Hướng dẫn thực hành Kỹ thuật Bờ biển Tính toán tần suất theo phân bố Pearson III 28/09/2008 1 TÍNH TOÁN TẦN SUẤT THEO PHÂN BỐ PEARSON III Nghiêm Tiến Lam Khoa Kỹ thuật Biển, Đại học Thuỷ lợi 1. Giới thiệu Phân bố xác suất Pearson loại III (hay còn gọi là phân bố xác suất Gamma ba thông số (Haan, 1977)) là phân bố xác suất được sử dụng rất rộng rãi trong thuỷ văn, đặc biệt là ứng dụng cho dòng chảy lũ. Đường tần suất theo phân bố Pearson III có thể được vẽ bằng MS Excel hoặc các phần mềm phân tích tần suất như FFC (http://coastal.wru.edu.vn/index.asp?lang=vn&page=ffc2008). 1.1. Hàm mật độ xác suất Hàm mật độ xác suất biểu thị xác suất xuất hiện giá trị của đại lượng ngẫu nhiên X bằng với một giá trị x cụ thể nào đó theo luật phân bố xác suất Pearson III như (1): () () () () {} 1 exp c c b f xxabxa c − =− −− Γ (1) với a – thông số vị trí, b – thông số tỷ lệ, c – thông số hình dạng và Γ(c) là hàm gamma () 1 0 ct ctedt ∞ −− Γ= ∫ (2) Nếu sử dụng thông số tỷ lệ là giá trị nghịch đảo 1/b thì sẽ nhận được hàm phân bố xác suất Gamma với 3 thông số là a, 1/b và c (cần phân biệt với hàm phân bố xác suất Gamma tổng quát 3 thông số, còn được gọi là hàm phân bố xác suất Kritsky-Menkel cũng được xây dựng từ hàm phân bố xác suất Pearson III). 1.2. Hàm phân bố tần suất luỹ tích Hàm phân bố tần suất luỹ tích biểu thị xác suất xuất hiện các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên X nhỏ hơn hoặc bằng một giá trị x cụ thể nào đó: () { } () ( ) () () , , x cx Fx PX x f xdx Pcx c γ −∞ =≤= = = Γ ∫ (3) Trong thực tế ngành thuỷ lợi thường dùng tần suất vượt P (thường chỉ được gọi tắt là tần suất) là xác suất xuất hiện các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên X lớn hơn hoặc bằng một giá trị x cụ thể nào đó. {}() () ( ) () () , 1, x cx PPX x fxdx Fx Qcx c ∞ Γ =≥= =−= = Γ ∫ (4) với γ(c,x) và Γ(c,x) là các hàm gamma khuyết, P(c,x) và Q(c,x), là các hàm gamma chính quy () 1 0 , x ct cx t e dt γ −− = ∫ (5) Hướng dẫn thực hành Kỹ thuật Bờ biển Tính toán tần suất theo phân bố Pearson III 28/09/2008 2 () 1 , ct x cx t e dt ∞ −− Γ= ∫ (6) 1.3. Xác định các thông số theo phương pháp moments Quan hệ giữa các thông số của phân bố với các đặc trưng thống kê theo phương pháp momens như sau c xa b = + (7) V c C ab c = + (8) 2 S C c = (9) Hay 12 V S C ax C ⎛⎞ =− ⎜⎟ ⎝⎠ (10) 2 VS b x CC = (11) 2 4 S c C = (12) 2. Tính toán hàm phân bố Pearson III bằng MS Excel Dựa trên phương pháp moments và thư viện các hàm thống kê của MS Excel, đường tần suất Pearson III có thể được xây dựng cho chuỗi số liệu X gồm có N số (x 1 , x 2 , …, x N ) với các bước như sau: Bảng 1. Bảng tần suất kinh nghiệm Thứ hạng Chuỗi số giảm dần x i ↓ Tần suất kinh nghiệm P i = i/(N+1) (1) (2) (3) 1 x 1 P 1 = 1/(N+1) 2 x 2 P 2 = 2/(N+1) … … … i x i P i = i/(N+1) … … … N x N P N = N/(N+1) Hướng dẫn thực hành Kỹ thuật Bờ biển Tính toán tần suất theo phân bố Pearson III 28/09/2008 3 2.1. Lập bảng phân bố tần suất thực nghiệm (Bảng 1) 1. Sắp xếp chuỗi số liệu x i theo thứ tự giảm dần và điền vào cột (2) của bảng tính toán. Trong Excel, chọn cột số liệu từ hàng 1 đến hàng N, sau đó chọn trên trình đơn Data → Sort. Chọn cột định sắp xếp trong Sort by và hướng sắp xếp là Descending, sau đó bấm nút OK. Cột 1 là thứ hạng i của các giá trị trong chuỗi số liệu x i theo thứ tự nhỏ dần. Để điền cột này tự động trong Excel, nhập số 1 vào hàng đầu tiên và chọn ô đầu tiên đó, sau đó chọn trên trình đơn Edit → Fill → Series. Chọn Series in là hướng điền Columns, chọn loại chuỗi Type là Linear, Step value là 1, Stop value là giá trị của N, sau đó bấm nút OK. 2. Tính tần suất kinh nghiệm P i = i/(N+1) trong cột (3). 2.2. Tính các đăc trưng thống kê của chuỗi số theo phương pháp moments: 1. Tính toán các đặc trưng thống kê. Giá trị độ dài chuỗi N = COUNT(X) với đối số X là chuỗi số liệu đã nhập vào. 2. Giá trị trung bình của chuỗi số x =AVERAGE(X). 3. Hệ số phân tán C V = STDEV(X)/N. 4. Hệ số thiên lệch C S = SKEW(X). 2.3. Tính các thông số của phân bố Pearson III theo phương pháp moments: Các thông số của phân bố Pearson III được xác định theo các công thức (10), (11) và (12). 1. Thông số vị trí a tính theo công thức a = (1-2*C V /C S )* x . 2. Thông số tỷ lệ b tính theo công thức b = 2/( x *C V /C S ). 3. Thông số hình dạng c tính theo công thức c = 4/C S ^2. 2.4. Lập bảng phân bố tần suất lý thuyết (Bảng 2) 1. Cột (1): Thứ tự của các giá trị tính toán trong bảng. 2. Cột (2): Cho các tần suất cần tính toán (tần suất vượt) P 3. Cột (3): Thời kỳ lặp lại tính theo năm, xác định theo công thức T = 1/P. 4. Cột (4): Giá trị thiết kế tương ứng với tần suất ở cột (2) tính toán theo phân bố Pearson III dựa trên phân bố Gamma bằng hàm = a+GAMMAINV(1-P,c,1/b). 2.5. Vẽ đường tần suất 1. Vẽ đồ thị các điểm (XY Scatter) quan hệ giữa P và giá trị quan trắc trong cột (3) và (2) của bảng phân bố tần suất thực nghiệm (Bảng 1) dưới dạng các điểm chấm. 2. Bổ sung thêm đồ thị (XY Scatter) quan hệ giữa P và giá trị thiết kế trong cột (3) và (4) của bảng phân bố tần suất lý thuyết (Bảng 2) dưới dạng đường nối liền nét. 3. Ví dụ tính toán Xác định các thông số và vẽ đường tần suất theo phân bố Pearson III cho chuỗi số liệu dòng chảy năm đã được sắp xếp giảm dần như trong cột (4) Bảng 1, Hình 1. Các bước tính toán thông số và vẽ đường tần suất theo phân bố Pearson III như sau Hướng dẫn thực hành Kỹ thuật Bờ biển Tính toán tần suất theo phân bố Pearson III 28/09/2008 4 Hình 1: Bảng tính tần suất theo phân bố Pearson III 3.1. Tính các thông số thống kê theo phương pháp moments 1. Ô C7: Độ dài chuỗi số (N) =COUNT(D16:D35). 2. Ô C8: Trị trung bình =AVERAGE(D16:D35). 3. Ô C9: Hệ số phân tán tính theo phương pháp moments (C V ) =STDEV(D16:D35)/C8. 4. Ô C10: Hệ số thiên lệch tính theo phương pháp moments (C S ) =SKEW(D16:D35). 3.2. Tính bảng tần suất kinh nghiệm 1. Tính tần suất kinh nghiệm P i = i/(N+1) trong cột 5, ví dụ ô E16: =100*A16/($C$7+1). 3.3. Tính các thông số thống kê theo phương pháp moments 1. Ô I8: Thông số vị trí (a) =(1-2*D9/D10)*D8. Hướng dẫn thực hành Kỹ thuật Bờ biển Tính toán tần suất theo phân bố Pearson III 28/09/2008 5 2. Ô I9: Thông số tỷ lệ (b) =2/(D8*D9*D10). 3. Ô I10: Thông số hình dạng (c) =4/D10^2. 3.4. Lập bảng phân bố tần suất lý thuyết (Bảng 2) và đường tần suất 1. Lập bảng tần suất lý thuyết của phân bố Pearson III với giá trị thiết kế trong cột (4) bằng hàm = a+GAMMAINV(1-P,c,1/b), ví dụ ô J16: =$I$8+GAMMAINV(1-0.01*I16,$I$10,1/$I$9). 2. Đường tần suất vẽ quan hệ giữa cột (3) và cột (4) của bảng 2 như Hình 2. ĐƯỜNG TẦN SUẤT PEARSON III DÒNG CHẢY NĂM TRẠM ABC 0.10 1.00 2.00 5.00 10.00 20.00 25.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 75.00 80.00 90.00 95.00 98.00 99.00 99.90 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 Tần suất vượt, P (%) Lưu lượng, Q (m³/s) Hình 2: Đường tần suất phân bố Pearson III vẽ bằng MS Excel 4. Chú ý 1. Giá trị C V tính theo phương pháp moments thường có giá trị thiên nhỏ. Theo kinh nghiệm, giá trị cận trên của khoảng sai số cho phép C V + δC V thường cho đường tần suất phù hợp với các điểm kinh nghiệm hơn. Trong đó, δC V là sai số ước lượng C V theo phương pháp moments: 22 3 12 2 4 2 VSVS VV CCCC CC n δ ++ − = (13) 2. Phân bố xác suất log Pearson loại III cũng thường được ứng dụng trong thuỷ văn, nhất là dùng để vẽ đường tần suất cho các chuỗi mực nước. Để vẽ đường tần suất log Pearson loại III, chuỗi số liệu cần phải được biến đổi log trước, sau đó tiến hành tính toán các tham số thống kê như đối với phân bố Pearson loại III. Giá trị của đường tần su ất cuối cùng được chuyển đổi ngược lại bằng hàm mũ. Giả sử chuỗi tính toán là Y, tiến hành chuyển đổi và tính toán với Hướng dẫn thực hành Kỹ thuật Bờ biển Tính toán tần suất theo phân bố Pearson III 28/09/2008 6 chuỗi số liệu y i =LN(x i ) theo phân bố Pearson loại III, cuối cùng các giá trị đường tần suất được chuyển đổi lại y p = EXP(x p ). Tài liệu tham khảo Haan, C.T., (1977), Statistical Methods in Hydrology, The Iowa State University Press / Ames. Mục lục TÍNH TOÁN TẦN SUẤT THEO PHÂN BỐ PEARSON III 1 1. Giới thiệu 1 1.1. Hàm mật độ xác suất 1 1.2. Hàm phân bố tần suất luỹ tích 1 1.3. Xác định các thông số theo phương pháp moments 2 2. Tính toán hàm phân bố Pearson III bằng MS Excel 2 2.1. Lập bảng phân bố tần suất thực nghiệm (Bảng 1) 3 2.2. Tính các đăc trưng thống kê của chuỗi số theo phương pháp moments: 3 2.3. Tính các thông số của phân bố Pearson III theo phương pháp moments: 3 2.4. Lập bảng phân bố tần suất lý thuyết (Bảng 2) 3 2.5. Vẽ đườ ng tần suất 3 3. Ví dụ tính toán 3 3.1. Tính các thông số thống kê theo phương pháp moments 4 3.2. Tính bảng tần suất kinh nghiệm 4 3.3. Tính các thông số thống kê theo phương pháp moments 4 3.4. Lập bảng phân bố tần suất lý thuyết (Bảng 2) và đường tần suất 5 4. Chú ý 5 Tài liệu tham khảo 6 Mục lục 6