Đang tải... (xem toàn văn)
hay
Ôn thi đại học TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ §1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số A. Tóm tắt lý thuyết Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số, ta có hai quy tắc sau đây: 1. Quy tắc 1 (Sử dụng định nghĩa) Giả sử f xác định trên D ⊂ ¡ . Ta có ( ) max x D M f x ∈ = ⇔ ( ) ( ) 0 0 : f x M x D x D f x M ≤ ∀ ∈ ∃ ∈ = ; ( ) min x D m f x ∈ = ⇔ ( ) ( ) 0 0 : f x m x D x D f x m ≥ ∀ ∈ ∃ ∈ = . 2. Quy tắc 2 (Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn): Để tìm giá GTLN, GTNN của hàm số f xác định trên đoạn [ ] ;a b , ta làm như sau: • B1 Tìm các điểm 1 x , 2 x , …, m x thuộc khoảng ( ) ;a b mà tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. • B2 Tính ( ) 1 f x , ( ) 2 f x , …, ( ) m f x , ( ) f a , ( ) f b . • B3 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của f trên đoạn [ ] ;a b ; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của f trên đoạn [ ] ;a b . [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 2 ; max max , , , , , m x a b f x f x f x f x f a f b ∈ = K . [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 2 ; min min , , , , , m x a b f x f x f x f x f a f b ∈ = K . 1 Ôn thi đại học Quy ước. Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số f mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của f . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 2 3 3 1 x x y x + + = + trên đoạn [ ] 0;2 . Giải. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 3 1 2 3 3 2 4 ' 0 1 1 x x x x x x y x x + + − + + + = = > + + ( ) 0;2x ∀ ∈ . Lại có ( ) 0 3y = , ( ) 17 2 3 y = . Suy ra [ ] 0;2 min 3 x y ∈ = , [ ] 0;2 17 max 3 x y ∈ = . Nhận xét. • f đồng biến trên [ ] ;a b ⇒ [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ; ; min max x a b x a b f x f a f x f b ∈ ∈ = = ; • f nghịch biến trên [ ] ;a b ⇒ [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ; ; min max x a b x a b f x f b f x f a ∈ ∈ = = . Ví dụ 2. [ĐHB03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 4y x x= + − . Giải. [ ] 2;2TXÑ = − . Ta có 2 2 2 4 ' 1 4 4 x x x y x x − − = − = − − ( ( ) 2;2x ∈ − ). Với mọi ( ) 2;2x ∈ − , ta có 2 Ôn thi đại học ' 0y = ⇔ 2 4 0x x − − = ⇔ 2 4 x x − = ⇔ 2 2 0 4 x x x ≥ − = ⇔ 2x = . Vậy ( ) ( ) ( ) { } { } min min 2 ; 2 ; 2 min 2;2;2 2 2y y y y= − = − = − , đạt được ⇔ 2x = − ; ( ) ( ) ( ) { } { } max max 2 ; 2 ; 2 min 2;2;2 2 2 2y y y y= − = − = , đạt được ⇔ 2 . Ví dụ 3. [ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 1 1 x y x + = + trên đoạn [ ] 1;2 − . Giải. Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ' 1 1 1 x x x x x y x x x + − + − + = = + + + . Với mọi ( ) 1;2x ∈ − ta có ' 0y = ⇔ 1x = . Vậy ( ) ( ) ( ) { } 3 5 min min 1 ; 2 ; 1 min 0; ; 2 0 5 y y y y = − = = , đạt được ⇔ 1x = − ; ( ) ( ) ( ) { } 3 5 max max 1 ; 2 ; 1 max 0; ; 2 2 5 y y y y = − = = , đạt được ⇔ 1x = . Ví dụ 4. [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 ln x y x = trên đoạn 3 1;e . Giải. Ta có 3 Ôn thi đại học 2 2 2 2 ln 2 . ln 2ln ln ' x x x x x x y x x − ÷ − = = . Với mọi ( ) 3 1;x e ∈ ta có ' 0y = ⇔ 2 2ln ln 0x x− = ⇔ ln 0x = hoặc ln 2x = ⇔ 1x = hoặc 2 x e= ⇔ 2 x e= ( ( ) 3 1 1;e∉ ). Vậy ( ) ( ) ( ) { } 3 2 3 2 9 4 min min 1 ; ; min 0; ; 0y y y e y e e e = = = , đạt được ⇔ 1x = . ( ) ( ) ( ) { } 3 3 2 2 9 4 4 max max 1 ; ; max 0; ;y y y e y e e e e = = = , đạt được ⇔ 2 x e= . Ví dụ 5. [ĐHD10] Tìm GTNN của hàm số 2 2 4 21 3 10y x x x x= − + + − − + + . Giải. TXÑx ∈ ⇔ 2 2 4 21 0 3 10 0 x x x x − + + ≥ − + + ≥ ⇔ 3 7 2 5 x x − ≤ ≤ − ≤ ≤ ⇔ 2 5x − ≤ ≤ , suy ra [ ] 2;5TXÑ= − . Ta có 2 2 2 2 3 ' 4 21 2 3 10 x x y x x x x − − = − + − + + − + + . ' 0y = ⇔ 2 2 2 2 3 4 21 2 3 10 x x x x x x − − = − + + − + + ⇒ ( ) 2 2 2 2 4 4 4 12 9 4 21 4 3 10 x x x x x x x x − + − + = − + + − + + ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 3 10 4 4 4 21 4 12 9x x x x x x x x − + + − + = − + + − + ⇔ 2 51 104 29 0x x− + = ⇔ 1 3 x = hoặc 29 17 x = . 4 Ôn thi đại học Thử lại, ta thấy chỉ có 1 3 x = là nghiệm của 'y . ( ) 2 3y − = , ( ) 5 4y = , 1 2 3 y = ÷ ⇒ min 2y = , đạt được ⇔ 1 3 x = . C. Bài tập Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) 2 4y x= − . 2) 2 2 5y x x= + − trên đoạn [ ] 2;3− . 3) 2 2 4y x x= − + + trên đoạn [ ] 2;4 . 4) 3 3 3y x x= − + trên đoạn 3 3; 2 − . 5) 3 2 1 2 3 4 3 y x x x= + + − trên đoạn [ ] 4;0− . 6) 3 2 3 9 1y x x x= + − + trên đoạn [ ] 4;4− . 7) 3 5 4y x x= + − trên đoạn [ ] 3;1− . 8) 4 2 8 16y x x= − + trên đoạn [ ] 1;3 . 9) 1 y x x = + trên khoảng ( ) 0; +∞ . 10) 1 1 y x x = + − trên khoảng ( ) 1; +∞ . 11) 1 y x x = − trên nửa khoảng ( ] 0;2 . 12) 2 x y x = + trên nửa khoảng ( ] 2;4− . 5 Ôn thi đại học 13) 2 2 5 4 2 x x y x + + = + trên đoạn [ ] 0;1 . 14) 4 4 sin cosy x x= + . 15) 2 2sin 2sin 1y x x= + − . 16) 2 cos 2 sin cos 4y x x x= − + . 17) 3 2 cos 6cos 9cos 5y x x x= − + + . 18) 3 sin cos 2 sin 2y x x x= − + + . 