Trường Đại học Công nghiệp TP.HCM Bài tập toán cao cấp A3 Mục lục 1 Vi phân hàm nhiều biến 3 1.1 Vi phân cấp 1, cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Cực trị tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Tích phân bội hai 11 3 Tích phân bội ba 24 4 Tích phân đường 31 4.1 Tích phân đường loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2 Tích phân đường loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5 Phương trình vi phân 43 5.1 Phương trình vi phân cấp I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.2 Phương trình vi phân cấp II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6 Tích phân mặt 56 6.1 Tích phân mặt loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.2 Tích phân mặt loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2 Chương 1 Vi phân hàm nhiều biến 1.1 Vi phân cấp 1, cấp 2 Câu 1. Cho hàm số z D f .x; y/ D e 2xC3y , chọn đáp án đúng A. z .n/ x n D 5 n e 2xC3y . B. z .n/ x n D 2 n e 2xC3y . C. z .n/ x n D 3 n e 2xC3y . D. z .n/ x n D e 2xC3y . Câu 2. Cho hàm số z D f .x; y/ D cos.xy/, chọn đáp án đúng A. z .n/ y n D y n cos.xy C n  2 / . B. z .n/ y n D x n cos.xy C n  2 / . C. z .2n/ x n y n D .xy/ n cos.xy C n  2 /. D. z .2n/ x n y D y n x cos.xy C n  2 /. Câu 3. Cho hàm số z D f .x; y/ D e xCy , chọn đáp án đúng A. z .nCm/ y n x m D z .n/ y n C z .m/ x m . B. z .nCm/ y n x m D z .n/ y n :z .m/ x m . C. z .nCm/ y n x m D z .n/ y n . D. z .nCm/ y n x m D z .m/ y m :z .n/ x n . Câu 4. Cho hàm số z D f .x; y/ D sin.x C y/, chọn đáp án đúng A. z .6/ x 3 y 3 D sin.x C y/. B. z .6/ x 3 y 3 D cos.x C y/ . C. z .6/ x 3 y 3 D sin.x C y/. D. z .6/ x 3 y 3 D cos.x C y/. Câu 5. Cho hàm số z D f .x; y/ D x 20 C y 20 C x 10 y 11 , chọn đáp án đúng A. z .22/ x 3 y 19 D z .22/ y 3 x 19 D 1. B. z .22/ x 7 y 15 D z .22/ y 6 x 16 D 0 . C. z .22/ x 13 y 9 D z .22/ y 6 x 16 D 2 . D. z .22/ x 11 y 11 D z .22/ y 11 x 11 D 3. Câu 6. Cho hàm số z D f .x; y/ D xy C y cos x C x sin y, chọn đáp án đúng A. z .4/ xyx 2 D 0 . B. z .4/ xyx 2 D cos x . C. z .4/ xyx 2 D sin x . D. z .4/ xyx 2 D 1. Câu 7. Cho hàm số z D f .x; y/ D xe y . chọn đáp án đúng 3 A. z .5/ y 4 x D 0. B. z .5/ y 4 x D 1 . C. z .5/ y 4 x D x . D. z .5/ y 4 x D e y . Câu 8. Cho hàm số z D f .x; y/ D e y ln x, chọn đáp án đúng A. z .4/ yxy 2 D e y . B. z .4/ yxy 2 D e y x . C. z .4/ yxy 2 D  e y x . D. z .4/ yxy 2 D 1 x . Câu 9. Cho hàm số z D f .x; y/ D e xy , chọn đáp án đúng A. z .5/ x 5 D y 5 e xy . B. z .5/ x 5 D x 5 e xy . C. z .5/ x 5 D e xy . D. z .5/ x 5 D 0. Câu 10. Tìm đạo hàm riêng cấp hai z 2 xx của hàm hai biến z D xe y C y 2 C y sin x A. z 2 xx D y sin x. B. z 2 xx D e y  y sin x . C. z 2 xx D e y C y cos x . D. z 2 xx D y sin x. Câu 11. Tìm vi phân cấp một của hàm z D x 2 C 4 y A. dz D 2xdx C 4 y dy. B. dz D 2xdx C 4 y ln 4dy. C. dz D 2xdx C y4 y1 dy. D. dz D 2xdx C y4 y ln 4dy. Câu 12. Tìm vi phân cấp một của hàm z D ln  p x  y  A. dz D dx  dy x  y . B. dz D dy dx x y . C. dz D dx  dy 2.x  y/ . D. dz D dy  dx 2.x  y/ . Câu 13. Tìm vi phân cấp một của hàm z D arctan.y  x/ A. dz D dx C dy 1 C.x y/ 2 . B. dz D dx  dy 1 C.x  y / 2 . C. dz D dy dx 1 C.x y/ 2 . D. dz D dx dy 1 C.x y/ 2 . Câu 14. Tìm vi phân dz của hàm z D x 2  2xy C sin.xy/ A. dz D .2x 2y C y cos.xy//dx. B. dz D .2x C x cos.x y//dy. C. dz D .2x  2y Cy cos.xy//dx C.2x C x cos.xy//dy. D. dz D .2x  2y Ccos.xy//dx C.2x C cos.xy//dy. Câu 15. Tính vi phân cấp 2 của hàm z D sin 2 x C e y 2 A. d 2 z D 2 sin xdx 2 C 2ye y 2 d y 2 . B. d 2 z D 2 cos 2xdx 2 C e y 2 .4y 2 C 2/dy 2 . C. d 2 z D 2 cos 2xd x 2 C 2ye y 2 d y 2 . D. d 2 z D cos 2xd x 2 C e y 2 d y 2 . Câu 16. Tìm đạo hàm riêng cấp hai z 00 xx của hàm hai biến z D xe y C y 2 C y sin x A. z 00 xx D y sin x. B. z 00 xx D y sin x. C. z 00 xx D e y C y cos x. D. z 00 xx D e y  y sin x. 4 Câu 17. Cho hàm hai biến z D e xC2y . Kết quả nào sau đây đúng? A. z 00 xx D e xC2y . B. z 00 yy D 4:e xC2y . C. z 00 xy D 2:e xC2y . D. Các kết quả trên đều đúng Câu 18. Tìm vi phân cấp hai d 2 z của hàm hai biến z D y ln x: Biết x; y là các biến độc lập. A. d 2 z D 1 y dxdy C x y 2 d y 2 . B. d 2 z D 2 x dxdy  y x 2 d x 2 . C. d 2 z D 2 y dxdy C x y 2 d y 2 . D. d 2 z D 1 x dxdy  y x 2 d y 2 . Câu 19. Tìm vi phân cấp hai d 2 z của hàm hai biến z D x 2 C xsin 2 y: Biết x; y là các biến độc lập. A. d 2 z D 2 cos 2ydxdy 2x sin 2yd y 2 . B. d 2 z D 2d x 2 C 2 sin 2ydxdy C 2x sin 2yd y 2 . C. d 2 z D 2d x 2  2sin 2 yd x 2  2x cos 2ydy 2 . D. d 2 z D 2d x 2 C 2 sin 2ydxdy C 2x cos 2yd y 2 . Câu 20. Tìm vi phân cấp hai d 2 z của hàm hai biến z D x 2 C xcos 2 y: Biết x; y là các biến độc lập. A. d 2 z D 2 cos 2xdxdy  2x sin 2yd y 2 . B. d 2 z D 2d x 2 C 2 sin 2ydxdy C 2x sin 2yd y 2 . C. d 2 z D 2d x 2  2 sin 2ydxdy  2x cos 2yd y 2 . D. d 2 z D 2d x 2  2 sin 2ydxdy C 2x cos 2yd y 2 . Câu 21. Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến z D x 2 y 3 : Biết x; y là các biến độc lập. A. d 2 z D 2y 3 d x 2 C 12xy 2 dxdy C 6x 2 yd y 2 . B. d 2 z D 2y 3 d x 2  12xy 2 dxdy C 6x 2 yd y 2 . C. d 2 z D y 3 d x 2 C 6x 2 yd y 2 . D. d 2 z D .2xy 3 dx C 3x 2 y 2 dy/ 2 . Câu 22. Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến z D sin.x Cy/ Ccos.x Cy/: Biết x; y là các biến độc lập. A. d 2 z D  dx 2 C dxdy C dy 2  Œsin.x Cy/ C cos.x Cy/. B. d 2 z D  dx 2 C 2dxdy Cdy 2  Œsin.x C y/ Ccos.x C y/. C. d 2 z D  dx 2 C 2dxdy C dy 2  Œsin.x C y/ cos.x C y/. D. d 2 z D  dx 2 C 2dxdy C dy 2  Œsin.x Cy/ C cos.x Cy/. 