Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Thẳng hàng và đồng quy Vũ Đức Kiên – Trường Thực hành sư phạm, CĐSP Quảng Ninh trang 1 BÀI TOÁ THẲG HÀG A. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG. 1. Ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó khi và chỉ khi  0 ABC = 180 Ví dụ 1: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Lấy điểm C thuộc AB sao cho CA < CB và điểm M thuộc nửa đường tròn đó. Đường thẳng qua M, vuông góc với MC cắt tiếp tuyến qua A của nửa đường tròn tại N. Đường thẳng qua C, vuông góc với NC cắt tiếp tuyến qua B của nửa đường tròn tại P. Chứng minh M, N, P thẳng hàng. Giải: P N O A B C M M ∈ nửa đường tròn đường kính AB  0 AMB 90 ⇒ = mà  0 NMC 90 =   NMA CMB ⇒ = Tứ giác ANMC có   0 NAC NMC 180 + = ⇒ tứ giác ANMC nội tiếp   NMA NCA ⇒ = lại có ANC ∆ và BCP ∆ đồng dạng   NCA CPB ⇒ = . Vậy   CMB CPB = ⇒ tứ giác CMPB nội tiếp  0 CMP 90 ⇒ =   0 NMC PMC 180 ⇒ + = ⇒ N, M, P thẳng hàng . Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Thẳng hàng và đồng quy Vũ Đức Kiên – Trường Thực hành sư phạm, CĐSP Quảng Ninh trang 2 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến qua A, C cắt nhau ở M. Vẽ hình bình hành ACMN. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) ở D. Chứng minh N, D, C thẳng hàng. Giải: D N M O A B C   ADN AMN = ( hai góc nội tiếp đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cùng chắn  AN ).   NMA CAM = ( vì NM // AC )   CAM CBA = ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây của đường tròn (O) cùng chắn  AC )   0 CBA CDA 180 + = ( vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tron (O)) Vậy   0 ADN CDA 180 + = hay ba điểm N, D, C thẳng hàng. 2. Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi đường thẳng AB và AC cùng song song hoặc cùng vuông góc với một đường thẳng nào đó. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Thẳng hàng và đồng quy Vũ Đức Kiên – Trường Thực hành sư phạm, CĐSP Quảng Ninh trang 3 Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là trung điểm của cung AB, K là trung điểm của đoạn BC. AK cắt (O) tại M. Kẻ CH vuông góc với AM. OH cắt BC tại N. MN cắt (O) tại D. Chứng minh rằng B, H, D thẳng hàng. Giải: D N H M K C O A B  0 AMB 90 = ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) hay BM AM ⊥ mà CM AM ⊥ ⇒ MB // CH lại có KC = KB nên tam giác KMB = tam giác KHC ⇒ BH // CM. (1) lại có OC = OM ⇒ O ∈ trung trực của CM .  0 CMA 45 = ,  0 CHM 90 = ⇒ tam giác CHM vuông cân CH MH ⇒ = ⇒ H ∈ trung trực của CM. Vậy OH là trung trực của CM. N ⇒ ∈ trung trực của CM hay NC = NM ⇒ tam giác NCM cân   NCM NMC ⇒ = lại có   DMC DBC = ( hai góc nội tiếp đường tròn (O) cùng chắn  DC Vậy   BCM CBD = ⇒ DB // CM (2) Từ (1) và (2) ⇒ D, H, B thẳng hàng. Ví dụ 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi 1 1 1 A ;B ;C là trung điểm của các cung    BC;CA;AB của đường tròn (O) và I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. 1 1 A C cắt AB ở M, 1 1 A B cắt AC ở N. Chứng minh M, I, N thẳng hàng. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Thẳng hàng và đồng quy Vũ Đức Kiên – Trường Thực hành sư phạm, CĐSP Quảng Ninh trang 4 Giải: N M I A 1 B 1 C 1 O B C A Dễ thấy 1 1 1 AA ;BB ;CC đồng quy tại I.    ( )   ( )   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A IC sdA C sdC A sdA B sdBC sdA C A CI 2 2 2 = + = + = = ⇒ tam giác 1 A IC cân. Lại có   1 1 1 1 AA B CA B = (hai góc nội tiếp (O) chắn hai cung bằng nhau   1 1 AB B C = Vậy 1 1 A B là trung trực của IC nên tam giác NIC cân   NIC NIC ⇒ = mà   NCI ICB =   NIC ICB ⇒ = ⇒ IN // BC. Chứng minh tương tự ta được IM // BC. Vậy N, I, M thẳng hàng. Ví dụ 5: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Về cùng một phía với nửa đường tròn đó, vẽ hình vuông ABCD. M là điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn. Về phía ngoài tam giác MAB vẽ hình vuông BMNE. Chứng minh C, E, N thẳng hàng. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Thẳng hàng và đồng quy Vũ Đức Kiên – Trường Thực hành sư phạm, CĐSP Quảng Ninh trang 5 Giải: E N C D A B M Xét tam giác ABM và tam giác CBE có; Vì     0 ABC MBE 90 ABM CBE = = ⇒ = ; AB = CB; MB = EB   ABM CBE AMB CEB ⇒ ∆ = ∆ ⇒ = Mà  0 AMB 90 = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) Vậy BE CE ⊥ lại có BE NE ⊥ vậy E, N, C thẳng hàng. 3. Sử dụng định lí Menelaus vào chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Định lí Menelaus: Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, AC và phần kéo dài của cạnh CB lần lượt lấy 3 điểm M, , P. Khi đó điều kiện cần và đủ để ba điểm M, , P thẳng hàng là: . . 1 = MA PB C MB PC A Chứng minh: *) Giả sử M, , P thẳng hàng. Kẻ CG // PM ( G AB ∈ ) Xét tam giác BMP có GC // MP PB MB PC MG ⇒ = Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Thẳng hàng và đồng quy Vũ Đức Kiên – Trường Thực hành sư phạm, CĐSP Quảng Ninh trang 6 G N A B C M P Xét tam giác AGC có MN // GC NC MG NA MA ⇒ = . Vậy MA PB NC MA MB MG . . . . 1 MB PC NA MB MG MA = = **) Giả sử MA PB NC . . = 1 MB PC NA Xét đường thẳng MN cắt BC tại P’. vậy M, N, P’ thẳng hàng theo phần trên ta có MA P'B NC . . 1 MB P'C NA = . Kết hợp với MA PB NC . . 1 MB PC NA = ta được PB P'B PC P'C = do đó P P' ≡ hay M, N, P thẳng hàng. Lưu ý: Định lí vẫn đúng trong trường hợp cả ba điểm M, , P cùng nằm trên phần kéo dài của ba cạnh của tam giác ABC. Ví dụ 6: Cho tam giác ABC không cân, AD là phân giác ngoài, BE, CF là các phân giác trong của tam giác. Chứng minh rằng D, E, F thẳng hàng. Giải: x E F DC B A Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Thẳng hàng và đồng quy Vũ Đức Kiên – Trường Thực hành sư phạm, CĐSP Quảng Ninh trang 7 Trong tam giác ABC: *) AD là phân giác DC AC DB AB ⇒ = (1) *) BE là phân giác EA BA EC BC ⇒ = (2) *) CF là phân giác FB CB FA CA ⇒ = (3) Nhân vế với vế của (1); (2); (3) được DC EA FB AC BA CB . . . . 1 DB EC FA AB BC CA = = Xét tam giác ABC có E, F nằm trong các cạnh AC, AB, D nằm ngoài cạnh BC ( D thuộc đường thẳng BC) và DC EA FB . . 1 DB EC FA = . Theo định lí Menelaus ta có D, E, F thẳng hàng. Ví dụ 7: Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của (O) tại A cắt BC ở M, tiếp tuyến của (O) tại B cắt AC ở N, tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB ở P. Chứng minh M, N, P thẳng hàng. Giải: N M P O B C A Có   CBN CAB = ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Thẳng hàng và đồng quy Vũ Đức Kiên – Trường Thực hành sư phạm, CĐSP Quảng Ninh trang 8 chắn cung  CB của (O)) ⇒ NBC ∆ và NAB ∆ đồng dạng NB NC BC NA NB AB ⇒ = = 2 2 NB NC BC BC NC BC . . NA NB AB AB NA AB ⇒ = ⇒ = (1) Tương tự ta chứng minh được 2 2 MB AB MC AC = (2) ; 2 2 PA CA PB CB = (3) Nhân vế với vế của (1); (2); (3) ta được 2 2 2 2 2 2 NC MB PA BC AB CA . . . . 1 NA MC PB BA AC CB = = Dễ thấy M, N, P đều nằm ngoài các cạnh của tam giác ABC. Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC với 3 điểm M, N, P ta có M, N, P thẳng hàng. B. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài tập 1: Cho đường tròn (O), từ điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O). C là một điểm trên đường tròn (M, MA) và nằm trong đường tròn (O). AC và BC cắt đường tròn (O) lần lượt tại A 1 và B 1 . Chứng minh A 1 ; O; B 1 thẳng hàng. Giải: C 1 B 1 B A O M C Có   1 1 1 BAC BOC 2 = (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn  1 BC của (O) ) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Thẳng hàng và đồng quy Vũ Đức Kiên – Trường Thực hành sư phạm, CĐSP Quảng Ninh trang 9 Có   1 BAC BMC 2 = (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn  BC của (M) ) Vậy   1 BMC BOC = . Chứng minh tương tự ta có   1 AMC AOB = Lại có   0 MAO MBO 90 = = ⇒ tứ giác MAOB nội tiếp   0 AMB AOB 180 ⇒ + =        1 1 1 1 B OC B OA AOB BOC AMC AOB CMB ⇒ = + + = + +   0 AMB AOB 180 = + = . Vậy B 1 , O, C 1 thẳng hàng. Bài tập 2: Cho tam giác ABC có các góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). H là trực tâm của tam giác, M là một điểm trên cung BC không chứa A. Gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB, AC. Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng. Giải: CH cắt AB ở P, cắt (O) tại Q. Có   QAB QCB = (hai góc nội tiếp (O) cùng chắn  BQ ) (1) Có   0 APC AGC 90 = = ⇒ tứ giác APGC nội tiếp đường tròn đường kính AC   PAG PCG ⇒ = hay   QCB BAH = (2) G R Q P E N H K O A B C M Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Thẳng hàng và đồng quy Vũ Đức Kiên – Trường Thực hành sư phạm, CĐSP Quảng Ninh trang 10 Từ (1) và (2)   QAP HAP ⇒ = . Xét tam giác AQH có AP vừa là đường cao vừa là phân giác nên tam giác AQH cân hay H và Q đối xứng qua AB. Mà M và N đối xứng qua AB nên  MQA và  NHA đối xứng qua AB   AHN AQM ⇒ = Chứng minh tương tự ta được   AHE ARM = .     AHN AHE AQM ARM ⇒ + = + , lại có tứ giác AQMR nội tiếp (O) nên   0 AQM ARM 180 + = . Vậy   0 AHN AHE 180 + = hay N, H, E thẳng hàng. Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, trên AC lấy D bất kì, từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt BC ở E và cắt đường thẳng BA tại F. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADF và đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE cắt nhau tại điểm thứ hai P. Chứng minh a) C, P, F thẳng hàng. b) B, D, P thẳng hàng. Giải: a) Tam giác CDE vuông tại E ⇒ CD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp P F E C A B D tam giác CDE. P ∈ đường tròn đường kính CD  0 DPC 90 ⇒ = [...]... 1 Đưa bài toán đồng quy về bài toán thẳng hàng Ví dụ 1 Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó Vẽ hai đường tròn (O1), (O2), đường kính AB và đường kính BC Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài của (O1) và (O2) ( D ∈ ( O1 ) , E ∈ ( O 2 ) ) Chứng minh rằng đường thẳng BD, đường thẳng vuông góc với AC tại C và đường thẳng vuông góc với AE tại E đồng quy Giải: D A O1 S B E C O2 R Giả sử đường thẳng. .. D, F thẳng hàng (Tương tự ví dụ 5) Bài tập 8: Chứng minh rằng các hành chiếu của chân đường cao AA1 của tam giác ABC lên các cạnh AB, AC và lên hai đường cao BB1, CC1 của tam giác ABC là bốn điểm thẳng hàng Vũ Đức Kiên – Trường Thực hành sư phạm, CĐSP Quảng Ninh trang 12 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Thẳng hàng và đồng quy BÀI TOÁ ĐỒ G QUY A M T S PHƯƠNG PHÁP CH NG MINH BA ĐƯ NG TH NG Đ NG QUY 1... Menelaus ta được Q; I; N thẳng hàng hay MP, AC; QN đồng quy Tương tự ta chứng minh được BD, MP, QN đồng quy Vậy bốn đường thẳng AC, BD, MP, NQ đồng quy 2 Ba đường thẳng đang xét là ba đường đặc biệt trong tam giác (phân giác, đường cao, ) Ví dụ 4: Cho tam giác ABC Gọi (O1), (O2) là hai đường tròn đường kính AB và đường kính AC (O1) cắt đường thẳng AC ở B1 (O2) cắt đường thẳng AB ở C1 (O1) và (O2) cắt nhau... 900 ⇒ BD ⊥ AD Vậy R, B, D thẳng hàng Ví dụ 2: Về phía ngoài tam giác ABC vẽ ba tam giác đều ABC1, BCA1, CAB1 Chứng minh rằng AA1, BB1, CC1 đồng quy Giải: A1 C B1 G B A C1 Giả sử AA1 và BB1 cắt nhau tại G Ta đi chứng minh C, G, C1 thẳng hàng Vũ Đức Kiên – Trường Thực hành sư phạm, CĐSP Quảng Ninh trang 14 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Thẳng hàng và đồng quy Xét tam giác CBB1 và tam giác CA1A có: CB... tại A1 Chứng minh ba điểm B, A1, C thảng hàng và ba đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy Giải: C1 B1 A B A1 C Vũ Đức Kiên – Trường Thực hành sư phạm, CĐSP Quảng Ninh trang 16 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Thẳng hàng và đồng quy A1 ∈ đường tròn đường kính AB ⇒ BA1A = 900 A1 ∈ đường tròn đường kính AC ⇒ CA1A = 900 Vậy BA1C = BA1A + CA1A = 1800 nên B, A1, C thẳng hàng Vậy AA1 là đường cao của tam giác... giỏi Thẳng hàng và đồng quy Tương tự ta chứng minh được ⇒ DPF = 900 Vậy DPC + DPF = 1800 hay C, P, F thẳng hàng b) Xét tam giác BCF có FE, CA là hai đường cao ⇒ D là trực tâm của tam giác BCF ⇒ BP ⊥ CF Đã có DP ⊥ CF Vậy P, D, B thẳng hàng Bài tập 4: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I BC tiếp xúc với (I) tại D, gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC Chứng minh ba điểm E, I, F thẳng. .. giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA lấy các điểm M, N, P Khi đó điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng AN, BP, CM đồng quy là MA NB PC =1 MB NC PA A P M G B N C Chứng minh: *) Giả sử A , BP, CM đồng quy tại G Vũ Đức Kiên – Trường Thực hành sư phạm, CĐSP Quảng Ninh trang 18 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Thẳng hàng và đồng quy Xét ∆ABN : M ∈ AB,G ∈ AN,C ∈ BN , áp dụng định lí Menelaus: MA GN CB =... điểm của NN’ và QQ’ cũng đối xứng với O qua trung điểm của QN Mà tứ giác MNPQ là hình bình hành nên trung điểm của QN cũng là trung điểm của MP Tóm lại bốn đường thẳng MM’, NN’, PP’, QQ’ cùng đi qua điểm đối xứng của O qua I (I là giao của QN và MP) hay chúng đồng quy Vũ Đức Kiên – Trường Thực hành sư phạm, CĐSP Quảng Ninh trang 23 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Thẳng hàng và đồng quy Bài tập 4: Cho... AC CK b b+c ⇒ FK = CK − CF = Vậy Thẳng hàng và đồng quy ab a 2ab − a ( b + c ) ab − ac a ( b − c ) − = = = b+c 2 2( b + c) 2( b + c) 2( b + c) FD b − c a ( b − c ) b + c = : = (2) FK 2 2( b + c) a Xét tam giác ADK, E ∈ AD;I ∈ AK;F ∈ DK và F nằm ngoài đoạn DK có IK FD EA a b+c = 1 = 1 IA FK ED b + c a Theo định lí Menelaus ta được E, I, F thẳng hàng C BÀI T P Đ NGH Bài tập 5: Cho tam giác ABC với... Ninh trang 19 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Thẳng hàng và đồng quy A C1 B1 O B C A1 Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H Gọi giao điểm của AH, BH, CH với BC, CA, AB lần lượt là A1, B1, C1 A1C1 cắt BB1 ở D, A1B1 cắt CC1 ở E Chứng minh ba đường thẳng C1B1, DE, BC đồng quy Giải: A B1 C1 H E D B C A1 Tam giác C1A1E, xét ba điểm thẳng hàng D ∈ C1A1 ,H ∈ C1E,B1 ∈ A1E trong đó có B1 nằm . ĐỒG QUY A. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY. 1. Đưa bài toán đồng quy về bài toán thẳng hàng. Ví dụ 1 Cho ba điểm A, B, C thẳng. N thẳng hàng hay MP, AC; QN đồng quy. Tương tự ta chứng minh được BD, MP, QN đồng quy. Vậy bốn đường thẳng AC, BD, MP, NQ đồng quy. 2. Ba đường thẳng