Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n OLYMPIC TO ´ AN C ´ AC NU , ´ O , C 1999 – 2000 53 Ð ` Ê THI V ` A L ` O , I GI , AI (T . âp 6) NH ` A XU ´ ÂT B , AN GI ´ AO D . UC 2 L ` o , i n ´ oi ¯ dâ ` u Ðê , th , u , g ´ oi l . ênh phông ch ˜ u , tôi biên so . an m . ôt sô ´ ¯ dê ` to ´ an thi Olympic, m ` a c ´ ac h . oc tr ` o c , ua tôi ¯ d ˜ a l ` am b ` ai t . âp khi h . oc t . âp L A T E X. Ðê , ph . u v . u c ´ ac b . an ham h . oc to ´ an tôi thu th . âp v ` a gom l . ai th ` anh c ´ ac s ´ ach ¯ di . ên t , u , , c ´ ac b . an c ´ o thê , tham kh , ao. M ˜ ôi t . âp tôi s ˜ e gom kho , ang 50 b ` ai v ´ o , i l ` o , i gi , ai. Râ ´ t nhiê ` u b ` ai to ´ an d . ich không ¯ du , . o , c chuâ , n, nhiê ` u ¯ diê , m không ho ` an to ` an ch ´ ınh x ´ ac v . ây mong b . an ¯ d . oc t . u , ng ˜ âm ngh ˜ ı v ` a t ` ım hiê , u lâ ´ y. Nhu , ng ¯ dây l ` a nguô ` n t ` ai li . êu tiê ´ ng Vi . êt vê ` ch , u ¯ dê ` n ` ay, tôi ¯ d ˜ a c ´ o xem qua v ` a ngu , ` o , i d . ich l ` a chuyên vê ` ng ` anh To ´ an phô , thông. B . an c ´ o thê , tham kh , ao l . ai trong [1],[2]. Râ ´ t nhiê ` u ¯ do . an v ` ı m ´ o , i h . oc TeX nên câ ´ u tr ´ uc v ` a bô ´ tr ´ ı c ` on xâ ´ u, tôi không c ´ o th ` o , i gian s , u , a l . ai, mong c ´ ac b . an thông c , am. Cuô ´ n s ´ ach n ` ay c ´ o c ´ ach không cho sao ch ´ ep ch ˜ u , Vi . êt, c ´ ac b . an th , u , xem nh ´ e. H ` a N . ôi, ng ` ay 20 th ´ ang 9 n ˘ am 2013 Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n 51 GD-05 89/176-05 M ˜ a sô ´ : 8I092M5 M . uc l . uc L ` o , i n ´ oi ¯ dâ ` u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 M . uc l . uc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chu , o , ng 47. Ðê ` thi olympic to ´ an Rumania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 47.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 47.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chu , o , ng 48. Ðê ` thi olympic to ´ an Nga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 48.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 48.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chu , o , ng 49. Ðê ` thi olympic to ´ an Slovenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 49.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 49.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Chu , o , ng 50. Ðê ` olympic to ´ an Thô , Nh ˜ ı K ` y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 50.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 50.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Chu , o , ng 51. Ðê ` thi olympin to ´ an Ukraina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 51.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 51.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Chu , o , ng 52. Ðê ` thi olympin to ´ an Ukraina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 52.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 52.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 T ` ai li . êu tham kh , ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4 CHU , O , NG 47 Ð ` Ê THI OLYMPIC TO ´ AN RUMANIA 47.1. Ðê ` b ` ai B ` ai 47.1. a. Ch ´ u , ng minh r ` ˘ang trong 39 sô ´ nguyên du , o , ng liên tiê ´ p, tô ` n t . ai m . ôt sô ´ v ´ o , i tô , ng c ´ ac ch ˜ u , sô ´ chia hê ´ t cho 11. b. T ` ım 38 sô ´ nguyên du , o , ng liên tiê ´ p m ` a không c ´ o sô ´ n ` ao c ´ o tô , ng c ´ ac ch ˜ u , sô ´ chia hê ´ t cho 11. B ` ai 47.2. Cho ABC l ` a tam gi ´ ac nh . on v ´ o , i c ´ ac ¯ du , ` o , ng phân gi ´ ac BL v ` a CM. Ch ´ u , ng minh r ` ˘ang ∠A = 60 0 khi v ` a ch , ı khi tô ` n t . ai ¯ diê , m K trên BC(K ≤ B, C) sao cho KLM ¯ dê ` u. B ` ai 47.3. Ch ´ u , ng minh r ` ˘ang v ´ o , i m ˜ ôi sô ´ nguyên du , o , ng n bâ ´ t k ` ı S n = C 0 2n+1 .2 2n + C 2 2n+1 .2 2n−2 .3 + ···+ C 2n 2n+1 .3 n l ` a tô , ng c , ua hai b ` ınh phu , o , ng liên tiê ´ p. B ` ai 47.4. Cho x 1 , x 2 , ··· , x n l ` a c ´ ac sô ´ th . u , c du , o , ng th , oa m ˜ an x 1 x 2 ···x n = 1. Ch ´ u , ng minh r ` ˘ang 1 n − 1 + x 1 + 1 n − 1 + x 2 + ···+ 1 n − 1 + x n  1. B ` ai 47.5. Cho x 1 , x 2 , ··· , x n l ` a c ´ ac sô ´ th . u , c du , o , ng phân bi . êt. Ch ´ u , ng minh r ` ˘ang x 2 1 + x 2 2 + ···+ x 2 n  (2n + 1)(x 1 + x 2 + ···x n ) 3 . B ` ai 47.6. Ch ´ u , ng minh r ` ˘ang v ´ o , i bâ ´ t k ` y sô ´ nguyên n, n > 3, tô ` n t . ai n sô ´ nguyên du , o , ng a 1 , a 2 , ··· , a n l . âp th ` anh câ ´ p sô ´ c . ông v ` a n sô ´ nguyên du , o , ng b 1 , b 2 , ··· , b n l . âp th ` anh câ ´ p sô ´ c . ông sao cho b 1 < a 1 < b 2 < a 2 < ··· < b n < a n . Ðu , a ra v ´ ı d . u a 1 , a 2 , ··· , a n v ` a b 1 , b 2 , ··· , b n c ´ o ´ ıt nhâ ´ t n˘am phâ ` n t , u , . 6 Chu , o , ng 47. Ðê ` thi olympic to ´ an Rumania B ` ai 47.7. Cho a l ` a sô ´ th . u , c du , o , ng v ` a x n (n  1) l ` a d ˜ ay c ´ ac sô ´ th . u , c sao cho x 1 = a v ` a x n+1  (n + 2)x n − n−1  k=1 kx k , v ´ o , i m . oi a  1. Ch ´ u , ng minh r ` ˘ang tô ` n t . ai m . ôt sô ´ nguyên du , o , ng n sao cho x n > 1999! B ` ai 47.8. Cho O, A, B, C l ` a ba ¯ diê , m thay ¯ dô , i trên m . ˘at ph , ˘ang sao cho OA = 4, OB = 2 √ 3 v ` a OC = √ 22. T ` ım di . ên t ´ ıch l ´ o , n nhâ ´ t c , ua ABC. B ` ai 47.9. Cho a, n l ` a sô ´ nguyên v ` a cho p l ` a sô ´ nguyên tô ´ sao cho p > |a|+ 1. Ch ´ u , ng minh r ` ˘ang ¯ da th ´ u , c f (x) = x n + ax + p không thê , biê , u di ˜ ên nhu , l ` a t ´ ıch c , ua hai ¯ da th ´ u , c kh ´ ac h ` ˘ang v ´ o , i h . ê sô ´ nguyên. B ` ai 47.10. Hai ¯ du , ` o , ng tr ` on giao nhau tai A v ` a B. Ðu , ` o , ng th , ˘ang l qua A v ` a c ´ ˘at hai ¯ du , ` o , ng tr ` on t . ai C v ` a D. Ð . ˘at M v ` a N l ` a hai trung ¯ diê , m c , ua cung BC v ` a BD, không ch ´ u , a A v ` a ¯ d . ˘at K l ` a trung ¯ diê , m c , ua CD. Ch ´ u , ng minh r ` ˘ang ∠MKN = 90 0 . 47.2. L ` o , i gi , ai L ` o , i gi , ai 47.1. G . oi m . ôt sô ´ nguyên l ` a "deadly" nê ´ u tô , ng c ´ ac ch ˜ u , sô ´ c , ua n ´ o chia hê ´ t cho 11 v ` a ¯ d . ˘ at d(n) b ` ˘ ang tô , ng ch ˜ u , sô ´ nguyên du , o , ng n. Nê ´ u n t . ân c ` ung b ` ˘ ang 0 th ` ı tô , ng n, n + 1, , n + 9 ch , ı kh ´ ac nhau ch ˜ u , sô ´ ¯ do , n v . i t ` u , 1 ¯ dê ´ n 9. Do ¯ d ´ o d(n), d(n + 1), , d(n + 9) l ` a câ ´ p sô ´ c . ông v ´ o , i công sai 1. Do ¯ d ´ o nê ´ u d(n) ≡ 1(mod11) th ` ı m . ôt trong nh ˜ u , ng sô ´ n ` ay l ` a "deadly". Gi , a s , u , r ` ˘ ang nê ´ u n t . ân c ` ung l ` a k  0 th ` ı d(n + 1) = d(n) + 1 − 9k, ch ˜ u , sô ´ k t . ân c ` ung c , ua n + 1 l ` a 0 thay v ` ı 9 v ` a ch ˜ u , sô ´ tiê ´ p theo , o , bên tr ´ ai l ` a l ´ o , n ho , n 1 v ` a tu , o , ng ´ u , ng v ´ o , i ch ˜ u , sô ´ trong n. Cuô ´ i c ` ung, gi , a s , u , n t . ân c ` ung l ` a 0 v ` a d(n) ≡ d(n + 10) ≡ 1(mod11). T ` u , d(n) ≡ 1(mod11) ta s ˜ e c ´ o d(n + 9) ≡ 10(mod11). Nê ´ u n + 9 t . ân c ` ung l ` a 9 th ` ı ta c ´ o 2 ≡ d(n + 10) − d(n + 9) ≡ 1 −9k suy ra k ≡ 6(mod11) a. Gi , a s , u , ta c ´ o 39 sô ´ nguyên liên tiê ´ p, không c ´ o sô ´ n ` ao l ` a "deadly". M . ôt trong 10 sô ´ ¯ dâ ` u tiên ph , ai c ´ o t . ân c ` ung l ` a 0, g . oi l ` a n. Không sô ´ n ` ao c , ua n, n + 1, , n + 9 l ` a "deadly" nên ph , ai c ´ o d(n) ≡ 1(mod11). Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n, http://nhdien.wordpress.com 7 Tu , o , ng t . u , , d(n + 10) ≡ 1(mod11) v ` a d(n + 20) ≡ 1(mod11). T ` u , l ´ y lu . ân th ´ u , 3 , o , trên, ph , ai c ´ o c , a n + 9 v ` a n + 19 c ´ o t . ân c ` ung ´ ıt nhâ ´ t l ` a s ´ au ch ˜ u , sô ´ 9 (vô l ´ y) v ` ı n + 10 v ` a n + 20 không thê , l ` a b . ôi c , ua m . ôt tri . êu. b. Gi , a s , u , ta c ´ o 38 sô ´ liên tiê ´ p N, N + 1, , N + 37 không c ´ o sô ´ n ` ao l ` a "deadly". Tu , o , ng t . u , nhu , phâ ` n a, trong ch ´ ın sô ´ ¯ dâ ` u tiên không t . ân c ` ung b ` ˘ ang 0. Do ¯ d ´ o N + 9 t . ân c ` ung b ` ˘ ang 0, N + 19 v ` a N + 29 c ˜ ung thê ´ . Nên d(N + 9) ≡ d(N + 19) ≡ 1(mod11). V ` ı v . ây d(N + 18) ≡ 10(mod11). Ngo ` ai ra, nê ´ u N +18 t . ân c ` ung l ` a k9 th ` ı k ≡ 6(mod11). C ´ o thê , l ` a 999981, 999982, , 100018. Cuô ´ i c ` ung, không c ´ o nh ˜ u , ng sô ´ l ` a "deadly": tô , ng c ´ ac ch ˜ u , sô ´ l ` a ¯ dô ` ng du , v ´ o , i 1, 2, , 10, 1, 2, , 10, 1, 2, , 10, 2, 3 , 9 v ` a10(mod11). L ` o , i gi , ai 47.2. Ð . ˘ at I l ` a giao ¯ diê , m c , ua BL v ` a CM. Th ` ı ∠BIC = 180 0 −∠ICB−∠CBI = 180 0 − 1 2 (∠C + ∠B) = 180 0 − 1 2 (180 0 − ∠A) = 90 0 + ∠A v ` a do ¯ d ´ o ∠BIC = 120 0 nê ´ u v ` a ch , ı nê ´ u ∠A = 60 0 . (⇒) Gi , a s , u , r ` ˘ ang ∠A = 60 0 , ¯ d . ˘ at K l ` a giao c , ua BC v ` a ¯ du , ` o , ng phân gi ´ ac trong c , ua ∠BIC; ch ´ ung ta gi , ai th ´ ıch r ` ˘ ang KLM l ` a ¯ dê ` u. T ` u , ∠BIC = 120 0 ta biê ´ t ∠MIB = ∠KIB = 60 0 . T ` u , ¯ d ´ o ∠IBM = ∠IBK v ` a IB = IB suy ra IBM = IBG(g.c.g) suy ra IM = IK. Tu , o , ng t . u , : IL = IK. T ` u , ∠KIL = ∠LI M = ∠MIK = 120 0 th ` ı KLM ¯ dê ` u. (⇐) Gi , a s , u , K ∈ BC v ` a KLM ¯ dê ` u. X ´ et BLK v ` a BLM : BL = BL LM = LK ∠MBL = ∠KBC suy ra BLK = BLM(c.g.c) suy ra ∠LKB + ∠BML = 180 0 ho . ˘ ac ∠LKB = ∠BML. T ` u , ∠KBM < 90 0 v ` a ∠MLK = 60 0 nên ∠LKB + ∠BML > 210 0 . Do ¯ d ´ o ∠LKB = ∠BML nên BLK  BLM suy ra BK = BM suy ra IK = IM. Tu , o , ng t . u , IL = IK v ` a I l ` a tr . ong tâm c , ua KLM. 8 Chu , o , ng 47. Ðê ` thi olympic to ´ an Rumania Do ¯ d ´ o ∠LIM = 2∠LKM = 120 0 nên ∠BIC = ∠LIM = 120 0 v ` a ∠A = 60 0 . L ` o , i gi , ai 47.3. Ð . ˘ at α = 1 + √ 3, β = 1 − √ 3 v ` a T = 1 2 (α 2n+1 + β 2n+1 ). Ta thâ ´ y αβ = −2, α 2 2 = 2 + √ 3 v ` a β 2 2 = 2 − √ 3. ´ Ap d . ung khai triê , n nh . i th ´ u , c ¯ dô ´ i v ´ o , i (1 + √ 3) n v ` a (1 − √ 3) n , ta c ´ o T n = n  k=0 C 2k 2n+1 3 k v ´ o , i m . oi sô ´ nguyên n bâ ´ t k ` y. ´ Ap d . ung khai triê , n nh . i th ´ u , c ¯ dô ´ i v ´ o , i (2 + √ 3) 2n+1 v ` a (2 − √ 3) 2n+1 thay v ` ao ta ¯ du , . o , c S n =  α 2 2  2n+1 +  β 2 2  2n+1 4 = α 4n+2 + β 4n+2 2 2n+3 = α 4n+2 + 2(αβ) 2n+1 + β 4n+2 2 2n+3 + 1 2 = (α 2n+1 + β 2n+1 ) 2 2 2n+3 + 1 3 = T 2 n 2 2n+1 + 1 2 . Do ¯ d ´ o 2 2n+1 S n = T 2 n + 2 2n . Do ¯ d ´ o 2 2n |T 2 n nhu , ng 2 2n+1  T 2 n suy ra T n ≡ 2 n (mod2 n+1 ). V ` ı v . ây S n = T 2 n 2 2n+1 + 1 2 =  T n − 2 n 2 n+1  2 +  T n + 2 n 2 n+1  2 . L ` o , i gi , ai 47.4. Ð . ˘ at a 1 = n √ x 1 , a 2 = n √ x 2 , ··· , a n = n √ x n , do ¯ d ´ o a 1 a 2 ···a n = 1 v ` a 1 n − 1 + x k = 1 n − 1 + a n k = 1 n − 1 + a n−1 k a 1 a 2 ···a k−1 a k+1 ···a n Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n, http://nhdien.wordpress.com 9  1 n − 1 + (n − 1)a n−1 k a n−1 1 + ···+ a n−1 k−1 + a n−1 k+1 + ···+ a n−1 n . Theo BÐT AM-GM, 1 n − 1 + x k  a n−1 1 + ···+ a n−1 k−1 + a n−1 k+1 + ···+ a n−1 n (n − 1)(a n−1 1 + ···+ a n−1 n ) . Do ¯ d ´ o  n k=1 1 n − 1 + x k  1. L ` o , i gi , ai 47.5. Không mâ ´ t t ´ ınh tô , ng qu ´ at ta gi , a s , u , x 1 < x 2 < ··· < x n . Ta s ˜ e ch ´ u , ng minh 3x 2 k  2(x 1 + x 2 + ···+ x k−1 + (2k + 1)x k ). C . ông tô , ng c ´ ac bâ ´ t ¯ d , ˘ ang th ´ u , c v ´ o , i k = 1, 2, ··· , n ta ¯ du , . o , c ¯ diê ` u ph , ai ch ´ u , ng minh. Ta c ´ o x 1 + x 2 +···+ x k−1  (x k −(k −1) +(x k −(k −2)) +···+(x k −1)) = (k −1)x k − k(k − 1) 2 . Do ¯ d ´ o 2(x 1 + x 2 + ···+ x k−1 ) + (2k + 1)x k  (4k − 1)x k − k(k − 1). Ta c ´ o 3x 2 k − [(4k − 1)x k − k(k − 1)] = x k (3x k − 4k + 1) + k(k − 1) v ´ o , i ¯ d ´ anh gi ´ a thâ ´ p nhâ ´ t t . ai x k = 2 3 k. T ` u , x k  k, x k (3x k − 4k + 1) + k(k − 1)  k(3k − 4k − 1) + k(k − 1) = 0 nên 3x 2 k  (4k − 1)x k (k − 1)  2(x 1 + x 2 + ···x k−1 ) + (2k + 1)x k , ta ¯ du , . o , c ¯ diê ` u ph , ai ch ´ u , ng minh. L ` o , i gi , ai 47.6. Chiê ´ n lu , . o , c c , ua ch ´ ung ta l ` a t ` ım câ ´ p sô ´ m ` a b n = a n−1 + 1 v ` a b n−1 = a n−2 + 1. Viê ´ t d = a n−1 − a n−2 . Do ¯ d ´ o v ´ o , i m . oi 2  i, j  n − 1 ta c ´ o b i+1 − b i  10 Chu , o , ng 47. Ðê ` thi olympic to ´ an Rumania b n − b n−1 = d nên b j = b n +  n−1 i= j (b i − b i+1 ) > a n−1 + (n − j)d = a j−1 ch ´ ung ta ¯ d , am b , ao r ` ˘ ang b 1 < a 1 , do ¯ d ´ o b j = b 1 + j−1  i=1 (b i+1 − b i )  a 1 + ( j − 1)d = a j v ´ o , i m . oi j. V ` ı thê ´ chu ˜ ôi biê , u th ´ u , c ¯ du , . o , c th , oa m ˜ an. Ð . ˘ at b 1 , b 2 , ··· , b n b ` ˘ ang k n−1 , k n−2 (k + 1), ··· , k 0 (k + 1) n−1 , v ´ o , i k l ` a gi ´ a tr . i nhâ ´ t ¯ d . inh. Ð . ˘ at a n−1 = b n − 1 v ` a a n−2 = b n−1 − 1. Do d = a n − a n−1 = b n − b n−1 = (k + 1) n−2 v ` a a 1 = (k + 1) n−2 (k + 3 − n) − 1. Do ¯ d ´ o ta ch , ı câ ` n ch . on k sao cho (k + 1) n−2 (k + 3 − n) − 1 −k n−1 > 0. Vê ´ tr ´ ai l ` a ¯ da th ´ u , c c , ua k c ´ o h . ê sô ´ c , ua k n−1 b ` ˘ ang 0 nhu , ng h . ê sô ´ c , ua k n−1 b ` ˘ ang 1. V ` ı v . ây n ´ o du , o , ng v ´ o , i k ¯ d , u l ´ o , n v ` a ta câ ` n t ` ım d ˜ ay a 1 , a 2 , ··· , a n v ` a b 1 , b 2 , ··· , b n . Cho n = 5, ta t ` ım k th , oa m ˜ an (k + 1) 3 (k − 2) − 1 − k 4 > 0. T ´ ınh to ´ an ta ¯ du , . o , c, 625 < 647 < 750 < 863 < 900 < 1079 < 1080 < 1295 < 1296 < 1511. L ` o , i gi , ai 47.7. Ta s ˜ e ch ´ u , ng minh r ` ˘ ang quy n . ap v ´ o , i n  1, x n+1 > n  k=1 kx k > a.n!. V ´ o , i n = 1 ta c ´ o x 2  3x 1 > x 1 = a. [...]... = x u ¯ y o ¯ ` Chu,o,ng 47 Ðê thi olympic to´ n Rumania a 12 , ´ ˘ ˘ duong thang NH v` PQ cat nhau tai R, do d´ MHN a ¯ ,`, ¯o MRN, ta c´ o MN 1 2 = (x + 16) NH 4 T`, MN⊥(MPQ) ta c´ MN⊥PQ, t`, MH⊥(NPQ) ta duoc MH⊥PQ Do d´ u o u ¯ , , ¯o , vây MR l` duong cao trong MPQ V` vây MR.PQ = ,`, PQ⊥(MNHR), nhu a ¯ ı 2[MPQ] = MP.MQ v` a MR = MH √ √ √ (x2 + 16)2 − (x2 + 16) x2 + 12 + x2 + 22 = x2 + 12 x2... a o , , CHUONG 49 ` ´ ÐÊ THI OLYMPIC TOAN SLOVENIA ` ` 49.1 Ðê bai , ` Bai 49.1 Cho d˜ y c´ c sô thu,c a1 , a2 , a3 , thoa m˜ n diêu kiên a1 = 2, a a ´ a ¯ ` a2 = 500, a3 = 2000 v` hê thu,c a ´ an+2 + an+1 an+1 + an−1 , , , ` ´ ` ´ trong d´ n = 2, 3, 4, Chu,ng minh rang tât ca c´ c phân tu, cua d˜ y dêu l` c´ c sô ˘ a a ¯` a a ´ ¯o ´ nguyên du,o,ng v` 22000 chia hêt cho a2000 a , , ´ ` Bai 49.2... ´ a a ¯` a a ´ , hê th´,c trên, ngo` i ra ta c` n c´ an+1 l` sô nguyên chan v´,i moi sô nguyên duong ,, ˜ o ´ ˘ T` u u a o o an a ´ n a1999 a a2000 = a2000 a1998 a2 a1 a1 1999 ´ ¯` ´ ´ 1999 phân sô dêu chia hêt cho 2 v` a1 = 2 nên a2000 chia hêt cho 22000 a , , ` Loi giai 49.2 Cho x = 0, y = 1 ta c´ f (− f (1)) = 0 o Cho y = − f (1) ta duoc f (x) = 1 + f (1) − x ¯ , , ˘ Ðat a = 1 + f (1) v` f... PQ⊥(MNHR), nhu a ¯ ı 2[MPQ] = MP.MQ v` a MR = MH √ √ √ (x2 + 16)2 − (x2 + 16) x2 + 12 + x2 + 22 = x2 + 12 x2 + 22 16 ˘ Ðat 4y = x2 + 16 ta duoc ¯ , , (y2 − 4y)(8y + 2) = (4y − 4)(4y + 6)( y − 6)( 4y2 + y − 2) = 0 √ 1 T`, y = (x2 + 16) > 4, y = 6 suy ra x = 8 u 4 √ √ √ ´ u ` ı Do d´ MN = 24, MP = 20, MQ = 30 ta t`m duoc khôi t´, diên cân t`m ı ¯ , , ¯o 1 MN.PQ.MQ 1 = Do d´ [MNPQ] = MH.[MPQ] = MN.MP.MQ nên [NPQ]... bôn m` u Chu,ng ı ¯ , , , ` ` ´ minh rang tôn tai môt ô c´ c` ng m` u vo,i c´ c ô o, trên, o, du,o,i, bên tr´ i, bên phai ˘ o u a ´ a a , , ´ ´ ` ` ´ o cua n´ (không nhât thi t phai liên kê vo,i n´ ) o 16 ` Chu,o,ng 48 Ðê thi olympic to´ n Nga a , , ` i giai 48.2 Lo , , , ` a ´ ` Loi giai 48.1 Không tôn tai c´ c sô nguyên nhu vây , ` , , ,, ˘ Ta giai bang phuong ph´ p phan ch´,ng Trung b`nh cua... Mathematical Association of America, 2000 [2] Titu Andreescu, Zuming Feng, and George Lee, Jr Mathematical Olympiads 1999 2000, Problems and Solutions From Around the World, The Mathematical Association of America, 2001 , ˜ [3] Nguyên H˜,u Ðiên, Phu,o,ng ph´ p Ðirichle v` u,ng dung, NXBKHKT, 1999 u a a´ , ˜ [4] Nguyên H˜,u Ðiên, Phu,o,ng ph´ p Quy nap to´ n hoc, NXBGD, 2000 u a a , , , , ˜ [5] Nguyên... (1800 − ∠ABM) + (1800 − ∠NBA) = ∠MCA + ∠ADN = ∠M DA + ∠ADN = ∠M DN MBN v` MN = M N a , ´ V` vây NK l` trung tuyên cua tam gi´ c cân MN M ı a a V` vây NK⊥MK ı Do d´ M DN ¯o 13 , , CHUONG 48 ` ´ ÐÊ THI OLYMPIC TOAN NGA ` ` 48.1 Ðê bai , , ´ ` Bai 48.1 C´ hay không 19 sô tu, nhiên kh´ c nhau m` tông cua ch´ ng l` 1999 v` o a a u a a , , ` c´ c sô c´ tông cua c´ c ch˜, sô bang nhau a ´ o a u ´ ˘ , ,... tuyên v´ ¯ a ´ o ´ a AKD = KLD = K MD = DK M; ,, , tuong tu ta c˜ ng c´ : AMD = DMK u o , ,ong tr` n nôi tiêp tam gi´ c AMK v` l` tâm cua S , Vây, D l` tâm du ` a o ´ a a a ¯ 1 ` Chu,o,ng 48 Ðê thi olympic to´ n Nga a , , ,, , , Tuong tu nhu vây, E l` trung tâm cua S 2 v` F l` trung tâm cua S 3 a a a , , , ´ ´ Theo kêt qua d˜ ch´,ng minh ta c´ tâm O cua duong tr` n nôi tiêp cua tam gi´ c KLM... giai 49.4 Không mât t´nh tông qu´ t gia su sô bi trong c´ c hôp l` a, b v` c v´,i a a a a o ´ a ≤ b ≤ c Viêt b = qa + r trong d´ 0 ≤ r < a v` q ≥ 1 Sau d´ phân t´ch q a ı ¯o ¯o 24 ` Chu,o,ng 49 Ðê thi olympic to´ n Slovenia a q = m0 + 2m1 + = 2k mk ,, ˜ trong d´ mi ∈ {0, 1} v` mk = 1 Môi i = 0, 1, , k thêm 2i viên bi o hôp th´, nhât: nêu a u ´ ´ ¯o ´ ´ u mi = 1 lây bi kh´ c t`, hôp th´, hai, không... D’ Do d´ ANB = BNC ⇐⇒ BA N = BC N ⇐⇒ A D = D C ⇐⇒ ¯o , ` Chu,o,ng 50 Ðê olympic to´ n Thô Nh˜ K` a ı y 28 AD BA.BD = DC BD.BC ⇐⇒ AD.BC = BA.DC ,, , Tuong tu, BLA = DLA ⇐⇒ AD.BC = BA.DC T`, d´ ANB = BNC ⇐⇒ BLA = DLA, ngh˜a l` BD chia dôi ANC th` AC chia dôi u ¯o ı a ı ¯ ¯ , ,ng minh BLD, diêu phai ch´ u ¯ ` , , CHUONG 51 ` ´ ÐÊ THI OLYMPIN TOAN UKRAINA+ UNITED KINHDOM ` ` 51.1 Ðê bai , ´ ´ ´ ` Bai . Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n OLYMPIC TO ´ AN C ´ AC NU , ´ O , C 1999 – 2000 53 Ð ` Ê THI V ` A L ` O , I GI , AI (T . âp 6) NH ` A XU ´ ÂT B , AN GI ´ AO. v ` a  (x 2 + 16) 2 16 − (x 2 + 16). √ x 2 + 12 + x 2 + 22 = √ x 2 + 12. √ x 2 + 22. Ð . ˘ at 4y = x 2 + 16 ta ¯ du , . o , c (y 2 − 4y)(8y + 2) = (4y − 4)(4y + 6)( y