BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - - - - - LÊ THANH TUẤN TIÊU CHUẨN MỚI VỀ ĐAN RỐI CHO HỆ BA MODE Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán Mã số : 60 44 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC Huế, năm 2010 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nghiên cứu nào khác. Huế, tháng 10 năm 2010 Tác giả luận văn Lê Thanh Tuấn ii LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành ngoài sự nổ lực của bản thân, tôi còn nhận được nhiều sự giúp đỡ, động viên của thầy cô, gia đình và bè bạn. Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo - TS. Trương Minh Đức đã giúp đỡ tôi rất nhiều về mặt tài liệu và dành cho tôi sự hướng dẫn tận tình trong suốt thời gian tôi tìm hiểu, nghiên cứu và thực hiện đề tài. Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy giáo, cô giáo ở Khoa Vật lý Trường ĐHSP Huế - những người đã trực tiếp giảng dạy; xin cảm ơn các thầy cô ở Phòng Đào tạo Sau Đại học đã giúp đỡ tôi về nhiều mặt trong những năm tháng học tập vừa qua tại trường. Xin gửi lời cảm ơn đến Lãnh đạo Sở Nội vụ, Sở GD-ĐT, Ban giám hiệu, các thầy cô trong Tổ Vật lý và các đồng nghiệp Trường THPT Bến Quan - Tỉnh Quảng Trị đã cho tôi có cơ hội được học tập và tạo điều kiện thuận lợi về thời gian để tôi hoàn thành khóa học. Trong quá trình học tập, tôi luôn nhận được sự động viên, khích lệ và sự giúp đỡ nhiệt tình của các anh chị, các bạn học viên Cao học K16 - K17 của Trường ĐHSP Huế. Tôi xin chân thành cảm ơn. Cuối cùng, xin gửi lời tri ân thành kính nhất đến gia đình, bố mẹ, các anh chị và những người bạn thân nhất của tôi; xin gửi tặng thành quả hôm nay cho tất cả những người mà tôi yêu quý nhất. Huế, tháng 10 năm 2010 Tác giả luận văn Lê Thanh Tuấn iii MỤC LỤC Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 MỞ ĐẦU 3 Chương 1- MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN 8 1.1. Ma trận mật độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Trạng thái thuần và trạng thái hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1. Trạng thái thuần (pure state) . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2. Trạng thái hỗn hợp (mixed state) . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Tiêu chuẩn chia tách được của các trạng thái hỗn hợp . . . . . . 13 1.3.1. Nguyên lý về tính không thể chia tách của trạng thái hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2. Tiêu chuẩn chia tách được của ma trận mật độ [18] . . . 14 1.4. Phương sai của phép đo đại lượng vật lý . . . . . . . . . . . . . 16 1.5. Chuyển vị từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6. Một số trạng thái phi cổ điển ba mode . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6.1. Trạng thái |GHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 1.6.2. Trạng thái chân không bị nén ba mode trong không gian Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6.3. Trạng thái kết hợp bộ ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chương 2- TIÊU CHUẨN MỚI VỀ ĐAN RỐI CHO HỆ BA MODE 20 2.1. Tiêu chuẩn đan rối cho hệ hai mode của Agarwal G. S. và Asoka Biswas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Tiêu chuẩn đan rối mới cho hệ ba mode . . . . . . . . . . . . . 