Bộ giáo dục và đào tạo Tr-ờng Đại học Quy nhơn Trần Ngọc Anh Về một bất biến của môđun hữu hạn sinh trên vành địa ph-ơng Luận văn thạc sỹ toán học Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Đức Minh Quy nhơn, năm 2008 1 Mục Lục Bảng các kí hiệu 1 Mở đầu 2 Ch-ơng 1. Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Lý thuyết về sự phân tích nguyên sơ 5 1.2 Lý thuyết bội 7 1.3 Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng 9 1.4 Lý thuyết kiểu đa thức 12 Ch-ơng 2. Lọc chiều và hệ tham số tốt 14 2.1 Hệ tham số tốt 14 2.2 Đặc tr-ng của môđun Cohen - Macaulay dãy qua hệ tham số tốt .22 2.3 Lọc chiều của môđun địa ph-ơng hoá 31 Ch-ơng 3. Bất biến p F (M) 34 3.1 Sự tồn tại của bất biến p F (M) 34 3.2 Liên hệ giữa bất biến p F (M) và quỹ tích các điểm không Cohen- Macaulay dãy 42 Kết luận của luận văn 46 Tài liệu tham khảo 47 2 bảng các kí hiệu Ann(M): linh hoá tử của R-môđun M. dimM: số chiều của R-môđun M. Ext i R (N,M ): hàm tử mở rộng thứ i của các R-môđun M,N. H i m ((M): môđun đối đồng điều địa ph-ơng thứ i của R-môđun M ứng với iđêan cực đại m. (M): độ dài của R-môđun M. Supp(M): tập hợp các iđêan nguyên tố của vành R sao cho M p =0. 3 Mở đầu Cho (R, m) là vành địa ph-ơng giao hoán Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh có chiều d và x =(x 1 , , x d ) là hệ tham số của M, kí hiệu n =(n 1 , , n d ) là bộ d-số nguyên d-ơng. Xét hiệu I M (n,x)=(M/(x n 1 1 , , x n d d )M) n 1 n d e(x 1 , , x d ; M), nh- một hàm theo n. Trong tài liệu [5], Nguyễn Tự C-ờng đã chứng minh rằng hàm này không là một đa thức trong tr-ờng hợp tổng quát nh-ng nó bị chặn trên bởi một đa thức và bậc nhỏ nhất của tất cả các đa thức chặn trên hàm I M (n,x) không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số x. Bất biến này gọi là kiểu đa thức của M, kí hiệu là p(M) và bất biến này đúng bằng chiều của quỹ tích không Cohen - Macaulay khi R là th-ơng của một vành Cohen - Macaulay. Xét lọc hữu hạn các môđun con của M là F : M 0 M 1 M t = M sao cho dimM 0 < dimM 1 < < dimM t = dimM. Một lọc nh- vậy gọi là thoả mãn điều kiện chiều. Cho x =(x 1 , , x d ) là một hệ tham số của M. Khi đó x đ-ợc gọi là một hệ tham số tốt t-ơng ứng với lọc F nếu M i (x d i +1 , , x d )M =0với i =0, 1, , t 1 và d i = dimM i . Đặt I F,M (x(n)) = (M/(x n 1 1 , , x n d d )M) t i=0 n 1 n d i e(x 1 , , x d i ; M i ), ở đây e(x 1 , , x d i ; M i ) là bội Serre của M i ứng với hệ (x 1 , , x d i ) và x =(x 1 , , x d ) là một hệ tham số tốt của M t-ơng ứng với lọc F. Câu hỏi đặt ra là các kết quả trên có còn đúng cho hàm I F,M (x(n)). Mục đích của luận văn này là trình bày một số kết quả trong [7] và [9] liên quan đến bất biến p F (M) ( đ-ợc định nghĩa là bậc nhỏ nhất của tất cả các đa thức theo n chặn trên hàm I F,M (x(n)) ). Bên cạnh việc đ-a ra nhiều chứng minh chi tiết cho các kết quả đã có trong [7] và [9], chúng tôi cũng tìm đ-ợc một kết quả mới ch-a đ-ợc đề cập đến trong hai bài báo nói trên. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn gồm 3 ch-ơng: 4 Ch-ơng 1 kiến thức chuẩn bị Ch-ơng này chúng tôi nhắc lại khái niệm và một số tính chất cơ bản về lý thuyết phân tích nguyên sơ, lý thuyết bội, môđun Cohen - Macaulay, môđun Cohen - Macaulay suy rộng và lý thuyết kiểu đa thức. Ch-ơng 2 lọc chiều và hệ tham số tốt Lọc chiều và hệ tham số tốt là một công cụ rất quan trọng để nghiên cứu bất biến p F (M) do đó chúng tôi dành ch-ơng này để trình bày một số kết quả về lọc chiều và hệ tham số tốt, chỉ ra đặc tr-ng của môđun Cohen-Macaulay dãy qua hệ tham số tốt và trình bày một số kết quả về lọc chiều của môđun địa ph-ơng hoá sẽ đ-ợc sử dụng rất nhiều trong ch-ơng 3. Ch-ơng 3 bất biến p F (M) Nội dung chính của ch-ơng này là chúng tôi chứng minh hàm I F,M (x(n)) bị chặn trên bởi một đa thức và bậc nhỏ nhất của tất cả các đa thức chặn trên hàm I F,M (x(n)) không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số tốt x của M t-ơng ứng với lọc F, chỉ ra mối liên hệ giữa bất biến p F (M) với môđun Cohen - Macaulay dãy và môđun Cohen - Macaulay suy rộng dãy. Hơn nữa bất biến này đúng bằng chiều của quỹ tích không Cohen - Macaulay dãy khi R là th-ơng của một vành Cohen - Macaulay và F là lọc chiều của M. Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng và làm việc nghiêm túc, nh-ng chắc chắn luận văn sẽ còn những hạn chế, thiếu sót nhất định. Tác giả rất mong nhận đ-ợc sự góp ý, bổ sung của quý thầy, cô giáo và ng-ời đọc. Quy Nhơn, tháng 03 năm 2008. Tác giả 5 Ch-ơng 1 kiến thức chuẩn bị 1.1 Lý thuyết về sự phân tích nguyên sơ Trong mục này chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cần thiết về sự phân tích nguyên sơ của các môđun con của một môđun theo [14, ch-ơng 3]. Định nghĩa 1.1.1. Cho R là một vành giao hoán và M là một R - môđun. Một iđêan nguyên tố p đ-ợc gọi là một iđêan nguyên tố liên kết với M nếu tồn tại x M và x =0sao cho p = Ann(x). Tập các iđêan nguyên tố liên kết với M đ-ợc kí hiệu là Ass R (M) hay Ass(M). Hơn nữa Ass( M)= nếu và chỉ nếu M =0. Đặc biệt nếu M là hữu hạn sinh và R là một vành giao hoán Noether thì Ass(M) là hữu hạn. Định nghĩa 1.1.2. i) Một R - môđun M đ-ợc gọi là đối nguyên sơ nếu có duy nhất một iđêan nguyên tố liên kết. ii) Môđun con N của M đ-ợc gọi là một môđun con nguyên sơ của M nếu M/N là đối nguyên sơ. Nếu Ass R (M/N)={p}, thì N đ-ợc gọi là p - nguyên sơ. Bổ đề 1.1.3. Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng: (1) R- môđun M là đối nguyên sơ ; (2) M =0và nếu a R là -ớc của không của M thì với mỗi x M tồn tại một số nguyên d-ơng n sao cho a n x =0. Chú ý 1.1.4. Khi M = R/q với q Ass(M) thì điều kiện (2) t-ơng đ-ơng với mọi -ớc của không của vành R/q là luỹ linh. 6 Mệnh đề 1.1.5. Nếu M là -R môđun là đối nguyên sơ hữu hạn sinh với AssM = {p} thì Ann (M) là iđêan p- nguyên sơ của R. Định nghĩa 1.1.6. Cho N là một môđun con của M. Một sự phân tích nguyên sơ của N là một phân tích N = Q 1 ãããQ r thành giao hữu hạn các môđun con nguyên sơ Q i của M. Sự phân tích nguyên sơ này đ-ợc gọi là sự phân tích rút gọn nếu không thể bỏ một Q i và các iđêan nguyên tố liên kết của M/Q i (1 i r) đôi một khác nhau. Dễ thấy rằng mọi sự phân tích nguyên sơ của môđun con N của M đều có thể quy về một sự phân tích nguyên sơ rút gọn. Mệnh đề 1.1.7. Nếu N = Q 1 ãããQ r là một phân tích nguyên sơ rút gọn của môđun con N và Q i là p i -nguyên sơ thì Ass(M/N)={p 1 , ããã , p r }. Định lý 1.1.8. Cho R là vành Noether và M là một R-môđun. Khi đó với mỗi p Ass(M) ta có thể chọn một môđun p- nguyên sơ Q(p) sao cho 0= pAssM Q(p). Hệ quả 1.1.9. Nếu M là một R - môđun hữu hạn sinh thì mọi môđun con của M đều có một sự phân tích nguyên sơ. Mệnh đề 1.1.10. ( theo [15, 3.13]) Cho I là một iđêan của R, đặt A = {p AssM : p I}. Nếu 0= pAssM Q(p) là một phân tích nguyên sơ rút gọn của môđun con 0 của M và Q(p) là p-nguyên sơ thì H 0 I (M)= p /A Q(p). 7 1.2 Lý thuyết bội Trong mục này chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cơ bản về bội theo Northcott (theo [17, ch-ơng 7]). Định nghĩa 1.2.1. Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa ph-ơng với iđêan cực đại m và M là một R-môđun hữu hạn sinh với dimM = d. Một hệ các phần tử x =(x 1 , , x t ) của R sao cho R M/(x )M < + đ-ợc gọi là một hệ bội của M. ở đây nếu t =0thì ta hiểu điều kiện trên có nghĩa là R (M) < +. Khi đó ký hiệu bội e(x; M) của M đối với hệ bội x đ-ợc định nghĩa quy nạp theo t nh- sau. Giả sử t =0, tức là R (M) < +, khi đó ta đặt e(; M)= R (M). Với t>0, đặt (0 : M x 1 )={m M | mx 1 =0}.Vì R M/(x )M < + nên ta dễ dàng suy ra rằng (x 2 , , x t ) là một hệ bội của (0 : M x 1 ) và M/x 1 M. áp dụng giả thiết quy nạp thì e(x 2 , , x t ; M/x 1 M) và e(x 2 , , x t ;0 : M x 1 ) đã đ-ợc xác định, khi đó ta định nghĩa e(x; M)=e(x 2 , , x t ; M/x 1 M) e(x 2 , , x t ;0 : M x 1 ). Một hệ các phần tử (x 1 , , x d ) của m đ-ợc gọi là một hệ tham số của M nếu (x 1 , , x d ) là một hệ bội của M. D-ới đây là một số tính chất cơ bản của số bội e(x; M) . Định lý 1.2.2. Giả sử 0 M N P 0 là một dãy khớp ngắn các R-môđun Noether và x =(x 1 , , x t ) là hệ bội trên M, N và P . Khi đó e(x; N)=e(x; M)+e(x; P ). Mệnh đề 1.2.3. Cho x =(x 1 , , x t ) là một hệ bội của M. Nếu {i 1 ,i 2 , , i t } là một hoán vị của {1, 2, , t} thì e(x 1 ,x 2 , , x t ; M)=e(x i 1 ,x i 2 , , x i t ; M). 8 Mệnh đề 1.2.4. Cho x =(x 1 , , x t ) là một hệ bội của M. Nếu có một giá trị i sao cho x n i M =0, với n là một số nguyên d-ơng nào đó thì e(x; M)=0. Mệnh đề 1.2.5. Cho x =(x 1 , , x t ) là một hệ bội của M. Khi đó 0 e(x; M) R M/(x )M . Mệnh đề 1.2.6. Cho x =(x 1 , , x t ) là một hệ bội của M. Khi đó với n 1 ,n 2 , , n t là các số nguyên d-ơng tuỳ ý ta có e(x n 1 1 ,x n 2 2 , , x n t t ; M)=n 1 .n 2 n t e(x 1 , , x t ; M). Mệnh đề 1.2.7. Cho x =(x 1 , , x t ) là một hệ bội của M. Khi đó e(x; M)=0 khi t>dim M. Định lý 1.2.8. Cho x =(x 1 , , x t ) và y =(y 1 , , y t ) là các hệ bội của M. Giả sử xM yM. Khi đó e(y; M) e(x; M). Định lý 1.2.9. (Công thức giới hạn của Lech) Cho x =(x 1 , , x t ) là một hệ bội của M. Khi đó lim min(n i ) (M/(x n 1 1 ,x n 2 2 , , x n t t )M) n 1 .n 2 n t = e(x; M). Công thức sau đây của Auslander - Buchsbaum th-ờng đ-ợc sử dụng trong các chứng minh của ch-ơng tiếp theo. Định lý 1.2.10. ( theo [1, 4.2] ) Cho x =(x 1 , , x t ) là một hệ bội của M. Khi đó R (M/(x 1 , ããã ,x t )M) e(x; M)= = t i=1 e(x i+1 , ããã ,x t ;(x 1 , ããã ,x i1 )M : x i /(x 1 , ããã ,x i1 )M). 9 1.3 Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen- Macaulay suy rộng Tr-ớc hết chúng tôi nhắc lại khái niệm dãy chính quy (theo [14, ch-ơng 6]). Định nghĩa 1.3.1. Cho R là một vành giao hoán, M là một R-môđun và a 1 , , a r là các phần tử thuộc R. Ta ký hiệu (a) là iđêan (a 1 , , a r ) và aM là môđun con r i=1 a i M =(a)M. Ta nói a 1 , , a r là M- dãy chính quy (hay M-dãy) nếu các điều kiện sau đ-ợc thoả : (1) Với mỗi 1 i r, a i không là -ớc của không của M/(a 1 , , a i1 )M . (2) aM = M. Khi tất cả các phần tử a 1 , , a r thuộc về một iđêan I của R, ta nói rằng a 1 , , a r là một M-dãy trong I. Hơn nữa nếu không tồn tại b I sao cho a 1 , , a r ,b là M-dãy thì a 1 , , a r đ-ợc gọi là một M-dãy cực đại trong I. Bổ đề 1.3.2. Giả sử a 1 , , a r là M- dãy và a 1 m 1 + + a r m r =0,m i M, i = 1, , r. Khi đó m i aM với mọi i =1, , r. Định lý 1.3.3. Nếu (a 1 , , a r ) là một M-dãy thì (a n 1 1 , , a n r r ) là một M-dãy với mọi số nguyên d-ơng n 1 , , n r . Định lý 1.3.4. Cho R là một vành Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan sao cho IM = M. Với mọi số nguyên d-ơng n ta có các mệnh đề sau là t-ơng đ-ơng: i) Ext i R (N,M )=0với mọi i<nvà với mọi R-môđun hữu hạn sinh N mà Supp(N) V (I); ii) Ext i R (R/I, M)=0với mọi i<n; [...]... của M và ký hiệu là depthI (M) Khi (R, m) là một vành địa ph-ơng ta ký hiệu depth(M) hay depthR (M) thay cho depthm (M) và gọi là độ sâu của M Định lý 1.3.6 Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa ph-ơng và M = 0 là một môđun hữu hạn sinh Khi đó depth(M) dim(R/p) với mọi p Ass(M) Bổ đề 1.3.7 Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa ph-ơng, M là một môđun hữu hạn sinh và (a1 , , ar) là một. .. ch-ơng 6] Định nghĩa 1.3.8 Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa ph-ơng và M là một môđun hữu hạn sinh Một R-môđun M đ-ợc gọi là môđun Cohen- Macaulay nếu M = 0 hoặc dimM = depthM Vành R đ-ợc gọi là vành Cohen-Macaulay nếu nó là một R-môđun CohenMacaulay 11 Định lý 1.3.9 Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa ph-ơng và M là một R-môđun hữu hạn sinh Khi đó i) Nếu M là môđun Cohen-Macaulay... tại R-môđun hữu hạn sinh N với Supp(N ) V (I) sao cho Exti (N, M) = R 0 với mọi i < n; iv) Tồn tại một M -dãy a1, , an trong I có độ dài n Từ Định lý trên ta thấy khi M là R-môđun hữu hạn sinh thì hai M -dãy cực đại bất kỳ trong I đều có cùng độ dài Định nghĩa 1.3.5 Cho R là một vành giao hoán Noether, M là một môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan của R sao cho IM = M Khi đó độ dài của các M -dãy... hệ tham số của M 12 Lý thuyết kiểu đa thức 1.4 Trong mục này chúng tôi trình bày lại các kết quả có liên đến kiểu đa thức của một môđun theo [5] Ký hiệu (R, m) là vành địa ph-ơng giao hoán Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh có chiều d Cho x = (x1, , xd) là một hệ tham số của M và n = (n1 , , nd) là một bộ d số nguyên d-ơng Xét hiệu IM (n; x) = (M/(xn1 , , xnd )M) n1 nde(x; M) 1 d nh- một hàm theo... ndIM (x) Định lý sau đây khái quát tính chất trên Định lý 1.4.3 Bậc nhỏ nhất của các đa thức theo n chặn trên hàm số IM (n; x) không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số x Định nghĩa 1.4.4 Bậc nhỏ nhất của các đa thức theo n chặn trên hàm số IM (n; x) là một bất biến của M Bất biến này gọi là kiểu đa thức của M và kí hiệu là p(M) Chú ý 1.4.5 (i) Nếu xem bậc của đa thức 0 là thì khi đó M là môđun Cohen-Macaulay... đó chúng tôi dành ch-ơng này để trình bày lại một số kết quả về lọc chiều và hệ tham số tốt, chỉ ra đặc tr-ng của môđun Cohen-Macaulay dãy qua hệ tham số tốt và trình bày một số kết quả về lọc chiều của môđun địa ph-ơng hoá sẽ đ-ợc sử dụng rất nhiều trong ch-ơng tiếp theo Từ đây ta ký hiệu (R, m) là vành địa ph-ơng giao hoán Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh có chiều d 2.1 Hệ tham số tốt Trong mục... là một môđun Cohen - Macaulay dãy và x là một hệ tham số của M Khi đó x là một hệ tham số tốt nếu và chỉ nếu ID,M (x(n)) = 0 với mọi số nguyên d-ơng n1 , ã ã ã , nd Khi đó, x là một dd- dãy Tiếp theo chúng tôi trình bày đặc tr-ng của môđun Cohen - Macaulay dãy qua hệ tham số tốt trong [7] Bổ đề 2.2.5 ( theo [7, 3.5]) Cho x = (x1, , xd) là một hệ tham số của M và D : D0 D1 Dt = M là lọc chiều của. .. tham số tốt của Mp 34 Ch-ơng 3 Bất biến pF (M) Trong tài liệu [5], Nguyễn Tự C-ờng là ng-ời đầu tiên chỉ ra rằng bậc nhỏ nhất của tất cả các đa thức theo n1, , nd chặn trên hiệu (M/x(n)M) e(x(n); M) không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số x và ký hiệu bất biến bởi p(M) và gọi là kiểu đa thức của M Trong phần này, kiểu đa thức chỉ là bất biến pF0 (M), với F0 : 0 M là một lọc tầm th-ờng của M Cho... M là một lọc thoả mãn điều kiện chiều và x = (x1, , xd) là một hệ tham số tốt của M t-ơng ứng với lọc F Đặt IF,M (x(n)) = (M/(xn1 , , xnd )M) 1 d t n1 ndi e(x1, , xdi ; Mi ) i=0 Mục đích của ch-ơng này là trình bày sự tồn tại của bất biến pF (M) và chỉ ra mối liên hệ giữa bất biến pF (M) với kiểu đa thức và với quỹ tích các điểm không Cohen-Macaulay dãy ( trong [9] ) 3.1 Sự tồn tại của bất biến pF... mọi hệ tham số x của M là dd - dãy; (iii) Tồn tại một hệ tham số x của M sao cho x là dd - dãy và ID,M (x) = 0 Chứng minh (i ii) suy ra từ Mệnh đề 2.2.4 (ii iii) là hiển nhiên đúng (iii i) Cho x là một hệ tham số của M sao cho x là một dd - dãy và ID,M (x) = 0 Tr-ớc tiên ta sẽ chứng tỏ rằng ID,M (x(n)) = 0 với mọi số nguyên d-ơng n1 , ã ã ã , nd Thật vậy, vì x là một hệ tham số tốt của M và Di = 0 . đào tạo Tr-ờng Đại học Quy nhơn Trần Ngọc Anh Về một bất biến của môđun hữu hạn sinh trên vành địa ph-ơng Luận văn thạc sỹ toán học Chuyên ngành: Đại số. : M x 1 ). Một hệ các phần tử (x 1 , , x d ) của m đ-ợc gọi là một hệ tham số của M nếu (x 1 , , x d ) là một hệ bội của M. D-ới đây là một số tính chất cơ bản của