LÊ HOÀNH PHÒ Nhà giáo ưu tú CHUYÊN KHẢO ĐA THỨC TÀI LIỆU DÙNG CHO CÁC LỚP CHUYÊN TOÁN, BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI VÀ THAM KHẢO CHO SINH VIÊN NGÀNH TOÁN NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH 2003 PHẦN A: LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ A1. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN A2. HỆ SỐ VÀ GIÁ TRỊ ĐA THỨC A3. ĐA THỨC VỚI CÁC YẾU TỐ GIẢI TÍCH A4. PHÉP CHIA ĐA THỨC. ƯỚC – BỘI A5. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC A6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VÀ BẬC CAO A7. NGHIỆM VỚI YẾU TỐ GIẢI TÍCH A8. PHÂN TÍCH THEO CÁC NGHIỆM. SỐ NGHIỆM A9. ĐỊNH LÍ VIETE A10. CÔNG THỨC NỘI SUY LAGRANGE A11. KHAI TRIỂN VÀ BIỂU DIỄN A12. NHỊ THỨC NEWTON – TỔ HP A13. ĐA THỨC HỆ SỐ PHỨC – SỐ PHỨC A14. ĐA THỨC HỆ SỐ NGUYÊN – SỰ KHẢ QUI A15. ĐA THỨC NHIỀU BIẾN – ĐA THỨC ĐỐI XỨNG ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN I. Đònh nghóa đa thức: Cho hàm số f: R R Ta gọi f là đa thức nếu: f  const (hằng số) hoặc tồn tại Zn , n  1 và các số thực n aaaa , ,,, 210 với 0 n a sao cho: nn nn axaxaxaxf    1 1 10 )( * n aaa , ,, 10 là các hệ số 0 0 a là hệ số cao nhất. n a là hệ số tự do. Đặc biệt, khi 1 0 a thì đa thức được gọi là đa thức chuẩn tắc hay monic *Với 0 0 a thì n là bậc của đa thức f(x), ký hiệu deg f = n. Đặc biệt f  const thì deg f = 0. *Đôi khi ta viết gọn:     n i in i 0 )( xaxf hay viết ngược lại: 0, )( 01 1 1 0      n n n n n n k k k bbxbxbxbxbxf II. Đa thức trên các tập số: nn nn axaxaxaxf    1 1 10 )( Nếu các hệ số Ra  i thì kí hiệu   xRf  Nếu các hệ số Qa  i thì kí hiệu   xQf  Nếu các hệ số Za  i thì kí hiệu   xZf  III. Các phép toán: nn nn axaxaxaxf    1 1 10 )( nn nn bxbxbxbxf    1 1 10 )( Thì ta có 3 phép toán thông thường: f(x) + g(x); f(x) - g(x); f(x).g(x); và phép hợp ))(()( 0 xgfxgf  Từ f(x), g(x) ta có thể viết hình thức: nn nn AxAxAxAxf    1 1 10 )( nn nn BxBxBxBxg    1 1 10 )( Với   11 0,0;, borBaorAmnmaxk  ii thì   )( )()()( 1 1120 kk kk BAxBAxBAxgxf   và kk kk 212 12 1 2 0 )().( cxcxcxcxgxf    Kết quả: Cho   mgdegnfdegandxRgf  ,, thì   mngfdeg nmgfdeg nmmaxgfdeg . ).( ;)( 0    IV.Đa thức sai phân: Cho   nfdegxRf  , đa thức sai phân:     in in n i i in n i i        xxaxaxf1xff 1)1()()( 00 có bậc là n-1 và hệ số cao nhất na 0 .  Từ đó ta có dãy đa thức sai phân giảm dần một bậc f k  . V.Đa thức Chebyshev: T n (x) với       1),()(.2)( )(,1)( 11 10 nxTxTxxT xxTxT nnn Cụ thể: T 0 (x) = 1 T 1 (x) = x T 2 (x) = 2x 2 – 1 T 3 (x) = 4x 3 – 3x T 4 (x) = 8x 4 – 8x 2 +1 T 5 (x) = 16x 5 – 20x 3 + 5x ,… Đa thức Chebyshev T n (x) có bậc n và có hệ số cao nhất 2 n-1 . Đôi khi ta chỉ xét 1n trở đi. Kết quả: (1):  coscosT )( n . Ta chứng minh bắng qui nạp theo n lớn hơn hoặc bằng 1. Khi n = 1:  coscosT )( 1 Khi n = 2:  212)( 2 2 coscoscosT  Giả sử  coskcosT )( k thì )()1( )1()()( )1(.2 )()(.2)( 11 Truekcos kcoskcoskcos kcoscoscos cosTcosTcoscosT          k kkk Do đó:  n n coscosT )(   1,1,1)(:)2(  xxT n . Vì 1x nên đặt x=  cos 1)()(   ncoscosTxT nn 1)(:)3( xT n có đúng n nghiệm phân biệt trên   1,1 là: 1, ,1,0,  nk n  cos kx Với 1x thì 11)(   cosnxT n ZkkZkknsinn  ,,0 n   Do đó: 1, 1,0,  nk n cos kcosx   VI.Đa thức lượng giác: Dạng:      n k kkn 1 0 )( sinkxbcoskxaaxL với 0 nn ba gọi là đa thức lượng giác cấp n với các hệ số a 0 , a k , b k . Nếu các a k = 0 thì    n k kn 1 0 .)( sinkxbaxL Nếu các b k = 0 thì    n k kn 1 0 .)( coskxaaxL Ví dụ: Cho đa thức: 8)(;34)( 12)( 234 23   xxxhxxxg xxxxf Xác đònh f(x) + g(x); g(x).f(x); h(x 3 ) và g 0 h(x). Giải: Ta có: f(x) + g(x) = x 3 – 2x 2 + x – 1 + 4x 2 – x + 3 = x 3 + 2x 2 + 2 f(x).g(x) = (x 3 – 2x 2 + x – 1)( 4x 2 – x + 3) = 4x 5 – 9x 4 + 9x 3 – 11x 2 + 4x – 3 h(x 3 ) = - x 9 + x 6 + 8 g 0 h(x) = g(h(x)) = 4(- x 3 + x 2 +8) 2 – (- x 3 + x 2 +8) +3 =4x 6 – 8x 5 + 4x 4 – 63x 3 + 62x 2 + 251 . LÊ HOÀNH PHÒ Nhà giáo ưu tú CHUYÊN KHẢO ĐA THỨC TÀI LIỆU DÙNG CHO CÁC LỚP CHUYÊN TOÁN, BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI VÀ THAM KHẢO CHO. QUI A15. ĐA THỨC NHIỀU BIẾN – ĐA THỨC ĐỐI XỨNG ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN I. Đònh nghóa đa thức: Cho hàm số f: R R Ta gọi f là đa thức nếu: