HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam BÀI 6 DẠNG MA TRẬN CỦA TOÁN TỬ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Trong Đại số tuyến tính, mỗi toán tử (hay ánh xạ tuyến tính) đều được biểu diễn bởi một ma trận, nếu trong các không gian vector đã cho sẵn các cơ sở. Trong Đại số tuyến tính, mỗi toán tử (hay ánh xạ tuyến tính) đều được biểu diễn bởi một ma trận, nếu trong các không gian vector đã cho sẵn các cơ sở. 1. Các phần tử ma trận của một toán tử Trước hết, ta xét một toán tử M ˆ tác dụng trong không gian các hàm ψ với biến vector r  Trường hợp tổng quát được xét tương tự mà không có khó khan gi. Gia sử mỗi hàm ψ đều có thể viết được dưới dạng: (6.1) n n c ψ ψ = ∑ Cách biểu diễn tương tự cũng có thể thực hiện với toán tử trên các không gian hàm; chỉ có điều ở đây ma trận sẽ có cấp vô hạn. Cách biểu diễn tương tự cũng có thể thực hiện với toán tử trên các không gian hàm; chỉ có điều ở đây ma trận sẽ có cấp vô hạn. HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Dễ thấy toán tử vector thoả mãn yêu cầu trên, chính là toán tử trong đó 1 2 , , ψ ψ là các hàm cho trước thoa mãn điều kiện trực giao ψ . Khi đó, số phức được gọi là phần tử ma trận giua hai trạng thái m ψ và n ψ và ký hiệu là: nMm nMm và chuẩn hoá, còn c 1 , c 2 , xác định theo Như vậy: dvrMr nm )( ˆ )( *  ψψ ∫ dvrMr nm )( ˆ )( *  ψψ ∫ (6.2) dvrMrnMm nm )( ˆ )( *  ψψ ∫ = (6.2) dvrMrnMm nm )( ˆ )( *  ψψ ∫ = HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bây giờ ta sẽ thể hiện tác động của toán tử bởi các phần tử ma trận. Giả sử ˆ (6.3) n n n n n n M c d ψ ψ   =  ÷   ∑ ∑ hay ˆ (6.4) n n n n n n c M d ψ ψ = ∑ ∑ Nhân 2 vế của (6.4) với * m ψ lấy tích phân theo toàn bộ không gian và chú ý đến điều kiện chuẩn hoá ta có: ∑∑ ∫ = n mnn n nmn ddvMc δψψ ˆ * hay: (6.5) n n n m M n c d= ∑ ĐÂY CHÍNH LÀ CÔNG THỨC THỂ HIỆN TÁC ĐỘNG CỦA QUA CÁC PHẦN TỬ MA TRẬN. M ˆ mnnm dvrr δψψ = ∫ )()( *  HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bây giờ ta xét trường hợp khi mọi hàm ψ đều khai triển được dưới dạng: trong đó tích phân lấy theo một tập hợp liên tục của không gian biến λ và các hàm ),( r  λψ cũng thoa mãn điều kiện chuẩn hoá: )(),(),( * µλδµψλψ −= ∫ dvrr  (6.6) λλψλψ drcr ),()()(  ∫ = HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam và : (6.9) µµψµψ drdrM ),()()( ˆ  ∫ = (6.10) )()( µλλλµ ddcM = ∫ thì Tác động của M ˆ thể hiện dưới dạng ma trận như sau: nếu (6.8) λλψλψ drcr ),()()(  ∫ = Khi đó, phần tử ma trận của toán tử M ˆ giua hai trạng thái λ ψ và µ ψ là: (6.7) dvrMrM ),( ˆ ),( *  µψλψµλ ∫ = HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Tính hermitic ở dạng ma trận M ˆ ∑ = n nn c ψψ Gia sử là toán tử hermitic và với mỗi ψ đều có trong đó , 21 ψψ ( ) . ˆ * * * dvMnMm nm ψψ ∫ = Như vậy, từ tính hermitic của M ˆ suy ra: (6.11) mMnnMm = * ( ) . ˆˆ * * ∫ ∫ === mMndvMdvM mnmn ψψψψ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Ngược lại, nếu (6.11) đúng với mọi m, n thi M ˆ là toán tử hermitic. λλψλψ drcr ),()()(  ∫ = thi điều kiện hermitic tương đương với đẳng thức )(6.11' µλλµ MM = * Dối với trường hợp HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1.Dạng ma trận của một số toán tử đặc biệt ( ) ψψ =E , ta có: (6.12) ∫ ==≡ mnnm dvnEmnm δψψ * cho khai triển (6.1), và: )(6.12' ∫ −==≡ )( * λµδψψλµλµ λµ dvE cho khai triển (6.6). Trước hết, với toán tử đơn vị E (6.1) n n c ψ ψ = ∑ (6.6) λλψλψ drcr ),()()(  ∫ = Bây giờ gia sử , , 21 ψψ là các hàm riêng của toán tử L ˆ . Xét dạng ma trận của chính L ˆ . Ta có: (6.13) mmnnnnmnm dvdvLnLm λδλψλψψψ ==== ∫∫ ** ˆ [...]