Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ========== PHẠM QUỐC KHÁNH TÍNH TOÁN VÀ ĐÁNH GIÁ CÁC TỔNG HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ========== PHẠM QUỐC KHÁNH TÍNH TOÁN VÀ ĐÁNH GIÁ CÁC TỔNG HỮU HẠN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn S p (n) = n  k=1 k p , L p (n) = n  k=1 (2k − 1) p , T p (n) = n  k=1 (−1) k k p , F p (n) = n  j=1 j!j p . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn & Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn S p (n) = n  k=1 k p , S 1 (n) = n(n + 1) 2 . S 2 (n) S 3 (n). S 2 (n). k 3 − (k −1) 3 = 3k 2 − 3k + 1 ⇔ 3k 2 = k 3 − (k − 1) 3 + 3k − 1. 3 n  k=1 k 2 = n  k=1 [k 3 − (k − 1) 3 + 3k − 1] = n  k=1 [k 3 − (k − 1) 3 ] + 3 n  k=1 k − n  k=1 1 = n 3 + 3 n(n + 1) 2 − n = n(n + 1)(2n + 1) 2 . S 2 (n) = n(n + 1)(2n + 1) 6 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn S 3 (n). k 4 − (k − 1) 4 = 4k 3 − 6k 2 + 4k − 1 ⇔ 4k 3 = k 4 − (k − 1) 4 + 6k 2 − 4k + 1. 4 n  k=1 k 3 = n  k=1 [k 4 − (k − 1) 4 + 6k 2 − 4k + 1] = n  k=1 [k 4 − (k − 1) 4 ] + 6 n  k=1 k 2 − 4 n  k=1 k + n = n 4 + 6S 2 (n) − 4S 1 (n) + n = n 4 + n(n + 1)(2n + 1) −2n(n + 1) + n. S 3 (n) = n 2 (n + 1) 2 4 . S p (n), p ∈ N, p ≥ 4. (a + b) p = p  i=0 C i p a p−i b i , C i p = p! i!(p − i)! . (k − 1) p = p  i=0 C i p k p−i (−1) i = k p − pk p−1 + p  i=2 C i p k p−i (−1) i , pk p−1 = k p − (k − 1) p + p  i=2 C i p k p−i (−1) i . k = 1, 2, , n, pS p−1 (n) = n p + p  i=2 C i p (−1) i S p−i (n) S p−1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn p S 4 (n) = 1 30 n(n + 1)(2n + 1)(3n 2 + 3n −1), S 5 (n) = 1 12 n 2 (n + 1) 2 (2n 2 + 2n −1), S 6 (n) = 1 42 n(n + 1)(2n + 1)(3n 4 + 6n 3 − 3n + 1), S 7 (n) = 1 24 n 2 (n + 1) 2 (3n 4 + 6n 3 − n 2 − 4n + 2), S 8 (n) = 1 90 n(n + 1)(2n + 1)(5n 6 + 15n 5 + 5n 4 − 15n 3 − n 2 + 9n −3), S 9 (n) = 1 20 n 2 (n + 1) 2 (n 2 + n −1)(2n 4 + 4n 3 − n 2 − 3n + 3). L p (n) = n  k=1 (2k − 1) p , p ∈ N ∗ . L 1 (n) = 1 + 3 + 5 + + (2n −1) = n 2 . p > 1 L p (n) = 1 p + 3 p + 5 p + + (2n −1) p = [1 p + 2 p + 3 p + 4 p + + (2n −1) p + (2n) p ] − [2 p + 4 p + 6 p + + (2n) p ] = S p (2n) − 2 p S p (n). L p (n) = S p (2n) − 2 p S p (n), S p (n) L 2 (n) = S 2 (2n) − 2 2 S 2 (n) = 4 3 n 3 − 1 3 n, L 3 (n) = S 3 (2n) − 2 3 S 3 (n) = 2n 4 − n 2 , L 4 (n) = S 4 (2n) − 2 4 S 4 (n) = 16 5 n 5 − 8 3 n 4 + 7 15 n, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn L 5 (n) = S 5 (2n) − 2 5 S 5 (n) = 16 3 n 6 − 20 3 n 4 + 7 3 n 2 , L 6 (n) = S 6 (2n) − 2 6 S 6 (n) = 64 7 n 7 − 16n 5 + 28 3 n 3 − 31 21 n, L 7 (n) = S 7 (2n) − 2 7 S 7 (n) = 16n 8 − 112 3 n 6 + 98 3 n 4 − 31 3 n 2 , L 8 (n) = S 8 (2n) − 2 8 S 8 (n) = 256 9 n 9 − 256 3 n 7 + 1568 15 n 5 − 496 9 n 3 + 127 15 n, L 9 (n) = S 9 (2n) − 2 9 S 9 (n) = 256 5 n 10 − 192n 8 + 1568 5 n 6 − 248n 4 + 381 5 n 2 . p ∈ N ∗ . P p (n) = n  k=1 k p (k + 1) 2 . P p (n) P p (n) = n  k=1 (k p+2 + 2k p+1 + k p ) = S p+2 (n) + 2S p+1 (n) + S p (n), S p (n) P 1 (n) = 1 4 n 4 + 7 6 n 3 + 7 4 n 2 + 5 6 n, P 2 (n) = 1 5 n 5 + n 4 + 5 3 n 3 + n 2 + 2 15 n, P 3 (n) = 1 6 n 6 + 9 10 n 5 + 5 3 n 4 + 7 6 n 3 + 1 6 n 2 − 1 15 n, P 4 (n) = 1 7 n 7 + 5 6 n 6 + 17 10 n 5 + 4 3 n 4 + 1 6 n 3 − 1 6 n 2 − 1 105 n, P 5 (n) = 1 8 n 8 + 11 14 n 7 + 7 4 n 6 + 3 2 n 5 + 1 8 n 4 − 1 3 n 3 + 1 21 n, P 6 (n) = 1 9 n 9 + 3 4 n 8 + 38 21 n 7 + 5 3 n 6 + 1 30 n 5 − 7 12 n 4 + 1 18 n 3 + 1 6 n 2 − 1 105 n, P 7 (n) = 1 10 n 10 + 13 18 n 9 + 15 8 n 8 + 11 6 n 7 − 14 15 n 5 + 5 24 n 4 + 4 9 n 3 − 1 15 n 2 − 1 15 n. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.24) Chương 3 Tổng hữu hạn liên quan đến hàm lượng giác Chương này trình bày một số bài toán về tổng hữu hạn của các hàm lượng giác liên quan đến hàm lũy thừa, hàm mũ và tổ hợp 3.1 Tổng hữu hạn liên quan đến đa thức lượng giác Bài toán 3.1 Tính các tổng n a) Sn = sin kx k=1 n b) Cn = cos kx k=1 6Lời giải a) Ta có x x x x 2 sin Sn... (1.33) (1.34) (1.35) (1.36) (1.37) (1.38) Tổng hữu hạn liên quan đến hàm lũy thừa và các số Bernoulli 1.2.1 Khái niệm về số Bernoulli và đa thức Bernoulli Các số Bernoulli được ra đời, sau khi nhà Toán học Thụy Sĩ Bernoulli ( Swiss mathematician Jacob Bernoulli, 1654-1705 ) sử dụng trong bài toán về tổng lũy thừa Bài toán về tổng lũy thừa là bài toán tính tổng dạng n k k k mk , Sk (n) = 1 + 2 + +... bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 Tổng hữu hạn liên quan đến tổ hợp Chương này trình bày các bài toán và mệnh đề liên quan đến tổ hợp, trong đó sử dụng phương pháp đạo hàm, nhị thức Newton, phương pháp sai phân và một số tính chất để giải 2.1 Tổ hợp và nhị thức Newton 2.1.1 Tổ hợp và các tính chất 2.1 Cho E là một tập gồm k Cn = n k n phần tử (n 1) k N, 0 k... Vậy số (n + m)! m m m! = (1)m Cn+m m! chia hết cho m! vì Cn+m N n!m! Với n = 2, m = 3 thì số Sm,n = 60 không chia hết cho m!(n + 1) = 18 Sm,n = (1)m Bài toán được chứng minh 1.5 Tổng hữu hạn liên quan đến hàm luỹ thừa và hàm mũ Bài toán 1.10 Tính tổng n (a + kd)q k Sn = k=0 6Lời giải Ta có n n k (a + kd)q = a k=0 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn n k kq k , q +d k=0 k=1 http://www.lrc-tnu.edu.vn... Cm Cn + + Cm Cn = p=0 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.16) 24 Bài toán 2.3 Tính tổng gồm 2n số hạng 1 2 1 k1 1 1 1 2 C2n n, S = C2n C2n + + (1)k C2n + + (1)2n+1 2 3 k 2n + 1 trong đó k Cn là hệ số của khai triển nhị thức Newtơn ( Tạp trí Toán học và tuổi trẻ số 336 năm 2005) 6Lời giải k = 2, 3, , 2n + 1 ta có k C2n+1 1 k1 1 (2n)! 1 (2n + 1)! C = = = k... , ta được 2 2n + (1)n+1 (6n + 1) 3 5 7 n1 2n 1 = 1 + + + (1) 2 4 8 2n1 9.2n1 5 7 9 (1)n+1 (6n + 7) + 3.2n n1 2n + 1 3 + + + (1) = 2 4 8 2n1 9.2n1 1.4 Tổng hữu hạn liên quan đến lũy thừa và giai thừa Trong mục này trình bày cách tính tổng có dạng n j!j p , Fp (n) = p N (1.59) j=1 n Định lý 1.2 Cho j!j p , với p N, m, n 0 Chứng minh rằng Fp (n) = j=1 p+1 Fp (n) = 1 n!(n + 1) p+1 m Cp+1... có 1 1+ j k+1 Nhân các bất đẳng thức trên với k+1 1 1 j k+1 , >1+ j >1 k+1 j j k+1 Sau một số biến đổi ta được j k+1 (j 1)k+1 (j + 1)k+1 j k+1 k . TÍNH TOÁN VÀ ĐÁNH GIÁ CÁC TỔNG HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học. TÍNH TOÁN VÀ ĐÁNH GIÁ CÁC TỔNG HỮU HẠN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC