1 TÀI LIỆU TOÁN THPT www.k2pi.net ( Tài liệu được gửi đến www.k2pi.net bởi thầy Ngô Quang Huy ) Tích phân liên kết Trong một số bài toán tính tích phân I = () b a f x dx  , ta tìm đến tích phân K= () b a g x dx  và tính I trong các mối ràng buộc với K ( K được gọi là tích phân liên kết với I ) . Ta đi xác lập các đẳng thức liên hệ giữa I và K : mI nK a pI qK b      Giải hệ 2 phương trình 2 ẩn I , K ta tính được I và cả K . Ta thường gặp trường hợp : * I = K khi đó tính I+K từ đó suy ra I . * K là một tính phân được tính đơn giản , khi đó từ đẳng thức : mI +nK =a ta suy ra I (và K) Việc tìm đến tích phân liên kết K , tùy thuộc vào kinh nghiệm của bạn . Thường biểu thức các tích phân (liên kết ) f(x) ,g(x) có tính cân xứng hoặc bổ sung cho nhau . Chúng ta hãy tìm hiểu qua một số ví dụ : Bài 1: Tính I = 6 2 0 cos 2 .x sin xdx   Có thể tính trực tiếp tích phân này – Một cách tính gián tiếp ? Vì sin 2 x + cos 2 x =1 , ta xét tích phân tương tự : K = 6 2 0 cos 2 . osx c xdx   Ta có : I +K = 6 0 cos 2 xdx   = 1 2 sin2x | 6 0  = 3 4 (*) Mặt khác : K-I = 6 22 0 cos 2 (cos )x x sin x dx    = 6 2 0 cos 2xdx   = 6 0 1 (1 cos 4 ) 2 x dx    = 6 0 1 1 1 3 1 3 ( sin 4 ) | ( ) ( ) 2 4 2 6 8 4 3 4 xx        (**) Từ (*) (**) suy ra : I = 1 3 3 () 8 4 3   Bài 2: Tính I = 2 0 sin sin cos 1 x dx xx    Xét bài toán (tích phân) tương tự : K = 2 0 os sin cos 1 cx dx xx    Bằng phép thay biến x = /2-t Ta có : dx =-dt , x = 0 → t= /2 , x = /2→ t= 0 Khi đó : I = = K Ta có : I + K = 2 0 cos sin sin cos 1 xx dx xx     = 2 0 1dx   - 2 0 1 sin cos 1 dx xx    = /2 - 2 0 1 sin cos 1 dx xx    Tính 2 0 1 sin cos 1 dx xx    = 2 0 11 sin( / 4) sin( / 4) 2 dx x     = 2 0 11 22 sin( ) os( ) 2 4 2 dx xx c     2 = 22 00 os[( ) ( )] 11 2 4 2 [ cot( ) tan( )] 2 2 2 4 2 sin( ) os( ) 2 4 2 xx c xx dx dx xx c           = /2 0 [ ln sin( ) ln os( )] | 2 4 2 xx c    = /2 0 sin( ) 2 24 ln | ln 2 ln ln 2 2 os( ) 2 x x c       Ta có : I=K và I+K = ln2 → I=K = ln 2 2 Chú ý : + Bạn có thể không thay biến , tính I-K = = 0 → I=K . Bài 3: I = 3 2 44 0 cos sin sin cos xx dx xx    Nếu tính được I = 3 2 44 0 cos sin sin cos xx dx xx    thì ta cũng tính được K = 3 2 44 0 sin cos sin cos xx dx xx    Biểu thức của K là biểu thức của I trong đó : sinx được thay bởi cosx và cosx được thay bởi sinx . Bằng phép thay biến x = /2-t Ta cm được I = K Ta có : I+K = 2 44 0 sin cos sin cos xx dx xx    = 2 2 0 sin 2 1 cos 2 x dx x    Đặt t = cos2x → dt = -2sin2xdx x = 0 → t=1 , x = /2 → t= -1 I+K = 1 2 1 11 21 dt t    = = /4 Suy ra : I = /8 Chú ý : (cos 