Luận văn Đề tài: Dưới vi phân hàm lồi và ứng dụng LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện luận văn. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, ngày 15 tháng 8 năm 2010 Tác giả Nguyễn Thị Thanh LỜI CAM ĐOAN Tác giả xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm. Hà Nội, ngày 15 tháng 8 năm 2010 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Mục lục Mở đầu 1 1 Tập lồi và hàm lồi 3 1.1. Định nghĩa tập lồi và các tính chất . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Định nghĩa hàm lồi và các tính chất . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2. Các phép toán về hàm lồi . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3. Tính liên tục của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . 9 2 Dưới vi phân hàm lồi 12 2.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . 12 2.2. Một số phép toán dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . 19 3 Ứng dụng của dưới vi phân hàm lồi 25 3.1. Một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Tài liệu tham khảo 32 ii BẢNG KÍ HIỆU R n không gian Euclid n- chiều trên tập số thực R tập số thực (R = R 1 ) N tập số nguyên dương R = R ∪ {−∞, +∞} tập số thực suy rộng x =  n  i=1 x i 2 chẩn Euclid của x F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị từ X vào Y domf miền hữu hiệu của f epif trên đồ thị của f int Ω phần trong của Ω ri Ω phần trong tương đối của Ω cone Ω nón lồi sinh bởi Ω N(¯x, Ω) nón pháp tuyến của Ω tại ¯x f  (x; v) đạo hàm theo hướng của f tại x theo hướng v của f tại x theo hướng v ∂f(x) dưới vi phân của f tại x MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Những hàm số không khả vi xuất hiện thường xuyên và được biết đến từ lâu trong Toán học và các khoa học ứng dụng khác. Vì lý thuyết vi phân cổ điển không thể ứng dụng được cho việc khảo sát những đối tượng không khả vi, nên các lý thuyết vi phân suy rộng đã ra đời và đã được xây dựng. Lý thuyết vi phân suy rộng đầu tiên là lý thuyết vi phân suy rộng cho các hàm lồi. Với những cống hiến quan trọng của T. R. Rockafellar và một số nhà toán học khác, ngày nay Giải tích lồi đã trở thành một bộ phận quan trọng và đẹp đẽ của Giải tích toán học, góp phần giải quyết được nhiều bài toán trong thực tế ([1], [7]). Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về sự phát triển của phép tính vi-tích phân và ứng dụng của nó, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Dưới vi phân của hàm lồi và ứng dụng”. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu các kết quả đạt được về dưới vi phân của hàm lồi và một số ứng dụng vào bài toán tối ưu. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Việc nghiên cứu luận văn với nhiệm vụ hệ thống, làm rõ khái niệm dưới vi phân của hàm lồi và một số tính chất, từ đó trình bày ứng dụng của nó trong một số bài toán. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Dưới vi phân của hàm lồi và một số tính chất. - Ứng dụng của dưới vi phân hàm lồi. 2 5. Phương pháp nghiên cứu - Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến đề tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích, giải tích lồi, giải tích đa trị, tối ưu hoá. 6. Những đóng góp của đề tài -Trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về dưới vi phân của hàm lồi và một số tính chất. Nghiên cứu ứng dụng của dưới vi phân hàm lồi trong một số bài toán. Chương 1 Tập lồi và hàm lồi 1.1. Định nghĩa tập lồi và các tính chất Định nghĩa 1.1.1. Tập A ⊂ R n được gọi là lồi nếu ∀x, y ∈ A và ∀λ ∈ R: 0 ≤ λ ≤ 1 thì λx + (1 − λ)y ∈ A. Định lý 1.1.1. Giao của một họ tùy ý các tập lồi trong R n là một tập lồi trong R n Chứng minh. Giả sử A α ∈ R n (α ∈ I) là các tập lồi với I là tập chỉ số bất kì, ta cần chứng minh tập A = ∩ α∈I A α là lồi. Lấy tùy ý x 1 , x 2 ∈ A. Khi đó x 1 , x 2 ∈ A α , với ∀α ∈ I. Do A α là lồi cho nên λx 1 + (1 − λ)x 2 ∈ A α với ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx 1 + (1 − λ)x 2 ∈ A. Vì vậy A là tập lồi. Hệ quả 1.1. Cho b i ∈ R n ; β i ∈ R; i ∈ I với I là tập chỉ số tùy ý. Khi đó A = {x ∈ R n / x; b i  ≤ β i ; i ∈ I} là một tập lồi trong R n . Định lý 1.1.2. Giả sử A i ⊂ R n lồi; λ i ∈ R (i = 1, 2, , m). Khi đó λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + + λ m A m là lồi. Định nghĩa 1.1.2. Vectơ x ∈ R n được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ x 1 , , x m ∈ R n nếu ∃λ i ≥ 0 (i = 1, 2, , m) m  i=1 λ i = 1 sao cho x = m  i=1 λ i x i 3 4 Định lý 1.1.3. Một tập trong R n là lồi khi và chỉ khi nó chứa tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử của nó. A là tập lồi trong R n khi và chỉ khi: A = {x = m  i=1 λ i x i |x i ∈ A; m  i=1 λ i = 1; λ i ≥ 0; i = 1, m, ∀m ∈ N} Chứng minh. ⇐ / Chọn m = 2, hiển nhiên đúng. ⇒ / Ta chứng minh bằng quy nạp Giả sử A là tập lồi, ta lấy tùy ý x 1 , x 2 , , x m ∈ A; λ 1 , , λ m ≥ 0 và m  i=1 λ i = 1 ; x = m  i=1 λ i x i . Ta chứng minh x ∈ A m = 1 : x 1 ∈ A; λ 1 = 1 ⇒ x ∈ A m = 2 : x 1 , x 2 ∈ A; λ 1 + λ 2 = 1 mà A lồi suy ra x = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ∈ A Giả sử x ∈ A đúng với m − 1 , ta có m  i=1 λ i x i ∈ A; ∀x i ∈ A; m  i=1 λ i = 1; λ i ≥ 0; i ∈ N Xét x = m  i=1 λ i x i = m−1  i=1 λ i x i + λ m x m Với λ m = 0 ⇒ x ∈ A λ m = 1 ⇒ λ 1 = = λ m−1 = 0 ⇒ x = x m ∈ A Với 0 < λ < 1 ta có: 1 − λ m = λ 1 + + λ m−1 > 0 λ i 1 − λ m ≥ 0 (i = 1, , m − 1) Vì m−1  i=1 λ i 1−λ m = 1 nên theo giả thiết quy nạp y = m−1  i=1 x i ∈ A Với y ∈ A và x m ∈ A ta có 1 − λ m > 0 và (1 − λ m ) + λ m = 1 ⇒ x = (1 − λ m )y + λ m x m ∈ A 5 1.2. Định nghĩa hàm lồi và các tính chất 1.2.1. Hàm lồi Định nghĩa 1.2.1. Cho hàm f : S → R, trong đó S ⊂ R n ; R = R ∪ {−∞, +∞}, các tập dom f = {x ∈ S| f(x) < +∞} , epi f = {(x, α) ∈ S × R| f(x) ≤ α} , được gọi lần lượt là miền hữu hiệu và trên đồ thị của hàm f. Định nghĩa 1.2.2. Hàm f : S → R được gọi là lồi nếu trên đồ thị của nó là một tập lồi trong S × R. Nếu dom f = ∅ và f(x) > −∞ với mọi x ∈ S ta nói hàm f là chính thường. Ví dụ 1.2.1. a) Hàm f : R → R f(x) = x 2 epi f =  (x; µ) ∈ R × R; f(x) = x 2 ≤ µ  là tập lồi trong R × R ⇒ f là hàm lồi. b) Hàm f : R → R f(x) = x 3 không là hàm lồi vì epi f =  (x; µ) ∈ R × R; f(x) = x 3 ≤ µ  không lồi trong R × R Ví dụ 1.2.2. Hàm chỉ δ(./A) của tập lồi A ⊂ R n là hàm lồi δ(x/A) :=  0 khi x ∈ A +∞ khi x /∈ A [...]... dưới vi phân hàm lồi Ví dụ 2.1.5 Cho f : Rn → R là một hàm thuần nhất dương, nghĩa là một hàm lồi f : Rn → R thỏa mãn f (λx) = λf (x), λ > 0 Khi đó ∂f (x0 ) = {x∗ ∈ Rn | x∗ , x0 = f (x0 ), x∗ , x ≤ f (x), ∀x} (2.2) 15 Thật vậy, sử dụng dưới vi phân hàm lồi ta tính dưới vi phân của hàm trên Lấy x∗ ∈ ∂f (x0 ) nên f (x) − f (x0 ) ≥ x∗ , x − x0 Lấy x = 2x0 có x∗ , x0 ≤ f (x0 ) Sau đó lấy x = 0 thay vào... chứng minh cho tính Lipschitz của f trên C (iv) ⇒ (v) và (v) ⇒ (i) : là rõ ràng Chương 2 Dưới vi phân hàm lồi 2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản Định nghĩa 2.1.1 Cho f là hàm lồi chính thường trên Rn ; vectơ x∗ ∈ Rn được gọi là vectơ dưới gradient của f tại điểm x0 nếu f (x) − f (x0 ) ≥ x∗ , x − x0 ∀x ∈ Rn (2.1) Tập tất cả các dưới gradient của f tại x0 được gọi là dưới vi phân của f tại x0 và. .. số phép toán dưới vi phân Cho hàm f : Rn → R lồi, chính thường và λ > 0, ta có ∂(λf )(x) = λ∂f (x) Thật vậy với x ∈ domf , do f lồi, chính thường và λ > 0 thì λf 20 cũng là lồi, chính thường và x ∈ dom(λf ) Ta có (λf ) (x, ) = λf (x, ) Từ định lý 2.2.1 suy ra ∂(λf )(x) = λ∂f (x) Nếu x ∈ domf thì ∂(λf )(x) = λ∂f (x) = ∅ / Ta sử dụng định lý sau cho vi c chứng minh các phép toán của dưới vi phân Định lý... là hàm lồi và liên tục trên R, thì ánh xạ dưới vi phân của nó là đơn điệu cực đại Chứng minh Để chứng minh ∂f là cực đại theo định nghĩa ta sẽ chứng minh rằng với y, y ∗ ∈ R mà y ∗ ∈ ∂f (y), thì tồn tại x ∈ R và x∗ ∈ ∂f (x) / thỏa mãn y ∗ − x∗ , y − x < 0 Để đơn giản chứng minh ta có thể thay thế f bởi hàm lồi liên tục g được xác định bởi g(x) = f (x + y) − y ∗ , x Ta thấy rằng khi x∗ ∈ ∂g(x) nếu và. .. r1 + r2 Mà f là hàm thuần nhất dương nên nếu (x, r) ∈ epi f thì f (x) ≤ r và λf (x) = f (λx) ≤ λr (0 < λ < ∞) ⇒ λ(x, r) ∈ epi f Vậy epi f đóng đối với phép cộng và phép nhân vô hướng Suy ra: λ(x1 , r1 ) + (1 − λ)(x2 , r2 ) ∈ epi f (với ∀λ ∈ [0; 1]) Nên epi f là lồi, suy ra f là hàm lồi 1.2.2 Các phép toán về hàm lồi Định lý 1.2.4 Cho f là một hàm lồi f : Rn → (−∞; +∞] và ϕ là một hàm lồi ϕ : R → (−∞;... mỗi hướng u ∈ Rn và thỏa mãn f (x0 + λu) − f (x0 ) λ>0 λ f (x0 , u) = inf (2.4) ii) Hàm u → f (x0 , u) là lồi và thuần nhất dương và x∗ ∈ ∂f (x0 ) nếu và chỉ nếu x∗ , u ≤ f (x0 , u), ∀u ∈ Rn (2.5) iii) Nếu f là liên tục tại x0 thì f (x0 , u) là hữu hạn và liên tục tại mỗi u ∈ Rn , dưới vi phân ∂f (x0 ) là compact và f (x0 , u) = max { x∗ , u | x∗ ∈ ∂f (x0 )} (2.6) 18 Chứng minh (i) Chứng minh tồn tại... Rn → R f là hàm lồi khi và chỉ khi f (λx + (1 − λ)y) < λr + (1 − λ)s (∀λ ∈ (0; 1); ∀x, y : f (x) < r; f (y) < s) Định nghĩa 1.2.3 Một hàm f xác định trên Rn được gọi là thuần nhất dương nếu f (λx) = λf (x) với ∀x ∈ Rn ; ∀λ > 0 Định lý 1.2.3 Hàm thuần nhất dương f : Rn → (−∞; +∞] là lồi khi và chỉ khi f (x + y) ≤ f (x) + f (y) (∀x, y ∈ Rn ) (1.3) 8 Chứng minh ⇒ / Hàm thuần nhất dương f là lồi Lấy x,... h được gọi là hàm non đúng của f tại x0 nếu h(x) ≤ f (x) với ∀x và h(x0 ) = f (x0 ) Bổ đề 2.1 Với một hàm lồi chính thường bất kì luôn tồn tại hàm non afin Nếu x0 ∈ int(domf ) thì tồn tại hàm non afin đúng của f tại x0 Định lý 2.1.2 Cho f là hàm lồi chính thường trong Rn Với bất kì tập bị chặn C ⊂ int(domf ) thì tập ∪ ∂f (x) là khác rỗng và bị chặn Đặc x∈C biệt ∂f (x0 ) là khác rỗng và bị chặn tại... = ϕ(f (x)) cũng lồi Chứng minh Với ∀x1 , x2 ∈ Rn ; λ ∈ (0; 1) h((1 − λ)x1 + λx2 ) = ϕ(f (1 − λ)x1 + λx2 ) ≤ ϕ((1 − λ)f (x1 ) + λf (x2 )) ≤ (1 − λ)ϕ(f (x1 )) + λϕ(f (x2 )) ≤ (1 − λ)h(x1 ) + λh(x2 ) (do f lồi và ϕ không giảm) Từ đó suy ra h lồi Định lý 1.2.5 Cho fi (i = 1, , m) là hàm lồi chính thường trên Rn khi đó f1 + f2 + + fm là một hàm lồi trên Rn 9 Ví dụ 1.2.3 Cho 0 x∈A f1 = lồi chính thường... một dưới gradient của f tại điểm x0 nếu và chỉ nếu tồn tại α ∈ R sao cho hàm affine x → x∗ , x + α không trội hơn f khắp nơi và bằng f (x0 ) tại điểm x0 Định lý 2.1.1 Cho f : Rn → R là lồi và x ∈ domf , thì f (x) = min f (x) ⇔ 0 ∈ ∂f (x) n x∈R Chứng minh Thật vậy, do f đạt cực tiểu tại x ∈ domf nên f (x) − f (x) ≥ 0 ⇔ f (x) − f (x) ≥ 0, x − x ⇔ 0 ∈ ∂f (x) Định nghĩa 2.1.2 Hàm afin h được gọi là hàm . bản về dưới vi phân của hàm lồi và một số tính chất. Nghiên cứu ứng dụng của dưới vi phân hàm lồi trong một số bài toán. Chương 1 Tập lồi và hàm lồi 1.1 niệm dưới vi phân của hàm lồi và một số tính chất, từ đó trình bày ứng dụng của nó trong một số bài toán. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Dưới vi phân