎢ ⇔ ⎢ > ⎢ ⎣ Với 4t > ta có ()( ) ()() 2 21 92 4 10 2 2 1 9 2 16 2192 9 16 4 0 04 xx xx xx xx x ++−> ⇔++−> ⇔+−> ⇔−> ⇔<< Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là () 0; 4S = Dạng 3. Các phương trình có dạng 4 mA nB pAB+± . Khi đó đặt 4 A t B = (xét 0, 0BB = ≠ ) Hoặc đặt 44 ,uAvB== . Tính u theo v . Vd6: Giải phương trình 2 4 2 12 4 xx xx − − +− − = Hướng dẫn Điều kiện 2 10 1 20 2 2 1 20 2 xx xxx x xx x ⎧ ⎪ ⎧ +≥ ≥− ⎪ ⎪⎪ −≥ ⇔ ≥ ⇔≥ ⎨⎨ ⎪⎪ ≤− −−≥ ⎡ ⎩ ⎪ ⎢ ⎪ ≥ ⎣ ⎩ Đặt 44 1, 2axbx=+=− điều kiện , 0ab≥ ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 8 http://trungtamquangminh.tk Khi đó phương trình trở thành 22 2 2 2 22 0 1 2 2 ab ab ab a bab ab ⎡ = ⎢ −= ⇔ − −=⇔ ⎢ =− ⎢ ⎣ Với 22ab= ta có ( ) 44 12.2142 3xx x x x+= − ⇔ += − ⇔ = Với 1 2 ab=− ta có () 44 1 12120 2 x xxx vn+=− − ⇔+=−= Vậy tập nghiệm của bất phương trình là { } 3S = Vd7: Giải bất phương trình 2 4 231 32 1 4 1 36 x x xx − + −− −≥ Hướng dẫn Điều kiện 2 210 10 1 231 x x x xx ⎧ −≥ ⎪ −≥ ⇔ ≥ ⎨ ⎪ −+≥ ⎩ Ta thấy 1 x = là nghiệm của bất phương trình. Xét 1 x ≠ , chia hai vế của bất phương trình cho 2 4 231 x x − + ta có 44 21 1 1 3. 4. 121 6 xx xx −− −≥ −− Đặt 44 21 11 121 xx t x xt −− =⇒= −− (Điều kiện 0 t > ). Khi đó bất phương trình trở thành () () 2 16 66 41 336460 6 3 2 tl ttt t tn − ⎡ ≤ ⎢ ⎢ −≥ ⇔ −− ≥⇔ ⎢ ≥ ⎢ ⎣ Với 3 2 t ≥ ta có () 4 21 3 219 5 01 5 12 1441 xxx x xxx −−−+ ≥⇔ ≥⇔ ≥⇔<≤ −−− Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [ ] 1; 5S = Dạng 4. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình Vd8: Giải phương trình: 3 3 1 21 2 x x − =+ Hướng dẫn Đặt 3 3 1 21 2 t tx x − =+⇒= Khi đó ta có hệ () () 3 3 12 1 12 2 xt tx ⎧ −= ⎪ ⎨ −= ⎪ ⎩ Lấy (1) trừ (2) ta có: ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 9 http://trungtamquangminh.tk () () ( ) () () 33 2 2 22 22 2 0 20 0 x t t x xtx xtt xt xtx xtt xt −=− ⇔ − ++ + −= ⇔− +++= ⇔−= (Vì 2 22 2 3 220 24 t xxtt x t ⎛⎞ +++= + + +> ⎜⎟ ⎝⎠ ) Với tx= ta có () ( ) 33 2 12 2 10 1 1 0 1 15 2 15 2 xxxx xxx x x x −= ⇔−−=⇔+ −−= ⎡ ⎢ =− ⎢ + ⎢ ⇔= ⎢ ⎢ − ⎢ = ⎢ ⎣ Vậy phương trình có 3 nghiệm 1515 1; ; 22 S ⎧ ⎫ +− ⎪ ⎪ =− ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩⎭ Vd9: Giải phương trình: ( ) 33 34 3 1 *xx+−−= Hướng dẫn Đặt: 3 33 3 34 37 3 ux uv vx ⎧ =+ ⎪ ⇒−= ⎨ =− ⎪ ⎩ () *1uv⇔−= Ta có hệ: () () 33 37 1 12 uv uv ⎧ −= ⎪ ⎨ −= ⎪ ⎩ () () 213uv⇔=+ , sau đó thay vào () 1 ta có: () 3 3 137 3 4 vv v v +−= = ⎡ ⇔ ⎢ =− ⎣ 3 3 33330 43461 vx x vx x •= ⇔ −= ⇔= • =−⇔ − =−⇔ =− Vd10: Giải phương trình: () 22 7 4 5 1 14 3 3 17 13 *xx xx x+−− −+= − Hướng dẫn () () 22 * 74 33171314 331713xx x xx x⇔−++−−−+=− ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 10 http://trungtamquangminh.tk Đặt: () 2 2 2 2 13 17 13 17 13 13 25 373 33 0 33 17 17 289 u x ux uuuu vxx v v + ⎧ = ⎪ =− ⎧ ⎪⎪ ⇔ ⎨⎨ ++ −+ =−+≥ ⎛⎞⎛⎞ ⎪ ⎪ ⎩ =−+= ⎜⎟⎜⎟ ⎪ ⎝⎠⎝⎠ ⎩ () * trở thành 2 74 14vu vu+− = Ta có hệ: () () 2 2 2 74 14 1 25 373 2 289 vu vu uu v ⎧ += + ⎪ ⎨ −+ = ⎪ ⎩ () () () () 2 2 2 1494 14 49 28 28 49 0 0 49 28 vu vu uuvu uu v u uv ⇔+=+ ⇔= + ⇔+−= = ⎡ ⇔ ⎢ =− ⎣ 13 0 17 ux•=⇔= 49 28uv•= − Thay vào () 2 : ()() 2 2 22 2 2 2 49 28 25 49 28 373 289 289 784 2044 1549 495 2044 1549 0 1 2 1 331 746 1549 1549 33 495 495 495 2231 495 vv v vv v vv x x v xx x v xx x −− −+ = ⇔=−+ ⇔−+= ⎡ = ⎡ ⎢ ⎢ = ⎣ ⎢ ⎡ = ⎡ −+= ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⇔⇔ ⇔ =− ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ = −+= ⎢ ⎢ ⎣ ⎢ ⎣ ⎢ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎣ ⎣ Thay các giá trị vào phương trình đầu ta nhận nghiệm: 746 2, 495 xx==− Vậy 746 13 ;;2 495 17 S ⎧⎫ =− ⎨⎬ ⎩⎭ Chú ý: • Từ phương trình ta suy ra hệ, nên khi giải ra nghiệm ta phải thử lại. • Phương pháp này chỉ hiệu quả trong việc giải phương trình, còn bất phương trình thì rất khó sử dụng. [...]... nghiệm chứa [ 0;1] 4) x 2 + mx + 2 = 2 x + 1 có 2 nghiệm phân biệt IV Phương trình bất phương trình chứa căn thức trong các kỳ thi đại học gần đây Bài 1 Giải bất phương trình ( x 2 − 3x ) 2 x 2 − 3x − 2 ≥ 0 (D – 2002) Bài 2 Giải bất phương trình 2 ( x 2 − 16 ) + x−3 > x−3 Bài 3 Xác định m để phương trình sau có nghiệm m ( 7−x (A – 2004) x−3 ) 1 + x2 − 1 − x2 + 2 = 2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2 Bài 4 Giải bất. ..ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình 3 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Vd11: Giải phương trình x − 2 + 10 − x = x 2 − 12 x + 40 Hướng dẫn Đặt: t = x − 2 + 10 − x , t > 0 ⇒ t2 = ( x − 2 + 10 − x ) ≤ (1 + 1 ) ( x − 2 + 10 − x ) = 16 2 BCS 2 2 ⇒ t... x2 Bài 4 Giải bất phương trình 5 x − 1 − x − 1 > 2 x − 4 (A – 2005) Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh http://trungtamquangminh.tk (B – 2004) S = [ 4; +∞ ) m ∈ ⎡ 2 − 1;1⎤ ⎣ ⎦ S = [ 2;10 ) 13 ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình Bài 5 2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4 (D – 2005) S = {3} Bài 6 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x 2 + mx + 2 = 2 x + 1 Bài 7 Giải phương trình (B – 2006)... 12 x + 40 Vậy S = {6} 4 Dùng khảo sát hàm số để biện luận phương trình, bất phương trình chứa tham số 3+ x + 6− x − Vd12: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: ( 3 + x )( 6 − x ) = m Hướng dẫn Điều kiện: x ∈ [ −3;6] Đặt t = 3 + x + 6 − x , x ∈ [ −3;6] t′ = 1 1 6− x − 3+ x − = 2 3 + x 2 6 − x 2 ( 6 − x )( 3 + x ) t′ = 0 ⇔ x = 3 ⇒t =3 2 2 Ta có: • x = −3 ⇒ t = 3 và t 2 = • x=6⇒t =3 ( 3+ x + 6− x ) 2 =9+2... giáo viên Toán TT Quang Minh http://trungtamquangminh.tk 11 ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình Xét t2 − 9 f (t ) = t − , t ∈ ⎡3;3 2 ⎤ ⎣ ⎦ 2 ( f ′ (t ) = 1 − t, ) f ( 3) = 3, f 3 2 = 3 2 − Bảng biến thiên: t 9 2 3 3 2 f ′(t ) – 3 f (t ) 3 2 − 9 2 9⎤ ⎡ Vậy m ∈ ⎢3;3 2 − ⎥ thì phương trình có nghiệm 2⎦ ⎣ BÀI TẬP RÈN LUYỆN I Giải các phương trình sau: x2 − x x2 − x + 2 − 2 =1 x2 − x + 1 x − x − 2 1) 2)... 11) ( ⎧1 + 5 ⎫ ⎪ ⎪ S =⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ 2 ⎭ 1 1 + 1− = x x x )( 1+ x −1 ) 1 − x +1 = 2x Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh http://trungtamquangminh.tk ⎧ 24 ⎫ S = ⎨− ;0 ⎬ ⎩ 25 ⎭ 12 ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình II Giải bất phương trình 3x − 2− x < 2 1) 2− x S = ( −∞;1) 2) 2x2 + 7 x − 4 1 < x+4 2 ⎛1 8⎞ S = ( −∞; −4 ) ∪ ⎜ ; ⎟ ⎝2 7⎠ 3) x + 2 + x + 3 − 2x + 4 > 0 S = [ −2; +∞ ) 4) x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4 x... 2 − 3x + 1 = 0 (D – 2006) S = 1; 2 − 2 { } Bài 8 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1 ( A – 2007) ⎛ 1⎤ m ∈ ⎜ −1; ⎥ 3⎦ ⎝ Bài 9 Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của m , phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x 2 + 2 x − 8 = m ( x − 2 ) (B – 2007) Bài 10: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt 4 2x + 2x + 2 . ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 1 http://trungtamquangminh.tk MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG. cách giải. Từ nghiệm của phương trình, bất phương trình mới ta suy ra nghiệm của phương trình, bất phương trình ban đầu. Chú ý: Phương trình, bất phương