Chương 1: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Phần Nội dung Đạo hàm riêng cấp z = f(x,y) Đạo hàm riêng cấp cao z = f(x,y) Sự khả vi vi phân ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP Đạo hàm riêng cấp f(x, y) theo biến x (x0, y0) f ( x0 + ∆ x , y ) − f ( x0 , y ) ∂f fx′ ( x0 , y ) = ( x0 , y ) = lim ∆x→ ∂x ∆x (Cố định y0, biểu thức hàm biến theo x, tính đạo hàm hàm x0) Đạo hàm riêng cấp f theo biến y (x0, y0) f ( x0 , y + ∆ y ) − f ( x0 , y ) ∂f fy′ ( x0 , y ) = ( x0 , y ) = lim ∆y → ∂y ∆y Ý nghĩa đhr cấp Cho mặt cong S: z = f(x, y), xét f’x(a, b), với c = f(a, b) Xem phần mặt cong S gần P(a, b, c) Mphẳng y = b cắt S theo gt C1 qua P (C1) : z = g(x) = f(x,b) g’(a) = f’x(a, b) f’x(a, b) = g’(a) hệ số góc tiếp tuyến T1 C1 x = a f’y(a, b) hệ số góc tiếp tuyến T2 C2 ( phần giao S với mp x = a) y = b Các ví dụ cách tính 1/ Cho f(x,y) = 3x2y + xy2 Tính ′ fx (1,2) : ′ ′ fx (1,2), fy (1,2) cố định y0 = 2, ta có hàm biến f ( x , 2) = x + x ′ (1,2) = (6 x + x )′ |x =1 = 12 x + |x =1 = 16 ⇒ fx f(x,y) = 3x2y + xy2 ′ fy (1,2) cố định x0 = 1, ta có hàm biến f (1, y ) = 3y + y 2 ′ ⇒ fy (1,2) = (3y + y )′ |y = = (3 + y ) |y = = 2/ Tính f(x,y) = 3x2y + xy2 ′ ′ fx ( x , y ), fy ( x , y ) với (x, y) ∈ R2 ′ fx ( x , y ) Xem y hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo x ′ ( x , y ) = xy + y , ∀( x , y ) fx Áp dụng tính: ′ (1,2) = (6 xy + y ) |x =1, y =2 = 16 fx (Đây cách thường dùng để tính đạo hàm điểm) f(x,y) = 3x2y + xy2 ′ fy ( x , y ) Xem x hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo y ′ ( x , y ) = 3x + x y , ∀( x , y ) fy Áp dụng tính: ′ fx (1,2) = (3x + xy ) |x =1, y =2 = 2/ Tính ′ ′ fx (1,1), fy (1,1) với f(x, y) = xy ′ ( x , y ) = yx y −1, ∀x > fx 1−1 ′ ⇒ fx (1,1) = × = 1; y ′ fy ( x , y ) = x ln x , ∀x > ′ ⇒ fy (1,1) = ln1 = 10 ∂ f 2/ Cho f ( x , y ) = ln(2 x + 3y ) Tính (−1,1) ∂x 7∂y Đạo hàm f: lần theo x, lần theo y −1 7 ∂ f 6! (−1) (7 − 1)!2 (x, y ) = = 7 ∂x (2 x + 3y ) (2 x + 3y )  ∂ 7f  ∂ f ∂ (x, y ) =  ( x, y ) ÷ ∂x ∂y ∂y  ∂x  10 3   ∂ 7f  ∂ ∂ 6!  (x, y ) ÷ =  3 7÷ ∂y  ∂x ∂y  (2 x + 3y )   = 6!3 (−7)(−7 − 1)(−7 − 2)(2 x + 3y ) = −27 × 9!× 33 × (2 x + 3y ) −10 10 ∂ f (−1,1) = −27 × 9!× 33 ∂x 7∂y −10 SỰ KHẢ VI VÀ VI PHÂN (CẤP 1) f khả vi (x0, y0) tồn số A, B cho: f ( x0 + ∆ x , y + ∆ y ) − f ( x0 , y ) = A∆ x + B∆ y + o ( ρ ) o( ρ ) = o ( ∆x + ∆y ) VCB bậc cao ρ ∆x, ∆y → df ( x0 , y ) = A∆x + B∆y vi phân f (x0, y0) Điều kiện cần khả vi: f khả vi (x0, y0) f liên tục (x0, y0) f khả vi (x0, y0) f có đạo hàm riêng (x0, y0) ′ ′ fx ( x0 , y ) = A, fy ( x0 , y ) = B Vi phân hàm biến thường viết dạng: ′ ′ df ( x0 , y ) = fx ( x0 , y )dx + fy ( x0 , y )dy Điều kiện đủ khả vi: Cho f xác định miền mở chứa (x0, y0), đhr f’x, f’y liên tục (x0, y0) f khả vi (x0, y0) Các hàm sơ cấp thường gặp thỏa mãn điều kiện VD: cho f (x, y ) = x y tính df ( x , y ) ′ ′ df ( x , y ) = fx ( x , y )dx + fx ( x , y )dy = xy 3dx + 3x y 2dy Các cơng thức tính vi phân: hàm biến d (α f ) = α df , α ∈ R d (f ± g ) = df ± dg , d (f g ) = gdf + fdg Sau gom lai theo dx, dy  f  gdf − fdg d  ÷= g g  Vi phân hàm n biến: z = f ( x1, x , , xn ) ′ ′ ′ dz = fx1 dx1 + fx2 dx + + fxn dxn VI PHÂN CẤP CAO Vi phân cấp f vi phân df(x,y) xem dx, dy số (ta xét trường hợp đhr hỗn hợp nhau) Cách viết: d2f(x, y) = d(df(x, y)) ′ ′ ′ ′ d f = d ( fx dx + fy dy ) = d (fx )dx + d (fy )dy ′′ ′′ ′′ ′′ = (fxx dx + fxy dy )dx + (fyx dx + fyy dy )dy 2 ′′ ′′ ′′ d f ( x , y ) = fxx dx + 2fxy dxdy + fyy dy hay 2 ∂ f ∂ f ∂ f 2 d f ( x , y ) = dx + dxdy + dy ∂x∂y ∂x ∂y Công thức áp dụng x, y biến độc lập VÍ DỤ Tìm vi phân cấp 1, (0, 1) 2 x f (x, y ) = x y − y e x 2 x ′ ′ * fx = xy − y e , fy = x y − 3y e ′ ′ df (0,1) = fx (0,1)dx + fy (0,1)dy = −dx − 3dy x ′′ * fxx = y − y e , ′′ fyy = x − ye x x ′′ fxy = xy − 3y e ′′ ′′ ′′ * fxx = y − y 3e x , fxy = xy − 3y 2e x , fyy = x − 6ye x ′′ (0,1)dx + 2fxy (0,1)dxdy + fyy (0,1)dy ′′ ′′ d f (0,1) = fxx = dx + × (−3)dxdy − 6dy Công thức tổng quát cho vi phân cấp cao dnf = d(dn-1f ) Vi phân cấp n vi phân vi phân cấp (n – 1) (Chỉ áp dụng f biểu thức đơn giản theo x, y (thường hợp hàm sơ cấp với đa thức bậc x, y) Cơng thức hình thức: (trường hợp biến độc lập) n ∂  ∂  d f ( x , y ) =  dx + dy ÷ f ( x , y ) ∂y   ∂x n Trong khai triển nhị thức Newton, thay lũy thừa ∂ cấp đhr tương ứng f, lũy thừa dx, dy tính thường cụ thể: ∂  ∂  d f ( x , y ) =  dx + dy ÷ f ∂y  ∂x  2 2 ∂ f ∂ f ∂ f = dx + dxdy + dy ∂x∂y ∂x ∂y ∂  ∂  d f ( x , y ) =  dx + dy ÷ f ∂y   ∂x 3 3 ∂f ∂f ∂f ∂f 2 = dx + dx dy + dxdy + dy ∂x ∂x ∂y ∂x∂y ∂y Ví dụ Tính vi phân cấp dz = d (e Cách 1: z = f (x, y ) = e x+y x+y ) x+y x+y = e dx + e dy x+y = e (dx + dy ) ( d z = d (dz ) = d e = d (e x+y x+y (dx + dy ) )(dx + dy ) = e ( d z = d (d z ) = d e x+y x+y ) (dx, dy hằng) (dx + dy ) ) (dx + dy ) = e x+y (dx + dy ) Cách 2: f (x, y ) = e x+y 3 ∂f ∂f ∂f 2 ∂ f d z = dx + dx dy + dxdy + dy ∂x ∂x ∂y ∂ x∂ y ∂y 3 d z=e x+y ⇒d z=e ( dx x+y 2 + 3dx dy + 3dxdy + dy (dx + dy ) 3 ) ...Nội dung Đạo hàm riêng cấp z = f(x,y) Đạo hàm riêng cấp cao z = f(x,y) Sự khả vi vi phân ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP Đạo hàm riêng cấp f(x, y) theo biến x (x0, y0) f ( x0 + ∆ x ,... vi phân f (x0, y0) Điều kiện cần khả vi: f khả vi (x0, y0) f liên tục (x0, y0) f khả vi (x0, y0) f có đạo hàm riêng (x0, y0) ′ ′ fx ( x0 , y ) = A, fy ( x0 , y ) = B Vi phân hàm biến thường vi? ??t... − 6dy Công thức tổng quát cho vi phân cấp cao dnf = d(dn-1f ) Vi phân cấp n vi phân vi phân cấp (n – 1) (Chỉ áp dụng f biểu thức đơn giản theo x, y (thường hợp hàm sơ cấp với đa thức bậc x, y)