... chuyển cơ sở khai triển Bây giờ ta gia sử trong không gian các hàm ψ có hai cơ sở (hai hệ đầy đủ) trực chuẩn: ( ( ψ 1(1) ,ψ 21) , ,ψ n1) , và Ký hiệu m M n (6. 16) ( ( ψ 1( 2) ,ψ 22) , ,ψ n2) , (6. 17) (1) và p M q (2 ) lần lượt là phần tử ma trận tổng quát của ˆ M theo hệ (6. 16) và hệ (6. 17) Ta cần tim cách biểu diễn p M q (2 ) qua các phần tử mM n Vì mọi hàm đều có thể khai triển qua hệ (6. 16) nên... chính các phần tử ma trận của toán tử chứ không phải bản thân các toán tử, được dùng để mô tả các đại lượng vật lý Với các phần tử ma trận, năm 1925 Werner Heisenberg – một trong những nhà phát minh và nhà tư tưởng lỗi lạc của thế kỷ XX - đã xây dựng nên Cơ học ma trận”, phương án ban đầu của Cơ học lượng tử Thành công này đã đem lại cho Werner Heisenberg giải thưởng Nobel năm 1932 HONG DUC UNIVERSITY... m M nn ∑ pm qnqn m M pm ( 2) ( 2) (1) (1) m,n m ,n (6. 19) (6. 19) Dây chính là công thức cần tim LÀ CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CÁC PHẦN TỬ MA TRẬN KHI CHUYỂN CƠ SỞ KHAI TRIỂ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 5 Biểu diễn giá trị trung bình qua các phần tử ma trận Ta viết lại công thức tính giá trị trung binh của một đại lượng: ˆ M = ∫ψ * Mψdv Với ta có: ψ = ∑ c nψ n n * ˆ... cm cn m M n (6. 20) m,n ˆ ψ 1 ,ψ 2 , các hàm riêng của L là * L = ∑ c m c n mδ mn (và lập thành một hệ đầy đủ) thi: Dặc biệt, nếu tức là: L = ∑ n cn n 2 m,n HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam TIỂU LUẬN ˆ Tim công thức cho trường hợp L có phổ liên tục HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Chú thích lịch sử Khi Cơ học lượng tử bắt... các hàm riêng ψ λ , λ ∈ S thi µ L λ = λδ ( µ − λ ) = µ (6. 14) Như vậy, có thể nói (theo thuật ngu Dại số) là khi chọn cơ sở khai triển ˆ L là các hàm riêng của chính L thi ma trận của toán tử ˆ có dạng đường chéo, với các phần tử đường chéo là các trị riêng của L   ˆ Ví dụ, cho toán tử xkhi cơ sở khai triển là các hàm δ (r − r0 ) ˆ x x x' = x (6. 15) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City,... và hệ (6. 17) Ta cần tim cách biểu diễn p M q (2 ) qua các phần tử mM n Vì mọi hàm đều có thể khai triển qua hệ (6. 16) nên mỗi hàm của hệ (6. 17) cũng thế, tức là ta có: (1) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ψ k( 2 ) = ∑ aklψ l(1) (6. 17) k Từ đó:   ˆ ( (  ˆ ( ψ (p2 )* Mψ q1) dv = ∫  ∑ a * ψ m1)*  M  ∑ aqnψ n1) dv = pm ∫ m    n    ( ˆ (  = ∫  ∑ a * ψ . (6. 16) và hệ (6. 17). Ta cần tim cách biểu diễn )(2 qMp qua các phần tử )(1 nMm Vì mọi hàm đều có thể khai triển qua hệ (6. 16) nên mỗi hàm của hệ (6. 17). minh và nhà tư tưởng lỗi lạc của thế kỷ XX - đã xây dựng nên Cơ học ma trận”, phương án ban đầu của Cơ học lượng tử. Thành công này đã đem lại cho Werner