4 x )’= -4 cos 3 xsinx - xét đến (sin 4 x )’= 4 sin 3 xcosx Ta có: (sin 4 x + cos 4 x )’= - sin4x Khi đó : 4(I-K) = 2 44 0 sin 4 sin cos x dx xx    = - ln( 44 sin cosxx )| /2 0  = 0 → I= K Bài 4: I = 1 2 0 3 x dx e   * Chọn K = 2 1 2 0 3 x x e dx e   Ta có : 1 0 31I K dx    (1) * Tính K . Để ý (e 2x +3 )’= 2 e 2x . Khi đó : K = 1 0 22 1 2 2 0 1 2 1 1 3 ln( 3) | ln( ) 2 3 2 2 4 x x x e dx e e e       (2) Từ (1) (2) suy ra : I = 2 1 1 3 ln( ) 3 6 4 e   . Bài 5: 4 1 6 0 1 1 x I dx x     Liên hệ đến hằng đẳng thức : x 6 +1 = (x 2 +1) ( x 4 - x 2 +1) , ta chọn 2 1 6 0 1 x K dx x    Ta có : I - K = 24 1 6 0 1 1 xx dx x    = 1 2 0 1 1 dx x   Đặt x = tant → dx = (1+tan 2 t)dt . x = 0 → t =0 , x = 1 → t = /4 Khi đó : I-K = /4 0 1 4 dt     và 22 1 0 11 6 66 00 1 3 1 1 ln( 1) | ln 2 1 3 1 3 3 xx K dx dx x xx        3 suy ra : I = 1 ln 2 3 + 4  . Đây là nội dung còn nhiều điều tìm hiểu – vấn đề chọ tích phân liên kết đòi hỏi khả năng tư duy linh hoạt của bạn . Bạn suy nghĩ tìm tòi thêm nhé . Mời bạn cùng giải một số bài tập sau : Bài tập đề nghị : Bài 1: a/ 2 4 0 sin 2 . osx c xdx   b/ 2 4 0 os2 . osc x c xdx   Bài 2: a/ 3 6 sin cos sin x dx xx     b/ 2 2012 2010 0 sin osxc xdx   c/ 2 2 0 sin os nn xc xdx    Bài 3: a/ dx x x I   6 0 2 2cos cos  b/ 2 0 2 sin 3 cos s inx cos 1 xx dx x     Bài 4: a/ 2 0 2 sin 1 sin cos 1 x dx xx     b/ 2 4 1 os sin cos 1 cx dx xx      Bài 5: a/ 2 0 2 sin 3 cos s inx cos xx dx x     b/ 3 6 2 cot 3 tan cotx tan xx dx x      Bài 6: a/ * 2 3 0 sin 3 s inx cos x dx x    b/ 2 2 0 os sin cos 1 cx dx xx    Bài 7 a/ 3 62 1 1 (1 ) dx xx  b/ 1 4 1 12 x x dx    c/ 1 2 2 0 ( 2) x xe dx x   Bài 8 : a/ * 3 6 os5 sin 2 cx dx x    b/ * 3 6 sin 5 os x dx cx    Và bạn có thể đề xuất thêm nhiều bài toán mà khi giải nó ta phải xét đến tích phân liên kết phải không nào. Chúc bạn vui – thành công. 17/6/2012 4 Bắt đầu từ những gì đơn giản nhất 4 2 0 t1 () 1 gx dx tgx     2 4 cos sin 3 sin 2 xx dx x      5 b/ 3 3 3 6 6 6 sin 5 s inx 2 os3 sin 2 2 2 os3 sin os os x c x x dx dx c x xdx c x c x              = 3 6 2 (sin 4 sin 2 )x x dx     = Bổ sung : Tính : I = 3 6 os5 sin 2 cx dx x    Chọn K = 3 6 os sin 2 cx dx x    I+K = 3 3 3 3 6 6 6 6 os5 cos 2 sin 3 sin 2 2 2 2 sin 3 os3 | sin 2 sin 2 3 3 c x x x x dx dx xdx c x xx                   K = 3 6 os sin 2 cx dx x    = 3 6 1 sin dx x    = 33 3 6 66 12 (cot tan ) (ln sin ln os ) | 2 2 2 2 2 2 sin 2 2 x x x x x dx d c x          2 3 0 tan 3 s inx cos x dx x    2 3 0 sin 3 s inx cos x dx x    6 3 6 os3 os cx dx cx    3 6 os5 os cx dx cx   