Ph m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)ạ I- GI I TÍCH T H PẢ Ổ Ợ 1. Giai th a : ừ n! = 1.2 n 0! = 1 n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n 2. Nguyên t c c ng : ắ ộ Tr ng h p 1 có m cách ch n, tr ng h p 2 có n cáchườ ợ ọ ườ ợ ch n; m i cách ch n đ u thu c đúng m t tr ng h p. Khi đó, t ng s cáchọ ỗ ọ ề ộ ộ ườ ợ ổ ố ch n là : m + n.ọ 3. Nguyên t c nhân : ắ Hi n t ng 1 có m cách ch n, m i cách ch n này l i có nệ ượ ọ ỗ ọ ạ cách ch n hi n t ng 2. Khi đó, t ng s cách ch n liên ti p hai hi n t ng làọ ệ ượ ổ ố ọ ế ệ ượ : m x n. 4. Hoán v : ị Có n v t khác nhau, x p vào n ch khác nhau. S cách x p : Pậ ế ỗ ố ế n = n !. 5. T h p : ổ ợ Có n v t khác nhau, ch n ra k v t. S cách ch n : ậ ọ ậ ố ọ )!kn(!k !n C k n − = 6. Ch nh h p : ỉ ợ Có n v t khác nhau. Ch n ra k v t, x p vào k ch khác nhau sậ ọ ậ ế ỗ ố cách : = = − k k k n n n k n! A , A C .P (n k)! Ch nh h p = ỉ ợ t h pổ ợ r i ồ hoán vị 7. Tam giác Pascal : 1 4 4 3 4 2 4 1 4 0 4 3 3 2 3 1 3 0 3 2 2 1 2 0 2 1 1 0 1 0 0 CCCCC CCCC CCC CC C 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 Tính ch t :ấ k 1n k n 1k n kn n k n n n 0 n CCC CC,1CC + − − =+ === 8. Nh th c Newton :ị ứ * n0n n 11n1 n 0n0 n n baC baCbaC)ba( +++=+ − a = b = 1 : 0 1 n n n n n C C C 2+ + + = V i a, b ớ ∈ {± 1, ± 2, }, ta ch ng minh đ c nhi u đ ng th c ch a :ứ ượ ề ẳ ứ ứ n n 1 n 0 n C, ,C,C * nn n 1n1 n n0 n n xC xaCaC)xa( +++=+ − Ta ch ng minh đ c nhi u đ ng th c ch a ứ ượ ề ẳ ứ ứ n n 1 n 0 n C, ,C,C b ng cách :ằ - Đ o hàm 1 l n, 2 l n, cho x = ạ ầ ầ ± 1, ± 2, a = ± 1, ± 2, - Nhân v i xớ k , đ o hàm 1 l n, 2 l n, cho x = ạ ầ ầ ± 1, ± 2, , a = ± 1, ± 2, - Cho a = ± 1, ± 2, , ∫∫ ±± 2 0 1 0 hay hay β α ∫ Chú ý : * (a + b) n : a, b ch a x. Tìm s h ng đ c l p v i x : ứ ố ạ ộ ậ ớ k n k k m n C a b Kx − = 1 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info Ph m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)ạ Gi i pt : m = 0, ta đ c k.ả ượ * (a + b) n : a, b ch a căn . Tìm s h ng h u t .ứ ố ạ ữ ỷ m r k n k k p q n C a b Kc d − = Gi i h pt : ả ệ    ∈ ∈ Zq/r Zp/m , tìm đ c kượ * Gi i pt , bpt ch a ả ứ C,A k n k n : đ t đi u ki n k, n ặ ề ệ ∈ N * , k ≤ n. C n bi t đ nầ ế ơ gi n các giai th a, qui đ ng m u s , đ t th a s chung.ả ừ ồ ẫ ố ặ ừ ố * C n phân bi t : qui t c c ng và qui t c nhân; hoán v (x p, không b c), tầ ệ ắ ộ ắ ị ế ố ổ h p (b c, không x p), ch nh h p (b c r i x p).ợ ố ế ỉ ợ ố ồ ế * Áp d ng s đ nhánh đ chia tr ng h p , tránh trùng l p ho c thi uụ ơ ồ ể ườ ợ ắ ặ ế tr ng h p.ườ ợ * V i bài toán tìm s cách ch n th a tính ch t p mà khi chia tr ng h p, taớ ố ọ ỏ ấ ườ ợ th y s cách ch n không th a tính ch t p ít tr ng h p h n, ta làm nh sauấ ố ọ ỏ ấ ườ ợ ơ ư : s cách ch n th a p.ố ọ ỏ = s cách ch n tùy ý - s cách ch n không th a p.ố ọ ố ọ ỏ C n vi t m nh đ ph đ nh p th t chính xác.ầ ế ệ ề ủ ị ậ * Vé s , s biên lai, b ng s xe : ch s 0 có th đ ng đ u (tính t tráiố ố ả ố ữ ố ể ứ ầ ừ sang ph i).ả * D u hi u chia h t :ấ ệ ế - Cho 2 : t n cùng là 0, 2, 4, 6, 8.ậ - Cho 4 : t n cùng là 00 hay 2 ch s cu i h p thành s chia h t cho 4.ậ ữ ố ố ợ ố ế - Cho 8 : t n cùng là 000 hay 3 ch s cu i h p thành s chia h t cho 8.ậ ữ ố ố ợ ố ế - Cho 3 : t ng các ch s chia h t cho 3.ổ ữ ố ế - Cho 9 : t ng các ch s chia h t cho 9.ổ ữ ố ế - Cho 5 : t n cùng là 0 hay 5.ậ - Cho 6 : chia h t cho 2 và 3.ế - Cho 25 : t n cùng là 00, 25, 50, 75.ậ II- Đ I SẠ Ố 1. Chuy n v :ể ế a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔        = ≠ == b/ca 0b 0cb a/b = c ⇔    ≠ = 0b bca ; 1n2 1n2 baba + + =⇔= 2n 2n 2n 2n b a a b a b, a b a 0  = = ⇔ = ± = ⇔  ≥     α=⇔= ≥ ±= ⇔= α a bbloga, 0a ab ba 2 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info Ph m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)ạ    > <    < > >= ⇔<−<⇔<+ b/ca 0b b/ca 0b 0c,0b cab;bcacba 2. Giao nghi m :ệ    <⇔ < <    >⇔ > > }b,amin{x bx ax ;}b,amax{x bx ax   Γ  > ∨ < < <   ⇔ ⇔   < Γ ≥     Γ  p x a p q a x b(neáua b) ; x b VN(neáua b) q Nhi u d u v : v tr c đ giao nghi m.ề ấ ẽ ụ ể ệ 3. Công th c c n nh :ứ ầ ớ a. : ch đ c bình ph ng n u 2 v không âm. Làm m t ỉ ượ ươ ế ế ấ ph i đ t đi uả ặ ề ki n.ệ    ≤≤ ≥    ⇔≤ = ≥ ⇔= 22 ba0 0b ba, ba 0b ba    ≥ ≥    ∨ ≥ < ⇔≥ 2 ba 0b 0a 0b ba )0b,aneáu(b.a )0b,aneáu(b.a ab <−− ≥ = b. . : phá . b ng cách bình ph ng : ằ ươ 2 2 aa = hay b ng đ nh nghĩa :ằ ị )0aneáu(a )0aneáu(a a <− ≥ = baba; ba 0b ba ±=⇔=    ±= ≥ ⇔= a b b a b≤ ⇔ − ≤ ≤ b 0 a b b 0hay a b a b ≥  ≥ ⇔ <  ≤ − ∨ ≥  0baba 22 ≤−⇔≤ c. Mũ : .1a0neáuy,1aneáuy,0y,Rx,ay x <<↓>↑>∈= 0 m/n m m n m nn m n m n m n m.n n n n n n n m n a 1; a 1/ a ; a .a a a /a a ; (a ) a ; a /b (a/b) a .b (ab) ; a a (m n,0 a 1) a = 1 − + − = = = = = = = = ⇔ = < ≠ ∨ α =α <<> >< ⇔< a log nm a, )1a0neáu(nm )1aneáu(nm aa 3 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info Ph m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)ạ d. log : y = log a x , x > 0 , 0 < a ≠ 1, y ∈ R y↑ n u a > 1, yế ↓ n u 0 < a < 1, ế α = log a a α log a (MN) = log a M + log a N ( ⇐ ) log a (M/N) = log a M – log a N ( ⇐ ) 2 aaa 2 a MlogMlog2,Mlog2Mlog == (⇒) log a M 3 = 3log a M, log a c = log a b.log b c log b c = log a c/log a b, Mlog 1 Mlog a a α = α log a (1/M) = – log a M, log a M = log a N ⇔ M = N a a 0 M N(neáua 1) log M log N M N 0(neáu0 a 1) < < > < ⇔ > > < < Khi làm toán log, n u mi n xác đ nh n i r ng : dùng đi u ki n ch n l i, tránhế ề ị ớ ộ ề ệ ặ ạ dùng công th c làm thu h p mi n xác đ nh. M t log ph i có đi u ki n.ứ ẹ ề ị ấ ả ề ệ 4. Đ i bi n :ổ ế a. Đ n gi nơ ả : Rxlogt,0at,0xt,0xt,0xt,Rbaxt a x2 ∈=>=≥=≥=≥=∈+= N?u trong ?? bài có ?i?u ki?n c?a x, ta chuy?n sang ?i?u ki?n c?a t b?ng cách bi? n ??i tr?c ti?p b?t ??ng th?c. b. Hàm s : t = ố f(x) dùng BBT đ tìm đi u ki n c a t. N u x có thêm đi u ki n,ể ề ệ ủ ế ề ệ cho vào mi n xác đ nh c a ề ị ủ f. c. L ng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chi u l ng giác đ tìmượ ế ượ ể đi u ki n c a t.ề ệ ủ d. Hàm s h p : t ng b c làm theo các cách trên.ố ợ ừ ướ 5. Xét d u :ấ a. Đa th c hay phân th c h u t , d u A/B gi ng d u A.B; bên ph i cùng d u hứ ứ ữ ỷ ấ ố ấ ả ấ ệ s b c cao nh t; qua nghi m đ n (b i l ) : đ i d u; qua nghi m kép (b iố ậ ấ ệ ơ ộ ẻ ổ ấ ệ ộ ch n) : không đ i d u.ẵ ổ ấ b. Bi u th c f(x) vô t : gi i f(x) < 0 hay f(x) > 0.ể ứ ỷ ả c. Bi u th c f(x) vô t mà cách b không làm đ c : xét tính liên t c và đ n đi uể ứ ỷ ượ ụ ơ ệ c a f, nh m 1 nghi m c a pt f(x) = 0, phác h a đ th c a f , suy ra d u c a f.ủ ẩ ệ ủ ọ ồ ị ủ ấ ủ 6. So sánh nghi m ph ng trình b c 2 v i ệ ươ ậ ớ α : f(x) = ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) * S = x 1 + x 2 = – b/a ; P = x 1 x 2 = c/a Dùng S, P đ tính các bi u th c đ i x ng nghi m. V i đ ng th c g(xể ể ứ ố ứ ệ ớ ẳ ứ 1 ,x 2 ) = 0 không đ i x ng, gi i h pt : ố ứ ả ệ      = += = 21 21 x.xP xxS 0g Bi t S, P th a Sế ỏ 2 – 4P ≥ 0, tìm x 1 , x 2 t pt : Xừ 2 – SX + P = 0 * Dùng ∆, S, P đ so sánh nghi m v i 0 :ể ệ ớ 4 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info Ph m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)ạ x 1 < 0 < x 2 ⇔ P < 0, 0 < x 1 < x 2 ⇔      > > >∆ 0S 0P 0 x 1 < x 2 < 0 ⇔      < > >∆ 0S 0P 0 * Dùng ∆, af(α), S/2 đ so sánh nghi m v i ể ệ ớ α : x 1 < α < x 2 ⇔ af(α) < 0 α < x 1 < x 2 ⇔      <α >α >∆ 2/S 0)(f.a 0 ; x 1 < x 2 < α ⇔      α< >α >∆ 2/S 0)(f.a 0 α < x 1 < β < x 2 ⇔ a.f( ) 0 a.f( ) 0 β <   α >   α < β  ; x 1 < α < x 2 < β ⇔      β<α >β <α 0)(f.a 0)(f.a 7. Ph ng trình b c 3 :ươ ậ a. Viête : ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 x 1 + x 2 + x 3 = – b/a , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = c/a , x 1 .x 2 .x 3 = – d/a Bi t xế 1 + x 2 + x 3 = A , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = B , x 1 .x 2 .x 3 = C thì x 1 , x 2 , x 3 là 3 nghi m ph ng trình : xệ ươ 3 – Ax 2 + Bx – C = 0 b. S nghi m ph ng trình b c 3 :ố ệ ươ ậ • x = α ∨ f(x) = ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) : 3 nghi m phân bi t ệ ệ ⇔    ≠α >∆ 0)(f 0 2 nghi m phân bi t ệ ệ ⇔    ≠α =∆ ∨    =α >∆ 0)(f 0 0)(f 0 1 nghi m ệ ⇔ ( ) ∆  ∆  α  = 0 < 0hay f = 0 • Ph ng trình b c 3 không nh m đ c 1 nghi m, m tách đ c sang 1 v :ươ ậ ẩ ượ ệ ượ ế dùng s t ng giao gi a (C) : y = f(x) và (d) : y = m.ự ươ ữ • Ph ng trình b c 3 không nh m đ c 1 nghi m, m không tách đ c sang 1ươ ậ ẩ ượ ệ ượ v : dùng s t ng giao gi a (Cế ự ươ ữ m ) : y = f(x, m) và (Ox) : y = 0 3 nghi m ệ ⇔    < >∆ 0y.y 0 CTCÑ 'y 2 nghi m ệ ⇔    = >∆ 0y.y 0 CTCÑ 'y 1 nghi m ệ ⇔ ∆ y' ≤ 0 ∨    > >∆ 0y.y 0 CTCÑ 'y 5 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info Ph m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)ạ * Cho (S) : F(x, y, z) = 0. P M /(S) = F (x M , y M , z M ); P M /(S) = 0 ⇔ M ∈ (S), < 0 ⇔ M trong (S), > 0 ⇔ M ngoài (S). * M t đ ng ph ng c a (S) và (Sặ ẳ ươ ủ / ) : 2(A – A / )x + 2(B – B / )y + 2(C – C / )z + (D – D / ) = 0 * T ng giao gi a (S), (Sươ ữ / ) : nh (C), (Cư / ). * Khi (S), (S / ) tx trong thì ti t di n chung là m t đ ng ph ng.ế ệ ặ ẳ ươ * Khi (S), (S / ) c t nhau thì mp qua giao tuy n là m t đ ng ph ng.ắ ế ặ ẳ ươ 7. Elip : * cho F 1 , F 2 , F 2 F 2 = 2c, cho a > c > 0 M ∈ (E) ⇔ MF 1 + MF 2 = 2a. * (E) : 2 2 2 2 b y a x + = 1 (a > b > 0) : tiêu đi m : Fể 1 (–c,0), F 2 (c,0); đ nh Aỉ 1 (–a,0); A 2 (a,0); B 1 (0,–b); B 2 (0,b); tiêu c : Fự 1 F 2 = 2c, tr c l n Aụ ớ 1 A 2 = 2a; tr c nh ụ ỏ B 1 B 2 = 2b; tâm sai e = c/a; đ ng chu n x = ườ ẩ ± a/e; bk qua tiêu : MF 1 = a + ex M , MF 2 = a – ex M ; tt v i (E) t i M : phân đôi t a đ (E), ớ ạ ọ ộ (E) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a 2 A 2 + b 2 B 2 = C 2 ; a 2 = b 2 + c 2 . * (E) : 1 a y b x 2 2 2 2 =+ (a > b > 0) : không chính t c; tiêu đi m : Fắ ể 1 (0,–c), F 2 (0,c); đ nh Aỉ 1 (0,–a), A 2 (0,a), B 1 (–b,0), B 2 (b,0), tiêu c : Fự 1 F 2 = 2c; tr c l n Aụ ớ 1 A 2 = 2a; tr c nh Bụ ỏ 1 B 2 = 2b; tâm sai e = c/a; đ ng chu n y = ườ ẩ ± a/e; bán kính qua tiêu MF 1 = a + ey M , MF 2 = a – ey M ; ti p tuy n v i (E) t i M : phân đôi t a đ (E);ế ế ớ ạ ọ ộ (E) ti p xúc (d) : Ax + By + C = 0 ế ⇔ a 2 B 2 + b 2 A 2 = C 2 ; a 2 = b 2 + c 2 (Chú ý : t tấ c các k t qu c a tr ng h p này suy t tr ng h p chính t c trên b ngả ế ả ủ ườ ợ ừ ườ ợ ắ ằ cách thay x b i y, y b i x).ở ở 8. Hypebol : * Cho F 1 , F 2 , F 2 F 2 = 2c, cho 0 < a < c. M ∈ (H) ⇔ 21 MFMF − = 2a (H) : 2 2 2 2 b y a x − = 1 (pt chính t c)ắ tiêu đi m Fể 1 (–c,0), F 2 (c,0); đ nh tr.th c Aỉ ự 1 (–a,0), A 2 (a,0); đ nh tr c o ỉ ụ ả B 1 (0,–b), B 2 (0,b); tiêu c Fự 1 F 2 = 2c; đ dài tr c th c Aộ ụ ự 1 A 2 = 2a; đ dài tr c o ộ ụ ả B 1 B 2 = 2b; tâm sai : e = c/a; đ ng chu n : x = ườ ẩ ± a/e; bán kính qua tiêu : M ∈ nhánh ph i MFả 1 = ex M + a , MF 2 = ex M – a , M ∈ nhánh trái MF 1 = – ex M – a, MF 2 = –ex M + a; ti p tuy n v i (H) t i M : phân đôi t a đ (H); ế ế ớ ạ ọ ộ (H) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a 2 A 2 – b 2 B 2 = C 2 > 0; ti m c n y = ệ ậ ± a b x hình ch nh t c s : x = ữ ậ ơ ở ± a, y = ± b; c 2 = a 2 + b 2 . (H) : 1 b x a y 2 2 2 2 =− (pt không chính t c)ắ tiêu đi m Fể 1 (0,–c), F 2 (0,c); đ nh tr c th c Aỉ ụ ự 1 (0,–a), A 2 (0,a); đ nh tr c oỉ ụ ả B 1 (–b,0), B 2 (b,0); tiêu c Fự 1 F 2 = 2c; đ dài tr c th c Aộ ụ ự 1 A 2 = 2a; đ dài tr c oộ ụ ả B 1 B 1 = 2b; tâm sai : e = c/a; đ ng chu n : y = ườ ẩ ± a/e; bán kính qua tiêu : M ∈ nhánh trên MF 1 = ey M + a, MF 2 = ey M – a; M ∈ nhánh d i MFướ 1 = –ey M – a, MF 2 = – ey M + a; ti p tuy n v i (H) t i M : phân đôi t a đ (H); ế ế ớ ạ ọ ộ 25 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info Ph m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)ạ (H) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a 2 B 2 – b 2 A 2 = C 2 > 0; ti m c n x = ệ ậ ± a b y hình ch nh t c s : y= ữ ậ ơ ở ± a, x = ± b; c 2 = a 2 + b 2 (chú ý : t t c các k t quấ ả ế ả c a tr ng h p này suy t tr ng h p chính t c b ng cách thay x b i y, y b iủ ườ ợ ừ ườ ợ ắ ằ ở ở x). 9. Parabol : * Cho F, F ∉ (∆) M ∈ (P) ⇔ MF = d(M,(∆)) (P) : y 2 = 2px (p > 0) (ph ng trình chính t c).ươ ắ tiêu đi m (p/2, 0), đ ng chu n x = – p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 + xể ườ ẩ M ; tâm sai e = 1, ti p tuy n v i (P) t i M : phân đôi t a đ ; (P) tx (d) : Ax + By +ế ế ớ ạ ọ ộ C = 0 ⇔ pB 2 = 2AC (p : h s c a x trong (P) đi v i B : h s c a y trongệ ố ủ ớ ệ ố ủ (d)); tham s tiêu : p.ố (P) : y 2 = – 2px (p > 0) (ph ng trình không chính t c).ươ ắ tiêu đi m (–p/2, 0), đ ng chu n x = p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 – xể ườ ẩ M ; tâm sai e = 1, ti p tuy n v i (P) t i M : phân đôi t a đ ; (P) tx (d) : Ax + By +ế ế ớ ạ ọ ộ C = 0 ⇔ pB 2 = – 2AC. (P) : x 2 = 2py (p > 0) (ph ng trình không chính t c).ươ ắ tiêu đi m (0, p/2), đ ng chu n y = – p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 + yể ườ ẩ M ; tâm sai e = 1, ti p tuy n v i (P) t i M : phân đôi t a đ ; (P) tx (d) : Ax + By +ế ế ớ ạ ọ ộ C = 0 ⇔ pA 2 = 2BC (p : h s c a y trong (P) đi v i A : h s c a x trongệ ố ủ ớ ệ ố ủ (d)). (P) : x 2 = – 2py (p > 0) (ph ng trình không chính t c).ươ ắ tiêu đi m (0, – p/2), đ ng chu n y = p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 – yể ườ ẩ M ; tâm sai e = 1, ti p tuy n v i (P) t i M : phân đôi t a đ ; ế ế ớ ạ ọ ộ (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ pA 2 = – 2BC . CHÚ Ý : * C n có quan đi m gi i tích khi làm toán hình gi i tích : đ t câu h i c n tìmầ ể ả ả ặ ỏ ầ gì? (đi m trong mp M(xể o ,y o ) : 2 n ; đi m trong không gian (3 n); đ ngẩ ể ẩ ườ th ng trong mp Ax + By + C = 0 : 3 n A, B, C - th c ra là 2 n; đ ng tròn :ẳ ẩ ự ẩ ườ 3 n a, b, R hay A, B, C; (E) : 2 n a, b và c n bi t d ng ; (H) : nh (E); (P) :ẩ ẩ ầ ế ạ ư 1 n p và c n bi t d ng; mp (P) : 4 n A, B, C, D; m t c u (S) : 4 n a, b, c,ẩ ầ ế ạ ẩ ặ ầ ẩ R hay A, B, C, D; đ ng th ng trong không gian (d) = (P) ườ ẳ ∩ (Q); đ ng trònườ trong không gian (C) = (P) ∩ (S). * V i các bài toán hình không gian : c n l p h tr c t a đ .ớ ầ ậ ệ ụ ọ ộ 26 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info . Ph m Thuỳ Linh – 12A1 0- THPT KT(06 – 09)ạ I- GI I TÍCH T H PẢ Ổ Ợ 1. Giai th a : ừ n! = 1.2 n 0! = 1 n! /(n –. ữ ố ố ợ ố ế - Cho 3 : t ng các ch s chia h t cho 3.ổ ữ ố ế - Cho 9 : t ng các ch s chia h t cho 9.ổ ữ ố ế - Cho 5 : t n cùng là 0 hay 5.ậ - Cho 6 : chia