1 1 Giải tích toán học. Tập 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Từ khoá:Giải tích toán học, giải tích, Phép tích vi phân, Đạo hàm, vi phân, Công thức Taylor, Khai triển Maclaurin, Quy tắc L’hospital. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Mục lục Chương 4 Phép tính vi phân của hàm một biến 2 4.1 Đạo hàm và cách tính 3 4.1.1 Định nghĩa đạo hàm 3 4.1.2 Công thức đối với số gia của hàm số 3 4.2 Các qui tắc tính đạo hàm 4 4.2.1 Các qui tắc tính đạo hàm 4 4.2.2 Đạo hàm của hàm số hợp 4 4.2.3 Đạo hàm của hàm số ngược 6 4.2.4 Đạo hàm theo tham số 7 4.2.5 Đạo hàm một phía 7 4.2.6 Đạo hàm vô cùng 9 4.2.7 Đạo hàm các hàm số sơ cấp 9 4.3 Vi phân của hàm số 10 4.3.1 Định nghĩa 10 Chương 4. Phép tính vi phân của hàm một biến Lê Văn Trực 2 4.3.2 Các qui tắc tính vi phân 11 4.3.3 Vi phân của hàm số hợp 11 4.3.4 Ứng dụng của vi phân 12 4.4 Các định lí cơ bản của hàm khả vi 12 4.8.1 Cực trị địa phương 12 4.5 Đạo hàm và vi phân cấp cao 18 4.8.1 Định nghĩa đạo hàm cấp cao 18 4.8.2 Các công thức tổng quát đối với đạo hàm cấp n 18 4.8.3 Vi phân cấp cao 19 4.6 Công thức Taylor 20 4.8.1 Công thức Taylor 20 4.8.2 Khai triển Maclaurin 22 4.7 Qui tắc L’hospital để khử dạng vô định 25 4.8.1 Dạng vô định 0 0 25 4.8.2 Dạng vô dịnh ∞ ∞ 27 4.8 Khảo sát hàm số 30 4.8.1 Khảo sát đường cong cho dưới dạng phương trình hiện 30 4.8.2 Đường cong cho dưới dạng tham số 32 4.8.3 Khảo sát đường cong trong tọa độ cực 36 4.9 Bài tập chương 4 39 Chương 4 3 3 Phép tính vi phân của hàm một biến 4.1 Đạo hàm và cách tính 4.1.1 Định nghĩa đạo hàm Giả sử U là một tập mở trong  , :fU→  và 0 x U ∈ . Cho x 0 một số gia 0xΔ≠ đủ nhỏ sao cho 0 x xU + Δ∈ . Khi đó ta gọi 00 ()()yfx x fxΔ= +Δ − là một số gia của hàm số tương ứng với số gia đối số x Δ tại điểm x 0 . Xét tỷ số giữa số gia hàm số với số gia đối số. Nếu tỷ số dẫn đến một giới hạn hữu hạn xác định khi 0x Δ → , thì ta nói rằng hàm f khả vi tại điểm x 0 , giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số tại x 0 và ký hiệu là 00 0 0 ()() ( ) lim x fx x fx fx x Δ→ + Δ− ′ = Δ . (4.1.1) Các ký hiệu y ′ hay ()fx ′ là các ký hiệu đạo hàm theo Largrange, còn dy dx hay 0 ()df x dx là các kí hiệu theo Leibnitz và Dy hay Df(x 0 ) là các kí hiệu theo Cauchy. Đôi khi để nhấn mạnh biến số lấy đạo hàm, người ta thường viết biến đó thành chỉ số dưới: 00 , ( ), hay ( ) ′′ xx x x yfx Dy Dfx (4.1.2) Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc U. 4.1.2 Công thức đối với số gia của hàm số Nếu hàm y = f(x) khả vi tại 0 , ∈ x U ta có thể biểu diễn số gia của hàm số 00 0 () ( ) ()Δ=Δ = +Δ −yfx fx xfx như sau. Theo định nghĩa 0 0 0 () lim ( ) Δ→ Δ ′ = Δ x fx f x x . Đặt 0 0 () () α Δ ′ =+ Δ fx fx x với 0 α → khi 0 Δ →x . (4.1.3) Ta có 00 () () . α ′ Δ= Δ+Δ f xfxx x với 0 lim 0 α Δ→ → x . (4.1.4) Kí hiệu .() α Δ=οΔ x x và hiển nhiên 0 () lim 0 Δ→ οΔ = Δ x x x . Do đó (4.1.4) có thể viết dưới dạng 00 () () ( ). ′ Δ= Δ+οΔ f xfxx x (4.1.5) Định lý 4.1.1 Nếu hàm y = f(x) khả vi tại 0 x U ∈ thì f(x) liên tục tại x 0 . Chứng minh: Thật vậy ta có 4 000 ( ) () () ( ) ′ +Δ − = Δ +οΔ f xxfxfxx x, suy ra [] 00 0 000 00 0 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ). Δ→ Δ→ Δ→ Δ→ ′ +Δ − = Δ + ο Δ ⇒+Δ= xxx x f xxfx fxx x fx x fx 4.2 Các qui tắc tính đạo hàm 4.2.1 Các qui tắc tính đạo hàm Trước hết ta hãy nhắc lại các qui tắc tính đạo hàm đã biết Định lí 4.2.1 Cho ,:fgU→  , trong đó U là tập hợp mở trong R, còn f, g là hai hàm khả vi tại 0 x U∈ . Khi đó 12 ,cc∀∈ các hàm 12 ,cf cg + .fg và f g (nếu g(x 0 ) 0≠ cũng là các hàm khả vi tại điểm x 0 và ta có các công thức sau: a) 12 01020 ( )() () ()cf cg x cf x cg x ′ ′′ +=+ (4.2.1) b) 00000 (,)( ) ( )( ) ( ).( )fg x fxgx gx fx ′ ′′ = + (4.2.2) c) 00 0 0 00 2 0 0 ()() ().() () ,() () fxgx gx fx f xgx ggx ′ ′′ − ⎛⎞ = ≠ ⎜⎟ ⎝⎠ . (4.2.3) 4.2.2 Đạo hàm của hàm số hợp Định lí 4.2.2 Cho :gU V→ và :fV→  trong đó U, V là hai tập hợp mở trong  , hàm u=g(x) khả vi tại 0 x U∈ và hàm y=f(u) khả vi tại u 0 =g(x 0 ) V ∈ . Khi đó hàm hợp 0 fg khả vi tại x 0 và ta có công thức 00 0 0 ( )() (())()fg x f gx gx ′ ′′ = (4.2.4) hay gọn hơn . xux y yu ′ ′′ = . (4.2.5) Chứng minh: Theo công thức (4.1.5) hàm f khả vi tại u 0 , nên ta có 000 ( ) () () ( ) u ffu ufu fuu u ′ Δ= +Δ − = Δ+οΔ . Mặt khác hàm g khả vi tại x 0 nên 000 ( ) () () () x ugx x gx gxx x ′ Δ= +Δ − = Δ+οΔ. Thế uΔ vào biểu thức fΔ ta được [ ] 0000 00 0 ( ) () () () ( ) ( ) = ( ). ( ) ( ) ( ) ( ). ux ux u fu u fu f u g x x x u fu gx x fu x u ο ο ′′ +Δ − = Δ + Δ +οΔ ′′ ′ Δ +Δ+οΔ Chia cả 2 vế cho x Δ 5 5 00 00 0 ()() () () ().() () . ux u fu u fu x u fu gx fu x xx +Δ − ο ΔοΔ ′′ ′ =++ ΔΔΔ Ta thấy do hàm u liên tục tại x 0 nên khi 0x Δ → thì 0u Δ → và 00 0 0 () (()) (), ()()(())(). o o fu fgx fgx fu u fu fgx fgx == +Δ = = = Bây giờ ta hãy viết lại biểu thức trên dưới dạng: 000 00 0 () ( ) () () ().() () . . ux u fgx fgx x uu fu gx fu x xux − ο ΔοΔΔ ′′ ′ =++ ΔΔΔΔ Cho 0xΔ→ ta được 00 0 0 ( )() (()).(), u fg x f gx gx ′′ ′ = và công thức được chứng minh. Ví dụ 3: i) Ta thấy 0 ln xxa ae a=∀> nên ln ()( ) xxa ae ′′ = , đặt u = xlna, ln ( )' .ln ln uxa x ee aaa== Do đó ta có công thức sau ln() xx aa ′ = a với 0a ∀ > . (4.2.6) ii) Ta có 0 ln xe x αα =∀> x và α ∀∈ Do đó: 11 ln ln ()( ) xx xe e x x x αα α α α α ′′ == =. Và ta có công thức sau: 1 () . x x αα α − ′ = . (4.2.7) Ví dụ 4: Tính 1 1 cos x x d Ie dx − + = với 1x ≠− Đặt 1 1 cos x u x − = + 1 1 1 1 cos cos x uu x x dx Ieeue dx x − + ′ − ⎛⎞ ′ === ⎜⎟ + ⎝⎠ Lại đặt 1 1 x v x − = + ta có 2 11 12 11 1 1 (cos ) sin . sin sin . () xx x vvv xx x x ′ −− − ⎛⎞ ′′ =− =− =− ⎜⎟ ++ + + ⎝⎠ Cuối cùng 1 1 2 11 2 1 1 cos sin () x x x Ie x x − + − ⎛⎞ =− ⎜⎟ + + ⎝⎠ . Ví dụ 5: Cho ,:fgU→  trong đó f(x)>0, x U ∀ ∈ và tồn tại (), ()fx gx ′ ′ với x U∈ . 6 Khi đó () ()ln() ()ln() () (()) (().ln ()) () =( ( )) . ( )ln ( ) ( ). . () gx gx f x gx f x gx dd d fx e e gx fx dx dx dx fx fx gx fx gx fx ⎡⎤⎡⎤ == ⎣⎦⎣⎦ ′ ⎡⎤ ′ + ⎢⎥ ⎣⎦ 4.2.3 Đạo hàm của hàm số ngược Định lí 4.2.4 Giả sử hàm f(x) khả vi liên tục trên (a,b) với 0()fx ′ ≠ (,) x ab ∀ ∈ . Khi đó hàm f(x) đơn điệu thực sự nên có hàm ngược x = g(y), : ( ( ), ( )) ( , ).gfafb ab→ Khi đó g(y) cũng khả vi tại y = f(x) và có đạo hàm g’(y) thoả mãn hệ thức: 1 () () gy fx ′ = ′ (4.2.8) hay gọn hơn: 1 y x x y ′ = ′ . (4.2.9) Chứng minh: Do ( g.f)(x) = x (,) x ab∀∈ Hay (())gf x x= (,) x ab ∀ ∈ . Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức trên theo x ta được 1hay 1( ( )). ( ) ( ). ( )gfx f x gyf x ′′ ′′ = = suy ra 1 () () gy fx ′ = ′ (,) x ab∀∈ . Ví dụ 6: i) Xét hàm số y = arcsinx với −1< x <1 và 22 y π π − <<. Ta biết rằng y = arcsinx, tương đương với x = siny, do đó do 22 cos , , y xyy π π ⎛⎞ ′ =∈− ⎜⎟ ⎝⎠ thì 0cos y > nên 2 1 y x x ′ =− , suy ra 2 1 1 x y x ′ = − . Tương tự, tao có các công thức sau: ii) y = arccosx với −1< x <1, 2 1 1 x y x ′ =− − iii) y = arctgx với x − ∞< <+∞, 2 1 1 x y x ′ = + 7 7 iv) y = arccotgx với x −∞ < < +∞ , 2 1 1 x y x − ′ = + . 4.2.4 Đạo hàm theo tham số Xét hàm y của biến x được cho dưới dạng tham số () () x xt y yt = ⎧ ⎨ = ⎩ với (,).t α β ∈ Giả sử x là hàm khả vi, liên tục và '( ) 0xt ≠ (, )t α β ∈ . Khi đó x(t) là hàm đơn điệu thực sự trên (,) α β , vì vậy nó có hàm ngược t = t(x). Khi đó ta có hàm hợp y = y(t) = y(t(x)). Hãy tính x y ′ . Cho t một số gia Δ t, Δ x là số gia tương ứng của Δ t, Δ y là số gia tương ứng của Δ x. Ta có y y t x x t Δ Δ Δ = Δ Δ Δ suy ra 0 0 0 lim lim lim t t x x t t y y y t y x x x t Δ→ Δ→ Δ→ Δ ′ Δ Δ ′ === Δ ′ Δ Δ . (4.2.10) Ví dụ 7: Xét hàm số 1(sin), (cos) x at t y a t=− =− với 02(, )t π ∈ . Khi đó 2 2 22 12 2 2 sin cos sin () cotg (cos) sin tt at t yx t at ′ == = − . 4.2.5 Đạo hàm một phía Giả sử f(x) được xác định trên (a,b) và 0 (,) x ab∈ . Ta nói giới hạn hữu hạn, nếu tồn tại 00 00 ()() lim lim xx fx x fx y xx ++ Δ→ Δ→ + Δ− Δ = ΔΔ (4.2.11) là đạo hàm bên phải của hàm f(x) tại điểm x 0 , kí hiệu là 0 () + ′ f x (xem hình 4.2.1). Tương tự, ta có đạo hàm bên trái của hàm f(x) tại điểm x 0 kí hiệu là 0 (): − ′ f x 00 0 00 ()() lim lim ( ) xx fx x fx y fx xx −− − Δ→ Δ→ + Δ− Δ ′ == ΔΔ (4.2.12) Ta thấy muốn có 0 ()fx A ′ = điều kiện cần và đủ là 00 () ()fx fx A +− ′ ′ = = . 8 Hình 4.2.1 Ví dụ 8: Cho hàm f(x) =|x|, hãy xét đạo hàm của hàm số tại x 0 = 0. Ta có 00yf x f xΔ= +Δ − =Δ()()|| , 00 00 01 01 ( ) lim lim , () lim lim . xx xx yx f xx yx f xx ++ −− + Δ→ Δ→ − Δ→ Δ→ Δ Δ ′ === ΔΔ Δ−Δ ′ = ==− ΔΔ Vậy hàm f(x) liên tục tại x 0 = 0, nhưng f’(0) không tồn tại. Ví dụ 9: Cho hàm số 3 khi 0 khi 0 sin () x x fx x ax ⎧ ≠ ⎪ = ⎨ ⎪ = ⎩ 1) Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0. 2) Với a tìm được, hãy xét sự khả vi của hàm số tại x = 0 Giải: 1) Do 3 2 00 0 sin sin lim lim sin xx xx x xx →→ == Vậy để hàm liên tục tại x = 0 thì phải có a = 0. 2) Với a=0 ta có 3 khi 0 khi 0 sin () 0 x x fx x x ⎧ ≠ ⎪ = ⎨ ⎪ = ⎩ Ta thấy 3 00 0 0 0 () () sin lim lim xx fx f x xx →→ − == − . Vậy 00()f ′ = và hàm khả vi tại x=0. Ví dụ 10: Chứng minh rằng hàm số f(x) =|x−a| () ϕ x , trong đó () ϕ x là hàm liên tục và 0()a ϕ ≠ , không khả vi tại x = a. 9 9 Ta có 00 ()()||() ( ) lim lim xx fa x fa x a x fx xx ϕ →→ + Δ− Δ +Δ ′ == ΔΔ . Suy ra: () + ′ f a = () ϕ a và () − ′ f a =– () ϕ a . Do () () +− ′′ ≠ f afa nên hàm số f(x) không khả vi tại x=a. 4.2.6 Đạo hàm vô cùng Nếu 00 00 hay ()() lim lim xx fx x fx y xx Δ→ Δ→ +Δ − Δ ==+∞−∞ ΔΔ thì ta nói rằng tại x = x 0 hàm f(x) có đạo hàm vô cùng. Khi đó tiếp tuyến với đồ thị f(x) tại x = x 0 song song với trục Oy. Ta cần chú ý rằng nếu như 0 ()fx ′ không là hữu hạn thì hàm f(x) không nhất thiết phải liên tục tại điểm x 0 . Ví dụ xét hàm 1khi 0 0khi 0 1khi 0 () . x fx x x − < ⎧ ⎪ = = ⎨ ⎪ > ⎩ Với 0xΔ≠ , ta có 01() () || fx f x x Δ− = ΔΔ , do đó 0()f ′ = +∞ nhưng đương nhiên f(x) không liên tục tại điểm x 0 = 0. 4.2.7 Đạo hàm các hàm số sơ cấp Sau đây là bảng đạo hàm của một số hàm sơ cấp: 10 21 ) ) yc y yx y ′ == ′ == 1 2 31 11 1 2 ) , , . yx R y x yy x x yx y x αα αα α − ′ =∈≠− = − ′ == ′ == 4) xx ye y e ′ == x ya= với 0 ln x ayaa ′ >= 5) log a yx= với 1 0 ln ay x a ′ >= 1 ln yx y x ′ == 6) sin cosyx y x ′ == 10 7) cos sinyx y x ′ ==− 2 2 1 8tg) sec cos yx y x x ′ === 2 2 1 9) cot g cosec sin yx y x x ′ ==−=− 2 1 10) arcsin 1 yxy x ′ == − 2 1 11) arccos 1 yxy x ′ ==− − 2 1 12) arctg 1 yx y x ′ == + 2 1 13) arccot g 1 yxy x ′ ==− + 14) sh chyx y x ′ == 15) ch shyx y x ′ == 2 1 16) th ch yx y x ′ == 2 1 17) cth sh yx y x − ′ == 2 1 18) argsh 1 yxy x ′ == + 2 1 19) arg ch 1 yxy x ′ == − 2 1 20) argth 1 yx y x ′ == − 2 1 21) argcth . 1 yxy x ′ == − 4.3 Vi phân của hàm số 4.3.1 Định nghĩa Cho hàm y = f(x) xác định trên tập hợp mở U ⊂  và 0 x U ∈ . Cho x 0 một số gia 0x Δ ≠ đủ nhỏ sao cho 0 x xU+Δ ∈ . Giả sử f(x)khả vi tại 0 x U∈ , khi đó 000 ( ) () () ()fx x fx f x x x ο ′ + Δ− = Δ+Δ. (4.3.1) [...]... a − x ) 4.8.3 Vi phân cấp cao Cho U mở trong và f là hàm khả vi cấp n trên tập mở U Ta gọi vi phân cấp hai của 2 hàm f, ký hiệu là d f là biểu thức d2f=d(df) Một cách tổng quát, ta gọi vi phân cấp n của hàm f là vi phân của vi phân cấp n−1 của hàm f: d n f = d ( d n −1 f ) (4.5.4) Khi tính vi phân cấp cao ta chú ý rằng dx là một số tuỳ ý và không phụ thuộc x ( dx = Δx ), nên khi lấy vi phân theo x phải... dạng ban đầu của vi phân Như vậy, ta luôn luôn có quyền vi t vi phân của y dưới dạng (4.3.4) dù x có phải là biến độc lập hay không Điều khác nhau chỉ là ở chỗ, nếu chọn t là biến độc lập thì dx không phải là số gia tuỳ ý mà là vi phân của x xem là hàm của t Tính chất đó gọi là tính bất biến của dạng vi phân, Ví dụ 1: Cho hàm số y = ln ex + 1 , hãy tính dy ex − 1 11 12 Ta thấy y′ = Ví dụ 2: Tính: Ta có:... x0 4.5 Đạo hàm và vi phân cấp cao 4.8.1 Định nghĩa đạo hàm cấp cao Giả sử f : U → là hàm khả vi trên tập mở U ⊂ , khi đó ta nhận được hàm f ′ : U → Nếu tại x0 ∈ U , f ′( x ) có đạo hàm thì ta gọi đạo hàm của f ′( x ) tại x0 là đạo hàm cấp hai của hàm f(x) tại x0 và kí hiệu là f ′′( x0 ) Hàm f có đạo hàm cấp hai tại x0 còn gọi là khả vi cấp hai tại x0 Một cách tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp (n−1)... hiệu đạo hàm của hàm y = f(x) là y′( x ) = dy dx 4.3.2 Các qui tắc tính vi phân Từ các qui tắc tính đạo hàm, ta dễ dàng suy ra các qui tắc tương ứng cho vi phân i ) d ( c1 f + c2 g ) = c1 df + c2 dg ∀c1 , c2 ∈ i i ) d ( f g ) = gdf + fdg (4.3.5) f gdf − fdg i i i ) d( ) = nÕ g ≠ 0 u g g2 4.3.3 Vi phân của hàm số hợp Giả sử các hàm y = f(x) và x = g(t) sao cho đối với chúng có thể thiết lập hàm hợp... gọi biểu thức f ′( x0 )Δx là vi phân của hàm f(x) tại điểm x0 ứng với số gia Δx của đối số và kí hiệu là df ( x0 , Δx ) = f ′( x0 )Δx (4.3.2) Bây giờ ta xét trường hợp đặc biệt khi f(x) = x Ta có f ′( x ) = 1 , do đó dx = 1 Δx = Δx , vì thế trong biểu thức (4.3.2) ta có thể vi t dx thay cho Δx và dx gọi là vi phân của biến số độc lập Từ đây, ta có thể xác định vi phân của hàm f tại x ∈ U theo công thức... hiệu trên có thể xem như một phân số Nhờ công thức (4.5.5) ta dễ dàng biến đổi công thức Leibnitz thành công thức của vi phân Nhân cả hai vế của (4.5.3) với dxn ta sẽ được n k d n ( fg ) = ∑ Cn d n − k f d k g k =0 19 (4.5.6) 20 Chú ý trong công thức (4.5.6) ta sẽ xem d 0 f = f , d 0 g = g Ví dụ 3: Cho y=f(x2) với f là hàm khả vi Tính d2y Ta có: dy = 2 f ′( x2 ) xdx , Lấy vi phân lần thứ hai ta được... ta thấy khi x → +∞ , hàm ax với a>1 tăng nhanh hơn bất cứ hàm luỹ thừa nào của x Khi x → +∞ , hàm log a x, a > 1 tăng chậm hơn bất kỳ hàm luỹ thừa xm với số mũ dương 4.8 Khảo sát hàm số 4.8.1 Khảo sát đường cong cho dưới dạng phương trình hiện Xét hàm số y = f ( x ), x ∈ ( a, b) (4.8.1) Ở trường phổ thông, để khảo sát sự biến thiên của hàm số ta thường tìm cực đại, cực tiểu của hàm số theo qui tắc... cho đối với chúng có thể thiết lập hàm hợp y = f(g(t)) Nếu tồn tại các đạo hàm y′ và xt′ thì theo quy tắc đạo hàm hàm hợp sẽ tồn tại đạo x hàm yt′ = y′ xt′ x (4.3.6) Nếu xem x là biến độc lập thì vi phân dy được biểu thị bởi công thức (4.3.4) Bây giờ ta xem x là hàm của biến t, ta có dy = yt′ dt (4.3.7) Tuy nhiên nếu thay đạo hàm yt′ bởi biểu thức (4.3.6) và chú ý rằng dx = xt′ dt, thì cuối cùng ta... liên tục trên [a,b] có các tính chất 15 ii) f khả vi trên (a,b) Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ ( a, b) sao cho: f ( b) − f ( a ) = f ′( c) b− a (4.4.4) Chứng minh: Ta hãy xét hàm bổ trợ sau: F ( x ) = f ( x ) − f ( a) − f ( b) − f ( a ) ( x − a) b−a Hiển nhiên F(x) liên tục trên [a,b] vì nó là hiệu của hàm liên tục f(x) và hàm tuyến tính Trong khoảng (a,b) hàm đó có đạo hàm hữu hạn bằng: F ′( x... quy tắc II và tìm điểm uốn của đồ thị Ví dụ 1: Ta hãy xét hàm số f ( x ) = x x +1 2 Miền xác định của hàm số là Df = ( −∞, +∞ ) Ta có f ′( x ) = 1 − x2 2 x( x2 − 3) , f ′′( x ) = ( x2 + 1)2 ( x2 + 1)3 Theo dấu của đạo hàm f’(x) ta thấy rằng hàm số tăng trong khoảng ( − 1,1), giảm trong các khoảng ( −∞,1 ) và ( 1, +∞ ) Do đó tại điểm –1 hàm số đạt cực tiểu, tại điểm 1 hàm số đạt cực đại: 31 1 1 f . 4. Phép tính vi phân của hàm một biến Lê Văn Trực 2 4.3.2 Các qui tắc tính vi phân 11 4.3.3 Vi phân của hàm số hợp 11 4.3.4 Ứng dụng của vi phân. d 2 f=d(df). Một cách tổng quát, ta gọi vi phân cấp n của hàm f là vi phân của vi phân cấp n−1 của hàm f: 1 (). nn df dd f − = (4.5.4) Khi tính vi phân cấp