25 Chương 3- NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT RỐI CỦA MỘT SỐ TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN 30 3.1. Trạng thái |GHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2. Trạng thái chân không bị nén ba mode trong không gian Fock . 35 3.3. Trạng thái kết hợp bộ ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1 2 MỞ ĐẦU 1. Lịch sử vấn đề Khoa học thông tin lượng tử là một ngành phát triển rất nhanh chóng trong nhiều ngành của cơ học lượng tử và lý thuyết thông tin với những ứng dụng nổi bật như phân bố lượng tử và khóa lượng tử. Hiện nay, nó đóng vai trò quan trọng trong số các ngành học của vật lý và công nghệ thông tin. Trong suốt hai thập niên cuối của thế kỷ XX, việc nghiên cứu các vấn đề cơ bản của cơ lượng tử và vật lý tính toán là nồng cốt trong việc tìm kiếm các giải pháp cho các vấn đề trọng tâm trong khoa học thông tin lượng tử, cung cấp các cơ sở nhận thức cho sự phát triển của các tiêu chuẩn lượng tử và các thuật tính toán. Rối hay tính không chia tách được lượng tử là một phần quan trọng trong lý thuyết thông tin lượng tử, đó là nguồn có giá trị, là chìa khóa cho sự phát triển nhanh chóng của tiến trình xử lý thông tin lượng tử [14]. Ý niệm về rối xuất hiện đầu tiên vào năm 1935 trong tài liệu của Einstein, Podolsky, Rosen (EPR), trong đó các trạng thái bị rối là các trạng thái hai hạt lượng tử có liên quan đặc biệt với tọa độ và xung lượng. Sau đó, cũng trong năm 1935, Erwin Schrodinger đã đưa ra khái niệm rối và ông gọi rối là điểm nổi bật đặc trưng của cơ học lượng tử [13]. Vào lúc đó, rối là điều ngạc nhiên nhất của hình thức luận lượng tử. Đến nay, rối đang là một đề tài thu hút được các nhà khoa học tập trung nghiên cứu cả lý thuyết cũng như thực nghiệm. Các trạng thái bị rối có một đặc điểm rất kỳ lạ, một khi hai đối tượng nào đó đã ở trong trạng thái này thì chúng mãi mãi vương vấn nhau, ảnh hưởng qua lại nhau, cho dù sau đó chúng tách ra xa bao nhiêu và nếu một đối tượng chịu một tác động nào đó thì ngay lập tức đối tượng kia sẽ bị ảnh hưởng theo. 3 Điều này dẫn đến một nghịch lý kì bí và rối rắm về logic. Thậm chí ngay cả Einstein cũng không thể nào hình dung nổi và ông gọi đó là "tác động ma quái phi không gian". Sự tồn tại của các trạng thái rối ngày nay đã được thực nghiệm khẳng định. Việc tìm ra các trạng thái rối là vấn đề cần quan tâm, vì các trạng thái này là nguồn có giá trị đối với tính toán lượng tử và thông tin lượng tử. Muốn phát hiện một trạng thái có bị rối hay không phải dựa vào những tiêu chuẩn cụ thể. Hiện nay người ta xác minh rối chỉ dựa vào một số tính chất thống kê đặc trưng. Một tính chất thống kê đã biết của rối là sự vi phạm bất đẳng thức Bell. Tuy nhiên, những yêu cầu đối với sự vi phạm bất đẳng thức này còn là một điều kiện yếu đối với việc kiểm tra một trạng thái có bị rối hay không. Năm 1996, Peres đưa ra tiêu chuẩn chia tách được đối với ma trận mật độ [18]. Tiêu chuẩn này mạnh hơn so với việc sử dụng bất đẳng thức Bell cho việc phát hiện tính không chia tách được lượng tử. Sau đó năm 1997, Pawel Horodecki đưa ra tiêu chuẩn chia tách được và các trạng thái không chia tách được với chuyển vị từng phần dương [11], nhưng tiêu chuẩn này cũng đúng cho trường hợp hệ 3×3, 2 ×4. Năm 2001, Kraus, Lewenstein, Cirac nghiên cứu các tính chất chia tách được của các trạng thái Gaussian 3 mode [8]. Năm 2002, HongyiFan, Guichuan Yu đã chứng minh được trạng thái chân không bị nén ba mode trong không gian Fock cũng là một trạng thái bị rối [7]. Năm 2006, Mark Hillery và Suhail Zubairy đã đưa ra một lớp các bất đẳng thức cho việc phát hiện rối trong các hệ hai mode [9], [10]. Cũng trong năm 2006, Nha và Kim đã đưa ra tiêu chuẩn về rối thông qua các hệ thức bất định trong đại số SU(2) và SU(1, 1), qua đó phát hiện các trạng thái rối phi Gaussian [17]. Năm 2005, Agarwal G.S. và Asoka Biswas dựa vào phép chuyển vị từng phần đã đưa ra các tiêu chuẩn dò tìm đan rối trong các hệ hai mode [3]. 4 Ở Việt Nam, vấn đề về rối cũng được các nhà khoa học đặc biệt quan tâm, hiện nay có một nhóm của GS. Nguyễn Bá Ân và các cộng sự đang nghiên cứu về vấn đề này. Các nghiên cứu về trạng thái bị rối và các tiêu chuẩn để phát hiện rối vẫn đang được tiếp tục tiến hành và thu hút sự chú ý của các nhà vật lý vì những ứng dụng của nó trong khoa học thông tin lượng tử hiện nay. 2. Lý do chọn đề tài Như đã trình bày, các trạng thái bị rối là nguồn có giá trị đối với tính toán lượng tử và thông tin lượng tử. Tuy nhiên, giới hạn giữa các trạng thái bị rối và các trạng thái chia tách được vẫn chưa thực sự rõ ràng, các đặc trưng của trạng thái bị rối vẫn chưa được tìm ra một cách đầy đủ và chính xác. Có thể nói những tiêu chuẩn của Horodecki và Peres đã làm tiền đề cho việc tìm kiếm các tiêu chuẩn phát hiện rối trong các hệ sau này, trong đó có tiêu chuẩn đan rối cho hệ hai mode của Agarwal G. S. và Asoka Biswas. Hai ông xây dựng hệ thức bất định từ việc định nghĩa các toán tử, sau đó sử dụng phép chuyển vị từng phần để đưa về các bất đẳng thức mới làm tiêu chuẩn để dò tìm đan rối trong các hệ hai mode. Về nguyên tắc, các đại lượng có mặt trong bất đẳng thức và độ bất định của chúng là có thể đo lường được, do đó các điều kiện mà hai ông đưa ra có thể được sử dụng để phát hiện rối trong phòng thí nghiệm. Ở đây các điều kiện được biểu diễn trong các số hạng của biến liên tục dẫn đến một họ các điều kiện khác cho việc phát hiện rối. Vấn đề về rối lượng tử đang là một vấn đề thú vị và thu hút được sự chú ý hiện nay bởi còn nhiều điều chưa được khám phá và những ứng dụng cực kỳ to lớn của nó. Được sự hướng dẫn của TS. Trương Minh Đức, tôi đã tìm hiểu những vấn đề liên quan về rối và thấy đây là một đề tài thực sự hấp dẫn. 5 Trên cơ sở những tài liệu đã tìm hiểu, tôi chọn đề tài "TIÊU CHUẨN MỚI VỀ ĐAN RỐI CHO HỆ BA MODE", với mong muốn tìm ra những tiêu chuẩn mới để phát hiện rối trong các hệ ba mode và áp dụng những tiêu chuẩn đó nghiên cứu tính chất rối của một số trạng thái phi cổ điển. 3. Mục tiêu nghiên cứu Trong luận văn này, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu tiêu chuẩn mới về đan rối cho hệ ba mode, sau đó áp dụng tiêu chuẩn mới tìm được để nghiên cứu tính chất rối của một số trạng thái ba mode phi cổ điển như trạng thái |GHZ, trạng thái chân không bị nén ba mode, trạng thái kết hợp bộ ba. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Từ nhũng mục tiêu cần đạt được của luận văn thì nhiệm vụ nghiên cứu cụ thể như sau:  Trình bày những vấn đề chung liên quan đến rối lượng tử.  Giới thiệu về tiêu chuẩn đan rối cho hệ hai mode của Agarwal G. S. và Asoka Biswas.  Đưa ra được tiêu chuẩn đan rối mới cho hệ ba mode.  Áp dụng các tiêu chuẩn tìm được để dò tìm đan rối đối với một số trạng thái phi cổ điển. 5. Phạm vi nghiên cứu Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu và đưa ra tiêu chuẩn mới về đan rối cho hệ ba mode, trên cơ sở đó áp dụng để nghiên cứu tính chất đan rối của một số trạng thái phi cổ điển. 6 6. Phương pháp nghiên cứu Để nghiên cứu đề tài này, chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết, cụ thể sử dụng kiến thức các môn học như cơ lượng tử, lý thuyết trường lượng tử, vật lý thống kê để xây dựng các bất đẳng thức và tính các trị trung bình. Để thực hiện tính toán, đề tài sử dụng phần mềm tính toán và vẽ đồ thị Mathematica. 7. Bố cục luận văn Sau phần mở đầu, luận văn được tiếp tục bằng Chương 1. Chương này trình bày một số vấn đề tổng quan như ma trận mật độ, trạng thái thuần và trạng thái hỗn hợp, tiêu chuẩn chia tách được của trạng thái hỗn hợp, chuyển vị từng phần, một số trạng thái phi cổ điển. Trong Chương 2 trình bày về tiêu chuẩn đan rối trong các hệ hai mode của Agarwal G. S. và Asoka Biswas, quá trình xây dựng và đưa ra tiêu chuẩn đan rối mới trong các hệ ba mode. Trong Chương 3 chúng tôi sẽ sử dụng tiêu chuẩn tìm được để nghiên cứu tính chất rối trong một số trạng thái phi cổ điển. Phần Kết luận tóm tắt các kết quả chính của luận văn, đề xuất hướng nghiên cứu tiếp theo Cuối cùng là phần Tài liệu tham khảo và Phụ lục. Các kết quả chính của Luận văn được thể hiện trong bài báo đã được nhận đăng trong tạp chí Khoa học và Giáo dục của trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế. 7 [...]... như vậy Kết quả này mở ra một con đường mới để nghiên cứu các bất đẳng thức không thể chia tách tổng quát cho trạng thái phi Gaussian 2.2 Tiêu chuẩn đan rối mới cho hệ ba mode Xuất phát từ tiêu chuẩn đan rối cho hệ hai mode của Agarwal G S và Asoka Biswas, ở phần này chúng tôi đưa ra các bất đẳng thức mới làm tiêu chuẩn để phát hiện rối trong các hệ ba mode Xét ba mode của trường điện từ, với (a, a+ ),... đó sẽ bị rối hoàn toàn Vì vậy, các lớp bất đẳng thức mà chúng tôi đã đưa ra ở trên được gọi là tiêu chuẩn để dò tìm đan rối trong các hệ ba thành phần 29 Chương 3 NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT RỐI CỦA MỘT SỐ TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN Trong chương này, chúng tôi sẽ sử dụng các tiêu chuẩn đã được đưa ra ở Chương 2 cho trường hợp hệ là một trạng thái ba thành phần A, B và C của hệ lần lượt tương ứng với ba mode a,... thì các tiêu chuẩn tồn tại cho việc phát hiện rối còn rất hạn chế Trong nhiều trường hợp, các tiêu chuẩn này ở dạng các bất đẳng thức [9], và nói chung chúng chỉ cung cấp các điều kiện đủ cho việc phát hiện rối [14] Tuy nhiên các bất đẳng thức đó lại không được sử dụng để dò tìm đan rối đối với các trạng thái phi Gaussian Trong chương này, chúng tôi giới thiệu về điều kiện đan rối cho hệ hai mode của... TIÊU CHUẨN MỚI VỀ ĐAN RỐI CHO HỆ BA MODE