HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam BÀI 3: CÁC TOÁN TỬ TOẠ ĐỘ, XUNG LƯỢNG VÀ NĂNG LƯỢNG HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Ta bắt đầu từ việc xây dựng các toán tử cho các đại lượng cơ bản nhất, đặc trưng cho một hạt: đó là các toán tử toạ độ, xung lượng và năng lượng. Ta bắt đầu từ việc xây dựng các toán tử cho các đại lượng cơ bản nhất, đặc trưng cho một hạt: đó là các toán tử toạ độ, xung lượng và năng lượng. Có nhiều cách khác nhau để xác định toán tử xung lượng, và kết quả thực chất là dẫn đến một toán tử duy nhất. Xin điểm qua tinh thần của một vài cách. 1. Toán tử xung lượng Cách thứ nhất: Có thể xác định toán tử xung lượng xuất phát từ các hệ thức tương tự như các hệ thức cho các “móc Poisson” trong Cơ học giải tích cổ điển. Cách thứ hai: Có thể xuất phát từ yêu cầu: tính bảo toàn của xung lượng đối với hệ kín HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Cách thứ ba: xuất phát từ ý tưởng liên quan đến công thức (1.1). Cụ thể, ta sẽ coi toán tử xung lượng là toán tử vector p ˆ  gồm 3 thành phần x p ˆ , y p ˆ , z p ˆ sao cho p ˆ  nhận mọi vector ),,( zyx pppp  làm trị riêng, và các hàm riêng tương ứng là: ( ) . (3.1) i pr p r C e ψ =  h   trong đó C không phụ thuộc x, y, z. Dễ thấy toán tử vector thoả mãn yêu cầu trên, chính là toán tử trong đó ∇  là toán tử vector với 3 thành phần , , x y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Thật vậy, ta có: )(.)( )( rpe x Cir x i px zpypxp i p zyx        ψ ψ = ∂ ∂ −= ∂ ∂ − ++ và tương tự với 2 thành phần còn lại. Từ đó suy ra: )(.)( ˆ rprp pp   ψψ = ˆ (3.2)p i = − ∇   h toán tử vector thoả mãn yêu cầu trên, chính là toán tử (3.2) LÀ TOÁN TỬ XUNG LƯỢNG CẦN TÌM CHÚ Ý: NẾU CÒN PHỤ THUỘC CẢ VÀO THỜI GIAN t THÌ SỰ PHỤ THUỘC ĐÓ SẼ ĐƯỢC THỂ HIỆN QUA HỆ SỐ C (C KHÔNG PHỤ THUỘC X, Y, Z). HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Hàm Dirac Muốn xác định các toán tử toạ độ, ta cần đến khái niệm về một hàm số đặc biệt gọi là hàm Dirac (do Paul Dirac nêu ra). Với mỗi số dương p, xét hàm số trên trục số sao cho: )(xf p (i) )(xf p = 0 khi px −≤ hoặc px ≥ (i i) )(xf p tang trên khoang (-p; 0) và giam trên (0; p); . ∫ − = p p p dxxf 1)( (iii) Ngoài ra yêu cầu dx xdf p )( hay )( ' xf p tồn tại với mọi x. Đồ thị của hàm số này có dạng như hình 1 HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Diện tích hình được gạch chéo bằng 1. x 0 )(xf p Khi cho 0 → p , hàm số )(xf p tiến đén một hàm đặc biệt (hàm Dirac trên trục số):    =∞+ ≠ = 0 0,0 )( x x x nÕu, nÕu δ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Ta quy ước: 1)(lim)(lim)()( 00 ∫∫∫∫ + − → +∞ ∞− → + − +∞ ∞− ==== p p p p p p dxxfdxxfdxxdxx α α δδ Ngoài ra, quy ước thêm: )()()( 00 xfdxxfxx ∫ +∞ ∞− =− δ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Chú