Cho ( ) 1 , i a i n = dương. Tìm GTNN của 1 1 1 1 n n n i i i i n n n i i i i a a M a a = = = = = + ∏ ∑ ∑ ∏ GIẢI Ta có : 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 2 . n n n n n n n i i i i i i i i i i n n n n n n n n i i i i i i i i i i a a n a a a n n n M n n a a nana na = = = = = = = = = = − − + = + + ≥ + = ∏ ∏ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∏ ∏ ∏ Đẳn g t h ức xảy r a ( ) ; , 1, i j a a i j i j n ⇔ = ≠ = 2. Ta tách như sau: 1 1 1 1 1 1 B a b c abc abc α β  =+++ ++ + ++   Do vai trò a,b,c như nhau nên ta dự đoán GTNN của biểu thức đạt tại các biế n b ằng nhau. Đồn g t h ời t a chỉ c ần làm việc trên biế n a còn các biế n còn lại t ươn g t ự. Sau khi sử dụn g B ĐT Cauchy ta có dấu “=” x ảy r a ( ) 1 . 1 1 a abc a α α ⇔ = ⇒ = = = = Ta có lời g i ải n h ư sau: ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 2 . 2 . 2 . 9 B a b c a b c abc abc a b cabc  = + + + + + + + + ≥ + + + ≥  + +  Dấu “=” xảy r a 1 a b ⇔ c= = = Bài toán tổng quát: Cho ( ) 1 , 0 i a i n = > v à 1 n i i a n = ≤ ∑ . Tìm GTNN của 1 1 1 2 n n i i i i B a a = = = + ∑ ∑ GIẢI Ta có: 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 n nn n n n n n n i i i n i i i i i i i i i i i i i n B a a n a n n n n a a a a a = = = = = = = = =+ =++ ≥ + + ≥+= ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∏ ∏ ∑ Đẳn g t h ức xảy r a 1 2 . . . 1 n a a a ⇔==== . Bài toán 4: 1. Cho a,b,c dương và 1 a b c+ + = . Tìm GTLN của 3 3 3 A ab bc ac = + + + + + 2. Cho a,b,c dương và 3 a b c + + = . Tìm GTLN của 3 3 3 2 2 2 B a b b c c a = + + + + + GIẢI: 1.Sai lầm mà các bạn h ọc sinh hay mắc phải là sử dụn g B ĐT Cauchy trật đi ểm r ơi . 3 3 3 2 ( ).1.1 3 2 ( ).1.1 3 2 ( ).1.1 3 a b a b b c b c c a c a + + + ≤ + + + ≤ + + + ≤ www.vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online Sau khi sử dụn g B ĐT Cauchy như trên ta có dấu “=” xảy r a : 1 1 1 a b b c c a + = + = + = 3 2 a b c ⇒ + + = ( vô lí) Đầu tiên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 1 3 a b c = = = ( do tính đối x ứn g c ủa bài toán). Khi đó ta tính được 3 3 3 3 2 3 a b b c c a+ = + = + = . Nghĩ a là ta dung BĐT Cauchy sao cho dấu “=” xảy r a đạt được là 2 3 a b b c c a + = + = + = Từ đó ta có lời g i ải n h ư sau: 3 3 3 4 2 2 3 ( ). . 3 3 3 4 2 2 3 ( ). . 3 3 3 4 2 2 3 ( ). . 3 3 3 a b a b b c b c c a c a + + + ≤ + + + ≤ + + + ≤ ( ) 3 3 3 , , 2 4 9 18 4 3 a b c a b c a b + + +  ⇒ + ≤ =     ∑ Đẳn g t h ức xảy r a 1 3 a b c ⇔ = = = 2. Tươn g t ự ta giải n h ư sau: 3 3 3 2 6 (2 ).3.3 3 2 6 (2 ). 3.3 3 2 6 (2 ).3.3 3 a b a b b c b c c a c a + + + ≤ + + + ≤ + + + ≤ ( ) 3 3 3 , , 3 18 1 2 3 3 3 9 a b c a b c a b + + +  ⇒ + ≤ =     ∑ Đẳn g t h ức xảy r a 1 a b ⇔ c= = = BL1: Cho a,b,c dương và 3 2 a b c + + ≤ . Tìm GTNN của 2 2 2 1 1 1 A a b c a b c = + + + + + Bài toán tổng quát: Cho ( ) 1 , i a i n = dương và 1 2 n i i n a = ≤ ∑ . Tìm GTNN của 2 1 1 1 n n i i i i A a a = = = + ∑ ∑ BL2: Cho tam giác ABC. Tìm GTNN của , , , , 1 sin sin A B C A B C A A A = + ∑ ∑ BL3: 1.Cho a,b,c,d dương. Tìm GTNN của 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 