1.2 Cực trị t ự do Câu 23. Cho hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai tại điểm dừng M.x 0 Iy 0 /. Đặt A D f 00 xx .x 0 ; y 0 /; B D f 00 xy .x 0 ; y 0 /; C D f 00 yy .x 0 ; y 0 /,  D B 2  AC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Nếu  < 0 và A > 0 thì f đạt cực đại tại M. B. Nếu  < 0 và A < 0 thì f đạt cực đại tại M. 5 C. Nếu  > 0 và A > 0 thì f đạt cực t iểu tại M. D. Nếu  > 0 và A < 0 thì f đạt cực tiểu tại M. Câu 24. Cho hàm z D x 2  2x C y 2 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. z đạt cực đại tai M(1, 0). B. z đạt cực tiểu tại M(1, 0). C. z có một cực đại và một cực tiểu. D. z không có cực trị. Câu 25. Cho hàm z D x 4  8x 2 C y 2 C 5. Khẳng định nào sau đây đúng? A. z đạt cực đại tại I(0, 0). B. z đạt cực tiểu tại J(-2, 0) và K(2 , 0). C. z chỉ có hai điểm dừng là I(0, 0) và K(2, 0). D. z không có cực trị. Câu 26. Cho hàm z D x 2  2xy C 1. Khẳng định nào sau đây đúng? A. z đạt cực đại tai M(0, 0). B. z đạt cực tiểu tại M(0, 0). C. z có một cực đại và một cực tiểu. D. z có một điểm dừng là M(0, 0). Câu 27. Cho hàm z D x 2 C xy Cy 2 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. z đạt cực đại tại O(0, 0). B. z không có cực trị. C. z đạt cực tiểu tại O(0, 0 ) . D. Các khẳng định trên sai. Câu 28. Cho hàm z D x 2  y 2 C 2x  y C 1. Khẳng định nào sau đây đúng? A. z đạt cực đại tại M  1;  1 2  . B. z đạt cực tiểu tại M  1;  1 2  . C. z không có cực trị. D. Các khẳng định trên sai. Câu 29. Cho hàm z D x 3 C 27x C y 2 C 2y C1. Khẳng định nào sau đây đúng? A. z có hai điểm dừng. B. z có hai cực trị. C. z có một cực đại và một cực tiểu. D. z không có cực trị. Câu 30. Cho hàm z D 2x 2  6xy C 5y 2 C 4. Khẳng định nào sau đây đúng? A. z đạt cực đại tại M(0, 0). B. z đạt cực tiểu tại M(0, 0). C. z không có cực trị. D. z có một cực đại và một cực tiểu. Câu 31. Cho hàm z D x 3 C y 3  12x  3y. Khẳng định nào sau đây đúng? A. z đạt cực đại tại M(2, 1). B. z đạt cực tiểu tại N(-2, 1). C. z có đúng 4 điểm dừng. D. z có đúng 2 điểm dừng. Câu 32. Cho hàm z D x 4  y 4  4x C 32y C 8. Khẳng định nào sau đây đúng? A. z đạt cực đại tại M(1, 2). B. z đạt cực tiểu tại M(1, 2). C. z không có điểm dừng. D. z không có điểm cực trị. Câu 33. Cho hàm z D 3x 2  12x C 2y 3 C 3y 2  12y. Khẳng định nào sau đây đúng? A. z có một cực đại và một cực tiểu. B. z chỉ có một điểm cực đại. 6 C. z không có điểm dừng. D. z chỉ có một cực tiểu. Câu 34. Cho hàm z D x 3  y 2  3x C 6y. Khẳng định nào sau đây đúng? A. z đạt cực đại tại M(1, 3). B. z đạt cực tiểu tại N(-1, 3). C. z có hai điểm dừng. D. Các khẳng định trên đều đúng. Câu 35. Cho hàm z D x 6  y 5  cos 2 x 32y. Khẳng định nào sau đây đúng? A. z đạt cực đại tại M(0, 2). B. z đạt cực tiểu tại N(0, -2). C. z không có điểm dừng. D. z có một cực đại và một cực tiểu. Câu 36. Cho hàm z D x 2  4x C 4y 2  8y C 3. Khẳng định nào sau đây đúng? A. z đạt cực tiểu tại M(2, 1). B. z đạt cực đại tại M(2, 1). C. z có một điểm dừng là N(1, 2). D. z không có cực trị. Câu 37. Cho hàm z D x 2 C 4xy  10y 2  2x C 16y. Khẳng định nào sau đây đúng? A. z đạt cực tiểu tại M(1, 1). B. z đạt cực đại tại M(1, 1). C. z đạt cực tiểu tại N(-1, -1). D. z đạt cực đại tại N(-1, -1). Câu 38. Cho hàm z D x 3  2x 2 C 2y 3 C 7x  8y. Khẳng định nào sua đây đúng? A. z có 4 điểm dừng. B. z không có điểm dừng. C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị. D. z có hai cực đại và hai cực tiểu. Câu 39. Cho hàm z D 2x 2  2y 2 C 12x C8y C 5. Khẳng định nào sau đây đúng? A. z đạt cực tiểu tại M(0, 0). B. z đạt cực đại tại M(0, 0). C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị. D. z không có điểm dừng. Câu 40. Cho hàm z D 3x 2 C 2e y  2y C 3. Khẳng định nào sau đây đúng? A. z đạt cực tiểu tại M(0, 0). B. z đạt cực đại tại M(0, 0). C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị. D. z không có điểm dừng. Câu 41. Cho hàm z D x 2  y  ln j y j  2. Khẳng định nào sau đây đúng? A. z đạt cực tiểu tại M(0, -1). B. z đạt cực đại tại M(0, -1). C. z luôn có các đạo hàm riêng trên R. D. z có điểm dừng nhưng không có cực trị. Câu 42. Cho hàm z D 3x 3 C y 2  2x 2 C 2x C 4y C 2. Khẳng định nào sau đây đúng? A. z có 4 điểm dừng. B. z không có điểm dừng. C. z đạt cực tiểu tại M(-1, -2). D. z đạt cực đại tại M(-1, -2). Câu 43. Cho hàm z D 2x 2 C 8x C 4y 2  8y C 3. Khẳng định nào sau đây đúng? A. z đạt cực tiểu tại M(2, 1). B. z đạt cực đại tại M(2, 1). 7 C. z có một điểm dừng là N(1, 2). D. z không có cực trị. Câu 44. Cho hàm z D x 2 C 4xy C 10y 2 C 2x C 16y. Khẳng định nào sau đây đúng? A. z đạt cực đại tại M(-1, 1). B. z đạt cực tiểu tại M(-1, 1). C. z đạt cực đại tại N(1, -1). D. z đạt cực tiểu tại N(1, -1). Câu 45. Cho hàm z D x 3  2x 2 C 2y 3 C x  8y. Khẳng định nào sau đây đúng? A. z có 4 điểm dừng. B. z không có điểm dừng. C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị. D. z có hai cực đại và hai cực tiểu. Câu 46. Cho hàm z D x 2 C 2y 2 C 12x C 8y C 5. Khẳng định nào sau đây đúng? A. z đạt cực tiểu tại M(6, 2). B. z đạt cực đại tại M(6, 2). C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị. D. z không có điểm dừng. Câu 47. Cho hàm z D x:e y C x 3 C 2y 2  4y. Khẳng định nào sau đây đúng? A. z đạt cực tiểu tại M(0, 1). B. z đạt cực đại tại M(0, 1). C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị. D. z không có điểm dừng. Câu 48. Cho hàm z D 2x 2  4x C sin y y=2 với x 2 R;  < y < . Khẳng định nào sau đây đúng? A. z đạt cực đại tại M .1; =3 /. B. Z đạt cực tiểu tại M .1; =3 /. C. Z đạt cực tiểu tại M .1; =3 /. D. Z có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Câu 49. Cho hàm z D ln x  x C ln j y j  y 2 =2. Khẳng định nào sau đây đúng? A. z không có cực trị. B. z có hai điểm cực đại. C. z có hai điểm cực tiểu. D. z có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Câu 50. Cho hàm z D xy.3  x  y/. Khẳng định nào sau đây đúng? A. z đạt cực tiểu tại A(1,1), đạt cực đại tại các điểm B(1,0), C(0,1) và không đạt cực trị tại D(0,0) . B. z đạt cực đại tại A(1,1), đạt cực đại tại các điểm B(3,0), C(0,3) và không đạt cực trị tại D(0,0). C. z đạt cực đại tại A(1,1) và không đạt cực trị tại các điểm B(3,0), C(0,3), D(0,0). D. z đạt cực đại tại A(1,1) và đạt cực tiểu tại các điểm B(3,0), C(0,3), D(0,0). 