Tín Hiệu Hệ Thống Bài 4: Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier Đỗ Tú Anh tuanhdo-ac@mail.hut.edu.vn Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện Chương 3: Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier 3.1 Giới thiệu chung 3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hồn chuỗi Fourier 3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục 3.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc EE3000-Tín hiệu hệ thống Tổ chức EE3000-Tín hiệu hệ thống EE3000-Tín hiệu hệ thống Vài nét lịch sử Euler nghiên cứu dây rung, ~ 1750 Phương pháp phân tích sóng Fourier (1822) phát triển cơng trình ơng dịng nhiệt Fourier tín hiệu tuần hồn biểu diễn thành tổng hàm sin có tần số khác Được sử dụng rộng rãi để hiểu rõ cấu trúc chất tần số tín hiệu EE3000-Tín hiệu hệ thống Tại lý thuyết Fourier quan trọng ? Phép biến đổi Fourier ánh xạ tín hiệu miền thời gian sang tín hiệu miền tần số Bản chất tần số tín hiệu giải thích cách đơn giản miền tần số Thiết kế hệ thống để lọc thành phần tần số thấp cao Bất biến với tín hiệu cao tần EE3000-Tín hiệu hệ thống Chương 3: Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier 3.1 Giới thiệu chung 3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hồn chuỗi Fourier 3.2.1 Hàm riêng giá trị riêng 3.2.2 Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục 3.2.3 Xác định hệ số chuỗi Fourier (liên tục) 3.2.4 Điều kiện Dirichlet 3.2.5 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu gián đoạn 3.2.6 Xác định hệ số chuỗi Fourier rời rạc 3.2.7 So sánh chuỗi Fourier liên tục rời rạc EE3000-Tín hiệu hệ thống Hàm riêng (Đi sâu vào hệ liên tục trước, kết áp dụng cho hệ gián đoạn) Hệ thống Hàm riêng Giá trị riêng Hàm riêng Từ tính chất xếp chồng hệ LTI – Các hàm riêng hệ LTI gì? – Loại tín hiệu biểu diễn thành xếp chồng hàm riêng đó? Giống khái niệm giá trị riêng/vector riêng đại số ma trận EE3000-Tín hiệu hệ thống Hàm riêng Ví dụ 1: Hệ thống đơn vị Bất kỳ hàm hàm riêng hệ LTI Ví dụ 2: Hệ thống trễ Bất kỳ hàm tuần hoàn x(t)=x(t+T) hàm riêng hệ LTI EE3000-Tín hiệu hệ thống Hàm riêng Ví dụ 3: h(t) hàm chẵn hàm riêng (cho hệ thống này) Một hệ thống LTI cụ thể có nhiều loại hàm riêng EE3000-Tín hiệu hệ thống 10 Chuỗi Fourier cho tín hiệu thực Với tín hiệu thực, ta ln có ∗ a− k = ak (Để chứng minh, tìm liên hợp phức x(t), ký hiệu x*(t), với ý x(t)=x*(t)) viết ∞ ( x(t ) = a0 + ∑ ak e k =1 jkω0t + a− k e − jkω0t ∞ ) = a + ∑(a e k =1 k jkω0t ∗ + ak e− jkω0t ) Một số cách biểu diễn khác ak = Ak e jθ k ∞ x(t ) = a0 + 2∑ Ak cos( kω0t + θ k ) k =1 ak = Bk + jCk EE3000-Tín hiệu hệ thống ∞ x(t ) = a0 + 2∑ ( Bk cos kω0t − Ck sin kω0t ) k =1 18 Chuỗi Fourier cho tín hiệu thực Ví dụ EE3000-Tín hiệu hệ thống 19 Chương 3: Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier 3.1 Giới thiệu chung 3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hồn chuỗi Fourier 3.2.1 Hàm riêng giá trị riêng 3.2.2 Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục 3.2.3 Xác định hệ số chuỗi Fourier (liên tục) 3.2.4 Điều kiện Dirichlet 3.2.5 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu gián đoạn 3.2.6 Xác định hệ số chuỗi Fourier rời rạc 3.2.7 So sánh chuỗi Fourier liên tục rời rạc EE3000-Tín hiệu hệ thống 20 Xác định hệ số chuỗi Fourier 1) nhân với 2) tích phân chu kỳ Ở 1) nhân với 2) tích phân chu kỳ tích phân khoảng có độ dài T (một chu kỳ) EE3000-Tín hiệu hệ thống ⇓ 21 Tiếp tục … ⇓ ⇓ Cặp chuỗi Fourier liên tục (Phương trình tổng hợp) (Phương trình phân tích) EE3000-Tín hiệu hệ thống 22 Ví dụ 1: Tín hiệu sin thực Các hệ số chuỗi Fourier xác định sau (sin ω0t )e jkω0t T ∫T 1 = e j (1−k )ω0t dt − jT ∫T jT ak = ∫T e j ( −1−k )ω0t dt Tích phân T k = 1, k ≠ Tích phân thứ hai T k = -1, k ≠ -1 Do ta có a1 = EE3000-Tín hiệu hệ thống 1 , a−1 = − , ak = k ≠ ±1 2j 2j 23 Ví dụ 2: Sóng vng tuần hồn Với k = Với k ≠ EE3000-Tín hiệu hệ thống 24 Một số chuỗi Furier có ích x(t ) = ∞ ∑ k =−∞ EE3000-Tín hiệu hệ thống Ck e jkω0t , Ck = T0 ∫T x(t )e − jkω0t dt 25 Một số chuỗi Furier có ích EE3000-Tín hiệu hệ thống 26 Các cách biểu diễn khác Dạng lượng giác Các hệ số chuỗi Fourier Dạng lượng giác rút gọn EE3000-Tín hiệu hệ thống 27 Các cách biểu diễn khác: Ví dụ (bằng cách nhìn đồ thị) (vì hàm đối xứng lẻ) Chu kỳ Tần số n lẻ EE3000-Tín hiệu hệ thống 28 Các cách biểu diễn khác: Ví dụ Chu kỳ Tần số Biểu thức đầy đủ Dịch pha EE3000-Tín hiệu hệ thống 29 Chương 3: Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier 3.1 Giới thiệu chung 3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hồn chuỗi Fourier 3.2.1 Hàm riêng giá trị riêng 3.2.2 Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục 3.2.3 Xác định hệ số chuỗi Fourier (liên tục) 3.2.4 Điều kiện Dirichlet 3.2.5 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu gián đoạn 3.2.6 Xác định hệ số chuỗi Fourier rời rạc 3.2.7 So sánh chuỗi Fourier liên tục rời rạc EE3000-Tín hiệu hệ thống 30 Điều kiện Dirichlet Điều kiện Điều kiện Ví dụ Điều kiện Ví dụ x(t) khả tích tuyệt đối chu kỳ Trong khoảng thời gian hữu hạn, x(t) có hữu hạn cực đại cực tiểu Ví dụ khơng thỏa mãn điều kiện Trong khoảng thời gian hữu hạn, x(t) có hữu hạn điểm khơng liên tục Ví dụ khơng thỏa mãn điều kiện EE3000-Tín hiệu hệ thống 31 Hiện tượng Gibb Chuỗi Fourier cho sóng vng – Khi K tăng, gợn sóng xN(t) hẹp dần – Độ điều chỉnh khơng đổi với N Xấp xỉ x(t) EE3000-Tín hiệu hệ thống 32 ... 3: Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier 3.1 Giới thiệu chung 3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hồn chuỗi Fourier 3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục 3.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc EE3000 -Tín hiệu hệ. .. EE3000 -Tín hiệu hệ thống ∞ x(t ) = a0 + 2∑ ( Bk cos kω0t − Ck sin kω0t ) k =1 18 Chuỗi Fourier cho tín hiệu thực Ví dụ EE3000 -Tín hiệu hệ thống 19 Chương 3: Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier. .. tần số thấp cao Bất biến với tín hiệu cao tần EE3000 -Tín hiệu hệ thống Chương 3: Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier 3.1 Giới thiệu chung 3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn chuỗi Fourier 3.2.1 Hàm