3 3 a b c d A b c d a      = + + + +           2. Cho a,b,c,d dương. Tìm GTNN của a b c d b c d c d a a b d a b c S b c d c d a a b d a b c a b c d + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + + + + BL4: Cho a,b,c dương và 1 a b c+ + ≤ . Tìm GTNN của 2 2 2 1 1 1 2 2 2 81 A a b c ab bc ca = + + + + + ≥ Bài toán tổng quát: Cho ( ) 1 , i a i n = dương. Tìm GTNN của 2 1 , , 1 1 1 2. n n i i j i j i i j A a aa = ≠ = = + ∑ ∑ BL5: Cho a,b,c,d,e dương và 5 a b c d e + + + + = . Tìm GTLN của 5 5 5 5 5 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) S a b c d e b c a d e c d a b e d e a b c e a b c d = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + BL6: Cho 2 ; 6 ; 12 a b c ≥ ≥ ≥ . Tìm GTLN của 3 4 2 6 12 bc a ca b ab c S abc − + − + − = 3. Kĩ thuật Cauchy ngược dấu: Bài toán 1: Cho a,b,c dương và 3 a b c + + = .CMR: 2 2 2 3 1 1 1 2 a b c b c a + + ≥ + + + GIẢI Ta không thể dùng trực tiế p BĐT Cauchy với m ẫu số vì khi đó BĐT sẽ đổi c h i ều: 2 2 3 ? ? 1 1 1 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a + + ≤ + + ≥ + + + Để giải bài toán này ta sẽ dùng một ý tưởn g t ừ một đẳn g t h ức quen thuộc 1 1 1 2 − 2 = .BĐT cần c h ứn g minh tươn g đươn g v ới B ĐT sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 2 3 1 1 1 2 a b c a b c a b c b c a ab bc c a b c a − + − + − ≤ + + − + + + ⇔ + + ≤ + + + Ta sử dụn g B ĐT Cauchy dưới m ẫu số ta được: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 a b c ab bc c a ab bc ca ab bc c a b c a b c a   + + + + ≤ + + = + + ≤ =   + + +     Bài toán 2: Cho a,b,c dương . CMR: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b b c c a + + + + ≥ + + + GIẢI BĐT cần c h ứng minh tươn g đươn g v ới B ĐT sau: 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b c a b c a b b c c a ab bc ca a b c a b b c c a + + − + − + − ≤ + + − + + + + + ⇔ + + ≤ + + + Ta sử dụn g B ĐT Cauchy dưới m ẫu số: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ab bc ca ab bc ca a b c a b b c c a ab bc ca + + + + ≤ + + = + + + Bài toán 3: Cho a,b,c dương và 3 a b c + + = . CMR: 2 2 2 1 1 1 3 1 1 1 a b c b c a + + + + + ≥ + + + GIẢI BĐT cần c h ứng minh tươn g đươn g v ới B ĐT sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 3 1 1 1 a b c a b c a b c b c a a b b c c a b c a + + + + − + + − + + − ≤ + + + + + − + + + + + + ⇔ + + ≤ + + + Ta sử dụn g B ĐT dưới m ẫu số: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 3 3 3 1 1 1 2 2 2 2 2 a b c a b b c c a a b b c c a ab bc ca b c a + + + + + + + + + + + + + + ≤ + + = ≤ = + + + BL1: Cho a,b,c,d dương và 4 a b c d + + + = . CMR: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 a b c d b c d a + + + ≥ + + + + BL2: Cho a,b,c dương và 3 a b c + + = . CMR: 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 a b c a b b c c a + + ≥ + + + BL3: Cho a,b,c dương. CMR: 4 4 4 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 a b c a b c a b b c c a + + + + ≥ + + + Bài toán tổng quát: Cho a,b,c dương và n là số tự nhiên. CMR: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n a b c a b c a nb b nc c na n + + + + + + + + + + + + + ≥ + + + + BL4: Cho a,b,c,d dương và 4 a b c d + + + = . CMR: 2 2 2 2 1 1 1 1 4 1 1 1 1 a b c d b c d a + + + + + + + ≥ + + + + 2. Bất đẳng thức Bunhiacopski: a. Nhắc lại kiến thức cơ bản: Với 2 dãy số thực tuỳ ý 1 2 , , n a a a v à 1 2 , , n b b b ta có bất đẳn g t h ức: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 n n n n a a a b b b a b a b a b + + + + + + ≥ + + + v i ế t gọn : 2 2 2 1 1 1 . n n n i i i i i i i a b ab = = =   ≤     ∑ ∑ ∑ Đẳn g t h ức xảy ra khi và chỉ k h i ( ) 1 2 , , n a a a v à ( ) 1 2 , , n b b b là 2 bộ tỉ l ệ, nghĩ a là tồn t ại s ố thực k để ( ) 1 , i i a kb i n = ∀ = b. Các dạng suy biến của bất đẳng thức Bunhiacopski: 1. Dạng 1: Với 2 dãy số thực ( ) 1 2 , , n a a a v à ( ) 1 2 , , n b b b ta luôn có: ( ) 2 22 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . . . . . . n n n n a a a a a a b b b b b b + + + + + + ≥ + + + Đẳn g t h ức xảy r a 1 2 1 2 . . . n n a a a b b b ⇔ = = = 2. Dạng 2: Với 2 dãy số thực ( ) 1 2 , , n a a a v à ( ) 1 2 , , n b b b ta luôn có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 . . . . . . n n n n a a a b b b a b a b a b + + + + + + + ≥ + + + + + + Đẳn g t h ức xảy r a 1 2 1 2 . . . n n a a a b b b ⇔ = = = 3. Dạng 3: Với 2 dãy số thực ( ) 1 2 , , n a a a v à ( ) 1 2 , , n b b b ta luôn có: ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 . . . . . . n n n n n aa a a b a b a b a a a b b b   + + + + + + ≥ + + +     Đẳn g t h ức xảy r a 1 2 . . . n b b b ⇔ = = = Như ta đã biế t BĐT Cauchy có khá nhiều áp dụng nhưn g đối v ới m ột số bài toán thì lại khác nế u ta sử dụn g B ĐT Cauchy thì lời g i ải s ẽ rất dài dòng, trong khi đó ta sử dụn g B ĐT Bunhiacopski sẽ cho ta lời giải n g ắn g ọn, dễ hiểu. Cụ thể ta xét các bài toán sau: Bài toán 1: Cho a,b,c dương. CMR: 1. 2 2 2 a b c a b c b c a + + ≥ + + 2. 3 3 3 2 2 2 a b c a b c b c a + + ≥ + + GIẢI 1. C1: Ta sử dụn g B ĐT Cauchy ta có: 2 2 2 2 2 2 2 . 2 2 . 2 2 . 2 a a b b a b b b b c c b c c c c a a c a a + ≥ = + ≥ = + ≥ = ( ) ( ) 2 2 2 2 a b c a b c a b c a b c b c a ⇒ + + ≥ + + − + + = + + C2: Ta sử dụn g B ĐT Bunhiacopski. ( ) 2 2 2 2 a b c a b c a b c b c a a b c + + + + ≥ = + + + + 2. C1: Ta sử dụn g B ĐT Cauchy như sau: 3 3 2 3 3 2 3 3 2 2 . 2 2 . 2 2 . 2 a a ab ab a b b b b bc bc b c c c c ca ca c a a + ≥ = + ≥ = + ≥ = ( ) 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 a b c ab bc c a a b c a b c ab bc ca b c a ⇒ + + + + + ≥ + + ≥ + + + + + 3 3 3 2 2 2 a b c a b c b c a ⇒ + + ≥ + + C2: Ta sử dụn g B ĐT Bunhiacopski. ( ) 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 2 2 2 a b c a b c a b c a b c b c a ab bc ca ab bc ca + + + + = + + ≥ ≥ + + + + ( Do 2 2 2 1 a b c ab bc c a + + ≥ + + ) Bài toán 2: Cho a,b,c dương. CMR: 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b + + + + ≥ + + + GIẢI C1: Ta sử dụn g B ĐT Cauchy. 2 2 2 2 2 2 2 . 4 4 2 . 4 4 2 . 4 4 a b c a b c a b c b c b c a b c a b c a c a c a b c a b c a b a b + + + ≥ = + + + + + ≥ = + + + + + ≥ = + + 2 2 2 2 2 a b c a b c a b c a b c b c c a a b + + + + ⇒ + + ≥ + + − = + + + C2: Ta sử dụn g B ĐT Bunhiacopski ở dạng suy biế n 1. ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b c b c c a a b a b c + + + + + + ≥ = + + + + + NX: Từ cách giải thứ hai ta có thể chứng minh BĐT sau: ( ) ( ) 2 2 2 3 2 ab bc ca a b c b c c a a b a b c + + + + ≥ + + + + + BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 a b c ab bc ca a b c a b c ab bc ac b c c a a b a b c a b c a b c + + + + + + + + + + + ≥ = = + + + + + + + + + Bài toán 3: Cho a,b,c dương. CMR: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 a b b c c a a b c c a b + + + + + ≥ + + GIẢI C1: Ta sử dụn g B ĐT Cauchy. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 .4 4( ) 4 2 .4 4( ) 4 2 .4 4( ) a b a b c c a b c c b c b c a a b c a a c a c a b b c a b b + + + ≥ = + + + + ≥ = + + + + ≥ = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 8 4 4 a b b c c a a b c a b c a b c c a b + + + ⇒ + + ≥ + + − + + = + + C2: Ta sử dụn g B ĐT Bunhiacopski. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 a b c a b b c a c a b c c a b a b c + +   + + +   + + ≥ = + + + + Nhưng ta vẫn có trườn g h ợp sử dụn g B ĐT Cauchy nhanh hơn việc sử dụn g B ĐT Bunhiacopski. Bài toán 4: Cho a,b,c dương và 1 1 1 4 a b c + + = . CMR: 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c + + ≤ + + + + + + GIẢI C1: Ta có: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 4 4 ( ) ( ) 4( ) 4( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 4 4 ( ) ( ) 4( ) 4( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 4 4 ( ) ( ) 4( ) 4( ) a b a c a b a c a b b c a b b c a b b c a b b c a c b c a c b c a c b c   +     ≤ + = + + + + + + + +   +     ≤ + = + + + + + + + +   +     ≤ + = + + + + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 a b c a b c a b c a b b c c a   ⇒ + + ≤ + +   + + + + + + + + +   Mặt khác bằng cách tươn g t ự như trên ta chứng minh được 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 8a b b c c a a b c     + + ≤ + + = ⇒     + + +     đpcm. C2: Ta sử dụn g B ĐT Cauchy ở dưới m ẫu. 24 24 24 1 1 1 1 2 1 1 2 16 4 1 1 1 1 1 2 1 2 16 4 1 1 1 1 1 1 2 2 16 4 a b c a a b c a b c a bc a b c a b b c a b c ab c a b c a b c c a b c abc   = ≤ ≤ + +   + + + + +     = ≤ ≤ + +   + + + + +     = ≤ ≤ + +   + + + + +   1 1 1 1 4 4 4 4 1 2 2 2 16a b c a b c a b c a b c d   ⇒ + + ≤ + + + =   + + + + + +   Bài toán 5: Cho các số thực , , 1 x y z > thoả mãn 1 1 1 2 x y z + + = . CMR: 1 1 1 x y z x y z + + ≥ − + − + − GIẢI Á p d ụn g B ĐT Bunhiacopski dạng chuẩn ta có: 1 1 1 1 1 1 . 1 1 1 1 1 1 . 3 x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z − − − − + − + − ≤ + + + +   ⇔ − + − + − ≤ + + − + + = + +     BL1: Cho a,b,c dương. CMR: 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 a b c d b c d c d a d a b a b c + + + ≥ + + + + + + + + . + + + 2. Bất đẳng thức Bunhiacopski: a. Nhắc lại kiến thức cơ bản: Với 2 dãy số thực tuỳ ý 1 2 , , n a a a v à 1 2 , , n b b b ta có bất đẳn g. 12 a b c ≥ ≥ ≥ . Tìm GTLN của 3 4 2 6 12 bc a ca b ab c S abc − + − + − = 3. Kĩ thuật Cauchy ngược dấu: Bài toán 1: Cho a,b,c dương và 3 a b c + + = .CMR: