ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH Trang 1 TOÁN CAO CẤP A 3 ðẠI HỌC Tài liệu tham khảo: 1. Giáo trình Toán cao cấp A3 – Nguyễn Phú Vinh – ðHCN TP. HCM. 2. Ngân hàng câu hỏi Toán cao cấp – Nguyễn Phú Vinh – ðHCN TP.HCM. 3. Giải tích hàm nhiều biến (Toán 3) – ðỗ Công Khanh (chủ biên) – NXBðHQG TP. HCM. 4. Giải tích hàm nhiều biến (Toán 4) – ðỗ Công Khanh (chủ biên) – NXBðHQG TP. HCM. 5. Phép tính Vi tích phân (tập 2) – Phan Quốc Khánh – NXB Giáo dục. 6. Phép tính Giải tích hàm nhiều biến – Nguyễn ðình Trí (chủ biên) – NXB Giáo dục. 7. Tích phân hàm nhiều biến – Phan Văn Hạp, Lê ðình Thịnh – NXB KH và Kỹ thuật. 8. Bài tập Giải tích (tập 2) – Nguyễn Thủy Thanh – NXB Giáo dục. Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ §1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. ðịnh nghĩa • Cho 2 D ⊂ ℝ . Tương ứng :f D → ℝ , ( , ) ( , ) x y z f x y = ֏ duy nh ấ t, ñượ c g ọ i là hàm s ố 2 bi ế n x và y. • T ậ p D ñượ c g ọ i là MX ð c ủ a hàm s ố và { } ( ) ( , ), ( , ) f D z z f x y x y D = ∈ = ∀ ∈ℝ là mi ề n giá tr ị . – N ế u M(x, y) thì D là t ậ p h ợ p ñ i ể m M trong 2 ℝ sao cho f(M) có ngh ĩ a, th ườ ng là t ậ p liên thông. (T ậ p liên thông D là t ồ n t ạ i ñườ ng cong n ố i 2 ñ i ể m b ấ t k ỳ trong D n ằ m hoàn toàn trong D). Hình a Hình b – N ế u M(x, y) thì D là t ậ p h ợ p ñ i ể m M trong 2 ℝ sao cho f(M) có ngh ĩ a, th ườ ng là mi ề n liên thông (n ế u M, N thu ộ c mi ề n D mà t ồ n t ạ i 1 ñườ ng n ố i M v ớ i N n ằ m hoàn toàn trong D thì D là liên thông-Hình a)). – Tr ừ tr ườ ng h ợ p 2 D = ℝ , D th ườ ng ñượ c gi ớ i h ạ n b ở i 1 ñườ ng cong kín D ∂ (biên) ho ặ c không. Mi ề n liên thông D là ñơ n liên n ế u D ñượ c gi ớ i h ạ n b ở i 1 ñườ ng cong kín (Hình a); ñ a liên n ế u ñượ c gi ớ i h ạ n b ở i nhi ề u ñườ ng cong kín r ờ i nhau t ừ ng ñ ôi m ộ t (Hình b). – D là mi ề n ñ óng n ế u M D M D ∈∂ ⇒ ∈ , mi ề n m ở n ế u M D M D ∈∂ ⇒ ∉ . Chú ý • Khi cho hàm s ố f(x, y) mà không nói gì thêm thì ta hi ể u MX ð D là t ậ p t ấ t c ả (x, y) sao cho f(x, y) có ngh ĩ a. • Hàm s ố n bi ế n f(x 1 , x 2 ,…, x n ) ñượ c ñị nh ngh ĩ a t ươ ng t ự . VD 1. Hàm s ố z = f(x, y) = x 3 y + 2xy 2 – 1 xác ñị nh trên 2 ℝ . VD 2. Hàm s ố 2 2 ( , ) 4 z f x y x y = = − − có MX ð là hình tròn ñ óng tâm O(0; 0), bán kính R = 2. VD 3. Hàm s ố 2 2 ( , ) ln(4 ) z f x y x y = = − − có MX ð là hình tròn m ở tâm O(0; 0), bán kính R = 2. VD 4. Hàm s ố ( , ) ln(2 3) z f x y x y = = + − có MX ð là n ử a mp m ở biên d: 2x + y – 3 không ch ứ a O(0; 0). 1.2. Giới hạn của hàm số hai biến – Hàm số liên tục • Dãy ñ i ể m M n (x n ; y n ) d ầ n ñế n ñ i ể m M 0 (x 0 ; y 0 ) trong 2 ℝ , ký hi ệ u 0 n M M → hay 0 0 ( ; ) ( ; ) n n x y x y → , khi n → +∞ n ế u ( ) 2 2 0 0 0 lim , lim ( ) ( ) 0 n n n n n d M M x x y y →∞ →∞ = − + − = . • Cho hàm s ố f(x, y) xác ñị nh trong mi ề n D (có th ể không ch ứ a M 0 ), ta nói L là gi ớ i h ạ n c ủ a f(x, y) khi ñ i ể m M(x, y) d ầ n ñế n M 0 n ế u m ọ i dãy ñ i ể m M n (M n khác M 0 ) thu ộ c D d ầ n ñế n M 0 thì lim ( , ) n n n f x y L →∞ = . Ký hi ệ u: 0 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) lim ( ) x y x y M M f x y f M L → → = = . Nhận xét • N ế u khi 0 n M M → trên 2 ñườ ng khác nhau mà dãy {f(x n , y n )} có hai gi ớ i h ạ n khác nhau thì 0 lim ( ) M M f M → ∃ . VD 5. Cho 2 2 2 3 1 ( , ) 3 x y x f x y xy − − = + , tính ( , ) (1, 1) lim ( , ) x y f x y → − . VD 6. Cho 2 2 ( , ) xy f x y x y = + , tính ( , ) (0,0) lim ( , ) x y f x y → . VD 7. Cho hàm s ố 2 2 3 ( , ) xy f x y x y = + . Ch ứ ng t ỏ ( , ) (0,0) lim ( , ) x y f x y → không t ồ n t ạ i. • Hàm s ố f(x, y) xác ñị nh trong D ch ứ a M 0 , ta nói f(x, y) liên t ụ c t ạ i M 0 n ế u t ồ n t ạ i 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) x y x y f x y → và 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) x y x y f x y f x y → = . • Hàm s ố f(x, y) liên t ụ c trong D n ế u liên t ụ c t ạ i m ọ i ñ i ể m M thu ộ c D. Hàm s ố f(x, y) liên t ụ c trong mi ề n ñ óng gi ớ i n ộ i D thì ñạ t giá tr ị l ớ n nh ấ t và nh ỏ nh ấ t trong D. VD 8. Xét tính liên t ụ c c ủ a hàm s ố : 2 2 , ( , ) (0,0) ( , ) 0, ( , ) (0,0) xy x y x y f x y x y  ≠  + =   =  . ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH Trang 2 §2. ðẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN 2.1. ðạo hàm riêng a) ðạo hàm riêng cấp 1 • Cho hàm số f(x, y) xác ñịnh trên D chứa M 0 (x 0 , y 0 ). Nếu hàm số 1 biến f(x, y 0 ) (y 0 là hằng số) có ñạo hàm tại x = x 0 thì ta gọi ñạo hàm ñó là ñạo hàm riêng theo biến x của f(x, y) tại (x 0 , y 0 ). Ký hiệu: 0 0 ( , ) x f x y hay / 0 0 ( , ) x f x y hay 0 0 ( , ) f x y x ∂ ∂ . Vậy / 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim x x f x x y f x y f x y x ∆ → + ∆ − = ∆ . • Tương tự ta có ñạo hàm riêng theo y tại (x 0 , y 0 ) là: / 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim y y f x y y f x y f x y y ∆ → + ∆ − = ∆ . VD 1. Tính các ñạo hàm riêng của z = x 4 – 3x 3 y 2 + 2y 3 – 3xy tại (–1; 2). VD 2. Tính các ñạo hàm riêng của f(x, y) = x y (x > 0). VD 3. Tính các ñạo hàm riêng của cos x z y = tại ( ; 4) π . • Vớ i hàm n bi ế n ta có ñị nh ngh ĩ a t ươ ng t ự . VD 4. Tính các ñạ o hàm riêng c ủ a 2 ( , , ) sin x y f x y z e z = . b) ðạo hàm riêng cấp cao • Các hàm s ố f x , f y có các ñạ o hàm riêng (f x ) x , (f y ) y , (f x ) y , (f y ) x ñượ c g ọ i là các ñạ o hàm riêng c ấ p hai c ủ a f. Ký hi ệ u: ( ) 2 2 // 2 x xx x x f f f f f x x x ∂ ∂ ∂   = = = =   ∂ ∂ ∂   , ( ) 2 2 // 2 y yy y y f f f f f y y y   ∂ ∂ ∂ = = = =   ∂ ∂ ∂   , ( ) 2 // x xy xy y f f f f f y x y x ∂ ∂ ∂   = = = =   ∂ ∂ ∂ ∂   , ( ) 2 // y yx yx x f f f f f x y x y  ∂ ∂ ∂ = = = =   ∂ ∂ ∂ ∂   . VD 5. Tính các ñạ o hàm riêng c ấ p hai c ủ a 3 2 3 4 y z x e x y y = + − t ạ i ( 1; 1) − . VD 6. Tính các ñạ o hàm riêng c ấ p hai c ủ a 2 ( , ) x y f x y xe − = . • Các ñạ o hàm riêng c ấ p hai c ủ a hàm n bi ế n và ñạ o hàm riêng c ấ p cao h ơ n ñượ c ñị nh ngh ĩ a t ươ ng t ự . ðịnh lý (Schwarz) • N ế u hàm s ố f(x, y) có các ñạ o hàm riêng f xy và f yx liên t ụ c trong mi ề n D thì f xy = f yx . 2.2. Vi phân a) Vi phân cấp 1 • Cho hàm s ố f(x, y) xác ñị nh trong 2 D ⊂ ℝ và 0 0 0 ( , ) M x y D ∈ , 0 0 ( , ) M x x y y D + ∆ + ∆ ∈ . N ế u s ố gia 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) f x y f x x y y f x y ∆ = + ∆ + ∆ − có th ể bi ể u di ễ n d ướ i d ạ ng: 0 0 ( , ) . . f x y A x B y x y α β ∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ , trong ñ ó A, B là nh ữ ng s ố không ph ụ thu ộ c , x y ∆ ∆ và , 0 α β → khi ( , ) (0,0) x y ∆ ∆ → , ta nói f kh ả vi t ạ i M 0 . • Bi ể u th ứ c . . A x B y ∆ + ∆ ñượ c g ọ i là vi phân c ấ p 1 (toàn ph ầ n) c ủ a f(x, y) t ạ i M 0 (x 0 , y 0 ) ứ ng v ớ i , x y ∆ ∆ . Ký hi ệ u df(x 0 , y 0 ). • Hàm s ố f(x, y) kh ả vi trên mi ề n D n ế u f(x, y) kh ả vi t ạ i m ọ i (x, y) thu ộ c D. Nhận xét • N ế u f(x, y) kh ả vi t ạ i M 0 thì f(x, y) liên t ụ c t ạ i M 0 . • T ừ 0 0 ( , ) . . f x y A x B y x y α β ∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ , ta suy ra: 0 0 0 0 ( , ) ( , ) . f x x y f x y A x x α + ∆ − = ∆ + ∆ 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim x f x x y f x y A x ∆ → + ∆ − ⇒ = ∆ , t ươ ng t ự 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim y f x y y f x y B y ∆ → + ∆ − = ∆ . V ậ y / / 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ). ( , ). x y df x y f x y x f x y y = ∆ + ∆ hay / / 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) x y df x y f x y dx f x y dy = + . Tổng quát: / / ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) x y df x y f x y dx f x y dy x y D = + ∈ . VD 7. Tính vi phân c ấ p 1 c ủ a 2 3 5 x y z x e xy y − = + − t ạ i (–1; 1). VD 8. Tính vi phân c ấ p 1 c ủ a 2 2 ( , ) sin( ) x y f x y e xy − = . ðịnh lý • N ế u hàm s ố f(x, y) có các ñạ o hàm riêng liên t ụ c t ạ i M 0 trong mi ề n D ch ứ a M 0 thì f(x, y) kh ả vi t ạ i M 0 . b) Vi phân cấp cao • Vi phân c ấ p 2: ( ) 2 2 2 // 2 // // 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) xy x y d f x y d df x y f x y dx f x y dxdy f x y dy = = + + . • Vi phân c ấ p n: ( ) 1 ( ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) k n k n n n k n k n k n x y k d f x y d df x y C f x y dx dy − − − = = = ∑ . ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH Trang 3 VD 9. Tính vi phân cấp 2 của 2 3 2 3 5 ( , ) 3 f x y x y xy x y = + − tại (2; –1). VD 10. Tính vi phân cấp 2 của 2 ( , ) ln( ) f x y xy = . c) Ứng dụng vi phân cấp 1 vào tính gần ñúng giá trị hàm số 0 0 / / 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ). ( , ). x y f x x y y f x y f x y x f x y y + ∆ + ∆ ≈ ≈ + ∆ + ∆ . VD 11. Tính gần ñúng 1,02 0,97 arctg . 2.3. ðạo hàm của hàm số hợp • Cho hàm số f(u, v), trong ñó u = u(x) và v = v(x) là những hàm số của x. Nếu f(u, v) khả vi của u, v và u(x), v(x) khả vi của x thì / / . . u v df du dv f f dx dx dx = + . Với , , df du dv dx dx dx là các ñạo hàm toàn phần theo x. • Nếu hàm số f(x, y) khả vi của x, y và y = y(x) là hàm số khả vi của x thì / / . x y df dy f f dx dx = + . VD 12. Cho 2 2 2 , , sin x z u uv v u e v x − = − + = = . Tính dz dx . VD 13. Cho 2 2 2 ( , ) ln( ), sin f x y x y y x = + = . Tính df dx . 2.4. ðạo hàm của hàm số ẩn • Cho hai biến x, y thỏa phương trình F(x, y) = 0 (*). Nếu y = y(x) là hàm số xác ñịnh trong 1 khoảng nào ñó sao cho khi thế y(x) vào (*) ta ñược ñồng nhất thức thì y = y(x) là hàm số ẩn xác ñịnh bởi (*). VD 14. Xác ñịnh hàm số ẩn y(x) trong phương trình x 2 + y 2 – 4 = 0. • ðạo hàm hai vế (*) theo x, ta ñược: / / / / / ( , ) ( , ) ( , ). 0 , ( , ) 0 ( , ) x x y y y F x y F x y F x y y y F x y F x y ′ ′ + = ⇒ = − ≠ . VD 15. Cho 0 x y xy e e − + = . Tính y ′ . VD 16. Cho 3 2 4 ( 1) 0 y x y x + + + = . Tính y ′ . VD 17. Cho 2 2 ln y x y arctg x + = . Tính y ′ . • Cho hàm số ẩn hai biến z = f(x, y) xác ñịnh bởi F(x, y, z)) = 0, với / ( , , ) 0 z F x y z ≠ ta có: / / / / / / / / / / / / ( , , ) ( , , ). ( , ) 0 ( , , ) ( , ) , ( , , ) ( , , ) ( , , ). ( , ) 0 ( , , ) ( , ) . ( , , ) x z x x x z y z y y y z F x y z F x y z z x y F x y z z x y F x y z F x y z F x y z z x y F x y z z x y F x y z • + = ⇒ = − • + = ⇒ = − VD 18. Cho cos( ) xyz x y z = + + . Tính / / , x y z z . §3. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ 3.1. ðịnh nghĩa • Hàm s ố z = f(x, y) ñạ t c ự c tr ị ( ñị a ph ươ ng) t ạ i ñ i ể m M 0 (x 0 ; y 0 ) n ế u v ớ i m ọ i ñ i ể m M(x, y) khá g ầ n nh ư ng khác M 0 thì hi ệ u f(M) – f(M 0 ) có d ấ u không ñổ i. • N ế u f(M) – f(M 0 ) > 0 thì f(M 0 ) là c ự c ti ể u và M 0 là ñ i ể m c ự c ti ể u; f(M) – f(M 0 ) < 0 thì f(M 0 ) là c ự c ñạ i và M 0 là ñ i ể m c ự c ñạ i. C ự c ñạ i và c ự c ti ể u g ọ i chung là c ự c tr ị . VD 1. Hàm s ố f(x, y) = x 2 + y 2 – xy ñạ t c ự c ti ể u t ạ i O(0; 0). 3.2. ðịnh lý a) ðiều kiện cần • N ế u hàm s ố z = f(x, y) ñạ t c ự c tr ị t ạ i M 0 (x 0 , y 0 ) và t ạ i ñ ó hàm s ố có ñạ o hàm riêng thì: / / 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0 x y f x y f x y = = . Chú ý. ð i ể m M 0 th ỏ a / / 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0 x y f x y f x y = = ñượ c g ọ i là ñ i ể m d ừ ng, có th ể không là ñ i ể m c ự c tr ị c ủ a z. b) ðiều kiện ñủ. Gi ả s ử f(x, y) có ñ i ể m d ừ ng là M 0 và có ñạ o hàm riêng c ấ p hai t ạ i lân c ậ n ñ i ể m M 0 . ðặ t 2 2 // // // 0 0 0 0 0 0 ( , ), ( , ), ( , ) xy x y A f x y B f x y C f x y = = = . Khi ñ ó: + N ế u AC – B 2 > 0 và A > 0 thì hàm s ố ñạ t c ự c ti ể u t ạ i ñ i ể m M 0 ; AC – B 2 > 0 và A < 0 thì hàm s ố ñạ t c ự c ñạ i t ạ i ñ i ể m M 0 . + N ế u AC – B 2 < 0 thì hàm s ố không có c ự c tr ị ( ñ i ể m M 0 ñượ c g ọ i là ñ i ể m yên ng ự a). + N ế u AC – B 2 = 0 thì ch ư a th ể k ế t lu ậ n hàm s ố có c ự c tr ị hay không (dùng ñị nh ngh ĩ a ñể xét). 3.3. Cực trị tự do Cho hàm s ố z = f(x, y). ðể tìm c ự c tr ị c ủ a f(x, y) trên MX ð D, ta th ự c hi ệ n các b ướ c sau: B ướ c 1. Tìm ñ i ể m d ừ ng M 0 (x 0 ; y 0 ) b ằ ng cách gi ả i h ệ : / 0 0 / 0 0 ( , ) 0 ( , ) 0 x y f x y f x y  =   =   . B ướ c 2. Tính 2 // // 0 0 0 0 ( , ), ( , ) xy x A f x y B f x y = = , 2 // 2 0 0 ( , ) y C f x y AC B = ⇒ ∆ = − . B ướ c 3. + N ế u ∆ > 0 và A > 0 thì k ế t lu ậ n hàm s ố ñạ t c ự c ti ể u t ạ i M 0 và c ự c ti ể u là f(M 0 ); + N ế u ∆ > 0 và A < 0 thì k ế t lu ậ n hàm s ố ñạ t c ự c ñạ i t ạ i M 0 và c ự c ñạ i là f(M 0 ). + N ế u ∆ < 0 thì k ế t lu ậ n hàm s ố không ñạ t c ự c tr ị . + N ế u ∆ = 0 thì không th ể k ế t lu ậ n (trong ch ươ ng trình h ạ n ch ế lo ạ i này). VD 2. Tìm ñ i ể m d ừ ng c ủ a hàm s ố z = xy(1 – x – y). VD 3. Tìm c ự c tr ị c ủ a hàm s ố z = x 2 + y 2 + 4x – 2y + 8. VD 4. Tìm c ự c tr ị c ủ a hàm s ố z = x 3 + y 3 – 3xy – 2. VD 5. Tìm c ự c tr ị c ủ a hàm s ố z = 3x 2 y + y 3 – 3x 2 – 3y 2 + 2. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH Trang 4 3.4. Cực trị có ñiều kiện • Cho hàm số z = f(x, y) xác ñịnh trên lân cận của ñiểm M 0 (x 0 ; y 0 ) thuộc ñường cong ( , ) 0 x y ϕ = . N ế u t ạ i ñ i ể m M 0 hàm s ố f(x, y) ñạ t c ự c tr ị thì ta nói ñ i ể m M 0 là ñ i ể m c ự c tr ị c ủ a f(x, y) v ớ i ñ i ề u ki ệ n ( , ) 0 x y ϕ = . • ðể tìm c ự c tr ị có ñ i ề u ki ệ n c ủ a hàm s ố f(x, y) ta dùng phương pháp khử ho ặ c nhân tử Lagrange . Phương pháp khử T ừ ph ươ ng trình ( , ) 0 x y ϕ = , ta rút x ho ặ c y th ế vào f(x, y) và tìm c ự c tr ị hàm 1 bi ế n. VD 6. Tìm c ự c tr ị c ủ a hàm s ố f(x, y) = x 2 + y 2 – xy + x + y v ớ i ñ i ề u ki ệ n x + y + 3 = 0. VD 7. Tìm c ự c tr ị c ủ a hàm s ố f(x, y) = xy v ớ i ñ i ề u ki ệ n: 2x + 3y – 5 = 0. Phương pháp nhân tử Lagrange Bước 1 . L ậ p hàm Lagrange: ( , , ) ( , ) ( , ) L x y f x y x y λ λϕ = + , λ là nhân t ử Lagrange. Bước 2. Gi ả i h ệ : ' ' ' 0 0 0 x y L L L λ  =  = ⇒   =  ñ i ể m d ừ ng M 0 (x 0 ; y 0 ) ứ ng v ớ i λ 0 . Bước 3 Tính 2 0 0 ( , ) d L x y 2 2 '' 2 '' '' 2 0 0 0 0 0 0 ( , ) 2 ( , ) ( , ) xy x y L x y dx L x y dxdy L x y dy = + + . ðiều kiện ràng buộc: / / 0 0 0 0 0 0 ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 x y d x y x y dx x y dy ϕ ϕ ϕ = ⇒ + = (1) và (dx) 2 + (dy) 2 > 0 (2). Bước 4 T ừ ñ i ề u ki ệ n (1) và (2), ta có: + N ế u 2 0 0 ( , ) 0 d L x y > thì hàm s ố ñạ t c ự c ti ể u t ạ i M 0 . + N ế u 2 0 0 ( , ) 0 d L x y < thì hàm s ố ñạ t c ự c ñạ i t ạ i M 0 . + N ế u 2 0 0 ( , ) 0 d L x y = thì ñ i ể m M 0 không là ñ i ể m c ự c tr ị . VD 9. Tìm c ự c tr ị c ủ a hàm s ố z = 2x + y v ớ i ñ i ề u ki ệ n x 2 + y 2 = 5. VD 10. Tìm c ự c tr ị c ủ a hàm s ố z = xy v ớ i ñ i ề u ki ệ n 2 2 1 8 2 x y + = . Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI §1. TÍCH PHÂN BỘI HAI (KÉP) 1.1. Bài toán mở ñầu (thể tích khối trụ cong) • Xét hàm s ố z = f(x, y) liên t ụ c, không âm và m ộ t m ặ t tr ụ có các ñườ ng sinh song song Oz, ñ áy là mi ề n ph ẳ ng ñ óng D trong Oxy. ðể tính th ể tích kh ố i tr ụ , ta chia mi ề n D thành n ph ầ n không d ẫ m lên nhau, di ệ n tích m ỗ i ph ầ n là ∆ S i (i=1,2,…,n). Nh ư v ậ y kh ố i tr ụ cong ñượ c chia thành n kh ố i tr ụ nh ỏ . Trong m ỗ i ∆ S i ta l ấ y ñ i ể m M i (x i ; y i ) tùy ý. Ta có th ể tích ∆ V i c ủ a kh ố i tr ụ nh ỏ là: 1 ( ; ) ( , ) n i i i i i i i i V f x y S V f x y S = ∆ ≈ ∆ ⇒ ≈ ∆ ∑ . G ọ i { } max ( , ) , i i d d A B A B S = ∈∆ là ñường kính c ủ a i S ∆ . Ta có: max 0 1 lim ( , ) i n i i i d i V f x y S → = = ∆ ∑ . 1.2. ðịnh nghĩa • Cho hàm s ố z = f(x, y) xác ñị nh trên mi ề n ñ óng gi ớ i n ộ i, ñ o ñượ c D trong Oxy. Chia mi ề n D m ộ t cách tùy ý thành n ph ầ n không d ẫ m lên nhau, di ệ n tích m ỗ i ph ầ n là ∆ S i (i=1,2,…,n). Trong m ỗ i ∆ S i ta l ấ y ñ i ể m M i (x i ; y i ) tùy ý. Khi ñ ó 1 ( , ) n n i i i i I f x y S = = ∆ ∑ ñượ c g ọ i là tổng tích phân c ủ a hàm f(x, y) trên D ( ứ ng v ớ i phân ho ạ ch ∆ S i và các ñ i ể m M i ). N ế u max 0 1 lim ( , ) i n i i i d i I f x y S → = = ∆ ∑ t ồ n t ạ i h ữ u h ạ n, không ph ụ thu ộ c vào phân ho ạ ch ∆ S i và cách ch ọ n ñ i ể m M i thì s ố I ñượ c g ọ i là tích phân bội hai c ủ a f(x, y) trên D. Ký hi ệ u ( , ) D I f x y dS = ∫∫ . ðịnh lý. Hàm f(x, y) liên t ụ c trong mi ề n b ị ch ặ n, ñ óng D thì kh ả tích trong D. • N ế u t ồ n t ạ i tích phân, ta nói f(x, y) kh ả tích; f(x, y) là hàm d ướ i d ấ u tích phân; x, y là các bi ế n tích phân. Chú ý 1) N ế u chia D b ở i các ñườ ng th ẳ ng song song v ớ i các tr ụ c t ọ a ñộ thì ∆ S i = ∆ x i . ∆ y i hay dS = dxdy. V ậ y ( , ) ( , ) D D I f x y dS f x y dxdy = = ∫∫ ∫∫ . 2) ( , ) ( , ) D D f x y dxdy f u v dudv = ∫∫ ∫∫ . ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH Trang 5 Nhận xét 1) ( ) D dxdy S D = ∫∫ (diện tích miền D). 2) f(x, y) > 0, liên tục ∀(x, y) ∈ D thì ( , ) D f x y dxdy ∫∫ là thể tích hình trụ có các ñường sinh song song với Oz, hai ñáy giới hạn bởi các mặt z = 0 và z = f(x, y). 1.3. Tính chất của tích phân kép • Tính chất 1. Hàm số f(x, y) liên tục trên D thì f(x, y) khả tích trên D. • Tính chất 2. Tính tuyến tính: [ ( , ) ( , )] D D D f x y g x y dxdy fdxdy gdxdy ± = ± ∫∫ ∫∫ ∫∫ ; ( , ) ( , ) , D D kf x y dxdy k f x y dxdy k = ∈ ∫∫ ∫∫ ℝ . • Tính chất 3 Nếu chia D thành D 1 và D 2 bởi ñường cong có diện tích bằng 0 thì: 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) D D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy = + ∫∫ ∫∫ ∫∫ . 1.4. Phương pháp tính tích phân kép 1.4.1. ðưa về tích phân lặp ðịnh lý (Fubini) • Giả sử tích phân ( , ) D f x y dxdy ∫∫ tồn tại, với 1 2 {( , ) : , ( ) ( )} D x y a x b y x y y x = ≤ ≤ ≤ ≤ và với mỗi [ , ] x a b ∈ cố ñịnh 2 1 ( ) ( ) ( , ) y x y x f x y dy ∫ tồn tại thì: 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) y x y x b b D a y x a y x f x y dxdy f x y dy dx dx f x y dy   = =       ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . Tương tự, 1 2 {( , ) : ( ) ( ), } D x y x y x x y c y d = ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y d d D c x y c x y f x y dxdy f x y dx dy dy f x y dx   = =       ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . Chú ý 1) Khi {( , ) : , } [ , ] [ , ] D x y a x b c y d a b c d = ≤ ≤ ≤ ≤ = × (hình chữ nh ậ t) thì: ( , ) ( , ) ( , ) b d d b D a c c a f x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx = = ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (hoán v ị c ậ n). 2) 1 2 {( , ) : , ( ) ( )} D x y a x b y x y y x = ≤ ≤ ≤ ≤ và f(x, y) = u(x).v(y) thì: 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) y x b D a y x f x y dxdy u x dx v y dy = ∫∫ ∫ ∫ . T ươ ng t ự , 1 2 {( , ) : ( ) ( ), } D x y x y x x y c y d = ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) x y d D c x y f x y dxdy v y dy u x dx = ∫∫ ∫ ∫ . 3) N ế u D là mi ề n ph ứ c t ạ p thì ta chia D ra thành nh ữ ng mi ề n ñơ n gi ả n nh ư trên. VD 1. Xác ñị nh c ậ n ở tích phân l ặ p khi tính tích phân ( , ) D I f x y dxdy = ∫∫ trong các tr ườ ng h ợ p sau: 1) D gi ớ i h ạ n b ở i các ñườ ng y = 0, y = x và x = a. 2) D gi ớ i h ạ n b ở i các ñườ ng y = 0, y = x 2 và x + y = 2. VD 2. Tính D I xydxdy = ∫∫ v ớ i D gi ớ i h ạ n b ở i y = x – 4, y 2 = 2x. ðổi thứ tự lấy tích phân 2 1 ( ) ( ) ( , ) y x b a y x I dx f x y dy = ∫ ∫ 2 1 ( ) ( ) ( , ) x y d c x y I dy f x y dx = ∫ ∫ ThS. on Vng Nguyờn Slide bi ging Toỏn A3DH Trang 6 VD 3. i th t ly tớch phõn trong cỏc tớch phõn sau: 1) 2 1 2 0 ( , ) x x I dx f x y dy = ; 2) 2 3 1 0 ( , ) y I dy f x y dx = ; 3) 2 2 1 3 1 0 1 9 9 ( , ) ( , ) x x x I dx f x y dy dx f x y dy = + . 1.4.2. Phng phỏp ủi bin a) Cụng thc ủi bin tng quỏt nh lý. Gi s x = x(u, v), y = y(u, v) l hai hm s cú cỏc ủo hm riờng liờn tc trờn min ủúng gii ni D uv trong mp Ouv. Gi {( , ) : ( , ), ( , ),( , ) } xy uv D x y x x u v y y u v u v D = = = . Nu hm f(x, y) kh tớch trờn D xy v ủnh thc Jacobi ( , ) 0 ( , ) x y J u v = trong D uv thỡ: ( , ) ( ( , ), ( , )) xy uv D D f x y dxdy f x u v y u v J dudv = . Trong ủú: / / / / / / / / ( , ) 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) u v x y u v x y x x x y J u v u v u u y y x y v v = = = = . VD 4. Cho min D uv l hỡnh tam giỏc O(0;0), A(2;0), B(0;2) trong mpOuv. Gi min D xy l nh ca D uv qua phộp bin hỡnh g: (x, y) = g(u, v) = (u+v, u 2 v). Tớnh tớch phõn ca hm 1 ( , ) 1 4 4 f x y x y = + + trờn min bin hỡnh D xy = g(D uv ). VD 5. Cho min D uv l phn t hỡnh trũn ủn v trong mpOuv. Gi min D xy l nh ca D uv qua phộp bin hỡnh g: (x, y) = g(u, v) = (u 2 v 2 , 2uv). Tớnh tớch phõn ca hm 2 2 1 ( , )f x y x y = + trờn min bin hỡnh D xy . VD 6. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi bn Parapol: y = x 2 , y = 2x 2 , x = y 2 v x = 3y 2 . b) i bin trong ta ủ cc i bin: cos sin x r y r = = , vi 0, 0 2 r ho c . Khi ủ ú, mi n D xy tr thnh: 1 2 1 2 {( , ): , ( ) ( )} r D r r r r = v / / / / cos sin ( , ) sin cos ( , ) r r x x r x y J r y y r r = = = = . V y ta cú: 2 2 1 1 ( ) ( ) ( , ) ( cos , sin ) ( cos , sin ) xy r D D r r f x y dxdy f r r rdrd d f r r rdr = = . Chỳ ý 1) i bi n trong t a ủ c c th ng dựng khi biờn D l ủ ng trũn ho c elip. 2) tỡm 1 2 ( ), ( ) r r ta thay cos sin x r y r = = vo ph ng trỡnh c a biờn D. 3) N u c c O n m trong D v m i tia t O c t biờn D khụng quỏ 1 ủ i m thỡ: ( ) 2 0 0 ( cos , sin ) ( cos , sin ) r r D f r r rdrd d f r r rdr = . 4) N u c c O n m trờn biờn D thỡ: 2 1 ( ) 0 ( cos , sin ) ( cos , sin ) r r D f r r rdrd d f r r rdr = . 5) N u biờn D l elip thỡ ủ t: cos {( , ) : 0 2 , 0 1} sin r x ra D r r y r b = = = . VD 7. Bi u di n tớch phõn ( , ) D f x y dxdy trong t a ủ c c. Bi t mi n D l mi n ph ng n m ngoi (C 1 ): (x 1) 2 + y 2 = 1 v n m trong (C 2 ): (x 2) 2 + y 2 = 4. VD 8. Tớnh di n tớch hỡnh ellip: 2 2 2 2 1 x y a b + . VD 9. Tớnh tớch phõn 2 2 ( )x y D I e dxdy + = v i D l hỡnh trũn 2 2 2 x y R + . VD 10. Tớnh di n tớch mi n D gi i h n b i: y = x, 2 2 2 2 3 3 x y x y x + = + v 0 y . Cụng thc Walliss 2 2 0 0 ( 1)!! , !! sin cos ( 1)!! . , 2 !! n n n n n xdx xdx n n n = = leỷ chaỹn . ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH Trang 7 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN Oxyz • Trong không gian Oxyz, mặt bậc hai là tập hợp tất cả các ñiểm M(x; y; z) có tọa ñộ thỏa phương trình: Ax 2 + 2Bxy + 2Cxz+ Dy 2 + 2Eyz + Fz 2 + 2Gx + 2Hy+ 2Kz + L = 0. Trong ñó A, B, C, D, E, F không ñồng thời bằng 0. • Các dạng chính tắc của mặt bậc hai: 1) 2 2 2 2 x y z R + + = (mặt cầu); 2) 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = (mặt elipxoit); 3) 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + − = (hyperboloit 1 tầng); 4) 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + − = − (hyperboloit 2 tầng); 5) 2 2 2 2 2 2 0 x y z a b c + − = (nón eliptic); 6) 2 2 2 2 2 x y z a b + = (parabolit eliptic); 7) 2 2 2 2 2 x y z a b − = (parabolit hyperbolic – yên ngựa); 8) 2 2 2 2 1 x y a b + = (mặt trụ eliptic); 9) 2 2 2 2 1 x y a b − = (mặt trụ hyperbolic); 10) 2 2 y px = (mặt trụ parabolic). ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH Trang 8 §2. TÍCH PHÂN BỘI BA 2.1. Bài toán mở ñầu (khối lượng vật thể) • Giả sử ta cần tính khối lượng của vật thể V không ñồng chất, biết mật ñộ (khối lượng riêng) tại P(x, y, z) là ( ) ( , , ) P x y z ρ ρ ρ = = . Ta chia V tùy ý thành n phầ n không d ẫ m lên nhau, th ể tích m ỗ i ph ầ n là ∆ V i (i=1,2,…,n). Trong m ỗ i ∆ V i ta l ấ y ñ i ể m P i (x i ; y i ; z i ) và ñườ ng kính c ủ a ∆ V i là d i . Kh ố i l ượ ng V x ấ p x ỉ : 1 1 ( ) ( , , ) n n i i i i i i i i m P V x y z V ρ ρ = = ≈ ∆ = ∆ ∑ ∑ . N ế u t ồ n t ạ i max 0 1 lim ( , , ) i n i i i i d i x y z V ρ → = ∆ ∑ thì ñ ó là kh ố i l ượ ng m c ủ a v ậ t th ể V. 2.2. ðịnh nghĩa • Cho hàm s ố f(x, y, z) xác ñị nh trong mi ề n ñ o ñượ c V c ủ a không gian Oxyz. Chia mi ề n V m ộ t cách tùy ý thành n ph ầ n không d ẫ m lên nhau, th ể tích m ỗ i ph ầ n là ∆ V i (i=1,2,…,n). Trong m ỗ i ∆ V i ta l ấ y P i (x i ; y i ; z i ) tùy ý và l ậ p t ổ ng tích phân 1 : ( , , ) n n i i i i i I f x y z V = = ∆ ∑ . N ế u max 0 1 lim ( , , ) i n i i i i d i I f x y z V → = = ∆ ∑ t ồ n t ạ i h ữ u h ạ n, không ph ụ thu ộ c vào cách chia V và cách ch ọ n ñ i ể m P i thì s ố th ự c I ñượ c g ọ i là tích phân bội ba c ủ a f(x, y, z) trên V. Ký hi ệ u ( , , ) V I f x y z dV = ∫∫∫ . ðịnh lý. Hàm f(x, y, z) liên t ụ c trong mi ề n b ị ch ặ n, ñ óng V thì kh ả tích trong V. • N ế u t ồ n t ạ i tích phân, ta nói f(x, y, z) kh ả tích; f(x, y, z) là hàm d ướ i d ấ u tích phân; x, y, z là các bi ế n tích phân. Nhận xét 1) N ế u chia V b ở i các ñườ ng th ẳ ng song song v ớ i các tr ụ c t ọ a ñộ thì ∆ V i = ∆ x i . ∆ y i . ∆ z i hay dV = dxdydz. V ậ y ( , , ) ( , , ) V V I f x y z dV f x y z dxdydz = = ∫∫∫ ∫∫∫ . 2) N ế u ( , , ) 0 f x y z ≥ trên V thì ( , , ) V I f x y z dxdydz = ∫∫∫ là kh ố i l ượ ng v ậ t th ể V, v ớ i kh ố i l ượ ng riêng v ậ t ch ấ t chi ế m th ể tích V là f(x, y, z). N ế u f(x, y, z) = 1 thì I là th ể tích V. 3) Tích phân b ộ i ba có các tính ch ấ t nh ư tích phân kép. 2.3. Phương pháp tính tích phân bội ba 2.3.1. ðưa về tích phân lặp a) Gi ả s ử mi ề n V có gi ớ i h ạ n trên b ở i m ặ t z = z 2 (x, y), gi ớ i h ạ n d ướ i b ở i z = z 1 (x, y), gi ớ i h ạ n xung quanh b ở i m ặ t tr ụ có ñườ ng sinh song song v ớ i tr ụ c Oz. G ọ i D là hình chi ế u c ủ a V trên mpOxy. Khi ñ ó: 2 1 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) z x y V D z x y z x y D z x y f x y z dxdydz f x y z dz dxdy dxdy f x y z dz   =       = ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ . • N ế u 1 2 {( , ) : , ( ) ( )} D x y a x b y x y y x = ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) y x z x y b V a y x z x y f x y z dxdydz dx dy f x y z dz = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ . • N ế u 1 2 {( , ) : ( ) ( ), } D x y x y x x y c y d = ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) x y z x y d V c x y z x y f x y z dxdydz dy dx f x y z dz = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ . b) G ọ i D là hình chi ế u c ủ a V trên mpOxz. Gi ả s ử mi ề n V có gi ớ i h ạ n (theo chi ề u ng ượ c v ớ i tia Oy) b ở i hai m ặ t y = y 2 (x, z) và m ặ t y = y 1 (x, z), gi ớ i h ạ n xung quanh b ở i m ặ t tr ụ có ñườ ng sinh song song Oy. Khi ñ ó: 2 1 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) y x z V D y x z y x z D y x z f x y z dxdydz f x y z dy dxdz dxdz f x y z dy   =       = ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ . • N ế u 1 2 {( , ) : , z ( ) ( )} D x z a x b x z z x = ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) z x y x z b V a z x y x z f x y z dxdydz dx dz f x y z dy = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ . • N ế u 1 2 {( , ) : ( ) ( ), e } D x z x z x x z z f = ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) x z y x z f V e x z y x z f x y z dxdydz dz dx f x y z dy = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ . ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH Trang 9 c) Gọi D là hình chiếu của V trên mpOyz. Giả sử miền V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Ox) bởi hai mặt x = x 2 (y, z) và mặt x = x 1 (y, z), giới hạn xung quanh bởi mặt trụ có ñường sinh song song Ox. Khi ñó: 2 1 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) x y z V D x y z x y z D x y z f x y z dxdydz f x y z dx dydz dydz f x y z dx   =       = ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ . • Nếu 1 2 {( , ): , z ( ) ( )} D y z c y d y z z y = ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) z y x y z d V c z y x y z f x y z dxdydz dy dz f x y z dx = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ . • Nếu 1 2 {( , ) : ( ) ( ), e } D y z y z y y z z f = ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) y z x y z f V e y z x y z f x y z dxdydz dz dy f x y z dx = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ . ðặc biệt • Nếu {( , , ): , c , e } [ , ] [ , ] [ , ] D x y z a x b y d z f a b c d e f = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ = × × thì: ( , , ) ( , , ) f b d V a c e f x y z dxdydz dx dy f x y z dz = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ . VD 1. Tính tích phân 8 V I xyzdxdydz = ∫∫∫ với V = [1, 2] × [–1, 3] × [0, 2]. VD 2. Tính tích phân lặp 2 1 1 2 1 0 (4 ) x I dx dy z dz − = + ∫ ∫ ∫ và dựng miền lấy tích phân V. VD 3. Tính tích phân V I ydxdydz = ∫∫∫ với V giới hạn bởi x + y + z – 1 = 0 và 3 mặt phẳng tọa ñộ. 2.3.2. ðổi biến tổng quát • ðặt ( , , ) ( , , ) ( , , ) x x u v w y y u v w z z u v w =   =   =  và / / / / / / / / / ( , , ) ( , , ) u v w u v w u v w x x x x y z J y y y u v w z z z ∂ = = ∂ . Giả sử các hàm x, y, z có ñạo hàm riêng liên tục trong miền ñóng, giới nội ño ñược V uvw trong không gian Ouvw và 0 J ≠ thì: ( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , )). . uvw V V f x y z dxdydz f x u v w y u v w z u v w J dudvdw = ∫∫∫ ∫∫∫ . VD 4. Tính tích phân ( ) V I x y z dxdydz = + + ∫∫∫ với : 2 V x y z x y z x y z − + + + − + + + − ≤ . VD 5. Tính thể tích của khối elipxoit 2 2 2 2 2 2 2 : x y z V R a b c + + ≤ . 2.3.3. ðổi biến trong tọa ñộ trụ ðặt cos sin x r y r z z ϕ ϕ =   =   =  , với 0, 0 2 r ϕ π ≥ ≤ ≤ ho ặ c π ϕ π − ≤ ≤ . Ta có: / / / / / / 2 / / / ( , , ) sin ( , , ) r r r x x x x y z J y y y r r z z z ϕ θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ θ ∂ = = = ∂ . Khi ñ ó ta có: ( , , ) ( cos , sin , ). . r z V V f x y z dxdydz f r r z r drd dz ϕ ϕ ϕ ϕ = ∫∫∫ ∫∫∫ . VD 6. Tính th ể tích kh ố i V gi ớ i h ạ n b ở i các m ặ t 2 2 4 x y z + = − , 2 2 2 x y + ≥ và z = 0. VD 7. Tính tích phân 2 2 V I z x y dxdydz = + ∫∫∫ v ớ i V là mi ề n hình tr ụ gi ớ i h ạ n b ở i: 2 2 2 x y y + = , z = 0 và z = 1. VD 8. Tính tích phân 2 2 2 ( ) V I x y z dxdydz = + + ∫∫∫ v ớ i V là mi ề n hình nón gi ớ i h ạ n b ở i các m ặ t: 2 2 2 x y z + = và z = 1. 2.3.3. ðổi biến trong tọa ñộ cầu ðặ t sin cos sin sin cos x r y r z r θ ϕ θ ϕ θ =   =   =  , v ớ i 0, 0 2 , 0r ϕ π θ π ≥ ≤ ≤ ≤ ≤ ho ặ c π ϕ π − ≤ ≤ . Ta có: / / / / / / / / / cos sin 0 ( , , ) sin cos 0 ( , , ) 0 0 1 r z r z r z x x x r x y z J y y y r r r z z z z ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − ∂ = = = = ∂ . Khi ñ ó ta có: 2 ( , , ) ( sin cos , sin sin , cos ). sin . r V V f x y z dxdydz f r r r r drd d ϕθ θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ θ = ∫∫∫ ∫∫∫ . ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH Trang 10 §3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI VD 9. Tính tích phân 2 2 2 1 V I dxdydz x y z = + + ∫∫∫ với V là miền giới hạn bởi các mặt cầu: 2 2 2 1 x y z + + = và 2 2 2 4 x y z + + = . VD 10. Tính tích phân 2 2 ( ) V I x y dxdydz = + ∫∫∫ với V là miền giới hạn bởi: 2 2 2 4 x y z + + ≤ và 0 z ≥ . 3.1. Diện tích, thể tích (xem nhận xét tích phân bội hai, ba). 3.2. Giá trị trung bình của hàm số trên miền ñóng • Giá trị trung bình của hàm số f(x, y) trên miền ñóng D là: 1 ( , ) ( ) D f f x y dxdy S D = ∫∫ . VD 1. Tính giá trị trung bình của f(x, y) = xcosxy trong hình chữ nhật 0 x π ≤ ≤ , 0 1 y ≤ ≤ . • Giá tr ị trung bình c ủ a hàm s ố f(x, y, z) trên mi ề n ñ óng Ω là: 1 ( , , ) ( ) f f x y z dxdydz V Ω = Ω ∫∫ . VD 2. Tính giá tr ị trung bình c ủ a f(x, y, z) = xyz trong hình l ậ p ph ươ ng [0, 2] × [0, 2] × [0, 2]. 3.3. Khối lượng • Cho m ộ t b ả n ph ẳ ng chi ế m mi ề n D ñ óng trong Oxy có kh ố i l ượ ng riêng (m ậ t ñộ kh ố i l ượ ng) t ạ i ñ i ể m M(x, y) thu ộ c D là hàm ( , ) x y ρ liên t ụ c trên D. Kh ố i l ượ ng c ủ a b ả n ph ẳ ng là: ( , ) D m x y dxdy ρ = ∫∫ . • Cho m ộ t v ậ t th ể chi ế m mi ề n V ñ óng trong Oxyz có kh ố i l ượ ng riêng t ạ i ñ i ể m M(x, y, z) thu ộ c V là hàm ( , , ) x y z ρ liên t ụ c trên V. Kh ố i l ượ ng c ủ a v ậ t th ể là: ( , , ) V m x y z dxdydz ρ = ∫∫∫ . VD 3. Tính kh ố i l ượ ng b ả n ph ẳ ng chi ế m mi ề n D gi ớ i h ạ n b ở i 2 2 4 x y + ≤ , 0 x ≥ và 0 y ≥ . Bi ế t kh ố i l ượ ng riêng là hàm ( , ) x y xy ρ = . 3.4. Momen tĩnh ðịnh nghĩa • Momen t ĩ nh c ủ a m ộ t ch ấ t ñ i ể m có kh ố i l ượ ng m ñặ t t ạ i ñ i ể m M(x, y) trong Oxy ñố i v ớ i tr ụ c Ox, Oy theo th ứ t ự là: M y=0 = my, M x=0 = mx. • Momen t ĩ nh c ủ a m ộ t ch ấ t ñ i ể m có kh ố i l ượ ng m ñặ t t ạ i ñ i ể m M(x, y, z) trong Oxyz ñố i v ớ i các m ặ t ph ẳ ng t ọ a ñộ Oxy, Oyz, Oxz theo th ứ t ự là: M z=0 = mz, M x=0 = mx, M y=0 = my. Công thức tính • Momen t ĩ nh c ủ a b ả n ph ẳ ng chi ế m di ệ n tích D trong Oxy có kh ố i l ượ ng riêng t ạ i ñ i ể m M(x, y) là hàm ( , ) x y ρ liên t ụ c trên D là: 0 0 ( , ) , ( , ) y x D D M y x y dxdy M x x y dxdy ρ ρ = = = = ∫∫ ∫∫ . • Momen t ĩ nh c ủ a v ậ t th ể chi ế m mi ề n V trong Oxyz có kh ố i l ượ ng riêng t ạ i ñ i ể m M(x, y, z) là hàm ( , , ) x y z ρ liên t ụ c trên V là: 0 0 0 ( , , ) , M ( , , ) , M ( , , ) . z V x V y V M z x y z dxdydz x x y z dxdydz y x y z dxdydz ρ ρ ρ = = = = = = ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ 3.5. Trọng tâm • Cho b ả n ph ẳ ng chi ế m di ệ n tích D trong Oxy có kh ố i l ượ ng riêng t ạ i ñ i ể m M(x, y) là hàm ( , ) x y ρ liên t ụ c trên D. Khi ñ ó, t ọ a ñộ tr ọ ng tâm G c ủ a b ả n ph ẳ ng là: ( , ) 1 ( , ) , ( , ) ( , ) 1 y ( , ) . ( , ) D G D D D G D D x x y dxdy x x x y dxdy m x y dxdy y x y dxdy y x y dxdy m x y dxdy ρ ρ ρ ρ ρ ρ = = = = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ Khi b ả n ph ẳ ng ñồ ng ch ấ t thì ( , ) x y ρ là h ằ ng s ố nên: 1 1 , y ( ) ( ) G G D D x xdxdy ydxdy S D S D = = ∫∫ ∫∫ . • Cho v ậ t th ể chi ế m th ể tích V trong Oxyz có kh ố i l ượ ng riêng t ạ i ñ i ể m M(x, y, z) là hàm ( , , ) x y z ρ liên t ụ c trên V. Khi ñ ó, t ọ a ñộ tr ọ ng tâm G c ủ a v ậ t th ể là: 1 ( , , ) , 1 y ( , , ) , 1 ( , , ) . G V G V G V x x x y z dxdydz m y x y z dxdydz m z z x y z dxdydz m ρ ρ ρ = = = ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ Khi v ậ t th ể ñồ ng ch ấ t thì ( , , ) x y z ρ là h ằ ng s ố nên: 1 , 1 y , 1 z . G V G V G V x xdxdydz V ydxdydz V zdxdydz V = = = ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ . VD 4. Tìm t ọ a ñộ tr ọ ng tâm hình ph ẳ ng D gi ớ i h ạ n b ở i 0, 0, 1 x y x y ≥ ≥ + ≤ . Bi ế t ( , ) 2 x y x y ρ = + . VD 5. Tìm t ọ a ñộ tr ọ ng tâm c ủ a v ậ t th ể ñồ ng ch ấ t chi ế m th ể tích V gi ớ i h ạ n b ở i m ặ t nón 2 2 2 z x y = + , 0 z ≥ và m ặ t c ầ u 2 2 2 1 x y z + + = . [...]...ThS ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH 3.4 Momen quán tính ð nh nghĩa • Momen quán tính c a m t ch t ñi m có kh i lư ng m ñ t t i ñi m M(x, y) ñ i v i tr c Ox, Oy và g c t a ñ O theo th t là: Ix = my2, Iy = mx2 và IO = Ix + Iy = m(x2... nh trên L Chia L thành n cung không d m lên nhau b i các ñi m chia ng v i a = t0 < t1 < < tn = b f ( x, y )ds = ∫ f ( x (t ), y (t )) lim a (x ) / 2 y + 1dy ThS ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH ð c bi t • N u L có phương trình y = α (h ng s ) v i a ≤ x ≤ b thì: ∫ zds v VD 1 Tính b ∫ f ( x, y )ds = ∫ f ( x, α )dx L f ( x, y )ds = ∫ f (α , y )dy L phương trình x = a cos t , y = a sin... ñi m ñ u và cu i: max Ai−1 Ai → 0 ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = − ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy lo i 2 c a P(x, y) và Q(x, y) trên ñư ng cong L AB Trang 12 BA ThS ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH 3) T ñ nh nghĩa t ng tích phân, ta có th vi t: 2.3 Phương pháp tính a) ðư ng cong L có phương trình tham s • N u L có phương trình x = x (t ) , y = y (t ) thì: ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = ∫... c vào hai mút A, B mà không ph thu c vào ñư ng n i A v i B 4) Bi u th c P(x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân toàn ph n c a hàm u(x, y) nào ñó trong mi n D Trang 13 ThS ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH §3 TÍCH PHÂN M T LO I I 3.1 ð nh nghĩa • Cho hàm s f(x, y, z) xác ñ nh trên m t S Chia S m t cách tùy ý thành n ph n không d m lên nhau, di n tích m i ph n là ∆Si (i=1,2,…,n) Trong m i ∆Si ta l... thành n ph n không d m lên nhau, di n tích m i ph n là ∆Si (i=1,2,…,n) Trong m i ∆Si ta l y ñi m M i (ξi ,ηi , ζ i ) tùy ý Ký hi u ∫∫ f ( x, y, z)dxdy S Trang 14 ThS ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH • Tương t , khi chi u S lên Ozx và Oyz ta có ∫∫ f ( x, y, z )dzdx và S 4.2 Liên h v i tích phân m t lo i 1 • Cho m t ñ nh hư ng trơn t ng khúc S có pháp vector ñơn v n G i α , β , γ l n lư t là... nghi m c a nó • ð th c a nghi m y = φ(x) ñư c g i là ñư ng cong tích phân VD 3 Các hàm s y = ex, y = e–x, y = C1ex + C2e–x ñ u là nghi m c a y’’ – y = 0 Trang 15 ThS ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH §2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C P 1 • Nghi m c a ptvp ch a h ng s C là nghi m t ng quát, nghi m ch a h ng s C0 c th là nghi m riêng và nghi m không nh n ñư c t nghi m t ng quát là nghi m kỳ d 2.1 Khái... phân (3a) theo x: VD 12 Gi i ptvp ( x + y − 1)dx + (e y + x )dy = 0 u( x, y ) = ∫ P( x, y )dx = ϕ ( x, y ) + C ( y ) (3c), v i C(y) là hàm theo bi n y Trang 16 ThS ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH 2.2.4 Phương trình vi phân tuy n tính c p 1 • Phương trình vi phân tuy n tính c p 1 có d ng: y ′ + p( x ) y = q( x ) (4) • Khi f(x) = 0 thì (4) ñư c g i là ptvp tuy n tính c p 1 thu n nh t Chú... Gi i ptvp 2 yy ′′ = ( y ′) + 1 2 VD 6 Gi i ptvp y ′′ + 2 y ′(1 − 2 y ) = 0 v i 1 y (0) = 0, y ′(0) = 2 nghi m t ng quát là y = C1e k1 x + C2 e k2 x Trang 17 ThS ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH 2) Trư ng h p 2: (5) có nghi m kép th c k Khi ñó, (4) có hai nghi m riêng y1 = e kx , y2 = xe kx và 3.2.2 Phương trình không thu n nh t • D ng phương trình: y ′′ + a1 y ′ + a2 y = f ( x ) (6) (a1,... trình:   z′ = y Gi s phương trình ñ c trưng det( A − λ I ) = 0 có n nghi m phân bi t λi , i = 1, n V i m i λi có vector riêng ( p1i , p2i , , pni ) Trang 18 ThS ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH  y′ = y + 2 z VD 3 Gi i h phương trình:   z ′ = 4 y + 3z ð c bi t • H ptvp có d ng  y1/   λ11 0 0   y1   y1   C11eλ11 x   /       λ22 x   y2  =  0 λ22 0   y2  ⇔... N u dây v t d n có hình d ng L và hàm m t ñ kh i lư ng ρ ( x, y , z ) ph thu c vào ñi m M(x, y, z) trên L thì kh i lư ng c a dây v t d n là m = ∫ ρ ( x, y , z )ds L §2 TÍCH PHÂN ðƯ NG LO I II 2.1 Bài toán m ñ u • Tính công sinh ra do l c F = F ( M ) tác d ng lên ch t ñi m M(x, y) di chuy n d c theo ñư ng cong L N u L là ño n th ng AB thì công sinh ra là ( Khi ñó, công W sinh ra: n n i =1 i =1 W ≈ ∑Wi . Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH Trang 1 TOÁN CAO CẤP A 3 ðẠI HỌC Tài liệu tham khảo: 1. Giáo trình Toán cao cấp A3 – Nguyễn Phú Vinh – ðHCN TP bài giảng Toán A3DH Trang 16 §2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 2.1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp 1 • Phương trình vi phân cấp 1 là