ý: Dịnh nghiã chính xác của hàm Dirac có thể tim trong các tài liệu về hàm suy rộng. được định nghĩa như giới hạn của tích )()()( zfyfxf ppp khi 0 → p . Ta cũng có thể viết: ( ) ( ) ( ) ( ) (3.1)r x y z δ δ δ δ =  Tuy nhiên, ở đây ta không cần chính xác hoá ở mức quá cao. Ngoài ra, chính định nghĩa kiểu “sơ khai” như trên có vẻ đẹp riêng và mang “tính lãng mạn Dirac”. Tiếp theo, hàm Dirac trong không gian 3 chiều )(r  δ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam và :    =∞+ ≠ = 0 0,0 )( r r r    nÕu, nÕu δ đồng thời quy ước: ( ) 1 (3.2)r dv δ = ∫  v à 0 0 ( ) ( ) ( ) (3.3)r r f r dv f r δ +∞ −∞ − = ∫   TRONG (3.2) VÀ (3.3) NÓI ĐẾN TÍCH PHÂN 3 LỚP TRÊN TOÀN BỘ KHÔNG GIAN HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 3. Toán tử toạ độ Một cách tự nhiên, nếu một hạt có vị trí xác định 0 r  thi trường tương ứng chỉ được phép khác 0 tại 0 r  và do đó, hàm trường hay hàm trạng thái của hạt phai là )( 0 rr  − δ . Như vậy, toán tử toạ độ là toán tử vector r ˆ  với 3 thành phần zyx ˆ , ˆ , ˆ sao cho r ˆ  nhận mọi vector 0 r  làm trị riêng, và hàm riêng tương ứng là )( 0 rr  − δ : 0 0 0 ˆ ( ) ( ) (3.4)r r r r r r δ δ − = −       HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Do )( 0 rr  − δ = 0 nếu 0 rr  ≠ , nên luôn có )()( 000 rrrrrr  −=− δδ Từ đó suy ra: toán tử r ˆ  chính là phép nhân hàm số với biến vector r  và mỗi thành phần của toán tử là phép nhân với biến toạ độ tương ứng. ˆ ˆ ψψ ψψ xx rr = =  Nhận xét: Một lần nua ta lại đối mặt với tính bất định, ở đây là sự bất định về vị trí. Hạt có vị trí tại 0 r  khi và chỉ khi hàm trạng thái là )( 0 rr  − δ Nếu hàm trạng thái không phai là hàm Dirac thi hạt không ở đâu ca. Mặt khác trong trạng thái với hàm trường ψ thi hạt có TIỀM NANG xuất hiện tại bất kỳ điểm nào mà 0 ≠ ψ . [...]... x3 = z; p1 = p x ; p 2 = p y ; p3 = p z thi:   ˆ ˆ  xi , x j = 0  ˆ ˆ  pi , p j = 0   x , p = 0 ˆi ˆ j   i  [ [ [ ] ] ] (3. 8) nÕu i ≠ j nÕu i = j HONG DUC UNIVERSITY 30 7 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 5 Toán tử năng lượng Trong cơ học cổ điển, động năng T liên hệ với xung lượng bởi công thức: p2 T= 2m Theo nguyên lý Bohr, hệ thức trên phải được giữ nguyên trong Cơ học lượng. .. xung lượng CŨNG GIAO HOÁN với nhau HONG DUC UNIVERSITY 30 7 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bây giờ ta xét tương quan giữa một thành phần của toán tử xung lượng và một toán tử toạ độ Ta có: ∂ ∂ψ  ∂ψ    ( xψ ) = −i ψ + x  = −i ψ + x. − i  − i ∂x ∂x  ∂x    tức là: ˆ ˆ ˆ ˆ p x ( xψ ) − x( p xψ ) = −i ψ và tương tự ˆ ˆ ˆˆ p x x − xp x = −i ˆ ˆ ˆˆ p y y − yp y = −i (3. 5) (3. 6)... rất nhiều bài toán có thể giai với độ chính xác cao, khi xem trường ngoài này là trường cổ điển, tức là hàm của điểm Khi đó, toán tử thế nang sẽ được xem như phép nhân hàm trạng thái ψ của hạt với hàm thế nang U(x, y, z): HONG DUC UNIVERSITY 30 7 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam    ˆψ (r ) = U (r )ψ (r ) U (3. 10) Như vậy, toán tử năng lượng toàn phần sẽ là: ˆ = −  ∆ +U ˆ H 2m (3. 11) ˆ... =− ∆ 2m ) (3. 9)  ∂2 ∂2 ∂2  ∆= 2 + 2 + 2  ∂x ∂y ∂z    là toán tử Laplace HONG DUC UNIVERSITY 30 7 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bây giờ xét trường hợp hạt ở trong một trường khác Khi đó, toán tử nang ˆ ˆ lượng toàn phần phai bằng tổng của T với toán tử thế nang U Nói một cách khác chặt chẽ hơn thi trường ngoài tác dụng lên hạt mà ta đang nghiên cứu cũng phai được lượng tử hoá... ˆ ˆ ˆˆ p x x − xp x = −i ˆ ˆ ˆˆ p y y − yp y = −i (3. 5) (3. 6) ˆ ˆ ˆˆ p z z − zp z = −i hay: (3. 7) Như vậy, toán tử của một toạ độ và thành phần xung lượng tương Như vậy, toán tử của một toạ độ và thành phần xung lượng tương ứng không giao hoán với nhau ứng không giao hoán với nhau HONG DUC UNIVERSITY 30 7 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Các kết quả trên có thể diễn đạt như sau Với... (r )ψ (r ) U (3. 10) Như vậy, toán tử năng lượng toàn phần sẽ là: ˆ = −  ∆ +U ˆ H 2m (3. 11) ˆ với U là toán tử xác định bởi (3. 10) HONG DUC UNIVERSITY 30 7 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Việc chấp nhận hệ thức (3. 11) HỢP LÝ ĐẾN MỨC NÀO, Việc chấp nhận hệ thức (3. 11) HỢP LÝ ĐẾN MỨC NÀO, điều đó chỉ có thể được quyết định bởi việc đối chiếu các điều đó chỉ có thể được quyết định bởi việc... quả lý thuyết với các số liệu thực nghiệm MÔ HÌNH KẾT QUẢ LÝ THUYẾT THỰC NGHIỆM HỢP LÝ ĐẾN MỨC NÀO?????? HONG DUC UNIVERSITY 30 7 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Cho đến nay, quan điểm xây dựng toán tử năng lượng như Cho đến nay, quan điểm xây dựng toán tử năng lượng như vậy nói chung vẫn cho những kết quả với độ chính xác “đủ vậy nói chung vẫn cho những kết quả với độ chính xác “đủ dùng”...HONG DUC UNIVERSITY 30 7 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 4 Các hệ thức giao hoán đối với các toán tử thành phần xung lượng và toạ độ Với ψ là hàm tuỳ ý, ta có: xyψ = yxψ Từ đó suy ra xy = yx ˆˆ ˆ ˆ nói một cách khác, hai toán tử toạ độ khác nhau thi GIAO HOÁN với... dùng” Còn nếu muốn có các kết quả lý thuyết chính xác hơn nữa Còn nếu muốn có các kết quả lý thuyết chính xác hơn nữa ta cần dùng một lý thuyết “cao hơn” lý thuyết trường lượng ta cần dùng một lý thuyết “cao hơn” lý thuyết trường lượng tử tử . thời quy ước: ( ) 1 (3. 2)r dv δ = ∫  v à 0 0 ( ) ( ) ( ) (3. 3)r r f r dv f r δ +∞ −∞ − = ∫   TRONG (3. 2) VÀ (3. 3) NÓI ĐẾN TÍCH PHÂN 3 LỚP TRÊN TOÀN BỘ. UNIVERSITY 30 7 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam BÀI 3: CÁC TOÁN TỬ TOẠ ĐỘ, XUNG LƯỢNG VÀ NĂNG LƯỢNG HONG DUC UNIVERSITY 30 7 Le Lai Str.