Bài giảng toàn kinh tế Chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN ξ 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x 1 , x 2 ,… x n ) (xi ∈ R, i = 1, n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là R n . R n = {x = (x 1 , x 2 ,… x n ): x i ∈ R, i = 1, n} Trong đó x i là toạ độ thứ i của điểm x. Khoảng cách 2 điểm: x = (x 1 ,x 2 ,… x n ), y = (y 1 ,y 2 ,… y n ) ∈ R n : Một số tính chất của d: a) d(x,y) ≥ 0; d(x,y) = 0 ó x i = y i , ∀I ó x = y b) d(x,y) = d(y,x) c) d(x,y) ≤ d(x,z) + d (z,y) Lân cận: Cho x 0 ∈R n và số r > 0. Tập S(x 0 , r) = {x ∈ R n : d(x,x 0 ) < r} được gọi là một lân cận của x 0 . Điểm trong: Điểm x 0 ∈R n được gọi là điểm trong của D ⊂ R n nếu D chứa một lân cận của x 0 Điểm biên: Điểm x 0 ∈ R n được gọi là điểm biên của D ⊂ R n nếu mọi lân cận của x 0 đều chứa ít nhất các điểm x, y: x ∈ D, y ∉ D. Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi là biên của D Tập đóng: Nếu biên của D thuộc D. Tập mở: Nếu biên của D không thuộc D. Hàm 2 biến: D ⊂ R 2 , một ánh xạ f: D → R, được gọi là hàm số 2 biến. Ký hiệu: • D: miền xác định • f(D) = {z∈D: z = f(x,y), ∀(x,y) ∈ D} gọi là miền giá trị Ví dụ: Tìm miền xác định: z = 2x – 3y +5 z = ln(x + y -1) Hàm n biến: D ⊂ R n , một ánh xạ f: D → R được gọi là hàm số n biến. Ký hiệu: ξ 2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Giới hạn hàm số: Cho hàm f(x,y) xác định tại lân cận M 0 (x 0 ,y 0 ), có thể không xác định tại M0. Số thực L được gọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến đến M 0 (x 0 ,y 0 ), nếu: ∀ε > 0, δ∃ > 0: d(M,M 0 ) < δ => |f(M) – L| < ε • Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến. Nguồn: nguyenngoclam.com 1 ∑ = −= n i ii yxyxd 1 2 )(),( 22 1 yxz −−= ), ,(), ,(: 2121 nn xxxfzxxxf = 2 0 2 00 )y-(y)x-(x)Md(M, += LMf MM = → )(lim 0 Lyxf yxyx = → ),(lim ),(),( 00 Lyxf yy xx = → → ),(lim 0 0 Bài giảng toàn kinh tế • Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến. Ví dụ: Liên tục của hàm: f được gọi là liên tục tại (x 0 ,y 0 ) nếu Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bị chặn trên D ⊂ R 2 thì: • Tồn tại số M: |f(x,y)| ≤ M • f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D Tương tự ta có thể định nghĩa giới hạn và sự liên tục của hàm số đối với hàm n biến (n≥3) ξ 3. ĐẠO HÀM RIÊNG Định nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D, M0(x 0 ,y 0 ) ∈ D. Nếu cho y = y 0 là hằng số, hàm số một biến f(x,y 0 ) có đạo hàm tại x = x 0 , được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại M 0 . Ký hiệu: Đặt ∆xf = f(x 0 + ∆x, y 0 )-f(x 0 ,y 0 ): Số gia riêng của f tại M 0 . Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f theo biến y. Tương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến số (n≥3). Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng: Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y). Các đạo hàm riêng f’x, f’y được gọi là những đạo hàm riêng cấp 1. Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riêng cấp 2. Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 3,… Nguồn: nguyenngoclam.com 2 22 22 )0,0(),( )sin( lim yx yx yx + + → 22 )0,0(),( lim yx xy yx + → ),(),(lim 00 ),(),( 00 yxfyxf yxyx = → ),( z ),,( f ,),( 000000 ' yx x yx x yxf x ∂ ∂ ∂ ∂ x f x x ∆ ∆ = →∆ 0 ' x limf y f y y ∆ ∆ = →∆ 0 ' y limf 4234 25 yyxxz +−= y xu = ),( '' 2 2 yxf x f x f x xx = ∂ ∂ =       ∂ ∂ ∂ ∂ ),( '' 2 yxf xy f x f y yx = ∂∂ ∂ =       ∂ ∂ ∂ ∂ ),( '' 2 yxf yx f y f x xy = ∂∂ ∂ =         ∂ ∂ ∂ ∂ ),( '' 2 yxf yy f y f y yy = ∂∂ ∂ =         ∂ ∂ ∂ ∂ Bài giảng toàn kinh tế Định lý (Schwarz): Nếu trong lân cận nào đó của M 0 hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàm riêng và liên tục tại M 0 thì fxy = fyx tại M 0 . Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của n biến số (n≥3) Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) là các hàm số khả vi của u,v và các hàm số u = u(x,y), v = v(x,y) có các đạo hàm riêng u x , u y , v x , v y thì tồn tại các đạo hàm riêng: Ví dụ: Tính z = e u cosv, u = xy, v = x/y ξ4. ĐẠO HÀM HÀM ẨN Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình F(x,y) = 0 Nếu tồn tại hàm y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, ∀x ∈ (A,B) thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y) = 0. Ví dụ: xy – e x + e y = 0 Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến: Ví dụ: Tính y’ nếu: F(x,y) = x 3 + y 3 – 3axy = 0 F(x,y) = xy – e x + e y = 0 Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0. Nếu tồn tại hàm số hai biến z = f(x,y) sao cho F(x,y,z) = 0, với mọi x, y thuộc miền xác định của f, thì f gọi là hàm ẩn từ phương trình F(x,y,z Đạo hàm của hàm số ẩn 2 biến: Ví dụ: tính z x , z y nếu xyz = cos(x+y+z) ξ4. CỰC TRỊ Cực trị tự do: Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm M0(x 0 ,y 0 ) nếu tồn tại một lân cận ∆ của M 0 sao cho f(M) ≤ f(M 0 ), ∀M ∈ ∆ (f(M) ≥ f(M 0 ), ∀M ∈ ∆). F(M 0 ) gọi chung là cực trị. Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x 2 + y 2 Điều kiện cần để có cực trị: Nếu f(x 0, y 0 ) là cực trị của f và f có đạo hàm riêng tại (x 0 ,y 0 ) thì: f’x(x 0 ,y 0 ) = 0, f’y(x 0 ,y 0 ) = 0 Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số z = f(x,y). Tại những điểm thỏa z x = z y 0, ta gọi định thức Hessian: Nguồn: nguyenngoclam.com 3 y x F F y −=' z x F F x z −= ∂ ∂ z y F F y z −= ∂ ∂ yyyx xyxx zz zz H = x v v f x u u f x z ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ y v v f y u u f y z ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ Bài giảng toàn kinh tế Đặt: • Nếu |H 1 |>0, |H 2 |>0: z đạt cực tiểu • Nếu |H 1 |<0, |H 2 |>0: z đạt cực đại Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x 2 + y 2 + 4x – 2y + 8, z = x 3 + y 3 Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số y = f(x 1 ,x 2 …x n ). Tại những điểm thỏa f x1 = f x1 = … f x1 = 0, giả sử tại đó tồn tại các đạo hàm riêng cấp 2, đặt Ta có định thức Hessian: • Nếu |H 1 |>0, |H 2 |>0,… |H n |>0 : z đạt cực tiểu • Nếu |H 1 |<0, |H 2 |>0,… (-1) n |H n |>0 : z đạt cực đại Ví dụ: Tìm cực trị hàm số y = x 3 + y 2 + 2z 2 -3x - 2y – 4z Cực trị có điều kiện: Định nghĩa: Cực trị của hàm số z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = c gọi là cực trị có điều kiện. Định lý: Nếu M 0 (x 0 ,y 0 ) là cực trị có điều kiện trên. Đặt hàm Lagrange: L(x,y,λ) = f(x,y) + λ(c-g(x,y)) với g’x,g’y không đồng thời bằng 0 thì: λ là nhân tử Lagrange, điểm M0(x 0 ,y 0 ) của hệ trên gọi là điểm dừng. Ví dụ: Tìm điểm dừng của z(x,y), với điều kiện x + y = 1. Mở rộng hàm n biến: Hàm số f(x 1 ,x 2 ,…x n ) với điều kiện g(x 1 ,x 2 ,…x n ) = c. Hàm Lagrange L = f + λ(c-g) Điều kiện đủ để có cực trị có điều kiện: Định lý: Nếu f, g có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại điểm dừng M 0 , xét định thức Hessian đóng: Nguồn: nguyenngoclam.com 4 yyyx xyxx xx zz zz HzH == 2 ,1 nnnn n n n fff fff fff H ff ff HfH , , 21 22221 11211 2221 1211 2111 ===      =−= =−= =−= 0),( 0 0 yxgcL gfL gfL yyy xxx λ λ λ 22 1 yxz −−=          =−= =−= =−= =−= 0 0 0 0 222 111 gcL gfL gfL gfL nnn λ λ λ λ yyyxy xyxxx yx LLg LLg gg H 0 = Bài giảng toàn kinh tế • Nếu |H|>0: f đạt cực đại có điều kiện • Nếu |H|<0: f đạt cực đại có điều kiện Ví dụ: Tìm cực trị có điều kiện của hàm số: f = 6 – 4x – 3y với điều kiện x 2 + y 2 = 1 Mở rộng hàm n biến: Xét hàm số f(x 1 ,x 2 ,…x n ) với điều kiện g(x 1 ,x 2 ,…x n ) = c. Hàm Lagrange: L = f + λ(c-g). Xét tại điểm dừng M 0 (x 0 ,y 0 ), ta xét định thức Hessian đóng: • Nếu |H 2 |<0, |H 3 |<0,… |Hn|<0 : z đạt cực tiểu • Nếu |H 2 |>0, |H 3 |<0,… (-1) n |H n |>0 : z đạt cực đại Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u = x – 2y + 2z với điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 1 Nguồn: nguyenngoclam.com 5 nnnnn n n n LLLg LLLg LLLg ggg H 0 21 222212 112111 21 =