Hiện nay đã tồn tại một số phương pháp phát hiện rối trong các trạng thái hai mode, chẳng hạn như điều kiện chuyển vị từng phần dương của PeresHorodecki [12], những bằng chứng về rối, nhưng chúng không dễ dàng áp dụng trong mọi trường hợp Đặc biệt đối với những hệ có bậc tự do liên tục như tọa độ hay xung lượng của hạt hay các thành phần vuông góc của các mode. .. xây dựng hệ thức bất định của các toán tử và sử dụng phép chuyển vị từng phần, hai ông đã đưa về được các bất đẳng thức mới Vì mọi trạng thái lượng tử đều thỏa mãn hệ thức bất định nên nếu một trạng thái nào đó vi phạm một trong các bất đẳng thức trên thì trạng thái đó bị rối Dựa trên ý tưởng đó, chúng tôi xây dựng các bất đẳng thức mới làm tiêu chuẩn để phát hiện đan rối trong các hệ ba mode Đó chính... và c của trạng thái đó để kiểm tra tính chất rối của hệ Các trạng thái mà chúng tôi nghiên cứu trong chương này đó là trạng thái |GHZ , trạng thái chân không bị nén ba mode trong không gian Fock và trạng thái kết hợp bộ ba Dựa vào các tiêu chuẩn phát hiện rối ở Chương 2, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng các trạng thái trên là bị rối (có thể là bị rối một phần hoặc rối hoàn toàn) 3.1 Trạng thái |GHZ Trong mục... |2 2 (2.12) Bất đẳng thức (2.6) và (2.12) được gọi là tiêu chuẩn đan rối của Agarwal G S và Asoka Biswas Nếu một trạng thái hai mode bị rối khi nó vi phạm một trong hai bất đẳng thức trên Trong nội dung này, chúng ta sẽ sử dụng các tiêu chuẩn trên để nghiên cứu một ví dụ của trạng thái hai mode phi Gaussian, đó là trạng thái chia đôi bị rối có dạng ψ(xa , xb ) = 2 2 2 (αxa + βxb ).e−(xa +xb )/2 ,... hiện đan rối trong các hệ ba mode Đó chính là nội dung chính của chương này 20 2.1 Tiêu chuẩn đan rối cho hệ hai mode của Agarwal G S và Asoka Biswas Xuất phát từ các toán tử được định nghĩa như sau: a+ b + ab+ Sx = , 2 a+ b − ab+ Sy = , 2i a+ a + b+ b Sz = , 2 (2.1) với iSz = [Sx , Sy ], vì vậy các toán tử Si tuân theo hệ thức bất định 1 ∆Sx ∆Sy ≥ | Sz | 2 1 ⇔ (∆Sx )2 (∆Sy )2 ≥ | Sz |2 , 4 (2.2) với... từ hệ thức bất định nên nó luôn luôn thỏa mãn đối với mọi trạng thái hai mode Để phát hiện đan rối trong các trạng thái hai mode, hai ông đã sử dụng phép chuyển vị từng phần ở hệ con thứ hai (b ↔ b+ ) và được bất đẳng thức sau: a+ ab+ b + aa+ bb+ + a+2 b2 + a2 b+2 − a+ b + ab+ × 2 a+ ab+ b + aa+ bb+ − a+2 b2 − a2 b+2 + a+ b − ab+ ≥ | a+ a + bb+ |2 2 (2.12) Bất đẳng thức (2.6) và (2.12) được gọi là tiêu. .. (mixed state) Nếu hệ lượng tử không cô lập và tương tác với các hệ xung quanh không xác định được một cách chính xác, khi đó chúng ta không thể giải phương trình 10 Schrodinger để xác định hàm sóng của hệ, do đó trạng thái của hệ được gọi là trạng thái mixed Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng cụm từ "trạng thái hỗn hợp" để đặc trưng cho trạng thái của hệ lượng tử này Để mô tả hệ lượng tử trong khuôn . kết hợp bộ ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chương 2- TIÊU CHUẨN MỚI VỀ ĐAN RỐI CHO HỆ BA MODE 20 2.1. Tiêu chuẩn đan rối cho hệ hai mode của Agarwal. về tiêu chuẩn đan rối cho hệ hai mode của Agarwal G. S. và Asoka Biswas.  Đưa ra được tiêu chuẩn đan rối mới cho hệ ba mode.  Áp dụng các tiêu chuẩn tìm