Annals of Mathematics Equidistribution de sous- vari´et´es sp´eciales Par Laurent Clozel et Emmanuel Ullmo Annals of Mathematics, 161 (2005), 1571–1588 Equidistribution de sous-vari´et´es sp´eciales Par Laurent Clozel et Emmanuel Ullmo 1. Introduction Soit S une vari´et´e de Shimura sur C.Ond´efinit sur S un ensemble de points sp´eciaux (les points `a multiplication complexe) et un ensemble de sous-vari´et´es sp´eciales que l’on appelle sous-vari´et´es de type de Hodge. Les d´efinitions qui seront donn´ees plus tard dans le texte sont pr´esent´ees de mani`ere tr`es agr´eable dans le papier de Moonen [8]. Dans ce cadre Andr´e et Oort font la conjecture suivante. Soit Y une sous- vari´et´edeS, il existe un ensemble fini {S 1 , ,S r } de sous-vari´et´es sp´eciales avec S i ⊂ Y pour tout i tel que toute vari´et´esp´eciale Z de S contenue dans Y est en fait contenue dans un des S i .Ler´esultat le plus profond dans la direction de cette conjecture a ´et´e obtenu par Edixhoven et Yafaev [5]. On d´efinit dans ce texte une classe assez large de sous-vari´et´es sp´eciales que nous appellerons fortement sp´eciales par manque d’une terminologie plus ad´equate. D´ecrivons les sous-vari´et´es fortement sp´eciales: Soit S une vari´et´e de Shimura associ´ee `a une donn´ee de Shimura (G, X) pour un groupe alg´ebrique adjoint sur Q et une G(R)-classe de conjugaison X de morphismes: h : S −→ G R , o`u S d´esigne le tore de Deligne Res C / R G m . Une sous-vari´et´esp´eciale de S est associ´ee `aunQ-sous-groupe alg´ebrique r´eductif H. Les sous-vari´et´es fortement sp´eciales seront celles qui sont associ´ees `aunQ-sous-groupe alg´ebrique semi- simple H Q qui n’est contenu dans aucun Q-sous-groupe parabolique propre de G Q .Ler´esultat principal de ce texte est Th ´ eor ` eme 1.1. Soit Y une sous-vari´et´ed’une vari´et´e de Shimura S.Il existe un ensemble fini {S 1 , ,S k } de sous-vari´et´es fortement sp´eciales de dimension positive S i ⊂ Y tel que si Z est une sous-vari´et´e fortement sp´eciale de dimension positive avec Z ⊂ Y alors Z ⊂ S i pour un certain i ∈{1, ,k}. 1572 LAURENT CLOZEL AND EMMANUEL ULLMO Le th´eor`eme 1.1 se d´eduit d’un ´enonc´e ergodique. Toute sous-vari´et´e sp´eciale Z de S est munie d’une mani`ere canonique d’une mesure de proba- bilit´e μ Z . Th ´ eor ` eme 1.2. Soit S n une suite de sous-vari´et´es fortement sp´eciales. Soit μ n la mesure de probabilit´e associ´ee `a S n . Il existe une sous-vari´et´e forte- ment sp´eciale Z et une sous-suite μ n k qui converge faiblement vers μ Z .De plus Z contient S n k pour tout k assez grand. On obtient la preuve du th´eor`eme 1.1 en consid´erant une suite de sous- vari´et´es fortement sp´eciales maximales parmi les sous-vari´et´es fortement sp´eciales S n contenues dans Y . En passant `a une sous-suite on peut supposer que μ n converge faiblement vers μ Z . Comme le support de μ Z est contenu dans Y ,onend´eduit que Z ⊂ Y . Par la maximalit´e des S n et le fait que S n ⊂ Z pour tout n assez grand, on en d´eduit que la suite S n est stationaire. La preuve des r´esultats principaux de ce texte repose sur des r´esultats ergodiques . L’outil principal de ce texte est la conjecture de Raghunathan sur les flots unipotents d´emontr´ee par Ratner [12], [13] et pr´ecis´ee par Mozes et Shah [10]. Dans la deuxi`eme partie de ce texte nous expliquons, dans le cadre arithm´etique qui nous concerne, les r´esultats ergodiques dont nous avons besoin. La troisi`eme partie repose essentiellement sur la th´eorie des donn´ees de Shimura (G, X)d´evelopp´ee par Deligne [3], [4] interpr´etant les travaux de Shimura. On y montre les r´esultats pr´eliminaires `alad´emonstration des propri´et´es de stabilit´e de l’ensemble des sous-vari´et´es fortement sp´eciales obtenues en d´ebut de quatri`eme partie. Les th´eor`emes principaux sont alors d´emontr´es `a la fin de la quatri`eme partie. Nous donnons aussi des exemples o`u le th´eor`eme 1.2 est mis en d´efaut pour des suites de vari´et´es sp´eciales associ´ees `a des groupes H n qui ne sont pas semi-simples ou qui sont contenus dans un Q-parabolique propre. Remerciements. Les auteurs remercient le rapporteur pour d’utiles com- mentaires qui ont conduit `a une am´elioration notable du r´esultat principal de ce texte. 2. Pr´eliminaires sur les groupes Notations. Soit H un groupe alg´ebrique; conform´ement `a l’usage on notera H 0 la composante connexe de H pour la topologie de Zariski, H ad , H der et H sc d´esignent respectivement le groupe adjoint, le groupe d´eriv´eetle revˆetement simplement connexe de H der . On notera R u (H) le radical unipotent de H.SiH est un sous-groupe de G, on notera N G (H) le normalisateur dans G de H et Cent G (H)ouZ G (H) son centralisateur. Si H est semi-simple connexe EQUIDISTRIBUTION DE SOUS-VARI ´ ET ´ ES SP ´ ECIALES 1573 et d´efini sur un corps k, H est produit presque direct de ses k-sous-groupes connexes normaux minimaux H 1 , ,H r ([11, prop. 2.4, p. 62]). Si H est adjoint ou simplement connexe ce produit est direct ([11, p. 62]). Par abus de langage les H i seront appel´es facteurs k-simples de H dans la suite du texte. Si H 1 est un facteur R-simple d’un groupe semi-simple connexe H sur R, on dit que H 1 est compact ou non compact si H 1 (R) est compact ou non compact. On notera dans cette situation H(R) + la composante connexe neutre de H(R) pour la topologie r´eelle et H(R) + la pr´eimage de H ad (R) + par l’application adjointe. Si de plus H est d´efini sur Q, on note H(Q) + = H(R) + ∩ H(Q)etH(Q) + = H(R) + ∩ H(Q). Si A est un sous- ensemble d’un espace topologique, on note A son adh´erence. Soient G Q un groupe alg´ebrique connexe et semi-simple d´efini sur Q et G = G Q (R) + . On suppose que les groupes de points r´eels des facteurs Q-simples de G Q ne sont pas compacts. Soit Γ un sous-groupe arithm´etique de G et Ω = Γ\G. On