8 1.3 Cực trị có điều kiện Câu 51. Tìm cực trị của hàm z D ln.x 2  2y/ với điều kiện x y  2 D 0. Khẳng định nào sau đây đúng ? A. z đạt cực đại tại M(1, -1). B. z đạt cực tiểu tại M(1, -1). C. z không có cực trị. D. Các khẳng định trên đều sai. Câu 52. Tìm cực trị của hàm z D ln ˇ ˇ 1 Cx 2 y ˇ ˇ với điều kiện x y 3 D 0. Khẳng định nào sau đây đúng ? A. z không có cực trị. B. z có hai điểm dừng là A(0, - 3) và D(3, 0). C. z đạt cực đại tại A(0, -3) và B(2, -1). D. z đạt cực tiểu tại A(0, -3) và đạt cực đại tại B(2, -1). Câu 53. Tìm cực trị của hàm z D x 2 .y  1/ 3x C 2 với điều kiện x  y C 1 D 0. Khẳng định nào sau đây đúng ? A. z đạt cực đại tại A(-1, 0 ) và B(1, 2). B. z đạt cực tiểu tại A(-1, 0) và B(1, 2). C. z đạt cực tiểu tại A(-1, 0) và đạt cực đại tại B(1, 2). D. z đạt cực đại tại A(-1, 0) và đạt cực tiểu tại B(1, 2). Câu 54. Tìm cực trị của hàm z D 2x 2 Cy 2  2y 2 với điều kiện x Cy C1 D 0. Khẳng định nào sau đây đúng ? A. z đạt cực tiểu tại A .2=3I1=3 /. B. z đạt cực đại tại A .2=3I1=3 /. C. z đạt cực đại tại M(1, 0) và N .1=3I2=3 /. D. z đạt cực tiểu tại M(1, 0) và N .1=3I2=3 /. Câu 55. Tìm cực trị của hàm z D x 2 .y C 1/ 3x C 2 với điều kiện x Cy C 1 D 0. Khẳng định nào sau đây đúng ? A. z đạt cực đại tại A(-1, 0 ) và B(1, -2). B. z đạt cực tiểu tại A(-1, 0) và B(1, -2). C. z đạt cực tiểu tại A(-1, 0) và đạt cực đại tại B(1, -2). D. z không có cực trị. Câu 56. Tìm cực trị của hàm z D x 3 =3  3x C y với điều kiện x 2 C y D 1. Khẳng định nào sau đây đúng ? 9 A. z đạt cực đại tại M(-3, 10) và N(1, 2). B. z đạt cực tiểu tại M(-3, 10) và N(1, 2). C. z đạt cực đại tại M(-3, 10) và cực tiểu tại N(1, 2). D. Các khẳng định trên sai. 10 [...]... =1 C I = -1 D I = -3 ’ p Câu 113 Tính tích phân I D dxdy trong đó D là miền định bởi D W 0 Ä x Ä a; 0 Ä y Ä x I = 3 D A I D p 3 a2 B I D Câu 114 Tính tích phân I D A 3p 3 a 2 C I D 2p 3 a 3 D I D p a3 ’ y dxdy trong đó D là miền định bởi D W 2 Ä x Ä 4; x Ä y Ä 2x D x B I = 3 C I = 12 D I = 9 ’ Câu 115 Tính tích phân I D e x dxdy trong đó D là miền định bởi D W 1 Ä y Ä 2; 0 Ä x Ä ln y I = 1/9 D B... D là nửa hình tròn x D I D I D =8 0; x 2 C y 2 Ä 1 D A B I D C I D =2 D I D =4 ’p Câu 136 Tính tích phân I D x 2 C y 2 dxdy trong đó D là hình tròn D W x 2 C y 2 Ä a2 I D 0 D 3 B I D 2 a2 C I D 2 a3 =3 D I D 2 a2 =3 ’ 2 Câu 137 Tính tích phân I D x C y 2 /dxdy trong đó D là nửa hình tròn D W x 2 C y 2 Ä A 4; y I D2 a D 0 A B I D 4 C I D 8 D I D ’ Câu 138 Tính tích phân I D xydxdy trong đó D... tích phân đường I D x A C x Ä 1 A p B I D I D 1 Câu 207 Tính tích phân đường I D 0) và A(2, 2) A p C I D a2 2 I D a2 I D p 2 B I D R y/d l, trong đó C có phương trình x C y D 1; 0 Ä C I D 0 2 .x p D I D a3 2 D I D p y/d l, trong đó C là đoạn thẳng nối các điểm O(0, C p 2 C I D 2 2 31 D I D 0 x 5 y 2 d l, trong đó C có phương trình y D x; 0 Ä x Ä a R Câu 208 Tính tích phân đường I D C p p p C I D a8 2=4