19) 3 sin 3 3siny x x= − − 6 Ôn thi đại học 2 2cos cos 1 cos 1 x y + + = + §2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A. Nguyên tắc chung Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau: • Xác định ẩn phụ t . • Từ giả thiết, tìm miền giá trị của t . • Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một hàm biến t trên miền giá trị của t . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho x , 0y ≥ thỏa mãn 4x y+ = . Tìm GTLN, GTNN của ( ) ( ) 3 3 1 1S x y = − − . Giải. Đặt t xy = , suy ra ( ) 2 0 4 4 x y t + ≤ ≤ = . Ta có S = ( ) ( ) ( ) 3 2 3 1xy x y x y xy − + + − + = 3 2 4 4 3 1t t − − + = 3 12 63t t+ − . Xét hàm ( ) 3 12 63f t t t = + − , với [ ] 0;4t ∈ . Ta có ( ) 2 ' 3 12 0f t t = + > [ ] 0;4t ∀ ∈ ⇒ ( ) f t đồng biến trên [ ] 0;4 . Do đó • [ ] ( ) ( ) 0;4 min min 0 63 t S f t f ∈ = = = − , đạt được khi và chỉ khi 4 0 x y xy + = = ⇔ ( ) ( ) ; 4;0x y = hoặc ( ) ( ) ; 0;4x y = . • [ ] ( ) ( ) 0;4 max max 4 49 t S f t f ∈ = = = , đạt được khi và chỉ khi 4 4 x y xy + = = ⇔ ( ) ( ) ; 2;2x y = . Ví dụ 2. Cho x , 0y ≥ thỏa mãn 2 2 2x y+ = . Tìm GTLN, GTNN của S x y xy= + − . Giải. Đặt t x y = + ⇒ 0t > . Ta có 7 Ôn thi đại học ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4t x y x y= + ≤ + = ⇒ 2t ≤ , ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2t x y x y xy x y= + = + + ≥ + = ⇒ 2t ≥ . Suy ra 2;2t ∈ . Lại có ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 x y x y xy t + − + = = − ⇒ ( ) 2 1 1 2 S f t t t= = − + + . Ta có ( ) ' 1 0f t t = − + > với mọi ( ) 2;2t ∈ , ( ) 2 1f = , ( ) 3 1 2 f = . Do đó • ( ) min 2 1S f = = , đạt được ⇔ 2 2 2 2 x y x y + = + = ⇔ 1 1 x y = = . • ( ) 3 max 1 2 S f= = , đạt được ⇔ 2 2 1 2 x y x y + = + = ⇔ 1 3 2 1 3 2 x y − = + = hoặc 1 3 2 1 3 2 x y + = − = . Ví dụ 3. Cho x , 0y ≥ thỏa mãn 2 2 8x y+ = . Tìm GTLN, GTNN của 1 1 x y S y x = + + + . Giải. Đặt t x y = + , ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 8 16x y x y+ ≤ + = × = ⇒ 4t ≤ , ( ) 2 2 2 2 2 2 8x y x y xy x y + = + + ≥ + = ⇒ 2 2t ≥ . Suy ra 2 2 4t ≤ ≤ . Lại có ( ) ( ) 2 2 2 2 8 2 2 x y x y t x y + − + − × = = . Ta có biến đổi sau đây 8 Ôn thi đại học S ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 x x y y y x + + + = + + ( ) ( ) 2 2 1 x y x y xy x y xy + + + − = + + + ( ) 2 2 2 8 8 1 2 t t t t t + − − = − + + 2 8 2 2 6 t t t + = × + − . Xét hàm ( ) 2 8 2 6 t f t t t + = + − với 2 2 4t ≤ ≤ . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 6 8 2 2 16 22 ' 0 2 6 2 6 t t t t t t f t t t t t + − − + + − − − = = < + − + − , : 2 2 4t t ∀ ≤ ≤ . Suy ra f nghịch biến trên 2 2;4 . Do đó ( ) ( ) 2 2;4 2 min 4 3 t f t f ∈ = = . ( ) ( ) max 2 2 2f t f= = . +) ( ) 2 2;4 4 2 min 3 t S f t ∈ ≥ × = , dấu bằng xảy ra ⇔ 2 2 8 4 x y x y + = + = ⇔ 2x y= = . Vậy 4 min 3 S = , đạt được ⇔ 2x y= = . +) ( ) 2 2;4 2 max 4 2 t S f t ∈ ≤ × = , dấu bằng xảy ra ⇔ 2 2 8 2 2 x y x y + = + = ⇔ 0 2 2 x y = = hoặc 2 2 0 x y = = . Vậy 4 max 3 S = , đạt được ⇔ 0 2 2 x y = = hoặc 2 2 0 x y = = . Ví dụ 4. Cho x , 0y ≥ thỏa mãn 3x y xy+ + = . Tìm GTLN, GTNN của 2 2 1 1 1 3 x y S y x x y = + − + + + + . Giải. Đặt t x y = + ⇒ 2 3 0 3 4 xy t t t = − ≥ ≤ + ⇒ 3 2 3 xy t t = − ≤ ≤ . Ta có 9 Ôn thi đại học S = ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 1 3 x y x y x y x y + + + − + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 1 1 3 x y xy x y x y xy xy x y x y + − + + + − − + + + + + = ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 2 3 1 3 1 3 t t t t t t t t − − + − − − − + + + = 3 2 7 1 3 4 4 3 2 t t t t + − − − + . Xét hàm ( ) 3 2 7 1 3 4 4 3 2 t t f t t t = + − − − + , [ ] 2;3t ∈ . Ta có ( ) ( ) 2 2 3 7 1 ' 2 0 4 4 3 t f t t t = + − + > + , [ ] 2;3t ∀ ∈ ⇒ ( ) 1f đồng biến trên [ ] 2;3 . Do đó • ( ) ( ) 4 2 5 S f t f= ≥ = . Dấu “ = ” xảy ra ⇔ 3 2 x y xy x y + + = + = ⇔ 1x y= = ⇒ 4 min 5 S = , Đạt được ⇔ 1x y= = . • ( ) ( ) 35 3 6 S f t f= ≤ = . Dấu “ = ” xảy ra ⇔ 3 3 x y xy x y + + = + = ⇔ 0 3 x y = = hoặc 3 0 x y = = . ⇒ 35 max 6 S = , Đạt được ⇔ 0 3 x y = = hoặc 3 0 x y = = . Ví dụ 5. Cho x , y thỏa mãn 2 2 1x xy y+ + = . Tìm GTLN, GTNN của 2 2 S x xy y= − + . Giải. Cách 1. Từ giả thiết suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 4 4 x y x y x y xy x y + + = + − ≥ + − = . Do đó, nếu đặt ( ) t x y = + thì 2 3 1 4 t ≤ , hay 2 3 2 3 ; 3 3 t ∈ − . 10 [...]... ;− ÷ 2 2 thỏa mãn các điều kiện x+ y+ z =0 và P = x5 + y 5 + z 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức z = −( x + y) z = −( x + y) x+ y+z =0 Giải Từ suy ra , thay vào đẳng thức thứ hai của giả thi t, ta được 1 3 2 2 2 2 2 1 = x 2 + y 2 + ( x + y ) = 2 ( x + y ) − 2 xy ≥ 2 ( x + y ) − ( x + y ) = ( x + y ) 2 2 13 Ôn thi đại học t = x+ y Do đó, nếu đặt thì ta có 6 6 2 3 2 t ∈ − ; xy = 2t − 1... ≤ 32 x y Bài 7 [ĐHD12] Cho , thỏa mãn Tìm GTNN của 3 3 A = x + y + 3 ( xy − 1) ( x + y − 2 ) 2 ( x + y ) xy = x + y 2 − xy x≠0 y≠0 Bài 8 [ĐHA06] Cho , thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của 2 A= biểu thức 17 1 1 + x3 y 3 2 Ôn thi đại học x2 + y2 = 1 x y Bài 9 [ĐHB08] Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 2 2 x + 6 xy P= 1 + 2 xy + 2 y 2 2 2 x + y + xy = 1 x y Bài 10 Cho , thỏa mãn Tìm GTLN,... 6 [ĐHB09] Cho , thỏa mãn Tìm GTNN của 4 4 2 2 2 2 A = 3( x + y + x y ) − 2 ( x + y ) +1 12 ÷ ÷= 1 ÷ Ôn thi đại học (a 2 + b 2 + ab ) ≥ Giải Áp dụng bất đẳng thức (x 4 + y4 + x2 y2 ) ≥ 3 2 ( a + b) 4 2 2 3 2 ( x + y2 ) ⇒ A ≥ 9 ( x2 + y 2 ) − 2 ( x2 + y2 ) + 1 4 4 4xy ≤ ( x + y ) Từ giả thi t, áp dụng bất đẳng thức ( x + y) 3 + ( x + y) ≥ 2 ⇔ 2 ( x + y) Đặt 2 a = x2 b = y với , ta được 2 2 ,.. .Ôn thi đại học xy = ( x + y ) − 1 = t 2 − 1 2 Ta có , suy ra S = ( x + y ) − 3xy = t 2 − 3 ( t 2 − 1) = −2t 2 + 3 2 f ( t ) = −2t 2 + 3 Xét hàm với 2 3 2 3 t = 0∈ − 3 ; 3 ÷ ÷ 2 3 2 3 t ∈ − ; 3 3 f ' ( t ) = −4t Ta có f '( t ) , có nghiệm duy nhất 2 3 2 3 1 f 3 ÷= f − 3 ÷= 3 ÷ ÷ f ( 0) = 3 ... x + y = 3 2 ( x + y ) − xy = 1 ⇔ Khi đó S =1 1 1 ; ÷ 3 3 ( x; y ) = Ôn thi đại học y≠0 • S Xét Xét hàm y t= 2 x y Chia cả tử và mẫu của cho và đặt 2 t − t +1 2t S= 2 = 1− 2 t + t +1 t + t +1 2 2 ( t − 1) f '( t ) = 2t 2 f ( t ) = 1− 2 ( t 2 + t + 1) t + t +1 , ta có , ta được f ( t) Bảng biến thi n của hàm : 2 t lim f ( t ) = lim 1 − t →±∞ t →±∞ 1 1 1+ + 2 t t Suy ra:... y z ( 1) r r r r 1 r 1 r 1 1 1 1 a + b + c = x + y + z; + + ÷ a x; ÷ b y ; ÷ c z ; ÷ x y z x y z Giải Xét , , , ta có r r r r r r a + b + c ≥ a+b+c Từ 15 suy ra Ôn thi đại học 1 1 1 x + 2 + y2 + 2 + z2 + 2 ≥ x y z 2 2 ( x + y + z) 2 1 1 1 + + + ÷ x y z Đến đây ta có hai cách đi tiếp: Cách 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 1 1 1 1 + + ≥ 33 x y z xyz x + y +... x + y + z ) + + + ÷ 81( x + y + z ) + + + ÷ − 80 ( x + y + z ) x y z = x y z 2 1 1 1 2 2 81( x + y + z ) + + ÷ − 80 ( x + y + z ) x y z ≥ 2 16 f (t ) ≥ 82 2 Cách 2 1 0; 9 Ôn thi đại học 1 1 1 2 ≥ 18 ( x + y + z ) + + ÷− 80 ( x + y + z ) x y z ≥ 18.9 – 80 = 82 Từ đó suy ra điều phải chứng minh C Bài tập Bài 1 [ĐHD09] Cho x + y =1 x y≥0 , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN của S... dụ 8 Cho , , thỏa mãn x+ y+z ≤ 3 2 6 6 , 6 5 6 f 3 ÷ = − 36 ÷ z=− , 6 3 Tìm GTNN của biểu thức 1 1 1 S = x2 + y 2 + z 2 + 2 + 2 + 2 x y y z z x t = 3 xyz Giải Đặt 14 Ta có t >0 và Ôn thi đại học 3 1 ≥ x + y + z ≥ 3 3 xyz t≤ ⇒ 2 2 Suy ra 1 t ∈ 0; 2 Lại có x + y + z ≥ 3 x y z = 3t 2 2 2 2 3 2 2 1 1 1 1 1 1 3 3 + 2 + 2 ≥ 33 2 × 2 × 2 = = 3 2 x y y z z x x y y z z x xyz t 2 , . Ôn thi đại học TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ §1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số A + . 19) 3 sin 3 3siny x x= − − 6 Ôn thi đại học 2 2cos cos 1 cos 1 x y + + = + §2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A. Nguyên tắc