note P (Ω) l’ensemble des mesures de Borel de probabilit´e sur Ω. Soit H l’ensemble des sous-groupes de Lie ferm´es connexes H de G tels que: 1) H ∩ Γ est un r´eseau de H. En particulier Γ\ΓH est ferm´e et on note μ H ∈ P (Ω) sa mesure H-invariante normalis´ee. 2) Le sous-groupe L de H engendr´e par les sous-groupes unipotents `aun param`etre de G contenus dans H agit ergodiquement sur Γ\ΓH par rapport `a μ H . Pour H ∈H, on notera L(H) (ou L si il n’y a pas de confusion possible) le sous-groupe de H engendr´e par les sous-groupes unipotents `a un param`etre de G contenus dans H. Lemme 2.1. Soient H ∈Het L = L(H) le sous-groupe associ´e. a) Soit Γ\ΓL l ’adh´erence de Γ\ΓL dans Γ\G. Alors Γ\ΓL =Γ\ΓH. b) Dans cette situation H est le plus petit sous-groupe de Lie ferm´edeG tel que Γ\ΓL =Γ\ΓH. c) Il existe un Q-sous-groupe alg´ebrique H Q de G Q tel que H = H Q (R) + . Preuve. Notons tout d’abord que d’apr`es les travaux de Ratner [12], [13], il existe un plus petit sous-groupe de Lie ferm´e H  de G tel que L ⊂ H  et Γ\ΓL =Γ\ΓH  . D’apr`es [10, prop. 2.1], H  ∈H. Par ailleurs L est un sous-groupe normal de H et agit ergodiquement sur Γ\ΓH. Il existe donc une orbite sous L qui est dense. Il existe donc h ∈ H tel que Γ\ΓH = Γ\ΓhL = Γ\ΓhLh −1 h = Γ\ΓLh. 1574 LAURENT CLOZEL AND EMMANUEL ULLMO On en d´eduit que Γ\ΓL =Γ\ΓH; ce qui prouve (a). Par minimalit´edeH  ,onaH  ⊂ H. D’apr`es [15, prop. 3.2] si H Q d´esigne le plus petit Q-sous-groupe de G Q tel que L ⊂ H Q (R), on a H Q (R) + = H = H  . Ceci prouve donc (b) et (c). Si E est un sous-ensemble de G,ond´efinit le groupe de Mumford-Tate de E, not´e MT(E), comme le plus petit Q-sous-groupe alg´ebrique H Q de G Q tel que E ⊂ H Q (R). Si H ∈Het L = L(H) alors H = MT(L)(R) + .On retiendra le lemme suivant dˆu`a Shah. Lemme 2.2 (Shah). Soient H ∈Het L = L(H). a) Le radical N de L est unipotent et L est un produit semi-direct L = NS pour un groupe semi -simple sans facteurs compacts S. b) Le radical de MT(L) est unipotent. Preuve. Le (a) est d´emontr´e dans [15] Lemme 2.9. Le (b) d´ecoule de [15, prop. 3.2] et du fait que Γ est un r´eseau arithm´etique (cf. [15, rem. 3.7]). Lemme 2.3. Soit H Q un Q-sous-groupe alg´ebrique connexe semi-simple de G Q . Alors H Q (R) + ∈Hsi et seulement si pour tout facteur Q-simple H 1 Q de H Q , H 1 Q (R) n’est pas compact. Preuve. Remarquons tout d’abord que par un r´esultat de Cartan ([11, prop. 7.6]), si F est un R-groupe alg´ebrique simple, simplement connexe et non compact alors F (R)=F (R) + est engendr´e par ses sous-groupes unipotents `a un param`etre. On en d´eduit que si F est un R-groupe alg´ebrique simple non compact alors F(R) + est engendr´e par ses sous-groupes unipotents `aun param`etre. Supposons que H Q est sans facteur Q-simple R-anisotrope. Soit L le sous- groupe de H Q (R) + engendr´e par ses sous-groupes unipotents `a un param`etre. Si F est un facteur simple non compact de H Q (R) + , alors par la discussion pr´ec´edente F ⊂ L.Onend´eduit que MT(F ) ⊂ MT(L). On en d´eduit alors que MT(L) contient les facteurs Q-simples de H Q donc MT(L)=H Q . D’apr`es les r´esultats de Ratner ([14, thm. 4, p. 162]), il existe H  ∈Hminimal tel que L ⊂ H  et Γ\ΓH  soit ferm´e dans Ω. D’apr`es le lemme 2.1 on a H  = MT(L)(R) + = H Q (R) + ∈H. R´eciproquement soit H = H Q (R) + ∈Het L = L(H). Si H Q a un facteur H 1 Q-simple qui est R-anisotrope, alors on a un morphisme surjectf Γ ∩H(R) + \H(R) + −→ Γ 1 \H  1 (R) + EQUIDISTRIBUTION DE SOUS-VARI ´ ET ´ ES SP ´ ECIALES 1575 avec H  1 isog`ene `a H 1 , l’action de L(H)`a droite ´etant triviale. L’image Γ 1 de Γ ∩ H(R) + est contenu dans un sous-groupe arithm´etique ([1, cor. 7.3]) donc est finie. Ceci contredit l’ergodicit´e de l’action de L. 2.1. Mesures alg´ebriques. Comme G op`ere `a droite sur Ω, on a une op´eration induite de G sur P (Ω) et pour μ ∈ P(Ω), on note μg son transform´e par g. Soit μ ∈ P(Ω), on note Λ(μ) son sous-groupe d’invariance (donc ferm´e dans G): Λ(μ)={g ∈ G | μg = μ} et Supp(μ) son support. On note L(μ) le sous-groupe de G engendr´e par les sous-groupes unipotents `a un param`etre contenus dans Λ(μ). On dit qu’une mesure μ ∈ P (Ω) est alg´ebrique si il existe x ∈ Ω tel que Supp(μ)=xΛ(μ). On note Q(Ω) l’ensemble des μ ∈ P(Ω) tels que l’action de L(μ) sur Ω soit ergodique par rapport `a μ. D’apr`es les r´esultats de Ratner toute mesure dans Q (Ω) est alg´ebrique et d’apr`es Mozes-Shah [10] pour tout μ ∈ Q(Ω), il existe un sous-groupe `a un param`etre unipotent u(t) ∈ L(μ) qui agit ergodiquement par rapport `a μ.Ler´esultat principal de [10] qui est `a la base de ce texte est: Th ´ eor ` eme 2.4 (Mozes-Shah). Soit μ i une suite de mesures dans Q(Ω) convergeant vers μ ∈ P (Ω). a) Q(Ω) est ferm´e donc μ ∈ Q(Ω). Soit x ∈ supp(μ). b) Soit u i (t) ⊂ L(μ i ) un sous-groupe unipotent `aunparam`etre agissant ergodiquement par rapport `a μ i . Soit g i ∈ G une suite convergeant vers e telle que xg i = x i ∈ supp(μ i ) et telle que {xg i u i (t): t>0} soit ´equidistribu´epar rapport `a μ i (une telle suite existe [10, p. 156]). Pour tout i assez grand, on a supp(μ i ) ⊂ supp(μ).g i et g i u i (t)g −1 i ∈ L(μ). De plus le sous-groupe de L(μ) engendr´e par les g i u i (t)g −1 i pour i assez grand agit ergodiquement par rapport `a μ. En particulier soit Q(Ω,e), l’ensemble des mesures μ ∈ Q(Ω) telles que Γ.e ∈ supp(μ). Les mesures de Q(Ω,e) sont les mesures H-invariantes nor- malis´ees de support Γ\ΓH pour un H ∈H. On utilisera aussi la proposition suivante essentiellement contenue dans Mozes-Shah [10]: Proposition 2.5. L’ensemble Q(Ω,e) est compact pour la topologie faible. Si μ n ∈ Q(Ω,e) est une suite qui converge faiblement vers μ ∈ Q(Ω,e), alors pour tout n assez grand supp(μ n ) ⊂ supp(μ). 1576 LAURENT CLOZEL AND EMMANUEL ULLMO 3. Sous-vari´et´es sp´eciales des vari´et´es de Shimura. 3.1. Pr´eliminaires. Soit S = Res C / R G m C le tore de Deligne, une donn´ee de Shimura est un couple (G Q ,X)o`u G Q est un groupe r´eductif sur Q et X ⊂ Hom(S,G R ) est une classe de G(R)-conjugaison v´erifiant les “conditions de Deligne” [3], [4]: a) Pour tout α ∈ X la repr´esentation adjointe Lie(G R ) est de type {(−1, 1), (0, 0), (1, −1)}; en particulier α(G m R ) ⊂ Z(G R ). b) L’involution int(α( √ −1)) est une involution de Cartan du groupe adjoint G ad R . c) Le groupe G ad Q n’a pas de Q-facteur R-anisotrope. On suppose dans la suite de cette section que G Q est adjoint. Pour tout α ∈ X, le groupe de Mumford-Tate MT(α) est d´efini comme le plus petit Q-sous-groupe de G Q tel que l’on ait une factorisation de α via MT(α) R . (Noter que ce groupe est donc connexe). Quand T = MT(α) est un tore, on dit que α est sp´ecial; comme T (R) est contenu dans le centralisateur de α( √ −1) qui est compact, on en d´eduit que T (R) est compact. D´efinition 3.1. Une sous-donn´ee de Shimura (H Q ,X H )de(G Q ,X) est une donn´ee de Shimura telle que H Q est un Q-sous-groupe alg´ebrique de G Q et X H la H(R)-classe de conjugaison d’un morphisme α : S → G R , α ∈ X se factorisant par H R . Proposition 3.2. Soit H Q un Q-sous-groupe alg´ebrique de G Q semi- simple connexe et sans Q-facteur R-anisotrope. On suppose qu’il existe α : S → G R , α ∈ X se factorisant par H R . Soit X H la H(R)-classe de conju- gaison de α. Alors (H Q ,X H ) est une sous-donn´ee de Shimura de (G Q ,X). Nous v´erifions les conditions (a), (b) et (c) des donn´ees de Shimura. Soit h = Lie H(R), g = Lie G(R), C = α( √ −1) ∈ H(R); alors C 2 est central dans H(R). La condition (a) d´ecoule du fait que h est un sous-espace de g invariant par S. Pour (b), H ´etant semi-simple, il nous suffit de v´erifier que int(C) est une involution de Cartan de H R . D’apr`es ([4], 1.1.15), il suffit d’exhiber une repr´esentation r´eelle V de H(R), fid`ele et C-polarisable au sens suiv- ant: il existe une forme bilin´eaire B sur V , invariante, telle que B(X, CY ) soit sym´etrique et d´efinie positive. On prend V = g pour la repr´esentation adjointe et B ´egale `a la forme de Killing. Enfin (c) est vrai par hypoth`ese. EQUIDISTRIBUTION DE SOUS-VARI ´ ET ´ ES SP ´ ECIALES 1577 3.2. Sous-vari´et´es de type de Hodge. On note A l’anneau des ad`eles de Q et A f l’anneau des ad`eles finis. Soit (G, X) une donn´ee de Shimura (G n’´etant pas n´ecessairement adjoint) et K un sous-groupe compact ouvert de G(A f ), on note Sh K (G, X)(C)=G(Q)\X ×G(A f )/K et [x, gK] l’image de (x, gK) ∈ X ×G(A f ) dans Sh K (G, X)(C). Soit X + une composante connexe de X; X + est une G ad (R) + -classe de conjugaison d’un morphisme h ad : S → G ad R et X + est un domaine sym´etrique hermitien. Soit K ∞ le fixateur de h ad ( √ −1) dans G ad (R) + . Soit K ∞,+ la pr´eimage de K ∞ par l’application adjointe, on a alors un isomorphisme X +  G(R) + /K ∞,+  G ad (R) + /K ∞ .(1) et Sh K (G, X)(C)=G(Q) + \X + × G(A f )/K.(2) On note encore [x, gK] l’image de (x, gK) ∈ X + ×G(A f ) dans Sh K (G, X)(C). Nous aurons besoin de la d´efinition des op´erateurs de Hecke dans ce cadre (voir par exemple [9, 1.6.1]). D´efinition 3.3. Soient g ∈ G(A f )etK g = K ∩gKg −1 . La correspondence de Hecke T g sur Sh K (G, X)(C) est d´efinie par le diagramme Sh K (G, X)(C) ← π 1 Sh K g (G, X)(C) π 2 → Sh K (G, X)(C). o`u π 1 est donn´e par l’inclusion K g ⊂ K et π 2 est l’application [x, θ] → [x, θg]. Soit Z une sous-vari´et´edeSh K (G, X)(C), on note T g .Z le cycle π 2∗ π ∗ 1 Z de Sh K (G, X)(C). On dit que T g .Z est le translat´edeZ par l’op´erateur de Hecke T g . Soit R G,K un syst`eme de repr´esentants de G(Q) + \G(A f )/K, alors R G,K est fini et Sh K (G, X)=∪ g∈R G,K Γ g \X + (3) o`u Γ g = G(Q) + ∩ gKg −1 . Si Γ  g d´esigne l’image par l’application adjointe de Γ g on a un isomorphisme Γ  g \X + =Γ g \X + o`u les groupes Γ g et Γ  g agissent de mani`ere naturelle via les isomorphismes de l’´equation (1). 1578 LAURENT CLOZEL AND EMMANUEL ULLMO On suppose dans la suite de cette section que G = G ad est un groupe adjoint donc que X + est une G(R) + classe de conjugaison de morphismes de S → G R et Γ g = G(Q) + ∩ gKg −1 . Soit (H, X H ) une sous-donn´ee de Shimura. Si K H = K ∩ H(A f ), on dispose d’un morphisme induit de vari´et´es de Shimura ψ :Sh K H (H, X H )(C) −→ Sh K (G, X)(C). On choisit alors un syst`eme de repr´esentant R H,K de H(Q) + \H(A f )/K H ; on a donc Sh K H (H, X H )(C)=∪ λ∈R H,K Δ λ \X + H avec Δ λ = H(Q) + ∩ λK H λ −1 . D´efinition 3.4. Avec les notations pr´ec´edentes, une sous-vari´et´e de la forme ψ(Δ λ \X + H ) est appel´ee sous-vari´et´e de type Shimura de Sh K (G, X)(C). Une composante irr´eductible d’un translat´e par un op´erateur de Hecke d’une sous- vari´et´e de type Shimura de Sh K (G, X)(C) est appel´ee sous-vari´et´edetypede Hodge. Le but de cette partie est de d´ecrire les sous-vari´et´es de type de Hodge dans le langage des espaces localement sym´etriques hermitiens. Le lemme suivant qui montre la faible diff´erence entre les notions de sous-vari´et´e de type Shimura et sous-vari´et´e de type de Hodge nous permettra de nous ramener toujours dans la suite `a des sous-vari´et´es de type Shimura. Lemme 3.5. Soit M une sous-vari´et´e de type de Hodge de Sh K (G, X)(C). Il existe β ∈ R G,K et une sous-vari´et´e de type Shimura M 1 tels que M est une composante irr´eductible de T β .M 1 . Preuve. Il existe une sous-donn´ee de Shimura (H, X H )etλ ∈ G(A f ) tels que M est l’image de X H × λK dans Sh K (G, X)(C). On peut ´ecrire λ = γβk avec γ ∈ G(Q) + , β ∈ R G,K et k ∈ K. Soient H γ = γ −1 Hγ et X γ la H γ (R)- classe de conjugaison de γ −1 .x 0 pour un x 0 ∈ X H ,(H γ ,X γ ) est une sous- donn´ee de Shimura et M est aussi l’image de X γ × βK dans Sh K (G, X)(C). On en d´eduit que M est une composante irr´eductible de T β .Sh K∩H γ ( A f ) (H γ ,X γ )(C). Lemme 3.6. Pour λ ∈ R H,K , il existe un unique β ∈ R G,K tel que λ = γβk avec γ ∈ G(Q) + et k ∈ K. On a alors ψ(Δ λ \X + H ) ⊂ Γ β \X + . EQUIDISTRIBUTION DE SOUS-VARI ´ ET ´ ES SP ´ ECIALES 1579 Preuve. On a pour tout x ∈ X + H ψ([x, λK H ]) = [x, λK]=[x, γβK]=[γ −1 x, βK]. Ceci termine la preuve quand on a remarqu´e que les ´el´ements de Δ λ \X + H sont ceux de la forme [y,λK H ](y ∈ X + H ) et ceux de Γ β \X + sont ceux de la forme [y, βK] avec y ∈ X + . Fixons x 0 ∈ X + H de sorte que X + H = H(R) + .x 0 ⊂ X + = G(R) + .x 0 . Soient x 1 = γ −1 .x 0 ∈ X et H γ = γ −1 Hγ.OnaH γ (R)=γ −1 H(R)γ et on note X H γ = H γ (R).x 1 la H γ (R)-classe de conjugaison de x 1 alors X + H γ = H γ (R) + .x 1 est une composante connexe de X H γ . On note ψ λ l’inclusion naturelle ψ λ : X + H γ −→ X + . Lemme 3.7. a) L’application ψ λ induit par passage au quotient une ap- plication (encore not´ee ψ λ ) ψ λ : γ −1 Δ λ γ\X + H γ −→ Γ β \X + , et ψ λ (γ −1 Δ λ γ\X + H γ )=ψ(Δ λ \X + H ). b) On a γ −1 Δ λ γ ⊂ Γ β et γ −1 Δ λ γ = H γ (Q) + ∩ Γ β = H γ (R) + ∩ Γ β . Preuve. Comme γ −1 λ = βk,ona γ −1 Δ λ γ = H γ (Q) + ∩ βkK H β −1 ⊂ Γ β . Ceci prouve `a la fois la premi`ere partie du (a) et du (b). Par ailleurs d’apr`es la preuve du lemme 3.6 ψ(Δ λ \X + H )={[γ −1 h.x 0 ,βK],h∈ H(R) + } d’o`u ψ(Δ λ \X + H )={[h.x 1 ,βK],h  ∈ H γ (R) + } = ψ λ (γ −1 Δ λ γ\X + H γ ). Comme Γ β ⊂ G(Q), on a H γ (Q) + ∩ Γ β = H γ (R) + ∩ Γ β , [...]... section 2 un ensemble de sous-groupes de Lie connexes de e e G(R)+ not´ H Si Ω = Γ\G(R)+ , on a aussi d´fini des ensembles de mesures de probabilit´s e Q(Ω, e) ⊂ Q(Ω) ⊂ P (Ω) D’apr`s la proposition 3.8, une sous-vari´t´ fortement sp´ciale de S0 ase ee e soci´e ` une sous-donn´e de Shimura (H , XH ) de (G, X) est (` translation par e a e a + un op´rateur de Hecke pr`s) l’image d’une vari´t´ de la forme ΔH \XH... suite de mesures canoniques μn sur la sous-vari´t´ sp´ciale Γ ∩ H\Xn n’a pas ee e de sous-suite convergente Preuve On peut tout d’abord supposer que G est adjoint Cela r´sulte e des d´finitions de sous-vari´t´s fortement sp´ciales en termes de la donn´e de e ee e e e e Shimura adjointe (Gad , X ad ) et de compatibilit´s ´videntes pour les mesures canoniques des sous-vari´tes fortement sp´ciales de S et de. .. des suites de tores Hn e e e e d´finissant des points CM De mˆme si (b) n’est pas v´rifi´ pour un groupe HQ , e e e e on peut d’apr`s la condition ´quivalente (b ) trouver une suite zn ∈ ZG (H) telle e e que l’image de zn dans Γ∩ZG (H)\ZG (H)(R) n’a pas de sous-suite convergente Soit α : S → GR se factorisant par HR et Xn la H(R)-classe de conjugaison de e e zn α; alors (H, Xn ) est une sous-donn´e de. .. l’ensemble des paraboliques sur Q est d´nombrable, il existe un e Q-parabolique propre P0 et un ensemble A ⊂ F (R)+ de mesure positive (pour la mesure de Haar sur F (R)+ ) tel que pour tout h ∈ A: ghW h−1 g −1 ⊂ P0 (R) 1584 LAURENT CLOZEL AND EMMANUEL ULLMO Comme l’ensemble des h ∈ F (R)+ tels que ghW h−1 g −1 ⊂ P0 (R) est un sousensemble de Zariski de F (R)+ de mesure positive, par connexit´ de F (R)+... HQ soit un tore, alors l ’image M de ΔH \XH dans S0 est une sous-vari´t´ de type de Hodge ee Preuve La sous-vari´t´ M est totalement g´od´sique dans S0 et contient ee e e un point sp´cial; par les r´sultats de Moonen ([8, thm 4.3]), c’est une souse e vari´t´ de type de Hodge ee 4 Preuve des th´or`mes e e 4.1 Sous-vari´t´s fortement sp´ciales Soient (G, X) une donn´e de ee e e Shimura avec G adjoint,... = λ.x0 , + XHλ la Hλ (R)+ -classe de conjugaison de x1 et ΔHλ = Γ ∩ Hλ (R)+ Alors Hλ + a les mˆmes propri´t´s que H et M est aussi l’image de ΔHλ \XHλ e ee Par ailleurs d’apr`s le lemme 2.3 et la condition c) de Deligne pour les e vari´t´s de Shimura (rappell´ au d´but de la section 3.1), on a H(R)+ ∈ H ee e e + Soit M = ΔH \XH une sous-vari´t´ fortement sp´ciale de type Shimura ee e Soit α ∈ X +... sont des sous-vari´t´s de type Shimura En ee effet par le lemme 3.5, en extrayant au besoin une sous-suite, on peut supposer qu’il existe λ ∈ RG,K tel que Sn est une composante irr´ductible de Tλ Sn pour e une sous-vari´t´ fortement sp´ciale Sn de type Shimura Le r´sultat pour Sn ee e e se d´duit alors de celui pour Sn e ee e Soit donc Sn une suite de sous-vari´t´ fortement sp´ciales de type Shimura de. .. P Ceci est impossible par la propri´t´ (b) des sous-vari´t´s fortement ee ee sp´ciales e 4.3 Preuve du th´or`me On dispose de tous les outils pour d´montrer e e e le r´sultat principal de ce texte: e ´ ´ ´ EQUIDISTRIBUTION DE SOUS-VARIETES SPECIALES 1585 ´ ` Theoreme 4.6 Soient (G, X) une donn´e de Shimura, K ⊂ G(Af ) un e + une composante irr´ductible de sous-groupe compact ouvert et S = Γ\X e ShK... donc en conjuguant au besoin Hn par un λn ∈ Γ choisir des relev´s par θ convenables βn ∈ XHn,λn e de tn dans un domaine fondamental fixe pour l’action de Γ sur X + Alors la e suite βn −→ β pour un relev´ β convenable de t On peut sans perte de g´n´ralit´ supposer que Hn = Hn,λn On a vu que e e e + ∈ H Pour tout n on note μ la mesure de Q(Ω, e) de support Hn,Q (R) n Γ\ΓHn (R)+ D’apr`s la proposition... aux Groupes Arithm´tiques, Publications de l’Institut de Math´matiques de l’Universit´ de Strasbourg XV, Actualit´s Scientifiques et Induse e e trielles, No 1341, Hermann, Paris, 1969 [2] S G Dani and G A Margulis, Asymptotic behaviour of trajectories of unipotent flows on homogeneous spaces, Proc Indian Acad Sci Math Sci 101 (1991), 1–17 [3] e e P Deligne, Travaux de Shimura, S´minaire Bourbaki, Expos´ . notions de sous-vari´et´e de type Shimura et sous-vari´et´e de type de Hodge nous permettra de nous ramener toujours dans la suite `a des sous-vari´et´es de. r´esulte des d´efinitions de sous-vari´et´es fortement sp´eciales en termes de la donn´ee de Shimura adjointe (G ad ,X ad ) et de compatibilit´es ´evidentes